多缝的夫琅和费衍射剖析

也应有一个次极大，
次极大的强度与它离 开主极大的远近有关，
次极大的宽度也随N增
大而减小。
k=-6
k=-4 k=-2 k=0 k=2 k=4 k=6 k=-1 k=3 k=-5 k=1 k=5 k=-3
光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射光强分布调 制的结果。
光栅衍射条纹的特点
缝平面G d
透 镜 L
角色散与光栅常数d和谱线级次m的关系可从光栅方程求得
d(sini± sin)=m m= 0, ± 1, ± 2, ± 3 · · ·
取光栅方程两边微分
d m d d cos
表明光栅的角色散与光栅常数成反比，与次级成正比。
光栅的线色散是聚焦物镜焦面上波长相差0.1nm的两条谱 线分开的距离。
当 N 等于
2
的整数倍而
2
不是 的整数倍时
即 (m m' ) 2 N
m 0,1,2, ; m' 1,2, N 1
m' 即 d sin (m ) N
它有极小值为零。
m 0,1,2,; m' 1,2, N 1 时
在两个相邻主极大之间有N-1个零值，相邻两个零值之
2 106 mmax 4 9 50010 d
即最多能看到第4级明条纹 考虑缺级条件
d m n( ) a
d/a=(a+a)/a=2
第2、4级明纹不出现，从而实际只能看到5条明纹。
例题：为测定一给定光栅的光栅常数，用He-Ne激光器（6328Å） 的红光垂直照射光栅，已知第一级明纹出现在38°方向上。问 （1）该光栅的光栅常数是多少？1厘米内有多少条缝？第二级 明纹出现在什么方向上？ [解]： （1）
d sin m
d mn a n 1
m d 6m sin
（2）
m4
amin
d 1.5m 4
（3）由光栅方程，理论上能看到的最高级谱线的极限， 对应衍射角θ=π/2
sin 1，m mmax
6m m max 10 0.6m d
在-900< θ <900范围内可观察到的明纹级数为 m=0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,共15条明纹
间（ m ' 1 ）的角距离 为


Nd cos
主极大与其相邻的一个零值之间的角距离也可用上式表示
称为主极大的半角宽度，表明缝数N越大，主极大的
宽度越小，反映在观察面上主极大亮纹越亮、越细
各级主极大的强度为
I N I0 (
2
sin

)
2
它们是单缝衍射在各级主极大位置上产生的强度的N2 倍，零级主极大的强度最大，等于N2I0
设f为物镜的焦距，则线色散为
dl d m f f d d d cos
角色散和线色散是光谱仪的一个重要的质量指标，色散 越大，越容易将两条靠近的谱线分开。
一般光栅常数很小，所以光栅具有很大的色散本领
（三）光栅的色分辨本领
光栅的色分辨本领是指可分辨两个波长差很小的谱线的能力。 考察两条波长和+的谱线。如果它们由于色散所分开 的距离正好使一条谱线的强度极大值和另一条谱线极大值
衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号； 衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。
对于透射光栅同样适用。
（二） 光栅的色散
由光栅方程可知，除零级外，不同波长的同一级主极大对 应不同的衍射角，这种现象称为光栅的色散。 光栅有色散，说明它有分光能力。
光栅的色散用角色散和线色散来表示。
波长相差0.1nm的两条谱线分开的角距离为角色散。
一、光栅的分光性能
（一） 光栅方程 决定各级主极大位置的式子称为光栅方程。 正入射时设计和使用光栅的基本方程。
dsin=m
m= 0, ± 1, ± 2, ± 3 · · ·
衍射光与入射光在光栅法线同侧取正号； 衍射光与入射光在光栅法线异侧取负号。
以反射光栅为例，导出斜入射情形的光栅方程。 d(sini± sin)=m m= 0, ± 1, ± 2, ± 3 · · ·
m 0,1,2,
d sin m
m 0,1,2,
时
它有极大值，称为主极大，m为主极大的级次，上式称 为光栅方程
d sin m
m 0,1,2,
方程表明主极大的位置与缝数无关，主极大的级次受到衍 射角的限制。光栅常数越小，条纹间隔越大。 由于|sinθ|≤1，m的取值有一定的范围，故只能看到有 限级的衍射条纹。
光栅常数d的数量级约10-6米，即微米
通常每厘米上的刻痕数有几干条，甚至达几万条。
能对入射光波的振幅或相位进行空间周期性调制，或对 振幅和相位同时进行空间周期性调制的光学元件称为衍 射光栅。
衍射光栅的夫琅和费衍射图样为光栅光谱。 光栅光谱是在焦面上一条条亮而窄的条纹，条纹位置 随照明波长而变。 复色光波经过光栅后，每一种波长形成各自一套条纹， 且彼此错开一定距离，可区分照明光波的光谱组成， 这是光栅的分光作用。
E ( P) A(
sin

)
C' ' A A exp[ikf ] 为常数 f
相邻单缝在P点产生的相位差为

2

d sin
多缝在P点产生的复振幅是N个振幅相同、相邻光束程差 相等的多光束干涉的结果。
N sin ~ sin 2 E ( P) A( )( ) exp[i( N 1) ] 2 sin 2
例题 一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长 1=4400Å,2=6600Å。实验发现，两种波长的谱线(不计中央 明纹)第二次重合于衍射角θ =600的方向上，求此光栅的光 栅常数d。 解：
d sin 1 m11 d sin 2 m22 sin 1 m11 2m1 sin 2 m22 3m2

P

o
焦距 f
（1）θ= 0的一组平行光会聚于O点，形成中央明纹，两侧 出现一系列明暗相间的条纹
（2） 衍射明纹亮且细锐，其 亮度随缝数N的增多而增强，且 变得越来越细，条纹明暗对比 度高 （3） 单缝衍射的中央明纹区内 的各主极大很亮，而两侧明纹的 亮度急剧减弱，其光强分布曲线 的包络线具有单缝衍射光强分布 的特点。
光栅衍射的缺级
若干涉因子的某级主极大值刚好与衍射因子的某级极小 值重合，这些级次对应的主极大就消失了——缺级。 缺极时衍射角同时满足： 单缝衍射极小条件
a sin n
n 1,2,
缝间光束干涉极大条件 缺级的条件为：
d sin m m 0,1,2,
d m n a
d sin m
1 / d 9700 条/厘米
m 4 d 1.03 10 cm sin
2 sin 2 1.23 1 d
故第二级明纹不出现在屏幕上。
（2）若使用此光栅对某单色光做同样衍射实验，发现第一级 明纹出现在 27°方向，问这单色光的波长是多少？对该单色 光，最多可看到第几级明纹？
[解]：
5 d sin 1 4.6610 cm 4660A m
k max
d sin 2 2.2
可观察到的最高级次为二级明纹。
例题 波长为6000Å的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明 纹出现在sin2=0.2处，第4级为第一个缺级。求(1)光栅上相 邻两缝的距离是多少？(2)狭缝可能的最小宽度是多少？(2) 狭缝可能的最小宽度是多少？(3)按上述选定的a值，实际上 能观察到的全部明纹数是多少？ 解: （1）
边上的极小值重合，根据瑞利判据，这两条谱线刚好可以
分辨，这时的波长差就是光栅所能分辨的最小波长差。 光栅的色分辨本领定义为
A
谱线的半角宽度为
干涉与衍射的区别和联系
干涉：参与相干叠加的各光束是按几何光学直接传播的。 衍射：参与相干叠加的各光束的传播不符合几何光学模 型，每一光束存在明显的衍射。 a 很小，d/a较大时，单缝衍射的调制作用不明显，干涉 效应为主。 当a不很小时， 单缝衍射的调制作用明显，干涉条纹 不是等强度分布，此时就可观察到衍射现象。
N 4 , d 3a
单缝衍射光强曲线
I0 单
I单
对入射光的振幅进 行空间周期性调制
1 0 sin2N/sin2 2
-2
-1

多光束干涉光强曲线
N2
-8 光栅衍射 光强曲线
-4
I N2 I 0单
0
4
8
2
单缝衍射 轮廓线
-8
-4
0
4
8
在相邻两个零值之间
缝数 N = 4 时 光栅衍射的光强 分布图
衍射光栅的应用： 精确地测量光的波长；是重要的光学元件，广泛应 用于物理，化学，天文，地质等基础学科和近代生
产技术的许多部门。
衍射光栅的分类： 1、对光波的调制分式：振幅型和相位型 2、工作方式：透射型和反射型 3、光栅工作表面的形状：平面光栅和凹面光栅 4、对入射波调制的空间：二维平面光栅和三维体积光栅 5、光栅制作方式：机刻光栅、复制光栅、全息光栅
可知：第一级明纹m=1
500109 sin 1 0.25 6 d 2 10

1＝ 140 28
第三Leabharlann Baidu明纹m=3
3 3 500109 sin 3 0.75 6 d 2 10
3＝48035
2)理论上能看到的最高级谱线的极限，对应衍射角θ=π/2，
第五节 多缝的夫琅和费衍射
能对入射光的振幅进行空间周期性调制，这种衍射屏也称 作黑白光栅，是一种振幅型光栅，d称为光栅常数。 多缝的方向与线光源平行。
一、强度分布公式
多缝夫琅和费衍射图样的复振幅分布是所有单缝夫琅和费 衍射复振幅分布的叠加。 设最边缘一个单缝的夫琅和费衍射图样在观察点P点的 复振幅为 ~
m1 3 6 1 2， m2 2 4
3
两谱线重合
第二次重合 m1=6 , m2=4
d sin 60 61 d 3.05 10 mm
0
第六节
对于单缝：
衍射光栅
若缝宽大，条纹亮，但条纹间距小，不易分辨 若缝宽小，条纹间距大，但条纹暗，也不易分辨 因而利用单缝衍射不能精确地进行测量。 能否得到亮度大，分得开，宽度窄的明条纹？ 利用衍射光栅所形成的衍射图样——光栅光谱 由一组相互平行，等宽、等间隔的狭缝构成的光学器件 称为光栅。

多光束干涉因子
N sin 2 )2 ( sin

2
多缝衍射是衍射和干涉两种效应共同作用的结果。
二、多缝衍射图样
多缝衍射图样中的亮纹和暗纹位置可通过分析多光束干涉因 子和单缝衍射因子的极大值和极小值条件得到。 从多光束干涉因子可知
N sin 2 )2 ( sin

当

即
2
2

d sin 2m
P点的光强为
N sin sin 2 2 )2 I ( P) I 0 ( ) ( sin 2
I 0 A 是单缝在P0点产生的光强。
2
N sin sin 2 2 )2 I ( P) I 0 ( ) ( sin 2
单缝衍射因子 ( sin ) 2
I0
单缝中央主极大光强
m 就是所缺的级次
缺
单缝衍射 第一级极 小值位置 光栅衍射 第三级极 大值位置
级
缺级：k
= 3,6,9,... 缺级
k=-6
k=-4 k=-2 k=0 k=2 k=4 k=6 k=-1 k=3 k=-5 k=1 k=5 k=-3
缺级 由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再 出现亮纹
例：用波长为500nm的单色光垂直照射到每毫米有500条刻痕的光 栅上，求： 1)第一级和第三级明纹的衍射角； 2)若缝宽与缝间 距相等，由用此光栅最能看到几条明纹。 解：1)光栅常量 d 1103 / 500 2 106 m 由光栅方程 d sin m
透射光栅：透射光栅是在光学平玻璃上刻划出一道道等间 距的刻痕，刻痕处不透光，未刻处是透光的狭缝。
反射光栅：反射光栅是在金属反射镜上刻划一道道刻痕， 刻痕上发生漫反射，未刻处在反射光方向发生衍射，相当 于一组衍射条纹。
光栅衍射的实验装置与衍射图样
屏幕上对应于光直线传播的成像位置上出现中央明纹 在中央明纹两侧出现一系列明暗相间的条纹，两明条纹 分得很开，明条纹的亮度随着与中央的距离增大而减弱 明条纹的宽度随狭缝的增多而变细