八皇后问题

八皇后问题八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。

该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

高斯认为有76种方案。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

对于八皇后问题的实现，如果结合动态的图形演示，则可以使算法的描述更形象、更生动，使教学能产生良好的效果。

下面是用Turbo C实现的八皇后问题的图形程序，能够演示全部的92组解。

八皇后问题动态图形的实现，主要应解决以下两个问题。

（1）回溯算法的实现（a）为解决这个问题，我们把棋盘的横坐标定为i，纵坐标定为j,i和j的取值范围是从１到８。

当某个皇后占了位置(i,j)时，在这个位置的垂直方向、水平方向和斜线方向都不能再放其它皇后了。

用语句实现，可定义如下三个整型数组：a[8],b[15],c[24]。

其中：a[j-1]=1 第j列上无皇后a[j-1]=0 第j列上有皇后b[i+j-2]=1 (i,j)的对角线（左上至右下）无皇后b[i+j-2]=0 (i,j)的对角线（左上至右下）有皇后c[i-j+7]=1 (i,j)的对角线（右上至左下）无皇后c[i-j+7]=0 (i,j)的对角线（右上至左下）有皇后（b）为第i个皇后选择位置的算法如下：for(j=1;j<=8;j++) /*第i个皇后在第j行*/if ((i,j)位置为空)）/*即相应的三个数组的对应元素值为1*/{占用位置（i,j）/*置相应的三个数组对应的元素值为0*/if i<8为i+1个皇后选择合适的位置；else 输出一个解}(2)图形存取在Turbo C语言中，图形的存取可用如下标准函数实现：size=imagesize(x1,y1,x2,y2) ;返回存储区域所需字节数。

arrow=malloc(size);建立指定大小的动态区域位图，并设定一指针arrow。

getimage(x1,y1,x2,y2,arrow);将指定区域位图存于一缓冲区。

putimage(x,y,arrow,copy)将位图置于屏幕上以（x，y）左上角的区域。

(3)程序清单如下#include <graphics.h>#include <stdlib.h>#include <stdio.h>#include <dos.h>char n[3]={'0','0'};/*用于记录第几组解*/int a[8],b[15],c[24],i;int h[8]={127,177,227,277,327,377,427,477};/*每个皇后的行坐标*/int l[8]={252,217,182,147,112,77,42,7}; /*每个皇后的列坐标*/void *arrow;void try(int i){int j;for (j=1;j<=8;j++)if (a[j-1]+b[i+j-2]+c[i-j+7]==3) /*如果第i列第j行为空*/{a[j-1]=0;b[i+j-2]=0;c[i-j+7]=0;/*占用第i列第j行*/putimage(h[i-1],l[j-1],arrow,COPY_PUT);/*显示皇后图形*/delay(500);/*延时*/if(i<8) try(i+1);else /*输出一组解*/{n[1]++;if (n[1]>'9') {n[0]++;n[1]='0';}bar(260,300,390,340);/*显示第n组解*/outtextxy(275,300,n);delay(3000);}a[j-1]=1;b[i+j-2]=1;c[i-j+7]=1;putimage(h[i-1],l[j-1],arrow,XOR_PUT);/*消去皇后，继续寻找下一组解*/ delay(500);}}int main(void){int gdrive=DETECT,gmode,errorcode;unsigned int size;initgraph(&gdrive,&gmode,"");errorcode=graphresult();if (errorcode!=grOk){printf("Graphics error\n");exit(1);}rectangle(50,5,100,40);rectangle(60,25,90,33);/* 画皇冠*/line(60,28,90,28);line(60,25,55,15);line(55,15,68,25);line(68,25,68,10);line(68,10,75,25);line(75,25,82,10);line(82,10,82,25);line(82,25,95,15);line(95,15,90,25);size=imagesize(52,7,98,38); arrow=malloc(size);getimage(52,7,98,38,arrow); /* 把皇冠保存到缓冲区*/clearviewport();settextstyle(TRIPLEX_FONT, HORIZ_DIR, 4);setusercharsize(3, 1, 1, 1);setfillstyle(1,4);for (i=0;i<=7;i++) a=1;for (i=0;i<=14;i++) b=1;for (i=0;i<=23;i++) c=1;for (i=0;i<=8;i++) line(125,i*35+5,525,i*35+5); /* 画棋盘*/for (i=0;i<=8;i++) line(125+i*50,5,125+i*50,285);try(1); /* 调用递归函数*/delay(3000);closegraph();free(arrow);}二、循环实现Java/** ８皇后问题：** 问题描述：* 在一个８×８的棋盘里放置８个皇后，要求每个皇后两两之间不相冲突*（在每一横列，竖列，斜列只有一个皇后）。

** 数据表示：* 用一个8 位的8 进制数表示棋盘上皇后的位置：* 比如：45615353 表示：* 第0列皇后在第4个位置* 第1列皇后在第5个位置* 第2列皇后在第6个位置* 。

* 第7列皇后在第3个位置** 循环变量从00000000 加到77777777 （8进制数）的过程，就遍历了皇后所有的情况* 程序中用八进制数用一个一维数组data[] 表示** 检测冲突：* 横列冲突：data == data[j]* 斜列冲突：(data+i) == (data[j]+j) 或者(data-i) == (data[j]-j)** 好处：* 采用循环，而不是递规，系统资源占有少* 可计算n 皇后问题* 把问题线性化处理，可以把问题分块，在分布式环境下用多台计算机一起算。

** ToDo：* 枚举部分还可以进行优化，多加些判断条件速度可以更快。

* 输出部分可以修改成棋盘形式的输出** @author cinc 2002-09-11**/public class Queen {int size;int resultCount;public void compute ( int size ) {this.size = size;resultCount = 0;int data[] = new int[size];int count; // 所有可能的情况个数int i,j;// 计算所有可能的情况的个数count = 1;for ( i=0 ; i<size ; i++ ) {count = count * size;}// 对每一个可能的情况for ( i=0 ; i<count ; i++ ) {// 计算这种情况下的棋盘上皇后的摆放位置，用8 进制数表示// 此处可优化int temp = i;for ( j=0 ; j<size ; j++ ) {data [j] = temp % size;temp = temp / size;}// 测试这种情况是否可行，如果可以，输出if ( test(data) )output( data );}}/** 测试这种情况皇后的排列是否可行**/public boolean test( int[] data ) {int i,j;for ( i=0 ; i<size ; i++ ) {for ( j=i+1 ; j<size ; j++ ) {// 测试是否在同一排if ( data == data[j] )return false;// 测试是否在一斜线if ( (data+i) == (data[j]+j) )return false;// 测试是否在一反斜线if ( (data-i) == (data[j]-j) )return false;}}return true;}/** 输出某种情况下皇后的坐标**/public void output ( int[] data ) {int i;System.out.print ( ++resultCount + ": " );for ( i=0 ; i<size ; i++ ) {System.out.print ( "(" + i + "," + data + ") " ); }System.out.println ();}public static void main(String args[]) { (new Queen()).compute( 8 );}}三、八皇后问题的Qbasic版的解决方案10 I = 120 A(I) = 130 G = 140 FOR K = I - 1 TO 1 STEP -150 IF A(I) = A(K) THEN 7060 IF ABS(A(I) - A(K)) <> I - K THEN 9070 G = 080 GOTO 10090 NEXT K100 IF I <> 8 THEN 180110 IF G = 0 THEN 180120 FOR L = 1 TO 8130 PRINT USING “##”; A(L);140 NEXT L150 PRINT “*”;160 M = M + 1170 IF M MOD 3 = 0 THEN PRINT180 IF G = 0 THEN 230190 IF I = 8 THEN 230200 I = I + 1210 A(I) = 1220 GOTO 30230 IF A(I) < 8 THEN 270240 I = I - 1250 IF I = 0 THEN 290260 GOTO 230270 A(I) = A(I) + 1280 GOTO 30290 PRINT300 PRINT “SUM=”; USING “##”; M;310 PRINT320 END四、八皇后问题的高效解法-递归版//8 Queen 递归算法//如果有一个Q 为chess=j;//则不安全的地方是k行j位置,j+k-i位置,j-k+i位置class Queen8{static final int QueenMax = 8;static int oktimes = 0;static int chess[] = new int[QueenMax];//每一个Queen的放置位置public static void main(String args[]){for (int i=0;i<QueenMax;i++)chess=-1;placequeen(0);System.out.println("\n\n\n八皇后共有"+oktimes+"个解法made by yifi 2003"); }public static void placequeen(int num){ //num 为现在要放置的行数int i=0;boolean qsave[] = new boolean[QueenMax];for(;i<QueenMax;i++) qsave=true;//下面先把安全位数组完成i=0;//i 是现在要检查的数组值while (i<num){qsave[chess]=false;int k=num-i;if ( (chess+k >= 0) && (chess+k < QueenMax) ) qsave[chess+k]=false;if ( (chess-k >= 0) && (chess-k < QueenMax) ) qsave[chess-k]=false;i++;}//下面历遍安全位for(i=0;i<QueenMax;i++){if (qsave==false)continue;if (num<QueenMax-1){chess[num]=i;placequeen(num+1);}else{ //num is last onechess[num]=i;oktimes++;System.out.println("这是第"+oktimes+"个解法如下:");System.out.println("第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8");for (i=0;i<QueenMax;i++){String row="第"+(i+1)+"行: ";if (chess==0);elsefor(int j=0;j<chess;j++) row+="--";row+="++";int j = chess;while(j<QueenMax-1){row+="--";j++;}System.out.println(row);}}}//历遍完成就停止}}[编辑本段]五、java实现//8 Queen 递归算法//如果有一个Q 为chess=j;//则不安全的地方是k行j位置,j+k-i位置,j-k+i位置class Queen8{static final int QueenMax = 8;static int oktimes = 0;static int chess[] = new int[QueenMax];//每一个Queen的放置位置public static void main(String args[]){for (int i=0;i<QueenMax;i++)chess=-1;placequeen(0);System.out.println("\n\n\n八皇后共有"+oktimes+"个解法made by yifi 2003");}public static void placequeen(int num){ //num 为现在要放置的行数int i=0;boolean qsave[] = new boolean[QueenMax];for(;i<QueenMax;i++) qsave=true;//下面先把安全位数组完成i=0;//i 是现在要检查的数组值while (i<num){qsave[chess]=false;int k=num-i;if ( (chess+k >= 0) && (chess+k < QueenMax) ) qsave[chess+k]=false;if ( (chess-k >= 0) && (chess-k < QueenMax) ) qsave[chess-k]=false;i++;}//下面历遍安全位for(i=0;i<QueenMax;i++){if (qsave==false)continue;if (num<QueenMax-1){chess[num]=i;placequeen(num+1);}else{ //num is last onechess[num]=i;oktimes++;System.out.println("这是第"+oktimes+"个解法如下:");System.out.println("第n行: 1 2 3 4 5 6 7 8");for (i=0;i<QueenMax;i++){String row="第"+(i+1)+"行: ";if (chess==0);elsefor(int j=0;j<chess;j++) row+="--";row+="++";int j = chess;while(j<QueenMax-1){row+="--";j++;}System.out.println(row);}}}//历遍完成就停止}}[编辑本段]六、c＃实现采用的思路大致是这样：将一个皇后向下移动一个位置；如果没有成功移动（超出边界），失败；如果成功移动，则判断当前位置是否可用？如果不可用，则重做1；继续给下一个皇后安排位置。