北京第一零一中学数学平面图形的认识(一)综合测试卷(word含答案)
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.已知,,点E是直线AC上一个动点(不与A,C重合),点F是BC边上一个定点,过点E作,交直线AB于点D,连接BE,过点F作,交直线AC于点G.
(1)如图①,当点E在线段AC上时,求证:.
(2)在(1)的条件下,判断这三个角的度数和是否为一个定值?如果是,求出这个值,如果不是,说明理由.
(3)如图②,当点E在线段AC的延长线上时,(2)中的结论是否仍然成立?如果不成立,请直接写出之间的关系.
(4)当点E在线段CA的延长线上时,(2)中的结论是否仍然成立?如果不成立,请直接写出之间的关系.
【答案】(1)解:∵
∴
∵
∴
∴
(2)解:这三个角的度数和为一个定值,是过点G作交BE于点H
∴
∵
∴
∴
∴
即
(3)解:过点G作交BE于点H
∴
∵
∴
∴
∴
即
故的关系仍成立
(4)不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°
【解析】【解答】解:(4)过点G作交BE于点H
∴∠DEC=∠EGH
∵
∴
∴∠HGF+∠BFG=180°
∵∠HGF=∠EGF-∠EGH
∴∠HGF=∠EGF-∠DEC
∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°
∴(2)中的关系不成立,∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为:∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为:不成立,∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°
【分析】(1)根据两条直线平行,内错角相等,得出;两条直线平行,同位角相等,得出,即可证明.(2)过点G作交BE于点H,根据平行线性质定理,,
,即可得到答案.(3)过点G作交BE于点H,得到
,因为,所以,得到,
即可求解.(4)过点G作交BE于点H,得∠DEC=∠EGH,因为,所以,推得∠HGF+∠BFG=180°,即可求解.
2.
(1)问题发现:如图 1,已知点 F,G 分别在直线 AB,CD 上,且 AB∥CD,若∠BFE=40°,∠CGE=130°,则∠GEF 的度数为________;
(2)拓展探究:∠GEF,∠BFE,∠CGE 之间有怎样的数量关系?写出结论并给出证明;答:∠GEF=▲ .
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(▲),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(▲),
∴∠HEG=180°-∠CGE(▲),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .
(3)深入探究:如图 2,∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P,试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系,请直接写出你的结论.
【答案】(1)90°
(2)解:∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE,
证明:过点 E 作 EH∥AB,
∴∠FEH=∠BFE(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD,EH∥AB,(辅助线的作法)
∴EH∥CD(平行线的迁移性),
∴∠HEG=180°-∠CGE(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE+180°−∠CGE ,
故答案为:∠BFE+180°−∠CGE;两直线平行,内错角相等;平行线的迁移性;两直线平行,同旁内角互补;∠BFE+180°−∠CGE;
(3)解:∠GPQ+∠GEF=90°,
理由是:如图2,∵FQ平分∠BFE,GP平分∠CGE,
∴∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,
在△PMF中,∠GPQ=∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,
∴∠GPQ+∠GEF=∠CGE− ∠BFE+∠GEF= ×180°=90°.
即∠GPQ+∠GEF=90°.
【解析】【解答】(1)解:如图1,过E作EH∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥CD∥EH,
∴∠HEF=∠BFE=40°,∠HEG+∠CGE=180°,
∵∠CGE=130°,
∴∠HEG=50°,
∴∠GEF=∠HEF+∠HEG=40°+50°=90°;
故答案为:90°;
【分析】(1)如图1,过E作EH∥AB,根据平行线的性质可得∠HEF=∠BFE=40 ,∠HEG=50 ,相加可得结论;(2)由①知:∠HEF=∠BFE,∠HEG+∠CGE=180°,则∠HEG=180°−∠CGE,两式相加可得∠GEF=∠BFE+180°−∠CGE;(3)如图2,根据角平
分线的定义得:∠BFQ=∠BFE,∠CGP=∠CGE,由三角形的外角的性质得:∠GPQ=
∠GMF−∠PFM=∠CGP−∠BFQ,计算∠GPQ+∠GEF并结合②的结论可得结果.
3.在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD。
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明;
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明。
【答案】(1)解:猜想:AB=AC+CD.
证明:如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为∠BAC的角平分线时,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∴EB=CD,
∴AB=AE+DE=AC+CD.