北京第一零一中学数学平面图形的认识(一)综合测试卷(word含答案)
北京师范大学附属中学数学平面图形的认识(一)单元综合测试(Word版 含答案)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．在数轴上、两点分别表示有理数和，我们用表示到之间的距离；例如表示7到3之间的距离.（1）当时，的值为________.（2）如何理解表示的含义？（3）若点、在0到3（含0和3）之间运动，求的最小值和最大值.【答案】（1）5或-3（2）解：∵ = ，∴表示到-2的距离（3）解：∵点、在0到3（含0和3）之间运动，∴0≤a≤3, 0≤b≤3,当时， =0+2=2，此时值最小，故最小值为2；当时， =2+5=7，此时值最大，故最大值为7【解析】【解答】（1）∵，∴a=5或-3；故答案为：5或-3；【分析】（1）此题就是求表示数a的点与表示数1的点之间的距离是4，根据表示数a的点在表示数1的点的右边与左边两种情况考虑即可得出答案；（2）此题就是求表示数b的点与表示数-2的点之间的距离;（3）此题就是求表示数a的点与表示数2的点之间的距离及表示数b的点与表示数-2的点之间的距离和，而0≤a≤3, 0≤b≤3, 借助数轴当时，的值最小；当时，的值最大.2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．（1）求点D的坐标；（2）如图（1），求△ACD的面积；（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．【答案】（1）解：∵B（3，0），∴OB＝3，∵BC＝8，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），∵AB∥CD，AB＝CD，∴D（﹣2，﹣4）（2）解：如图（1），连接OD，∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16（3）解：∠M＝45°，理由是：如图（2），连接AC，∵AB∥CD，∴∠DCB＝∠ABO，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB+∠DCB＝90°，∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，∴∠MCB＝，∠OAM＝，∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．【解析】【分析】（1）利用B的坐标，可得OB=3，从而求出OC=5，利用平移的性质了求出点D的坐标.（2）如图（1），连接OD，由S△ACD=S△ACO+S△DCO+S△AOD，利用三角形的面积公式计算即得.（3）连接AC，利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得∠OAB+∠DCB＝90°，利用角平分线的定义可得∠MCB+∠OAM＝＝45°，根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠M的度数.3．如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE=25°，∠ACB=？；若∠ACB=150°，则∠DCE=？；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．【答案】（1）【解答】∵∠ECB=90°，∠DCE=25°∴∠DCB=90°﹣25°=65°∵∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=155°．∵∠ACB=150°，∠ACD=90°∴∠DCB=150°﹣90°=60°∵∠ECB=90°∴∠DCE=90°﹣60°=30°．故答案为：155°，30°（2）【解答】猜想得：∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE=180°（3）【解答】∠DAB+∠CAE=120°理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．【解析】【分析】（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE的度数；（2）根据前个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前问的解决思路得出证明．（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．4．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.（1）求出点B的坐标；（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）解：由得：,解得：∴点的坐标为（2）解：不变化∵轴∴BC∥x轴∴∵平分∴∴∴（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15若点P在OC边上，可设P点坐标为，则三角形BCP的面积为，剩余部分面积为，所以，解得，P点坐标为；若点P在OA边上，可设P点坐标为，则三角形BAP的面积为，剩余部分面积为，所以，解得，P点坐标为 .综上,点的坐标为， .【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.5．已知，与两角的角平分线交于点P，D是射线上一个动点，过点D的直线分别交射线，，于点E，F，C.（1）如图1，若，，，求的度数；（2）如图2，若，请探索与的数量关系，并证明你的结论；（3）在点运动的过程中，请直接写出，与这三个角之间满足的数量关系：________.【答案】（1）解：∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，∴∠BAP=∠PAE= ∠BAM= ，∠ABP=∠PBE= ∠ABN= ，∴∠BPC=∠BAP+∠ABP= ；（2）解：，理由如下：∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，∴设，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）【解析】【解答】解：（3）∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，∴设，，∵，∴，如图，当点P在线段BD上时，，∴；如图，当点P在线段BD的延长线上时，，即，∴，即；故答案为：.【分析】（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解；（2）设，，根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解；（3）分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.6．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。
北京长安中学数学平面图形的认识(一)单元综合测试(Word版 含答案)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;（1）若∠E=60°，则∠F=________;（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;【答案】（1）90°（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB∴EM∥AB∥FN∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN又∵AB∥CD，AB∥FN∴CD∥FN∴∠D+∠DFN=180°又∵∠D =120°∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°∴∠EFD=∠MEF +60°∴∠EFD=∠BEF+30°（3）解：如图，过点F作FH∥EP由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°∵FH∥EP∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.2．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．【答案】（1），理由如下：CE 平分，AE 平分，；（2），理由如下：如图，延长AE交CD于点F，则由三角形的外角性质得：；（3），理由如下：，即由三角形的外角性质得：又，即即．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．3．综合题（1）ⅰ问题引入如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）；ⅱ拓展研究如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，试求∠BOC的度数________（用α表示）.ⅲ归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝________（用α表示）.（2）类比探索ⅰ特例思考如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，求∠BOC的度数________（用α表示）.ⅱ一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝________（用α表示）.【答案】（1）90°＋∠α；120°＋∠α；（2）120°－∠α； .【解析】【解答】（1）ⅰ90°＋∠α；ⅱ如图②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－（180°－∠α）＝180°－60°＋∠α＝120°＋∠α；ⅲ；（ 2 ）ⅰ如图③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB）＝180°－ [360°－（∠ABC＋∠ACB）]＝180°－ [360°－（180°－∠A）]＝180°－（180°＋∠α）＝180°－60°－∠α＝120°－∠α.；ⅱ .【分析】（1）ⅰ根据角平分线的定义，可得出∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅱ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果；ⅲ根据∠CBO=∠ABC，∠OCB=∠ACB，可得出∠CBO+∠OCB=（180°-∠A），再在△COB中，利用三角形内角和定理得出∠BOC=180°-（∠CBO+∠OCB），即可得出结果。
2023-2024学年北京一零一中学高三上学期统考一数学试卷含详解
北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5a B.7a C.9a D.10a 4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.127.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b > B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若2m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：243lg6lg(4)5--=___________.12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.17.已知ABC 的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞【答案】D【分析】解指数不等式求出{}0B x x =<，从而求出并集.【详解】因为0313x <=，解得0x <，故{}0B x x =<，故{}{}{}0111A B x x x x x x ⋃=<⋃-≤≤=≤.故选：D2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】2332ii i+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为()3,2-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5aB.7a C.9a D.10a 【答案】D【分析】设出公比，利用等比数列的性质进行求解.【详解】设公比为q ，则1a q =，由等比数列的性质可知3719910a a a a a q a ===.故选：D4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()22()()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上不是单调递减，不符合题意；故A 错误；对于B ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()2211()()f f x x x x -==-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故B 正确；对于C ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()e e ()x xf x f x --===，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增；不符合题意；故C 错误；对于D ，()|ln |f x x =的定义域为(0,)+∞，不是偶函数，不符合题意；故D 错误；故选：B.5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【分析】当=1x -时，排除A ；当1=x e 时，排除D,从而可得结果.【详解】当=1x -时，函数2ln 1xy x x=+=，所以选项A B 不正确；当1=x e 时，函数22ln 10x y x e x e ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，所以选项D 不正确，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.12【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a=，所以||2a =，2a b +====故选：B7.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b >B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义和不等式的性质判断即可.【详解】因为由a b >推不出22a b >，由22a b >也推不出a b >，故A 不满足题意因为33a b a b >⇔>，22a b a b >⇔>，所以B 、C 不满足题意因为由22ac bc >可以推出a b >，由a b >推不出22ac bc >所以22ac bc >是a b >的充分不必要条件故选：D8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能【答案】C【分析】由已知结合诱导公式及三角函数的单调性，可得A+B 的范围，进而可以得解.【详解】∵sin A ＜cos B ，∴sin A ＜sin 2B π⎛⎫-⎪⎝⎭∵0＜A ＜2π，2π-<2B π-<2π∴0＜A ＜2Bπ-∴0＜A+B ＜2π∴C ＞2π∴△ABC 为钝角三角形故选C ．9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据题意求出y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合正弦函数的单调性求解函数在[0,12]上的增区间.【详解】因为P 在单位圆上的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点，所以1A =，π2,4ωϕ==-，所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ2π22π,Z 242k t k k -+≤-≤+∈，得π3πππ,Z 88k t k k -+≤≤+∈，因为012t ≤≤，所以3π08t ≤≤，7π11π88t ≤≤，15π19π88t ≤≤，23π27π88t ≤≤.所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，15π19π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23π27π88,⎡⎤⎢⎣⎦.故选：B10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列【答案】D【分析】A.若34a =，根据11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别对21,a a 讨论求解即可；B.若m =11,11,01n n n n n a a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别求得234,,,...a a a 即可判断；C.利用数列周期的定义运算可得；D.用反证法判断.【详解】A.若34a =，因为11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，当21a >时，2314a a -==，解得25a =，当11a >时，1215a a -==，解得16a =，当101a <<时，2115a a ==，解得115a =，当201a <<时，3214a a ==，解得214a =，当11a >时，12114a a -==，解得154a =，当101a <<时，21114a a ==，解得14a =，不合题意，故m 可以取3个不同的值，故正确；B.若m =213432111,1,1a a a a a a =-=-==+=-=，所以3n n a a +=，则数列{}n a 是周期为3的数列，故正确；C.N T *∀∈且2T ≥，若存在1m >，数列{}n a 周期为T ，不妨设1T m T -<<，则1a m =，21a m =-…()121,2T m T a -=-+∈，()10,1T m T a =-+∈，则1111T T a m T a +==-+，又11T m a a +==，所以11m m T =-+，即()2110m T m ---=，因为0m >，故解得m =，1112T T T -+->=-，112T T T -++<=，故N T *∀∈且2T≥，存在m =，使得数列{}na 周期为T ，故正确；D.假设存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列，当2m =时，2132111,1...(2)n a a a a n a =-=====≥，此时，数列{}n a 不是周期数列，当m>2时，当01m k <-≤时，11k a a k m k +=-=-，21111k k a a m k++==>-，若2k i a a +=，11i k ≤≤+，则()11m i m k=---，即2(1)10m m k i ki k -+-+--=，而()2(1)41k i ki k ∆=+----不为平方数，因此假设不正确，故数列{}n a 不是周期数列，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查数列的周期性，还考查了分类讨论的思想和逻辑推理的能力，属于难题.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：3lg6lg 5-=___________.【答案】1-【分析】根据对数运算法则以及指数幂的运算化简即可求得结果.【详解】()114443lg6lg lg 6lg101612121535--=⨯-=-=-=-⎛⎫⎪⎝⎭=- .故答案为：1-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.【详解】由于()f x 在(],0-∞上是减函数，且()f x 为偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上是增函数，若()()12f a f a ->-，则12a a ->-，平方可得222144a a a a -+>-+，解得32a >，故答案为：3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.【答案】①.4②.π3-【分析】由三角函数图象性质可知5ππ11262T -=，可求得4ω=，再利用图象的对称性可计算出ϕ的取值.【详解】由图利用对称性可知，5ππ112ππ12622T ωω-==⨯=，解得4ω=；又0π,6y ⎛⎫ ⎪⎝⎭和0π,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，所以πsin 03ωϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭；即4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，解得4ππ,Z 3k k ϕ=-∈；又π2ϕ<，所以1k =，π3ϕ=-符合题意.故答案为：4，π3-14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.【答案】2-【分析】将CP分解计算，利用向量数量积的运算即可得解.【详解】()CP AB CA AP AB ⋅=+⋅ CA AB AP AB =⋅+⋅4AP AB =-+⋅ cos 4AP AB BAP =⋅⋅∠-12cos 4BAP =⨯⨯∠-242≤-=-.故答案为：2-.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0=t 时，()()()22e xy f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y可得x <<，由0y >'可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0xy x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0x h x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=--<，所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对；对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'< ，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④，令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.【答案】（1）21,(N )n a n n *=-∈;（2）15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；（2）由等比中项的性质即可求解.【小问1详解】因为2512a a +=，所以3412a a +=，而3435a a =，所以3457a a =⎧⎨=⎩或3475a a =⎧⎨=⎩，又因为公差大于0，所以3457a a =⎧⎨=⎩，得2d =，所以3(3)21n a a n d n =+-=-.即21,(N )n a n n *=-∈【小问2详解】21((121)22)n n n a a n n S n ++-===，所以2m S m =，23a =，若m S ，2a ，i a 成等比数列，则有22m i S a a =⨯，即29i m a ⨯=，又因为,*m i ∈N ，且*i a ∈N ，所以219i m a ⎧=⎨=⎩或291i m a ⎧=⎨=⎩，解得15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.17.已知ABC的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.【答案】（1）若选①：2b =，c =8b =，c =；（2）若选①：429；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【小问1详解】若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C =，∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，∴c =；若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，42sin 9B ==，∵21142sin 229S ac B c ==⨯=，∴a c ==，由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；【小问2详解】若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，可得62sin sin A B =，∴sin 3A =，6sin 9B =，∵,(0,2A B π∈，∴3cos 3A =，cosB =，∴sin()sin cos cos sin 39399A B A B A B -=-=⨯⨯.若选择条件②：由正弦定理得sin sin a bA B=，∴1sin sin 3a A Bb ==，∵(0,2A π∈，∴cos 3A ==，∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯---．18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）最大值为3，最小值为0（2）答案见解析.【分析】(1)对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值；(2)对函数求导，求出导函数的零点为12,3ax x a ==，对两根的大小进行分类讨论，根据导函数的值的符号，得到函数的单调区间.【小问1详解】解：（1）当2a =时，32()44f x x x x =-+，2()384f x x x '=-+()(32)(2)f x x x '=--，令()0f x '=得，23x =或2x =.当x 在区间[1,3]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表x(1，2)2(2，3)()f x '-+()f x 单调递减0单调递增因为(1)1,(3)3f f ==，所以()f x 在区间[1,3]上的最大值为3，最小值为0.【小问2详解】（2）22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=得，3ax =或x a =，当0a =时，2()30f x x '=≥，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当0a >时，3aa <，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)3a -∞3a (,)3a a a (,)a +∞()f x '+-+()f x 单调递增3427a 单调递减0单调递增所以()f x 的单调递增区间为(,3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，3aa >，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)a -∞a (,)3a a )3a (,)3a+∞()f x '+-+()f x 单调递增0单调递减3427a 单调递增所以()f x 的单调递增区间为(-∞，a )，(3a ，+∞)；()f x 的单调递减区间为(a ，3a ).综上所述：当0a =时，所以()f x 的()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间.当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(,)3a +∞；()f x 的单调递减区间为(,3a a .19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π.【分析】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出3sin 2,132π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，Z k ∈.所以42233ππkπx kπ+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 22x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin x x x=+cos2)sin 2x x=-+2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤.解得：55126m ππ≤≤.所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(1)y a x =+（2）1a =-（3）(,1)-∞-【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =，∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-，设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x =附近是正值，因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=，所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】()e cos x f x a x '=+，(0)0f =，当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意，当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意，1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意，综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2M n a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m M n m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
北京大学附属中学数学平面图形的认识(一)单元测试题(Word版 含解析)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°，∠D=120°;（1）若∠E=60°，则∠F=________;（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.（3）如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;【答案】（1）90°（2）解：如图，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB∴EM∥AB∥FN∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN又∵AB∥CD，AB∥FN∴CD∥FN∴∠D+∠DFN=180°又∵∠D =120°∴∠DFN=60°∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°∴∠EFD=∠MEF +60°∴∠EFD=∠BEF+30°（3）解：如图，过点F作FH∥EP由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°设∠BEF=2x°，则∠EFD=（2x+30）°∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD∴∠PEF= ∠BEF=x°，∠EFG= ∠EFD=（x+15）°∵FH∥EP∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG ∵∠HFG=∠EFG-∠EFH=15°∴∠P=15°【解析】【解答】解：（1）分别过点E、F作EM∥AB，FN∥AB，则有AB∥EM∥FN∥CD.∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠DFN=180°-∠CDF=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°=90°.【分析】（1）分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线的性质即可求解；（2）根据平行线的性质可得∠DFN=60°，∠BEM=30°，∠MEF=∠NFE，即可得到结论；（3）过点F作FH∥EP，设∠BEF=2x°，根据（2）中结论即可表示出∠BFD，根据角平分线的定义可得∠PEF=x°，∠EFG=（x+15）°，再根据平行线的性质即可得到结论.2．如图，已知：点不在同一条直线， .（1）求证： .（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；（3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点，，请直接写出 ________.【答案】（1）证明：过点C作，则，∵∴∴（2）解：过点Q作，则，∵，∴∵分别为的平分线所在直线∴∴∵∴（3）:1:2:2【解析】【解答】解：（3）∵∴∴∵∴∵∴∴∴∴ .故答案为： .【分析】（1）过点C作，则，再利用平行线的性质求解即可；（2）过点Q作，则，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可得出，又因为，因此，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，再求答案即可.3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若，，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，∵CD平分△ABC的外角，∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,或写成【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB 的下方．（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC∴∠BOM=∠BOC=60°又∵∠MON=90°∴∠BON=∠MON−∠BOM=90°−60°=30°（2）解：设的余角为x°，则由题意得：，x=15,3x=45，所以的度数为45°（3）解：（0°< <90°）．．【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。
北京海淀区北京一零一中学2023届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
4．已知 ，则直线ax+by+c=0与圆 的位置关系是
A.相交但不过圆心B.相交且过圆心
C.相切D.相离
5．经过点 的直线 到 ， 两点的距离相等，则直线 的方程为
A. B.
C. 或 D.都不对
6．已知 ， ， ，则 的大小关系为
A B.
C. D.
7．直线 过点 ，且与 轴正半轴围成的三角形的面积等于 的直线方程是（）
A. B.
C. D.
8．已知 ，则 等于（）
A. B.
C. D.
9．已知函数 在 上存在零点，则 的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知 是定义在 上的奇函数，且 ，当 且 时 .已知 ，若 对 恒成立，则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知函数 若方程 恰有三个不同的实数解a，b，c（ ），则 的取值范围是（）.
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．若函数 的三个零点分别是 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
2．直线l的方程为Ax+By+C=0，当 ，时，直线l必经过
A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限
3．函数 的图象与函数 的图象的交点个数为（）
A.0B.1
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
七年级上册北京第一零一中学数学期末试卷综合测试卷(word含答案)
七年级上册北京第一零一中学数学期末试卷综合测试卷（word含答案）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．【答案】（1），理由如下：CE 平分，AE 平分，；（2），理由如下：如图，延长AE交CD于点F，则由三角形的外角性质得：；（3），理由如下：，即由三角形的外角性质得：又，即即．【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．2．如图，两个形状、大小完全相同的含有30。
角的直角三角板如图1放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC和三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）如图1．则∠DPC为多少度?（2）如图2，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转的角度为α，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数；（3）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3。
／秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2。
／秒，在两个三角板旋转过程中，当PC转到与PM重合时，两个三角板都停止转动．设两个三角板旋转时间为t秒，请问是定值吗?若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由。
2024届北京市北京一零一中学中考数学全真模拟试卷含解析
2024届北京市北京一零一中学中考数学全真模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF 的大小为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°2．一次函数21y x =-的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．一元二次方程x 2-2x=0的解是（ ） A ．x 1=0，x 2=2B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=0，x 2=-2D ．x 1=1，x 2=-24．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE= B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 5．如图，已知两个全等的直角三角形纸片的直角边分别为a 、b ()a b ≠，将这两个三角形的一组等边重合，拼合成一个无重叠的几何图形，其中轴对称图形有（ ）A ．3个；B ．4个；C ．5个；D ．6个．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状可能是（ ）A．B．C．D．7．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A．B．C．D．18．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．()12n n+B．()22n n+C．()32n n+D．()42n n+9．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，顶点为P，若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则b2﹣4ac的值为（）A．1 B．4 C．8 D．1210．如图，△ABC的面积为12，AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长可能是（）A．3 B．5 C．6 D．1011．等式33=11x xxx--++成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．12．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____．14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为_____．15．举重比赛的总成绩是选手的挺举与抓举两项成绩之和，若其中一项三次挑战失败，则该项成绩为 0，甲、乙是同一重量级别的举重选手，他们近三年六次重要比赛的成绩如下（单位：公斤）：如果你是教练，要选派一名选手参加国际比赛，那么你会选择_____（填“甲” 或“乙”），理由是___________． 16．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点D 在圆O 上，BD ＝CD ，AB ＝10，AC ＝6，连接OD 交BC 于点E ，DE ＝______．17．分解因式：229ax ay -= ____________．18．有一组数据：3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，则a ＝_____，这组数据的方差是_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．20．（6分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是对角线BD 上的一点，EA ⊥AB ，EC ⊥BC ，且EA=EC ．求证：AD=CD ．21．（6分）有A 、B 两组卡片共1张，A 组的三张分别写有数字2，4，6，B 组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？22．（8分）如图1 所示是一辆直臂高空升降车正在进行外墙装饰作业．图2 是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD 的高度AH 为 2 m．当起重臂AC 长度为8 m，张角∠HAC 为118°时，求操作平台C 离地面的高度．（果保留小数点后一位，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）23．（8分）发现如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……A n中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠A n﹣（n﹣4）×180°．验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．延伸如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……A n中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠A n﹣（n﹣）×180°．24．（10分）如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝42，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F．（1）求证：PC CE CD CB；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）若PE ＝1，求△PBD 的面积．25．（10分）已知抛物线y=a （x+3）（x ﹣1）（a≠0），与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线y=﹣x+b 与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？26．（12分）如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。
七年级上册数学 平面图形的认识(一)综合测试卷(word含答案)
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．【答案】（1）25°（2）解：∠BOC=65°，OC平分∠MOB∠MOB=2∠BOC=130°∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°（3）解：∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°∠MON=90°∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°4∠NOC+∠NOC=25°∠NOC=5°∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°【解析】【解答】解：（1）∠MON=90，∠BOC=65°∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.3．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O,A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动.（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由.【答案】（1）解：不变化.理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°，∴∠APB=180°（∠OAB+∠ABO）=180° ×90°=135°（2）解：都不变.理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°，∴∠Q=45°，∴∠C=45°【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° −（∠OAB+∠ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠CAQ=∠QBP=90°，由∠APB的度数，求出∠Q和∠C的度数.4．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)【答案】（1）解：如图，∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∴∠1=∠3∴AB∥CD（2）解：如图，由(1)得AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，∴∠EPF=90°，即EG⊥PF∵GH⊥EG，∴PF∥GH．（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3∵∠3=2∠6，∴∠EPK=90°+2∠6∵PQ平分∠EPK，∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。
2024-2025学年北京市一零一中高二上学期统练一数学试卷含详解
B.点D到平面 的距离为
C.点D到直线 的距离为
D.平面 与平面 夹角的余弦值为
【答案】C
【分析】根据给定条件,求出图1中点A,B,D,M的坐标,建立空间直角坐标系,求出图2中点A,B,D,M的坐标,再逐项判断作答.
【详解】在图1中,由 ,得 , , , .
在图2中,建立如图所示的空间直角坐标系 .
【答案】C
【分析】首先求向量 的坐标,再判断向量 与坐标平面的法向量的关系,即可判断选项.
【详解】由题意可知, .
平面 的法向量为 .
因为 ,且
所以 与 既不平行也不垂直,所以直线 与坐标平面 既不平行也不垂直.
故AB错误.
坐标平面 的法向量为 .
,所以 ,且 平面 ,故C正确,D错误.
故选：C
2.在三棱柱 中, 为棱 的中点．设 ,用基底 表示向量 ,则 （）
所以 平面 ,所以②正确.
对于③中,由 平面 ,且 平面 ,所以平面 平面 ,所以③正确.
对于④,中,因为 平面 ,且 平面 ,可得平面 平面 .
若平面 平面 ,且平面 平面 ,可得 平面 .
又因为 平面 ,所以 .
因为 与 不垂直,所以矛盾,所以平面 和平面 不垂直,所以D错误.
故选：C.
8.在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了 之后,表面积增加了（）
（1）证明： 平面ABCD.
（2）是否存在实数 ,使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是 ？若存在.求出 的值,若不存在,请说明理由.
北京第一零一中学小升初数学期末试卷综合测试卷(word含答案)
北京第一零一中学小升初数学期末试卷综合测试卷（word含答案）一、选择题1．四时整，钟面上的分针和时针组成了一个（）。
A．锐角B．直角C．钝角D．平角2．沿公园跑一圈是78千米，小李跑了5圈用了13小时。
小李平均1小时跑多少千米？正确的算式是（）。
A．71583⨯÷B．71583⨯⨯C．17538⎛⎫÷⨯⎪⎝⎭D．17538÷⨯3．一个等腰三角形的周长是70cm，其中两条边的长度比3∶1，这个三角形腰的长度是（）cm。
A．14 B．30 C．28 D．14或304．某市出租车计费标准如表所示。
星期天，妈妈从家出发打车去商场，支付了18元，这段路程最长是几千米？设这段路程最长有x千米，下列方程正确的是（）。
3km以内（包括3km）3km以上（不足1km按1km计算）10元2元/kmA．10＋2x＝18 B．2（x－3）＝18 C．10＋2（x－3）＝18 D．10＋（x－3）＝185．观察立体图形，从右面看到的形状是（）A．B．C．6．一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要12天完成。
下面说法有错误的是（）。
A．甲每天可以完成这项工程的110B．两队合作每天可以完成这项工程的11 1012+C．甲的工作效率比乙的工作效率低D．甲乙两队合作一共需要60 11天7．下列选项中，说法正确的是（）。
A．用四个完全一样的三角形拼成的平行四边形的内角和是720︒B．图中圆锥直径是圆柱的3倍，所以圆锥体积和圆柱体积相等C．两个质数的和不一定是偶数8．游泳馆收取门票，一次30元．现推出三种会员年卡：A卡收费50元，办理后每次门票25元；B卡收费200元，办理后每次门票20元；C卡收费400元，办理后每次门票15元．某人一年游泳次数45～55次，他选择下列（）方案最合算．A．不办理会员年卡B．办理A卡C．办理B卡D．办理C卡9．一根绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀在5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪（）A．35段B．34段C．33段D．32段二、填空题10．2时20分=（______）时 0.08立方米=（______）立方分米60千克=（______）吨34升=（______）毫升11．25＝12÷（）＝()25＝8∶（）＝（）%。
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G．（1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：．（2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由．（3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．（4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系．【答案】（1）解：∵∴∵∴∴（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即（3）解：过点G作交BE于点H∴∵∴∴∴即故的关系仍成立（4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H∴∠DEC=∠EGH∵∴∴∠HGF+∠BFG=180°∵∠HGF=∠EGF-∠EGH∴∠HGF=∠EGF-∠DEC∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，，，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到，因为，所以，得到，即可求解．（4）过点G作交BE于点H，得∠DEC=∠EGH，因为，所以，推得∠HGF+∠BFG=180°，即可求解．2．（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（▲），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（▲），∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.【答案】（1）90°（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（平行线的迁移性），∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.即∠GPQ＋∠GEF＝90°.【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，∵∠CGE＝130°，∴∠HEG＝50°，∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；故答案为：90°；【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.3．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。
【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD．证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD.（2）解：猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△EAD≌△CAD（SAS）．∴ED=CD，∠AED=∠ACD．∴∠FED=∠ACB，又∵∠ACB=2∠B，∴∠FED=2∠B，∵∠FED=∠B+∠EDB，∴∠EDB=∠B，∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD.【解析】【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED=∠C，ED=CD，又由∠AED=∠ACB，∠ACB=2∠B，所以∠AED=2∠B，即∠B=∠BDE，易证DE=CD，则可求得AB=AC+CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED=CD，∠AED=∠ACD，又由∠ACB=2∠B，易证DE=EB，则可求得AC+AB=CD．4．如图，EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，点在AC边上，且∠1=∠2= ．（1）求证：EF∥CD；（2）若∠AGD=65°，试求∠DCG的度数.【答案】（1）证明：∵EF⊥AB于F，CD⊥AB于D，∴∠BFE=∠BDC=90°，∴EF∥CD.（2）解：∵EF∥CD，∴∠2=∠DCE=50°，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE,∴DG∥BC，∴∠AGD=∠ACB=65°，∴∠DCG=【解析】【分析】（1）由垂直的定义，可求得∠BFE=∠CDF=90°，可证明EF∥CD；（2）利用（1）的结论，结合条件可证明DG∥BC，利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ，则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得．5．如图，已知，在的右侧，平分，平分，，所在直线交于点.（1）求的度数.（2）若，求的度数(用含的代数式表示).（3）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，在图中画出平移后的图形，并判断的度数是否发生改变?若改变，求出它的度数(用含的式子表示)；若不改变，请说明理由.【答案】（1）解：∵平分，，.（2）解：如图，过点作∵，，， .∵平分，平分，，，，，..（3）解：如图2为平移后的图形.的度数发生了改变.过点作，平分，平分，，，， .∵，，，，.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义即可求∠EDC的度数；（2）过点E作EF∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥EF，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；（3）∠BED的度数改变.过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE=∠ABC，∠CDE=∠ADC，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：，进而可由求得答案.6．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β（1）如图，若α+β=120°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图，若BE与DF相交于点G，∠BGD=30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由.【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，∵α+β=120°，∴∠MBC+∠NDC=120°（2）解：β﹣α=60°理由：如图1，连接BD，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= (∠MBC+∠NDC)= (α+β)，在△BCD中，∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴(∠CBG+∠CDG)+(∠BDC+∠CDB)+∠BGD=180°，∴(α+β)+180°﹣β+30°=180°，∴β﹣α=60°（3）解：平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE= ∠MBC，∠CDH= ∠NDC，∴∠CBE+∠CDH= ∠MBC+ ∠NDC= (∠MBC+∠NDC)= (α+β)，∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，∴∠CDH=∠BCD﹣∠DHB=β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB= (α+β)，∵α=β，∴∠CBE+β﹣∠DHB= (β+β)=β，∴∠CBE=∠DHB，∴BE∥DF【解析】【分析】（1）由四边形的内角和等于360°并结合已知条件可求得∠ABC+∠ADC 的度数；再根据邻补角的定义可得：∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC），代入计算即可求解；（2）由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，由角平分线的性质可得∠CBG=∠MBC，∠CDG=∠NDC，所以∠CBG+∠CDG=（∠MBC+∠NDC）=（α+β），分别在三角形BCD 和三角形BDG中，根据三角形内角和定理可得：∠BDC+∠CDB=180°﹣∠BCD=180°﹣β，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，即∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，分别把(∠CBG+∠CDG)、(∠BDC+∠CDB)、∠BGD代入计算即可求解；（3）延长BC交DF于H，由（1）得，∠MBC+∠NDC=α+β，由角平分线的性质可得：∠CBE=∠MBC，∠CDH=∠NDC，两式相加整理可得∠CBE+∠CDH=(α+β)；由三角形的外角的性质可得∠BCD=∠CDH+∠DHB，所以∠CDH=β﹣∠DHB，则∠CBE+β﹣∠DHB=(α+β)，把α=β代入整理可得∠CBE=∠DHB，由内错角相等两直线平行可得BE∥DF。