《球的表面积和体积》PPT课件

提出问题
怎样求球的表面积和体积？
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平 面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
实验：排液法测小球的体积
h
实验方法
实验：排液法测小球的体积
它
H h
排 开 液 体 的 体
等 于
小 球 的 体 积
积
曹冲称象
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
球的表面积
第 一 步： 分 割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
S 1 ， S 2 ， S 3, ,S n
则球的表面积：
O
S S 1 S 2 S 3 S n
设 “ 小 锥 体 ” 的 体 积为 Vi
Si
O Vi
则球的体积为：
V V 1V 2V 3 V n
球的表面积
第 二 步： 求 近 似 和
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A1A2A2A3 AnA1)
1 2
p C正 多边 形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆 形
p
A3 S圆12R2RR2
A1 A2
极限思想
割圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限” 思想．
n[nn2
6
] (n 1)n(2n 1) 6
R 3[11(n1 )2 (n1 )]
n2
6
球的体积
(11)(21)
V半 球 R3[1
n
n]
6
当n时,10. n
V 半球
2 R 3
3
从而 V 4 R 3 .
3
定理：R 半 的径 球是 的体 V 积 4R 为 3 ：
3
球的体积
在球的体积公式的推导过程中，使用了“分 割、求近似值、再将近似值转化为球的体积” 的方法：
球的表面积和体积
球
人类的家－－地球
人类未来的家－－火星
探索火星的航天飞船
实际问题
如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂 的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为 什么？
实际问题
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则 哪一个球充入的气体较多？为什么？
即先将半径 n 等分；再求出每一部分体积的 近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近 似体积；当 n 无限变大时，就可得到半球的体 积．
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V4R 34(5)312 c5m 3
3
32 6
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
hi的 值 就 趋 向 于 球 的 半R径
Vi 13SiR
V 1 3S iR 1 3S 2R 1 3S 3R 1 3S n R
1 3R (S iS 2S 3.. .S n)1 3RS
又球的体积V为 4： R3
3
4R3 1RS, 从S 而 4R2.
3
3
题型一 球的表面积与体积
例1 已知球的表面积为4π，求它的体积
7.9[4(5)34x3]142
32 3
x3(5 2)37 1 .9 4 43 21.1 3
由计算器算得: x2.24
2x4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
球的表面积
球面不能展开成平面图形，所以求球的表 面积无法用展开图求出，如何求球的表面积 公式呢?
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
球的体积
已知球的半径为R,用V表示球的体积.
A
A
ຫໍສະໝຸດ Baidur3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2, n
r3
R2 (2R)2. n
球的体积 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面半的径：
ri
R 2[R(i1)2 ],i1,2 ,n . n
球的体积
ri
R2[R(i1)2 ],i1,2, ,n n
解 设球的半径为R，则4πR2＝4π，解得R＝1，
所 以 球 的 体 积 V=4R3
3
4
3
c 变式练习1 已知球的体积为36π，求它的表面积（ ）
A 12π B 24π C 36π D 48π
解 ： 设 球 的 体 积 是 R ， 则 4 R 3= 3 6 ， 解 得 R = 3
3
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.
V ir i2R nR n 3[1 (i n 1 )2 ]i, 1 ,2 ,n
V 半球 V 1V 2 V n
R n 3{ 1 [1 n 1 2] [1 n 2 2 2] [1 (n n 2 1 )2]}
R 3 1222 (n1)2
[n n
n2
]
R3 1 (n1)n(2n1) 12 22 (n 1)2
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得： V V 1V 2V 3 V n
V 1 3S 1h 1 1 3S 2h 2 1 3S 3h 3 1 3S nh n
球的表面积
第
三
Si
步： hi
化
Vi
为
准 确
Si
R
和
O Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
题型二 球的组合体与三视图 例2（2016年辽宁卷）某个几何体的三视图如图所示，则这个几何
24+ 体的表面积__________________ .
解： 由三视图可知该几何体的 下部是棱长为2的正方体，上部是 半径为1的半球，该几何体的表面 积为
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2. 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1 : 3 . 4
影响球的表面积及体积的只有一个元素， 就是球的半径.
该几何体的表面积是为 24+
.
22
反思与感悟
1.由三视图求球与其他几何体的简单组合 体的表面积和体积，关键要弄清组合体的 结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
.
23
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍2 .
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4倍.