多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用

多元复合函数、隐函数的求导法

(1) 多元复合函数

设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点

),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数

)),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且

()()()()

x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=

00000000)

,(,,,,00∂∂()()()()

y

y x v v v u f y y x u u v u f y

z y x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=

00000000)

,(,,,,00∂∂

多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微，

则将z 看成y x ,的函数，有

dy y

z dx x z dz ∂∂+∂∂=

计算

y

v

v f y u u f y z x

v

v f x u u f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,，代人， dv v

f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂=

我们将dv v

f du u f dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=

叫做微分形式不变性。

例1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f x z ,

3

，求y

z x z ∂∂∂∂,。

解：⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛'+'+=+⋅=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213232)(33 ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-'++'+=22

13

2(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx x dy f x f x dx xyf yf x f x ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛'+'+⎪⎭

⎫ ⎝

⎛'-'+=221421323

由微分形式不变性， dy f x f x dx xyf yf x f x dy y

z dx x z dz ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'+=∂∂+∂∂=

221421323

故

⎪⎭⎫ ⎝⎛'

+'=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛'

-'+=∂∂22142132,3f x f x y

z xyf yf x f x x

z 。

例2 已知 )

1(1x

y x

-=，求

dy

dx

. 解 考虑二元函数 v

u y =, u x v x

==-11,，应用推论得

.dx dv

v y dx du u y dx dy ∂∂∂∂+=).ln 1(11)(ln 11

2221x x x u u x vu x

v v -⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+--

-

(2)隐函数 若函数()x y y =, 由方程()0,=y x F 确定，求导之函数？

按隐函数定义有恒等式：()()0,≡x y x F ⇒

()()0,=x y x F dx

d

， ⇒()()()()()0,,='⋅'+'x y x y x F x y x F y

x ⇒()()()()()

x y x F x y x F x y y x ,,''-='。 从这是可见：函数()x y y =可导有一个必要条件是，()0,≠'y x F y .

例3 已知函数y f x =()由方程()

, , 2

2b a y x f by ax +=+是常数，求导函数。

解：方程()

2

2

y x f by ax +=+两边对x 求导，

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++'=+dx dy y x y x f dx dy b

a 22)(22 )

(2)(22

222y x f y b a

y x f x dx dy +'--+'=

一般来说，若函数()x y y ρ=, 由方程()0,=y x F ρ

确定，求导之函数？

将y 看作是n x x ,...,1的函数()),...,(1n x x y x y y ==ρ

,对于方程

0)),...,(,,...,(11=n n x x y x x F

两端分别关于i x 求偏导数得到，并解i x f ∂∂,可得到公式 :()()

y x F y x F x y

y x i i ,,ρρ''-=∂∂

例4 设函数y(z)y z x x == ),(由方程组⎩⎨⎧=--+=-++0

120

12

22222z y x z y x 确定， 求 dz

dy dz dx ,. 解 1212

22222⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=+z y x z y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+⇒z dy dz y dx

dz x z dy dz y dx dz

x 242222解方程得： ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡dz dy dz dx =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---xz yz xy z z x x y y xy 8124122222441 由此得到 y

z dz dy

x z dz dx 2,

3-==.

例5 已知函数()y x z z ,=由参数方程:⎪⎩

⎪

⎨⎧===uv

z v u y v

u x sin cos ,给定，试求y z x z ∂∂∂∂,.

解 这个问题涉及到复合函数微分法与隐函数微分法. y x ,是自变量,v u ,是中间变量(v u ,是y x ,的函数), 先由 z uv = 得到

x v

u x u v x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+= y

v

u y u v y v v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+=+= u v , 是由方程⎩⎨⎧==)

,()

,(y x v v y x u u 的x y ,的隐函数，在这两个等式两端分别关于x y ,求偏导数，得

⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=x v v u x u v x v

v u x u v cos sin 0sin cos 1， ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=y v v

u y u v y v v u y u v cos sin 1sin cos 0 得到 u

v x v v y u u u x v v x u cos ,sin ,sin ,cos =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂ 将这个结果代入前面的式子, 得到

v v v x

v

u x u v x z sin cos -=-=∂∂∂∂∂∂