函数单调性教案(经典总结)
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【课题】函数的单调性
【教学类型】新知课
【教学目的】
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.
【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授,学生探究学习.
【教学手段】多媒体教学设备、黑板.
【教学过程】
一、创设情境,引入课题
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:
引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.
以上数据表明,记忆保留量y是时间t的函数.
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾
浩斯遗忘曲线”,如图.
问题:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”,你能发
现什么规律?图像上有什么特征?
二、归纳探索,形成概念
对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,
初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1.借助图象,直观感知
问题1:分别作出函数x
y x y x y x y 1,,2,22=
=+-=+=的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?
预案:
(1)函数1+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大;函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小.
(2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大,在)0,(-∞上y 随x 的增大而减小.
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案:如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大,y 也越来越大,我们说函数()f x 在该区间上为增函数;如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大,y 越来越小,我们说函数()f x 在该区间上为减函数.
教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识.
2.探究规律,理性认识
通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,x x .
3.抽象思维,形成概念
问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
方案1:在区间),0[+∞上取自变量1,2,∵1<2, f(1) 方案2:),0[+∞取无数组自变量,验证随着x 的增大,f(x)也增大。 方案3:在),0[+∞内取任意的x1,x2 且x1 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义. (1)板书定义 (2)巩固概念 通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在B A 上是增(或减)函数. 三、掌握证法,适当延展 1. 例证明函数 f(x) = 3x +2在区间R 上是增函数.数. 2.归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设值、作差、变形、断号、定论. 练习:证明函数x x f =)(在),0[+∞上是增函数. 四、归纳小结及作业布置 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结. 1.小结 (1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2) 证明方法和步骤:设值、作差、变形、断号、定论. (3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等. 2.作业 书面作业:课本第52页 习题3.2.1 第1,2题. 【课后探究】: 研究函数x y 1=的单调区间并证明,并结合描点法画出函数的草图.