线性乘同余方法
数论线性同余方程,欧拉函数》
欧拉定理与费马小定理
• 若(k,m)=1，则 k m 1modm 。
• 对于素数p和任意的整数a，有 a amod p
p
• 反过来若a和p满足上面的式子，则p几乎一 定是素数（可以用来做素数测试）。
其他公式
若p是一个质数，则：
0mod p (1 k p 1) C 1mod p (k 0或k p)
一元线性同余方程组 与中国剩余定理
问题： 如果m1、m2、…、mk两两互质这个条件不满 足，怎么办？
一元线性同余方程组 与中国剩余定理
如果已知一元线性同余方程组：
x a2 mod m2 ... x ak 1 mod mk 1 x a1 mod m1 x%m1 a1 x%m2 a2 ... x%mk 1 ak 1
商的模与乘法逆元
那么还剩下的问题就是(b,m)=m时的状况。 • 一种策略是想办法得到a和b包含的m因子的个数 ，当a和b都是一列数的连乘时，这个方法是可行 的：
– 首先对m做因式分解。设 若 ，则只需 s k e a ai m mi 要将每个ai包含的mi的因子个数累加一下，最后就能得 i 1 i 1 到a包含的m因子的个数了，并且还可以知道a除开这些 因子之外的部分累乘的积模m的结果。 – 于是当a包含的m的个数大于b时，(a/b)%m=0 – 否则他们包含的m因子的个数一定相等。可以设 b=b’*mk，a=a’*mk ，此时(a/b)%m=(a’/b’)%m，且 b’%m<>0，于是就可以用前几页的方法了。
回到了一元线性同余方程上面来了。 我们已经知道这个同余方程有解当且仅当 (b,m)|a成立，且当此成立时一定有无穷多个 以m/(b,m)为公差的解，且给出一个解就能够 得到所有的解，而要得到一个解只需要用扩 展欧几里德辗转相除法就行。
线性乘同余方法
I n1 (aIn c) modm
其中： I0： 初始值（种子seed) a： 乘法器 （multiplier) c： 增值（additive constant) m： 模数（modulus) mod：取模运算：(aIn+c)除以m后的余数
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method)
RANDU随机数产生器：
1961年由IBM提出
I n1 (65539 I n ) mod231
unsigned long seed = 9; float randu() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long m = pow(2,31); unsigned long i1; i1 = (a * seed) % m; seed = i1; return (float) i1/float(m);
5、乘数因子a的选择： 1961年，M. Greenberger证明：用线性乘同余方法产生的随机 数序列具有周期m的条件是： 1. c和m为互质数； 2. a-1是质数p的倍数，其中p是a-1和m的共约数； 3. 如果m是4的倍数，a-1也是4的倍数。 例：a=5,c=1,m=16,I0=1 周期=m=16 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,..
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) for(int i=0; i < 10000; i++) { float x = randu(); float y = randu(); float z = randu(); h1->Fill(x); h2->Fill(x,y); h3->Fill(x,y,z); } pad1->cd(); h1->Draw(); pad2->cd(); h2->Draw(); pad3->cd(); h3->Draw(); }
线性同余
怎样解一次不定方程
1.判断有根：二元一次不定方程ax+by=c有解， 当且gcd(a,b)|c 2.求ax+by=gcd(a,b)的解，X,Y 3.得原方程一组解： X’=X*c/gcd(a,b),Y’=Y*c/gcd(a,b) 4.则其所有解为 x=X+b/(a,b)*t y=Y+a/(a,b)*t t ∈ Z
青蛙的约会
两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。 它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳， 直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问 清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观 的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除 非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。 为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是 否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处 为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾 相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙 A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。 纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Output The output consists of several lines corresponding to the instances on the input. The i-th line contains either the number of executions of the statement in the i-th instance (a single integer number) or the word FOREVER if the loop does not terminate.
同余方程的求解方法与应用实例
同余方程的求解方法与应用实例同余方程是数学中的一类方程，是指形如x≡a (mod m)的方程，其中x是变量，a和m都是给定的整数。
在计算机科学中，同余方程经常被用来解决密码学和数据安全的问题。
因此，了解同余方程的求解方法和应用实例是非常重要的。
求解同余方程的方法1. 直接法：如果x和a都是已知的，那么只需要检查m是否整除x-a。
如果整除，那么x是同余方程的解。
例如，假设要求同余方程x≡5 (mod 7)的解。
我们可以尝试x=5, 12, 19, 26等等，直到发现其中有一个数是7的倍数。
显然，当x=12时，x-a=7，7是7的倍数，因此x=12是x≡5 (mod 7)的解。
2. 取模法：同余方程是模运算的基础，因此我们可以使用模运算进行同余方程的求解。
假设要求同余方程x≡a (mod m)的解，可以将其转化为x=a+k*m的形式。
由于同余方程的定义是x=a (mod m)，因此x和a在模m下应该是同余的。
因此，k*m是m的倍数，所以x-a必须是m的倍数。
因此，k=(x-a)/m就是同余方程的解。
例如，要求解x≡5 (mod 7)，可以将其转化为x=5+k*7的形式。
假设k=2，那么x=19就是同余方程的解。
3. 欧几里得算法：该算法也称为辗转相除法，是求两个整数的最大公约数的一种方法。
可以利用欧几里得算法来求解同余方程。
假设要求同余方程ax≡1 (mod m)的解，其中a和m是给定的整数，而且a和m互质。
首先利用欧几里得算法求出a和m的最大公约数d，然后检查1/d是否是a模m下的逆元。
如果是，那么同余方程的解是x= a⁻¹ (mod m)，否则没有解。
例如，我们要求解7x≡1 (mod 15)的解。
首先求7和15的最大公约数：gcd(7,15)=1。
然后检查1/7是否是15的逆元。
由于7*13≡1 (mod 15)，因此7的逆元是13。
因此，同余方程的解是x≡13 (mod 15)。
应用实例1. RSA算法：RSA算法是公钥加密算法的一种，它利用到了同余方程的性质。
线形同余方程组
线形同余方程组全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：线性同余方程组是数论中的一个重要概念，它与模运算和同余关系密切相关。
线性同余方程组的求解在密码学、计算机科学和数学领域都具有重要的应用价值。
本文将对线性同余方程组的定义、性质、求解方法以及应用进行介绍。
一、线性同余方程组的定义线性同余方程组是指一组同时满足一系列线性同余方程的整数解。
一般形式如下：a1x ≡ b1 (mod m1)a2x ≡ b2 (mod m2)….anx ≡ bn (mod mn)a1，a2，…，an为整数系数，b1，b2，…，bn为整数常量，m1，m2，…，mn为模数，x为未知数。
1. 唯一性：线性同余方程组的解可能有唯一解、无解或者有多个解。
这取决于模数之间是否互素，互素的模数方程组往往有唯一解。
2. 模运算性质：线性同余方程组的解需要满足模运算的性质，即同余式在模数下成立。
3. 解的存在性：线性同余方程组一般都有整数解，但需注意是否存在特解或通解。
1. 逐步求解：通过逐步代入或变换方程，可以得到线性同余方程组的解。
2. 中国剩余定理：中国剩余定理是求解线性同余方程组的一种重要方法，适用于模数互素的情况。
3. 模运算法则：由于线性同余方程组中的运算都是模数进行的，所以模运算的法则也是求解方程组的重要工具。
1. 密码学：在线性同余方程组中，模数一般取素数，这使得线性同余方程组在密码学领域中有着广泛的应用。
例如RSA公钥密码算法就是基于线性同余方程组的。
2. 计算机科学：在计算机算法设计中，线性同余方程组的求解经常涉及到，能够提高算法的效率和准确性。
3. 数学研究：线性同余方程组也是数论研究的一个重要方向，通过研究线性同余方程组的性质和解的特点，能够推动数论领域的发展。
线性同余方程组在数学领域具有重要的地位和应用价值，在实际运用中也有着广泛的应用。
希望本文对线性同余方程组这一概念有所帮助，也能引发更多人对数学理论的研究和探讨。
线性同余方程组的解
线性同余方程组的解学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系） 指导老师：许璐，江汉大学摘要“孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式：()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x x定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ∆=，其中ad bc ∆=-.则线性同余方程组(mod )(mod )ax by e m cx dy f m +≡⎧⎨+≡⎩，有唯一一组关于模m 的解为()(mod )()(mod )x de bf m y af ce m ⎧≡∆-⎪⎨≡∆-⎪⎩， 其中∆是∆关于模m 的逆，即1(mod )m ∆∆≡.证 首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到(mod )(1)(mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡⎧⎨+≡⎩()()12-得到()()mod ad bc x de bf m -≡-令ad bc ∆=-，则()mod x de bf m ∆⋅≡-.下面我们把同余式两边都乘以∆，其中1(mod )m ∆∆≡∴()()mod x de bf m ≡∆-同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以a ，得到(mod )(3)(mod )(4)acx bcy ce m acx ady af m +≡⎧⎨+≡⎩()()43-得到()()mod ad bc y af ce m -≡-即()mod y af ce m ∆⋅≡-∴()()mod y af ce m ≡∆-关键词孙子定理；中国剩余定理；同余；线性；方程组AbstractSuch systems arose in ancient Chinese puzzles such as the following problem, which appears in Master Sun ’s Mathematical Manual , written late in the third century c.e.. Find a number that leaves a remainder of 1 when divided by 3, a remainder of 2 when divided by 5, and a remainder of 3 when divided by 7. This puzzle leads to the following system of congruences:()()().7m od 3,5m od 2,3m od 1≡≡≡x x xTheorem 4.15. Let a,b,c,d,e,f, and m be integers, m>0, such that (),1m ∆=, where.ad bc ∆=- Then the system of congruences()()mod mod ax by e m cx dy f m +≡+≡has a unique solution modulo m, given by()(mod )()(mod ),x de bf m y af ce m ≡∆-≡∆-where ∆ is an inverse of ∆ modulo m.Proof. We multiply the first congruence of the system by d and the second by b, to conclude that(mod )(mod ),adx bdy de m bcx bdy bf m +≡+≡Then we subtract the second congruence from the first, to tind that()()mod ad bc x de bf m -≡-,or, since ad bc ∆=-，()mod x de bf m ∆≡-.Next, we multiply both sides of this congruence by ∆, an inverse of ∆ modulo m, to conclude that()()mod x de bf m ≡∆-In a similar way, we multiply the first congruence by c and the second by a, to obtain(mod )(mod ),acx bcy ce m acx ady af m +≡+≡We subtract the first congruence from the second, to find that()()mod ad bc y af ce m -≡-or()mod y af ce m ∆≡-Finally, we multiply both sides of this congruence by ∆ to see that()()mod y af ce m ≡∆-.keywordMaster Sun ’s Mathematical Manual ；The Chenese Remainder Theorem ；congruences ；Linear ；Equations目录绪论 (1)线性同余方程组解的判定及其结构 (5)1.二元一次同余方程组解的判定及其结构 (5)2.三元一次同余方程组的解 (12)3.线性同余方程组的解在n元中的推广 (18)致谢 (24)参考文献 (25)绪论（一）研究问题的背景数论中的同余式理论，以我国古代的研究为最早，当二整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。
随机数生成原理 实现方法 不同编程语言的随机数函数
1-0：Microsoft VC++产生随机数的原理：Srand ( )和Rand( )函数。
它本质上是利用线性同余法，y=ax+b(mod m)。
其中a，b，m都是常数。
因此rand的产生决定于x，x被称为Seed。
Seed需要程序中设定，一般情况下取系统时间作为种子。
它产生的随机数之间的相关性很小，取值范围是0—32767（int），即双字节（16位数），若用unsigned int 双字节是65535，四字节是4294967295，一般可以满足要求。
1-1：线性同余法：其中M是模数，A是乘数，C是增量，为初始值，当C=0时，称此算法为乘同余法；若C ≠0，则称算法为混合同余法，当C取不为零的适当数值时，有一些优点，但优点并不突出，故常取C=0。
模M大小是发生器周期长短的主要标志，常见有M为素数，取A为M的原根，则周期T=M-1。
例如：a=1220703125a=32719 （程序中用此组数）a=16807代码：void main( ){const int n=100;double a=32719,m=1,f[n+1],g[n],seed;m=pow(2,31);cout<<"设置m值为"<<m-1<<endl;cout<<"输入种子"<<endl; //输入种子cin>>seed;f[0]=seed;for(int i=1;i<=n;i++) //线性同余法生成随机数{f[i]=fmod((a*f[i-1]),(m-1));g[i-1]=f[i]/(m-1);cout.setf(ios::fixed);cout.precision(6); //设置输出精度cout<<i<<" "<<'\t'<<g[i-1]<<endl;}}结果分析：统计数据的平均值为：0.485653统计数据的方差为：0.3205761-2：人字映射递推公式就是有名的混沌映射中的“人字映射”或称“帐篷映射”，它的非周期轨道点的分布密度函数：人字映射与线性同余法结合，可产生统计性质优良的均匀随机数。
数论中的同余方程与线性同余方程计算技巧
数论中的同余方程与线性同余方程计算技巧数论是数学的一个重要分支，研究整数及其性质和关系。
同余方程和线性同余方程是数论中重要的概念，通过一些计算技巧可以求解这些方程。
一、同余方程同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，而≡表示同余关系。
解同余方程的关键在于找到适当的整数x使得等式成立。
在解同余方程时，可以利用以下性质和计算技巧：1. 同余关系具有传递性，即若a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a≡ c (mod m)。
这意味着我们可以根据同余关系的性质来简化计算过程。
2. 若a ≡ b (mod m)，则a + c ≡ b + c (mod m)。
这意味着我们可以在两边同时加上或减去相同的整数，而不改变同余关系的结果。
3. 若a ≡ b (mod m)，则ac ≡ bc (mod m)。
这意味着我们可以在两边同时乘以相同的整数，而不改变同余关系的结果。
4. 对于同余方程ax ≡ b (mod m)，可以通过欧几里得算法求解其最大公约数。
若b与m互质，并且gcd(a, m) = 1（即a与m互质），则可以找到唯一的解x。
若gcd(a, m) ≠ 1，则该方程可能无解或有多个解。
二、线性同余方程线性同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数。
与同余方程不同的是，线性同余方程可能存在多个解。
求解线性同余方程的关键在于找到x的所有可能取值。
通过以下计算技巧，我们可以有效地求解线性同余方程：1. 利用欧几里得算法求解最大公约数gcd(a, m)。
若gcd(a, m)不能整除b，则线性同余方程无解。
若gcd(a, m)能整除b，则线性同余方程有解。
2. 借助扩展欧几里得算法，可以求得线性同余方程的一组特解。
具体算法可以通过迭代求解gcd(a, m)的过程得到。
3. 通过找到一组特解后，可以构造线性同余方程的所有解。
解的形式是特解加上m的倍数。
线性同余方程解法讲解
线性同余方程解法讲解
线性同余方程是数学中非常重要的概念，它的概念和公式非常简单，但是如何正确的计算，解决线性同余方程涉及到一些数学知识，本文将讲解线性同余方程的概念及一些计算方法。
1.什么是线性同余方程
线性同余方程是一类数学方程，它的形式可以写作：ax=c (mod b)，其中a，b，C为任意的实数，a，b不全为0。
这个式子表示a除以b 的余数等于c。
简单的讲就是找出这个方程的整数解。
2.线性同余方程的解法
当a, b, c是任意的实数时，解线性同余方程的一般方法是将其化为分数除法的形式，即a/b = c/m，其中m的值可以通过最大公约数确定，然后令a/b = c/m，可以求得x = m/b。
另外，当a，b，c
都是正整数时，可以使用贝祖定理解决线性同余方程。
3.贝祖定理
贝祖定理是解线性同余方程的一种重要方法，它的公式为：ax
c(mod b)，其中a，b，C为正整数，a，b不全为0。
这个定理表明，当a，b，c都是正整数时，可以使用贝祖定理来求解线性同余方程，即可以求出方程的解。
4.线性同余的实例
例如，求解3x 5 (mod 7)。
由贝祖定理可得，x=5*71=34，即3x 5 (mod 7)的解为x=34。
5.小结
本文讲解了线性同余方程的概念和解法，包括简单的分数除法和贝祖定理。
最后，给出了一个线性同余方程的例子，来说明如何正确的求解。
通过本文，读者可以了解线性同余方程的解法，从而能够正确地求解线性同余方程。
线性同余法的计算机语言
线性同余方法是目前应用广泛的伪随机数生成算法，其基本思想是通过对前一个数进行线性运算并取模从而得到下一个数，递归公式为：
其中a称为乘数，c称为增量，m称为模数，当a=0时为和同余法，当c=0时为乘同余法，c≠0时为混合同余法。
乘数、增量和模数的选取可以多种多样，只要保证产生的随机数有较好的均匀性和随机性即可，一般采用混合同余法。
线性同余法的最大周期是m，但一般情况下会小于m。
要使周期达到最大，应该满足以下条件：
(1) c和m互质；
(2) m的所有质因子的积能整除a-1；
(3) 若m是4的倍数，则a-1也是；
(4) a，c，（初值，一般即种子）都比m小；
(5) a，c是正整数。
线性同余方法速度快，如果对乘数和模数进行适当的选择，可以满足用于评价一个随机数产生器的3 种准则：
(1)这个函数应该是一个完整周期的产生函数。
也就是说，这个函数应该在重复之前产生出0 到m之间的所有数；
(2)产生的序列应该看起来是随机的；
(3)这个函数应该用32bit 算术高效实现。
线性同余法
线性同余法这是《建模与仿真》课的作业，还是很有启发的，所以整理出来和大家分享。
问题1:X_{i}=(aX_{i-1}+c)\%M\\设X_{0}为初始随机种子，从公式可以看出只要确定了a,c,M整个系列也就完全确定了，这对于生成随机数显然是不利的，曾经也有人破解过老虎机的随机数生成器从而获利。
但是只要参数对使用者保密，还是能产生很均匀的随机数的，但是如何科学的选取随机数参数是一个很难的问题。
这里令S为计算机位数。
令M是1～2^{s}中最大的素数，数论表明，若a是M的原根，则乘同余法随机数发生器的循环周期p=M-1，也就是说，这样的随机数发生器达成了完成周期，而且其中不包括0，这里原根的定义为:满足a^{M-1}\%M=1且与M互素的数a。
所以在S=32时可取以下参数:M=2^{32}-1,a=16807或者a=630360016。
而c的选取原则是与M互素。
所以确定最后参数如下:\begin{cases}M=2^{31}-1\\a=630360016\\c=7\end{cases}\\python代码如下:def random(seed, num, a=630360016, c=7, m=2 ** 31 - 1):# a 比例 c 常数 m 余数ans = np.zeros(num)n = 0x = seedwhile n < num:x = (a * x + c) % my = x / mans[n] = yn += 1return ans, x问题2.1均匀性检验:对 seed=15 生成的 10000 个随机数进行均匀性与独立性检验:随机性检验可以先使用粗略的统计检验，即检验其均值，方差等参数，若连这些简单的对比都相差很大的话，也没有下一步检验均匀性的必要了。
检验了均值和方差以及平方值的均值后通过卡方检验验证均匀性，这里将0～1的区间划分成10个均匀的区间，得频数如下:\bar{C}=\sum_{i=1}^{n}{\frac{(n_{i}-m_{i})^2}{m_{i}}}\\最后计算出 \bar{C}=2.94599采用5%置信度，查 \chi^{2}_{n-1} 分布表得\chi^{2}_{0.05,9}=16.919 ，显然 \bar{C}<\chi^{2}_{0.05,9} ，所以认为这10000个随机数载均匀性上是95%可信的。
线性同余式定理
线性同余式定理一切代数式皆可以用它们的代数余子式表示出来，而这种代数余子式正是我们所要证明的。
线性同余式定理[13x^3-6x+9=0]，其中x为根式，于是将其化简得到：[13x^3-6x+9=0]。
因为所有的系数都含有2的幂次，即x^3-6x+9=0。
故x^3-6x+9=0。
线性同余式定理2[14x^2+9x-4=0]，因为只有1项，即x^2+9x-4=0，所以这个积就应该是原系数乘以10。
由于已知x^3-6x+9=0，则x^3-6x+9=0；又因为x^2+9x-4=0，所以x^2+9x-4=0。
这样一来， x^2+9x-4=0的系数就只剩下1个了，那就是2。
将其化简，即得到： x^2+9x-4=0。
线性同余式定理3[15x^5-25x+90=0]，其中x为整式，将其化简得到：[15x^5-25x+90=0]。
[分解因式]，得到x=(1/5)^5=1/30，所以线性同余式定理3。
线性同余式定理4[18x^8-10x+80=0]，因为除去了两个二次项，从而得到：[18x^8-10x+80=0]。
将上述化简式和分解因式相比较，很容易看出所有的系数都不超过3次，且分别在1、 3、 6、 9、 12………………的单项式中。
线性同余式定理5[20x^3-6x+3=0]，因为此项含有3个系数，即x^3-6x+3=0。
线性同余式定理6[22x^4+36x-216=0]，因为将两个因式同时除以5，得到：[22x^4+36x-216=0]。
从而找出了它们的系数。
[分解因式]，得到x=(1/8)^4=(3/8)^4，所以线性同余式定理6。
总结如下：所有的根式系数都不大于3次；每个根式系数的系数最多只能含有3次；除去两个二次项之后，系数不超过3次的多项式中的根式系数只能是1， 3， 6， 9， 12……………等。
线性同余式定理7[23x^4-56x-24=0]，因为这个代数式已经是两个多项式，所以要化简，故化简之后得到：[23x^4-56x-24=0]。
线性同余方程解法讲解
线性同余方程解法讲解线性同余方程解法是数学中常见的一种算法，用于求解线性方程组的一种有效解法。
它的出现极大地推动了数学的发展，使求解线性方程组变得更简单、更有效，为建模和科学技术的发展提供了有效的数学方法。
本文将详细解释线性同余方程解法，并以一个简单的例子阐明关键的概念和步骤。
线性同余方程的定义线性同余方程又称为等式线性方程组，它可以定义为：存在n个未知数的线性方程组，其中有m个线性方程，m≤n，所有的系数均为实数，可以用一组数学函数表示，称为线性同余方程。
例如，对于3个未知数的方程组2x+3y-z=3，-x+2y+z=6，2x-2y+2z=8，就可以把它表示为线性同余方程：x+2y+2z=17。
线性同余方程求解步骤线性同余方程求解的过程主要包括以下步骤：1.先要解决的是n个未知数的线性方程组，最好使用可逆阵法求解，如果无法求解，则需要使用其他可行的方法求解。
2.后把解得到的n个未知数代入到等式线性方程组中，计算得到结果，即可判断给定线性方程组是否可以由解得到的未知数组成。
3.果结果为零，则表明这组线性方程有解，相应的未知数即为所求解的解；如果结果不为零，则表明该组线性方程无解。
上面的步骤提供了一个解决线性同余方程的简单思路，以此作为基础，可以求出特定线性方程组的解。
示例：以下是一组等式线性方程组的求解：2x+3y-z=3-x+2y+z=62x-2y+2z=8从上面的等式可以看出，本方程组有三个未知数，因此可以使用可逆阵法此求解，其结果为x=1，y=2，z=1。
将这三个数代入到原方程中，计算得到结果为：2+6-1=7，-1+4+1=4，2-4+2=0，其中每个结果均为零，表明本方程组有唯一解，解为x=1，y=2，z=1。
线性同余方程的应用线性同余方程的解法可以用在许多不同领域。
例如，它可以用于建模和预测，可以给出有针对性的建议和解决方案，这可以帮助企业做出更好的决策。
另外，在工程领域，它也是一种有效的算法，可以实现复杂的系统控制，这不仅提高了系统控制的精度，而且减少了设计成本，简化了设计过程。
计算物理_第8章_蒙特卡洛方法
Monte Carlo方法的特点
• Monte Carlo方法与数值解法的不同 Monte Carlo方法: 随机抽样的方法来求解物理问题;
数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态;
产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算
如果c=0 乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列
产生伪随机数的乘加同余方法
产生伪随机数的乘加同余方法是由Rotenberg 于1960年提出来的，由于这个方法有很多优点， 已成为仅次于乘同余方法产生伪随机数的另一 主要方法。
乘加同余方法的一般形式是，对任意初始值x1，
Monte Carlo模拟的步骤
1. 根据研究的物理系统的性质，建立能够描述该系统特性的 理论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数；
2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模 拟结果；
3. 对模拟结果进行分析总结，预言物理系统的某些特性。
Monte Carlo方法的特点
• Monte Carlo方法与数值解法的不同 Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
因为随机数表需在计算机中占有很大内存，而且也难 以满足蒙特卡罗方法对随机数需要量非常大的要求， 因此，该方法不适于在计算机上使用。
伪随机数 （Pseudo-Random Number)
伪随机数
在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法 是数学方法，即用如下递推公式：
nk T ( n , n1 ,, nk1 ), n 1,2,
物理方法
用物理方法产生随机数的基本原理是：利用某些 物理现象，在计算机上增加些特殊设备，可以在 计算机上直接产生随机数。这些特殊设备称为随 机数发生器。用来作为随机数发生器的物理源主 要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另 一种是利用计算机的固有噪声。
港口系统仿真实验报告材料
港口系统仿真实验报告一、线性同余法产生随机数1、递推公式 m c aI I n n m od )(1+=+I 0： 初始值（种子seed)a ： 乘法器 （multiplier)c ： 增值（additive constant)m ： 模数（modulus)mod ：取模运算：(aIn+c )除以m 后的余数a, c 和m 皆为整数产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算，如果c=0 ， 乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列2、特点最大容量为m ：独立性和均匀性取决于参数a 和c 的选择例：a =c =I 0=7, m=10 ⎝ 7,6,9,0,7,6,9,0,…3、模数m 的选择：m 应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于m ;通常将m 取为计算机所能表示的最大的整型量，在32位计算机上，m =231=2x1094、乘数因子a 的选择：用线性乘同余方法产生的随机数序列具有周期m 的条件是：1. c 和m 为互质数；2. a-1是质数p 的倍数，其中p 是a-1和m 的共约数；3. 如果m 是4的倍数，a-1也是4的倍数。
对于本报告用线性同余法产生1000个[0,1]独立均匀分布的随机数，要求按照以下规则尝试两组参数，产生两组1000个随机数，并得到每组随机数的平均间隔、最小数据间隔、最大数据间隔。
（1）取m=2^26=1073741824 c=12357 a=4*270+1=21 =0X 18710324m c X a X i i m od )*(1+=+将得到的1000个随即数据排序，并求差值，具体数据见excel ，得到最大间隔 0.007746292最小间隔 1.77883E-06平均间隔 0.000998246(2) 取m=2^29= 33554432 c=0 a=8*139+3=1117 0123X =4567m c X a X i i m od )*(1+=+将得到的1000个随即数据排序，并求差值，具体数据见excel ，得到最大间隔 0.008767486最小间隔 2.38419E-07 平均间隔0.000999974二、产生船舶的到港时间间隔、装卸服务时间Poisson分布又称泊松小数法则（Poisson law of small numbers），是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。
解密随机数生成器（二）——从java源码看线性同余算法
解密随机数⽣成器（⼆）——从java源码看线性同余算法RandomJava中的Random类⽣成的是伪随机数，使⽤的是48-bit的种⼦，然后调⽤⼀个linear congruential formula线性同余⽅程（Donald Knuth的编程艺术的3.2.1节）如果两个Random实例使⽤相同的种⼦，并且调⽤同样的函数，那么⽣成的sequence是相同的也可以调⽤Math.random()⽣成随机数Random实例是线程安全的，但是并发使⽤Random实例会影响效率，可以考虑使⽤java.util.concurrent.ThreadLocalRandom(jdk1.7)。
/*** A random number generator isolated to the current thread. Like the* global {@link java.util.Random} generator used by the {@link* ng.Math} class, a {@code ThreadLocalRandom} is initialized* with an internally generated seed that may not otherwise be* modified. When applicable, use of {@code ThreadLocalRandom} rather* than shared {@code Random} objects in concurrent programs will* typically encounter much less overhead and contention. Use of* {@code ThreadLocalRandom} is particularly appropriate when multiple* tasks (for example, each a {@link ForkJoinTask}) use random numbers* in parallel in thread pools.** <p>Usages of this class should typically be of the form:* {@code ThreadLocalRandom.current().nextX(...)} (where* {@code X} is {@code Int}, {@code Long}, etc).* When all usages are of this form, it is never possible to* accidently share a {@code ThreadLocalRandom} across multiple threads.** <p>This class also provides additional commonly used bounded random* generation methods.** <p>Instances of {@code ThreadLocalRandom} are not cryptographically* secure. Consider instead using {@link java.security.SecureRandom}* in security-sensitive applications. Additionally,* default-constructed instances do not use a cryptographically random* seed unless the {@linkplain System#getProperty system property}* {@code java.util.secureRandomSeed} is set to {@code true}.** @since 1.7* @author Doug Lea*/public class ThreadLocalRandom extends Random {int nextInt = ThreadLocalRandom.current().nextInt(10);Random实例不是安全可靠的加密，可以使⽤java.security.SecureRandom来提供⼀个可靠的加密。
同余问题三种类型例题
同余问题三种类型例题同余问题是离散数学中的一类重要问题，涉及到整数的除法运算和求余操作。
在同余问题中，通过对一个整数进行除法运算，我们可以得到一个余数，根据这个余数和被除数之间的关系，可以得到不同类型的同余问题。
下面将介绍三种常见的同余问题类型，并且给出一些详细的例题。
1. 线性同余问题线性同余问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：ax ≡ b (mod n)其中a，b，n为已知整数，且n>0。
我们需要求解的是x的取值范围。
这个问题可以用来求解模方程的解集。
例题1：解方程2x ≡ 6 (mod 5)。
根据同余关系式，我们可以得到2x可以被5整除的余数必须等于6。
我们可以列出等价的方程组：2x = 6 + 5k，其中k为整数。
这是一个一次方程，我们可以通过分析得到x=3+5k/2，其中k为整数。
根据这个结果，我们可以得到x的取值范围为3，8，13，18……。
2. 同余方程问题同余方程问题是指寻找一个整数x，满足以下同余关系式：f(x) ≡ c (mod n)其中f(x)为一个与x相关的函数，c，n为已知整数，且n>0。
我们需要求解x的取值范围。
例题2：解方程x^2 ≡ 4 (mod 7)。
要解这个方程，我们需要找到满足x^2-4可以被7整除的x。
我们可以将x^2-4分解为(x-2)(x+2)，即(x-2)(x+2)≡0 (mod 7)。
得到x的取值可以为2，-2，9，-9……。
3. 同余定理问题同余定理问题是指通过对一个整数进行特定的除法运算，来得到该数的同余类。
同余类是将整数分成若干个互相不交、互相等价的集合。
同余问题中的同余定理有欧拉定理、费马小定理等。
例题3：使用费马小定理求解：3^41 ≡ ? (mod 7)。
费马小定理为如果a是整数，p是质数且a和p互质，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据给定的问题，我们可以将3^41分解为(3^7)^5 * 3^6，即(3^7)^5 * 3^6 ≡ 1^5 * 3^6 ≡ 729 ≡ 2 (mod 7)。
乘同余法的原理和应用
乘同余法的原理和应用乘同余法是一种常用于随机数生成的方法，它是通过连续地取余操作来获得一系列随机数的一种技术。
乘同余法的原理很简单，基本思想是从一个种子值开始，用一个较大的乘数乘以种子值，然后取结果的低位数作为下一个种子值，再次用同样的乘数乘以新的种子值，这个过程不断重复。
在取余操作前，可以选择先加上一个固定的偏移量，以增加随机性。
Xn+1 = (a * Xn + c) mod m其中，Xn表示第n个随机数，a为乘数，c为偏移量，m为模数。
这个公式的含义是将上一个随机数与乘数相乘、再加上偏移量，取余之后得到新的随机数。
通过不断反复执行这个公式，可以生成一系列满足特定均匀分布的随机数。
1.随机数生成：乘同余法可以用来生成一系列满足均匀分布的随机数。
通过选取不同的乘数和偏移量，可以产生不同范围或不同长度的随机数。
2.加密算法：乘同余法可以用于加密算法中的伪随机数生成器。
在加密算法中，随机数的质量和随机性非常重要，乘同余法可以提供足够的随机性。
3.模拟实验：在模拟实验中，需要生成满足特定概率分布的随机数，乘同余法可以用于生成满足均匀分布的随机数，然后通过一些变换或转换，得到满足其他分布的随机数。
4.游戏开发：在游戏开发中，需要生成随机的游戏元素或随机事件，乘同余法可以用于生成伪随机数，从而实现游戏的随机性。
虽然乘同余法具有简单易实现的优点，但是它也存在一些问题。
首先，乘同余法生成的随机数序列可能会出现周期性，即会在一定周期内重复出现相同的随机数。
其次，乘同余法生成的随机数序列可能会出现重复性，即会在一定次数内重复出现相同的随机数。
另外，乘同余法的随机数序列可能并不是真正的随机序列，它们可能呈现一定的规律或周期性。
为了解决这些问题，可以选择合适的乘数、偏移量和模数，通过不断尝试和优化，选择适合具体应用场景的乘同余法参数。
此外，也可以采用其他更复杂、更安全的随机数生成算法，如线性同余法、梅森旋转算法等。
总之，乘同余法是一种常用的随机数生成方法，它通过连续的乘法和取余操作，生成一系列满足均匀分布的随机数。
乘同余法的原理和应用
乘同余法的原理和应用1. 原理介绍乘同余法是一种常用的随机数生成方法，在计算机科学中有广泛的应用。
它基于数论中的同余关系，通过逐步选择合适的参数，生成符合一定分布特性的随机数序列。
2. 原理步骤乘同余法的原理分为以下几个步骤：2.1 选择合适的参数乘同余法需要选择两个参数：模数（modulus）和乘数（multiplier）。
模数一般选择一个较大的素数，而乘数则选择与模数相对较小但与之互质的数。
2.2 初始化随机种子在生成随机数序列之前，需要先通过一个种子值初始化随机数发生器。
种子值可以是任意非负整数。
2.3 应用同余关系计算随机数通过使用同余关系，根据上一个随机数计算下一个随机数。
具体的计算公式为：X_{n+1} = (a * X_n + c) mod m其中，X_n为当前随机数，a为乘数，c为增量，m为模数。
这样就可以生成一个随机数序列。
2.4 生成随机数根据上述公式，不断重复步骤2.3，可以生成一系列满足均匀分布的随机数。
3. 应用场景乘同余法由于其简单性和良好的分布特性，在实际应用中被广泛采用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 模拟实验在模拟实验中，需要生成大量的随机数来模拟现实情况。
乘同余法可以用来生成符合一定分布特性的输入数据，从而进行模拟实验并得出结果。
3.2 加密算法在密码学中，随机数生成是很重要的一环。
乘同余法可以用来生成密钥、初始化向量等随机数，从而增加密码算法的安全性。
3.3 游戏开发在游戏开发中，需要生成随机数来产生不同的游戏场景、怪物属性等。
乘同余法可以用来生成伪随机数，使得游戏具有一定的随机性和不确定性。
3.4 模拟退火算法模拟退火算法是一种全局优化算法，需要生成随机数来进行搜索过程。
乘同余法可以用来生成初始解的随机数，从而增加搜索过程的随机性，提高算法的效果。
4. 注意事项在使用乘同余法时，需要注意以下几点：•选择合适的参数是关键，不同的参数选择会导致不同的随机数序列。
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2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ 4、模数m的选择： 、模数 的选择 的选择： • m 应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于 应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于m; • 通常将 取为计算机所能表示的最大的整型量，在32位计算 通常将m取为计算机所能表示的最大的整型量， 取为计算机所能表示的最大的整型量 位计算 机上， 机上，m=231=2x109 5、乘数因子a的选择： 、乘数因子 的选择 的选择： 1961年，M. Greenberger证明：用线性乘同余方法产生的随机 证明： 年 证明 数序列具有周期m的条件是 的条件是： 数序列具有周期 的条件是： 1. c和m为互质数； 为互质数； 和 为互质数 2. a-1是质数 的倍数，其中 是a-1和m的共约数； 是质数p的倍数 的共约数； 是质数 的倍数，其中p是 和 的共约数 3. 如果 是4的倍数，a-1也是 的倍数。 如果m是 的倍数 的倍数， 也是 的倍数。 也是4的倍数 周期=m=16 例：a=5,c=1,m=16,I0=1 周期 1,6,15,12,13,2,11,8,9,14,7,4,5,10,3,0,1,6,15, 12,13,2,..
/~zhangxy/clhep/html/index.html
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ FORTRAN中使用随机数产生器应注意的问题： 中使用随机数产生器应注意的问题： 中使用随机数产生器应注意的问题 变量的函数： 在FORTRAN中，如果随机数产生器是带 中 如果随机数产生器是带dummy变量的函数： 变量的函数 X=RAND(idum) 其中变量idum在函数中不使用，应注意以下问题： 在函数中不使用，应注意以下问题： 其中变量 在函数中不使用 FORTRAN编译器在对程序进行优化时： 编译器在对程序进行优化时： 编译器在对程序进行优化时
d=3 2953 d=4 566 d=6 120 d=10 41
改进措施： 改进措施：将递推公式修改为
I n = (a × I n −1 + b × I n − 2 ) mod m
特点： ）需要两个初始值（种子）； 特点：1）需要两个初始值（种子）； 2）周期可大于 ）周期可大于m;
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（
….
2. 利用 利用CERN程序库： 程序库： 程序库 • Y=rndm(x): 周期：5x108 周期： • Y=rn32(dummy):乘同余法，a=69069,i0=65539 乘同余法， 乘同余法 • Call ranmar(vec,len): 周期：1043 周期： • Call ranecu(vec,len,isq)
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ 3. 利用 利用CLHEP中的随机数产生器软件包： 中的随机数产生器软件包： 中的随机数产生器软件包 CLHEP(Class Library for High Energy Physics)中的随机数产 中的随机数产 生器
I n +1 = (aI n + c) mod m
其中： 其中： I0： 初始值（种子 初始值（种子seed) a： 乘法器 （multiplier) ： c： 增值（additive constant) 增值（ ： m： 模数（modulus) ： 模数（ mod：取模运算：(aIn+c)除以 后的余数 ：取模运算： 除以m后的余数 除以
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ RANDU随机数产生器： 随机数产生器： 随机数产生器 1961年由 年由IBM提出 年由 提出
I n +1 = (65539 × I n ) mod 231
unsigned long seed = 9; float randu() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long m = pow(2,31); unsigned long i1; i1 = (a * seed) % m; seed = i1; return (float) i1/float(m);
#include <math.h> unsigned long seed0 = 9; unsigned long seed1 = 11; float randac() { const unsigned long a = 65539; const unsigned long b = 65539; unsigned long i2; unsigned long m = pow(2,31); i2 = (a * seed1 + b * seed0 ) % m; seed0 = seed1; seed1 = i2; return (float) i1/float(m); }
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ for(int i=0; i < 10000; i++) { float x = randu(); float y = randu(); float z = randu(); h1->Fill(x); h2->Fill(x,y); h3->Fill(x,y,z); } pad1->cd(); h1->Draw(); pad2->cd(); h2->Draw(); pad3->cd(); h3->Draw(); }
}
void SetSeed(unsigned long i) { seed = i; }
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ 存在严重的问题： 存在严重的问题： Marsaglia效用 效用， Marsaglia效用，存在于所有乘同余方法的产生器
a, c ≥ 0 m > I 0 , a, c
a, c和m皆为整数 和 皆为整数 产生整型的随机数序列,随机性来源于取模运算 产生整型的随机数序列 随机性来源于取模运算 如果c=0 如果 乘同余法：速度更快， 乘同余法：速度更快，也可产生长的随机数序列
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（
X=RAND(IDUM)+RAND(IDUM) DO I=1,10 X=RAND(IDUM) … END DO X=2.0*RAND(IDUM) X=RAND(IDUM) DO I=1,10 …. END DO
解决办法： 解决办法：
DO I=1,10 IDUM = IDUM +1 X=RAND(IDUM) … END DO
Monte Carlo 模拟
第二章 均匀分布随机数的产生 2.3 线性乘同余方法
（Linear Congruential Method)
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ 1948年由 年由Lehmer提出的一种产生伪随机数的方法，是最常用的方 提出的一种产生伪随机数的方法， 年由 提出的一种产生伪随机数的方法 法。 1、递推公式： 递推公式：
2.3 线性乘同余方法（Linear Congruential Method) 线性乘同余方法（ 如何获取[0,1]区间均匀分布的随机数产生器： 区间均匀分布的随机数产生器： 如何获取 区间均匀分布的随机数产生器 1. 每一个 每一个Monte Carlo模拟程序软件包都有自带的产生器： 模拟程序软件包都有自带的产生器： 模拟程序软件包都有自带的产生器 • Jetset(LUND Monte Carlo模拟系列）：利用 模拟系列）：利用Marsaglia等 模拟系列）：利用 等 所提出的算法，周期可达10 所提出的算法，周期可达 43 函数用法： 函数用法：r=rlu(idummy) • Geant3(探测器模拟程序，FORTRAN): 周期 探测器模拟程序， 周期=1018 探测器模拟程序 Call grndm(vec*,len)
2、实型随机数序列： 实型随机数序列：
In rn = → [ 0 ,1) float ( m ) In rn = → [ 0 ,1] float ( m − 1)
In < m In ≤ m −1
3、特点： 特点： 1）最大容量为m：0 ≤ I n ≤ m ）最大容量为 ： 2）独立性和均匀性取决于参数a和c的选择 ）独立性和均匀性取决于参数 和 的选择 7,6,9,0,7,6,9,0,… 例：a=c=I0=7, m=10