高一数学几何体练习题
高一数学必修二 立体几何点线面 专项练习(含答案)
（3）求直线与平面所成角的正切值.
15. （本题13分）在几何体ABCDE中, ∠BAC= , DC⊥平面ABC, EB⊥平面ABC, F是BC的中点, AB=AC=BE=2, CD=1.
（1）求证: DC∥平面ABE；
（2）求证: AF⊥平面BCDE；
（3）求几何体ABCDE的体积.
16. 如图, 在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底面边长及侧棱长均为2, D是棱AB的中点,
(1)求证 ;
(2)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
17.如图,在正方体中,为底面的中心,是的中点,设是上的中点,求证:（1）;
(2)平面 ∥平面 .
18. (14分)如图, 在直三棱柱中, , 点是的中点.
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）求证: 平面 ；
（Ⅲ）求异面直线 与 所成角的余弦值.
参考答案
Hale Waihona Puke 1．D2．D3．C
4．D
5．B
6．②④
7.平行或相交（直线在平面外）
8．1, 2, 3
9．
10. ②④⑤
11. （1）见解析（2）见解析
12. 见解析。
13. （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析。
14. （1）证明: 见解析；（2）证明: 见解析；（3）
二、填空题:
6.设是三个不重合的平面,是直线,给出下列四个命题:
①若
②若
③若
④若
其中正确的命题序号是
7. 已知两条相交直线, , ∥平面, 则与的位置关系是 .
8．如图, 空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M、N分别是BD和AE的中点, 那么
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面
高一数学立体几何练习题及部分答案大全
立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=⊂ D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、 解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。
高一数学立体几何综合试题
高一数学立体几何综合试题1.正方体的棱长为1，为的中点，为线段的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是①当时，为四边形②当时，为等腰梯形③当时，与的交点满足④当时，为六边形⑤当时，的面积为【答案】①②③⑤【解析】如图，当时，，即Q为CC1中点，此时可得，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③时，如图，延长DD1至N，使，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证，由1，可得，故可、得，故正确；④由③可知当时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为，故正确．【考点】空间图形与平面图形的关系2.下列说法正确的是( )A．三点确定一个平面B．平面和有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．四边形一定是平面图形【答案】C【解析】A中应为不共线的三点确定一个平面,B与公理2矛盾，D中有空间四边形，而C中梯形有一组对边平行，是平面图形，所以选C.【考点】平面的基本性质.3.等腰梯形，上底，腰，下底，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为_______．【答案】【解析】如上图，，，，因为，所以，所以，在直观图中，【考点】斜二测画法4.如图，在五面体中，四边形是正方形，平面∥（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面；（3）求二面角的正切值。
【答案】（1）；（2）略；（3）。
【解析】（1）因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．故∠CED为异面直线CE与AF所成的角．因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE==3，故cos∠CED==．所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。
高一数学空间几何体试题答案及解析
高一数学空间几何体试题答案及解析1.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．【答案】（1）存在点，；（2）当时，三棱锥的最大值.【解析】（1）与立体几何有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用空间中点、线、面的位置关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；四是利用线面平行的定义，一般用反证法；（3）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（4）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：解：（Ⅰ）假设存在使得满足条件CP∥平面ABEF在平面内过点作交于，在平面内作直线交于点，连结 3分∵∴ 4分∵5分又∴平面∥平面 6分又∵∴，故点就是所求的点 7分又∵∴ 8分（Ⅱ）因为平面ABEF平面EFDC，平面ABEF平面EFDC＝EF，又AF EF，所以AF⊥平面EFDC 10分由已知BE＝x，所以AF＝x（），则FD＝8x．∴ 12分故当且仅当，即＝4时，等号成立所以，当＝4时，有最大值，最大值为 14分解法二：故所以，当＝4时，有最大值，最大值为 14分【考点】（1）探究性问题；（2）求体积的最大值.2.下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）【答案】A【解析】几何体的上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆台，故选A【考点】简单旋转体的概念3.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为一个正方体的棱长为为2，则该正方体的对角线长为.又因为该正方体的顶点都在球面上，所以球的直径就是正方体的对角线，即球的半径.又因为球的表面积.故选B.【考点】1.球的内接正方体.2.球的表面积公式.3.长方体的对称性.4.若圆锥的表面积，侧面展开图的圆心角为,则该圆锥的体积为______.【答案】【解析】设该圆锥的底面圆的半径为，母线长为，因为侧面展开图的圆心角为,所以，因为圆锥的表面积，所以，所以该圆锥的体积为【考点】本小题主要考查圆锥的侧面积和表面积的关系以及圆锥的体积计算.点评：解决本题的关键是正确运用圆锥中相应的计算公式、圆锥的侧面展开图的关系等求出，进而求出圆锥的高，然后利用圆锥的体积公式计算体积.5.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示。
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立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。
高一数学 立体几何练习
高一数学 立体几何练习一、选择题1．（全国Ⅰ•理•7）如图，正四棱柱1AC 中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ ）A ．51 B ．52 C ．53 D ．542．（全国Ⅱ•理•7）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等， 则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于（ ）A ．4B ．4C ．2D ．23．（北京•理•3）能推出平面α∥平面β的一个条件是（ ）A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥B ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥4．（福建•理•8）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒B ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．//,m n n m αα⊥⇒⊥5．（湖北•理•4）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题，其中不正确的命题个数是（ ）①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； A.1 B.2 C.3 D.4 6．（江苏•理•4）已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 7．（江西•理•7）如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 8．（辽宁•理•7）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个 不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m αγ=，n βγ=，m n ∥，则αβ∥ C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥ D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥9．（四川•理•4）如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°10．(宁夏•理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm 11．（天津•理•6）设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）Ａ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ Ｂ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥ Ｃ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥ Ｄ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 12．（浙江•理•6）若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面二、填空题13．（全国Ⅰ•理•16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。
高一数学周测试题空间几何体
高一数学周测试题空间几何体高一数学周测试题（5.14）1、一个长方体的长、宽、高分别为3，8，9，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为（ ）A. 3 B .8 C. 9 D. 3或8或92、要使圆柱的体积扩大8倍，有下面几种方法：①底面半径扩大4倍，高缩小21倍；②底面半径扩大2倍，高缩为原来的98；③底面半径扩大4倍，高缩小为原来的2倍；④底面半径扩大2倍，高扩大2倍；⑤底面半径扩大4倍，高扩大2倍，其中满足要求的方法种数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43、在用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，与轴不平行的线段的大小（ ）A. 变大B. 变小C. 一定改变D. 可能不变4、向高为H 的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系如下面左图所示，那么水瓶的形状是（ ）5、设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（ ） A. π6 B. π34 C. π38 D. π332 6、圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A. 1200B. 1500C. 1800D. 24007、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（ ）A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台8、长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ） A. 220π B. 225π C. π50 D. π2009、如图所示的直观图的平面图形ABCD 是（ ）A. 任意梯形B. 直角梯形C. 任意四边形D. 平行四边形10、体积相等的球和正方体，它们的表面积的大小关系是（ ）A. 正方体球S S >B. 正方体球S S =C. 正方体球S S <D. 不能确定11、正三棱锥的底面边长为a ，高为a 66，则此棱锥的侧面积等于（ ） A. 432a B. 232a C. 4332a D. 233 2a 12、一个圆台的上、下底面面积分别是12cm 和492cm ，一个平行底面的截面面积为252cm ，m 则这个截面与上、下底面的距离之比是( )A. 2: 1B. 3: 1C. 2: 1D. 3: 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A D D ABC C C B C A A。
高一数学必修2测试题及答案全套
（数学2必修）第一章 空间几何体[基础训练A 组] 一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示；这个几何体应是一个( )A .棱台B .棱锥C .棱柱D .都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）AB. C. D. 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5；且它的8个顶点都在 同一球面上；则这个球的表面积是（ ）A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）AB2 C．2:D35．在△ABC 中；02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=；若使绕直线BC 旋转一周；则所形成的几何体的体积是（ ）A.92π B. 72π C. 52π D. 32π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面；且侧棱长为5；它的对角线的长 分别是9和15；则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面；面数最少的一个棱锥有 ________个顶点； 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
主视图 左视图 俯视图2．若三个球的表面积之比是1:2:3；则它们的体积之比是_____________。
3．正方体1111ABCD A B C D - 中；O 是上底面ABCD 中心；若正方体的棱长为a ； 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。
4．如图；,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心；则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6；这个长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15；则它的体积为___________.三、解答题1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）；已建的仓库的底面直径为12M ；高4M ；养路处拟建一个更大的圆锥形仓库；以存放更多食盐；现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M （高不变）；二是高度增加4M (底面直径不变)。
高一数学空间几何体试题
高一数学空间几何体试题1.球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（）A． 2:B． 3:C． 4: D． 6:【答案】A【解析】若正方体的棱长为，则球的半径为，。
2.两个球的体积之比是，那么这两个球的表面积之比是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设半径分别为r,R;则故选B3.如图，半球内有一内接正方体，则这个半球体积与正方体的体积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若正方体的棱长为，半球的半径为R，在直角三角形中，，。
4.在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】利用三棱锥的体积变换：，则5.与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为a,球半径为r;由条件知则球表面积正方体的表面积之比为故选B6.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍【答案】8【解析】设球半径为扩大后球半径为则于是扩大后体积为所以它的体积扩大为原来的8倍.7.如图中斜二测直观图所示的平面图形是（）A．直角梯形B．等腰梯形C．不可能是梯形D．平行四边形【答案】A【解析】在直观图中不与坐标轴平行；所以在平面图形中，不与坐标轴平行，则所以是直角梯形。
故选A 8.三视图均相同的几何体有（）A．球B．正方体C．正四面体D．以上都对【答案】D【解析】此题考查空间几何体的三视图；球的三视图都是圆，正方体的三视图都是正方形，正四面体的三视图都是正三角形，所以选D9.图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图．【答案】三棱柱横放，直观图如图．【解析】根据几何体的三视图判断该几何体的形状:10.分别画一个三棱锥和一个四棱台．【答案】见解析【解析】解：画三棱锥可分三步完成第一步：画底面——画一个三角形；第二步：确定顶点——在底面外任一点；第三步：画侧棱——连结顶点与底面三角形各顶点．画四棱可分三步完成第一步：画一个四棱锥；第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；第三步：将多余线段擦去．。
人教B版高一数学几何体阶段练习
E FGH222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++人教B版高一数学几何体阶段练习1．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）A. B. C. D.2．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱的半径之比为（）（A）2：1 （B）3：2（C）2：1 （D）2：33.正方体内切球和外接球半径的比是（）（A）1：2（B）1：3（C）2：3（D）1：24.函数y=)12(log21-x的定义域为A．(21，＋∞) B．［1，＋∞) C．(21，1]D．(－∞，1)5．已知函数y=log21(ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．a＞ 1 B．10<≤a C．0＜a＜1 D．10≤≤a6．若22log()y x ax a=---在区间(,1-∞上是增函数，则a的取值范围是（）A．[2-B．)22⎡-⎣C．(22⎤-⎦D．()22-7、下列函数中，值域为R+的是（）（A）y=5x-21（B）y=(31)x-1（C）y=1)21(-x（D）y=x21-8．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是（）．A．1 B．2 C．1或7 D．2或69．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）.A. 3B. 6C.D.2310、下列关系中正确的是（）（A）（21）32<（51）32<（21）31（B）（21）31<（21）32<（51）32（C）（51）32<（21）31<（21）32（D）（51）32<（21）32<（21）31二、填空题：1112.长方体的全面积为，所有棱长的和为24cm，则这个长方体的对角线长为________．13．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长.14.圆锥底面半径为1个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.15．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是_______________.M B AB16.已知圆锥的底面半径为r，高为H，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.17.圆台的两底面面积分别为1、49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两线段的比。
人教版数学高一第一章空间几何体单元测试精选(含答案)3
【答案】 2 1 3 4 2
评卷人 得分
三、解答题
试卷第 8页，总 11页
40．一张长为10cm ，宽为 5cm 的矩形纸，以它为侧面卷成一个圆柱，求该圆柱的体积.
125
【答案】
cm3 或 125
cm3 .
π
2π
41．如图所示，在四边形 ABCD 中， A0, 0 ， B 1,0 ， C 2,1 ， D 0,3 ，将四边
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】A
8．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）．
A．（1）是棱台 C．（3）是棱锥 【答案】C
B．（2）是圆台 D．（4）不是棱柱
试卷第 2页，总 11页
9．一个球的内接正方体的表面积为 54,则球的表面积为( )
1
PB1＝ A1B1，则多面体 P－BCC1B1 的体积为( )
4
A．
8 3
C．4
【答案】B
16
B．
3
D．5
评卷人 得分
二、填空题
27．圆台的上底面半径为 2，下底面半径为 3，截得此圆台的圆锥的高为 6，则此圆台
的体积为____________.
【答案】 38 π 3
28．已知在三棱锥 P ABC 中，侧面与底面所成的二面角相等，则点 P 在平面 ABC 内的射影一定是 ABC 的__________心．
所示)，则其侧视图的面积是 ( )
A．4 3cm2
B．2 3 cm2
C．8 cm2
D．4 cm2
【答案】A 21．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为( )
高一数学空间几何体试题答案及解析
高一数学空间几何体试题答案及解析1.长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（）．Ａ． B．4 C．3D．2【答案】B【解析】设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．【考点】长方体的结构特征，面积和棱长的关系.2.如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】根据直观图可知,根据直观图与平面图的关系可知,平面图中, ,在轴上,且 ,所以.【考点】直观图与平面图的关系3.某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm）；（1）求出这个工件的体积；（2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.【答案】(1) ;(2)314元【解析】(1)根据三视图可知该工件是一个圆锥的形状，其中圆的半径为2，母线长为3，所以圆锥的高 .又根据圆锥的体积公式 .可得 .故填 .(2)因为圆锥的表面积公式为.又因为，.所以.所以10个共要.所以共需要元.所以填314元.试题解析：（1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3， 2分设圆锥高为，则 4分则 6分（2）圆锥的侧面积， 8分则表面积=侧面积+底面积=（平方厘米）喷漆总费用=元 11分【考点】1 三视图 2 圆锥的体积 3 圆锥的表面积4.已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是()A．B．C．D．3【答案】C【解析】该几何体是三棱柱，如下图，，其表面积为。
故选C。
【考点】柱体的表面积公式点评：由几何体的三视图来求出该几何体的表面积或者体积是一个考点，这类题目侧重考察学生的想象能力。
5.已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点．(Ⅰ)求证：直线平面；(Ⅱ）求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）取的中点为，连接，推出，，且，利用四边形为平行四边形，得到，所以直线平面.(Ⅱ）点到平面的距离为．【解析】（Ⅰ）取的中点为，连接，因为为的中点，为中点，所以，，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为,所以直线平面.(Ⅱ）由已知得，所以,因为底面三角形为正三角形，为中点，所以, 所以，由（Ⅰ）知，所以，因为，所以,,设点到平面的距离为，由等体积法得，所以，得，即点到平面的距离为．【考点】正三棱柱的几何特征，平行关系，垂直关系，体积计算，距离计算。
高一数学空间几何体试题答案及解析
高一数学空间几何体试题答案及解析1.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为的直角三角形，面积是，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，这是三棱锥的高，三棱锥的体积是.故选A．【考点】本题考查由三视图求面积、体积．2.已知一空间几何体的三视图如图所示，它的表面积是()A．B．C．D．3【答案】C【解析】该几何体是三棱柱，如下图，，其表面积为。
故选C。
【考点】柱体的表面积公式点评：由几何体的三视图来求出该几何体的表面积或者体积是一个考点，这类题目侧重考察学生的想象能力。
3.已知某一几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②③④【答案】D【解析】俯视图为⑤的几何体的侧视图如下，这与题目不相符，而①②③④符合题意。
故选D。
【考点】三视图点评：本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题．4.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求出该几何体的体积；(2)若是的中点，求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面.【答案】(1)4 (2)主要证明∥ (3)主要证明平面【解析】解:(1)由题意可知，四棱锥中，平面平面，，所以，平面，又，，则四棱锥的体积为.(2)连接，则∥，∥，又，所以四边形为平行四边形，∴∥，∵平面，平面，所以，∥平面.(3)∵，是的中点，∴⊥，又在直三棱柱中可知，平面平面，∴平面，由(2)知，∥，∴平面，又平面，所以，平面平面.【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACDE，（2）的关键是分析出四边形ANME为平行四边形，即AN∥EM，（3）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化．5.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为( )A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【答案】B【解析】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF,GH平行且相等，GF,EH 平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。
高一数学空间几何体的表面积与体积试题
高一数学空间几何体的表面积与体积试题1.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是．【答案】【解析】设甲、乙两个圆柱的底面半径为，母线长，由于侧面积相等，，，，.【考点】圆柱的体积公式应用.2.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.（1）证明：平面；（2）若，，，求三棱锥的体积；（3）证明：平面.【答案】（1）见解析；（2）体积（3）见解析【解析】试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.试题解析:（1）证明：因为平面，所以。
因为为△中边上的高，所以。
因为，所以平面。
4分（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，所以。
因为平面，所以平面。
则，。
8分（3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点，所以。
因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以。
因为，所以。
因为平面，所以。
因为，所以平面，所以平面。
13分【考点】（1）空间中线面垂直和平行的判定（2）几何体的体积.3.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（）A．8:27B．2:3C．4:9D．2:9【答案】C【解析】由题意，故选C【考点】球的体积和表面积4.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为正方体的对角线长就是外接球的直径，而正方体的对角线长为，所以球的半径为，所以正方体的外接球的体积为，故选A．【考点】1、球与正方体的组合体；2、球的体积．5.棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱的中点，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则（1）直线被球截得的线段长为（2）四面体的体积的最大值是【答案】(1);(2).【解析】（1）因为点在圆上，为中点，所以直线被球截得的线段长为正方形的外接圆直径，等于，（2）过做与点，连接∵，，平面∥平面，为平面与两平行平面的交线，，又，，平面，设正方体的棱长为1，，则，当时，最大值为．【考点】组合体6.已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（1）求三棱柱的体积；（2）求证：；（3）求证：∥面．【答案】（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.【解析】（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.试题解析：（1） 3分（2）∵，∴为等腰三角形∵为中点，∴ -4分∵为直棱柱，∴面面 5分∵面面，面∴面 6分∴ 7分（3）取中点，连结， 8分∵分别为的中点∴∥，∥， 9分∴面∥面 11分面∴∥面 12分.【考点】1.空间几何体的体积计算；2.空间中的平行关系；3.空间中的垂直关系.7.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设该正三棱锥为，依题意两两垂直且，所以，且该正三棱锥的外接球与以为邻边的正方体的外接球是相同的，正方体的边长为，体对角线长为，故球的半径为，所以球的表面积为，故选A.【考点】1.三棱锥的外接球；2.球的表面积公式.8.已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的棱长是()A．B．C．D．【答案】D【解析】先求球的半径，直径就是正方体的对角线，然后求出正方体的棱长．正方体外接球的体积是，则外接球的半径正方体的对角线的长为2，棱长等于，故选D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．9.正方体的体积是64，则其表面积是()A．64B．16C．96D．无法确定【答案】C【解析】由正方体的体积是64，能求出正方体的边长为4，由此能求出正方体的表面积．解：∵正方体的体积是64，∴正方体的边长为4，∴它的表面积S=6×42=96．故选C【考点】正方体的体积和表面积点评：本题考查正方体的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．10.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48B．32+8C．48+8D．80【答案】C【解析】观察三视图可知，这是一个四棱柱，底面梯形两底分别为2,4，高为4，几何体的高为4，底面梯形的腰长为，所以，几何体表面积为，48+8，故选C。
高一数学空间几何练习题
高一数学空间几何练习题一、单选题（共20题；共40分）1.（2018高二上·临汾月考）正方形ABCD的边长为1cm，是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的面积为( )A. √24cm2 B. 1cm2 C. 2√2cm2 D. 4cm22.已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（）A. √6−2B. √6−√2C. √10−3D. 2√2−23.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（）A. 1：2：3B. 1：3：5C. 1：2：4D. 1：3：94.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（）A. 8√2πB. 8πC. 4√2πD. 4π5.（2019·荆门模拟）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.6.轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的（）倍．A. 4B. 3C. 2D. √27.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. 6πB. 12πC. 18πD. 24π8.下列结论正确的是（）A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线9.（2016高二上·金华期中）如图是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（）A. B. C. D.10.（2015高一下·厦门期中）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 3π2B. 5π2C. 7π2D. 9π211.（2018·湖北模拟）已知正三棱锥S−ABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为2√3，则球O的表面积为( )A. 16πB. 18πC. 24πD. 32π12.如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形13.一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为（）A. B. C. D.14.球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的倍，球的体积扩大到原来的倍.（）A. √2、2√2B. √2、√2C. 2、2√2D. √2、215.已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为√2，体积为43，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A. 1：2B. 2：5C. 1：3D. 4：516.（2018高一上·广东期末）已知棱长为√3的正方体ABCD−A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）A. 3√2πB. 2√3πC. 9√2π4D. 9√2π817.（2019高一上·吉林月考）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（）A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸18.（2020·漳州模拟）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M作平面α，使得平面α//平面A1BD，若平面α把ABC−A1B1C1分成的两个几何体中，体积较小的几何体的体积为（）A. 148B. 124C. 112D. 1819.（2019高二下·蕉岭月考）已知四棱锥，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. 8πB. 12πC. 4πD. 16π20.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. 2+B.C.D. 1+二、填空题（共12题；共13分）21.（2019高二下·上海月考）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________22.（2019高一下·淮安期末）一个长方体的三个面的面积分别是√2，√3，√6，则这个长方体的体积为________.23.（2018高二上·万州月考）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿第三棱柱的侧面绕行一周到达点A1的最短路线的长为________ cm．24.（2016高二上·云龙期中）已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是________ cm2．25.（2017高一下·长春期末）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。
高一数学立体几何综合试题
高一数学立体几何综合试题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【解析】如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有：AB和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对，故选 C．【考点】展开图还原几何体，异面直线.2.如图，三棱柱的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A1B1的中点。
（I）求证：B1C//平面AC1M；（II）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体的实际形状时，一般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑；（2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（3）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键.试题解析：证明：（I）由三视图可知三棱柱为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且，连结A1C，设。
连结MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以 MO//B1C．又平面;平面，所以平面 6分（II），又为的中点，平面，平面又平面所以平面AC1M⊥平面AA1B1B 12分【考点】(1)直线与平面平行的判定；（2）平面与平面垂直的判定.3.如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题可得A¢D¢=A¢B¢=1,B¢C¢=1+,所以原平面图形中AD=1，AB=2，BC=1+,根据梯形的面积计算公式可得【考点】斜二测画法.4.在空间直角坐标系中，以点为顶点的是以为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．-2B．2C．6D．2或6【答案】D【解析】因为在空间直角坐标系中，以点为顶点的是以为底边的等腰三角形.所以可得.有空间两点间的距离公式可得，解得.故选D.【考点】1.空间中的两点的距离公式.2.解二次方程的能力.5.如图，空间四边形的对棱、成的角，且，平行于与的截面分别交、、、于、、、．（１）求证：四边形为平行四边形；（２）在的何处时截面的面积最大？最大面积是多少？【答案】（１）利用线面平行的性质得到线线平行，然后再利用平行四边形的定义即可证明．（２）当E为AB的中点时，截面面积最大，，【解析】（１）平面，平面，平面平面，．同理，，同理，四边形为平行四边形．（２）与成角，或，当E为AB的中点时，截面面积最大，，【考点】本题考查了线面平行的性质及平行四边形的概念、面积点评：证明两直线平行的方法有：①依定义采用反证法；②利用公理4；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理6.如图：是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，PA="AC," 是圆周上不同于的任意一点，(1) 求证：平面。
高一数学立体几何初步试题答案及解析
高一数学立体几何初步试题答案及解析1.点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】点A（1，2，3）在坐标平面内的射影为B（0,2,3），所以|OB|=，故选B。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。
点评：理解好射影的概念，用熟两点间距离公式。
2.两等角的一组对应边平行，则（）A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边也不可能垂直D．以上都不对【答案】D【解析】两等角的一组对应边平行，另一组对应边由多种情况，如平行、相交、异面等，关系D。
【考点】本题主要考查直线的位置关系。
点评：视野要开阔，考虑多种可能情况。
3.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A．只有一个B．至少有一个C．可能没有D．有无数个【答案】C【解析】经过平面外两点与这个平面平行的平面可能没有，如两点所在直线与平面相交时，关系C。
【考点】本题主要考查点线面的关系—--平行关系。
点评：考虑点与平面的多种可能情况思考，结合实物模型探究。
4.如图所示，平面M、N互相垂直，棱l上有两点A、B，AC M，BD N，且AC⊥l，AB＝8cm，AC＝6 cm，BD＝24 cm，则CD＝_________．【答案】26 cm；【解析】连接AD，∵平面M、N互相垂直，AC⊥l，∴AC⊥平面N∴AC⊥CD；∵AB=8cm，AC=6cm，∴BC=10cm，又∵BD=24cm，∴CD=26cm。
【考点】本题主要考查点、线、面间的距离计算、面面垂直。
点评：考查的知识点是空间点到点之间的距离，其中根据面面垂直及线面垂直的性质得到△ABC，△ACD均为直角三角形，是解答本题的关键。
5.下面的图形可以构成正方体的是（）【答案】C【解析】从选项出发，还原成正方体的只有C。
【考点】本题主要考查正方体的展开图。
点评：从选项出发，看能否还原成正方体。
6.下列命题中正确的是（）A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥B．棱锥的高线可能在几何体之外C．仅有一组对面平行的六面体是棱台D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥【答案】B【解析】由五个平面围成的多面体除四棱锥外，还可以是三棱台；棱锥的高线应是其顶点向底面所作垂线段，斜棱锥的高即在几何体外，故选B。
高一数学空间几何体试题答案及解析
高一数学空间几何体试题答案及解析1.两个球的体积之比是，那么这两个球的表面积之比是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设半径分别为r,R;则故选B2.一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为（）A．45πB．27πC．36πD．54π【答案】D【解析】因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，所以圆柱的表面积.3.有6根细木棒，其中较长的两根分别为，，其余4根均为，用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线所成的角的余弦值为 .【答案】或0【解析】依题意可得，三棱锥中较长的两条棱长为，设这两条棱所在直线的所成角为。
若这两条棱相交，则这两条棱长所在面的第三条棱长为，由余弦定理可得。
若这两条棱异面，如图，不妨设，取中点，连接。
因为，所以有，从而有面，所以，则4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即，5.将一个边长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A．B．12a2C．18a2D．24a2【答案】B【解析】27个全等的小正方体的棱长为边长为a的正方体的表面积为27个全等的小正方体的表面积和为则表面积增加了。
故选B6.两个球体积之和为12π，且这两个球大圆周长之和为6π，那么这两球半径之差是（）A．B．1C．2D．3【答案】B【解析】7.直径为10cm的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为2cm的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为（）A．5B．15C．25D．125【答案】D【解析】设个数为则故选D8.与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为a,球半径为r;由条件知则球表面积正方体的表面积之比为故选B9.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的___________倍【答案】8【解析】设球半径为扩大后球半径为则于是扩大后体积为所以它的体积扩大为原来的8倍.10.利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A．①②B．①C．③④D．①②③④【答案】A【解析】由斜二测画法规则知：①正确；平行性不变，故②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故④错误．故选A11.下列说法中正确的是（）A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形【答案】D【解析】坐标轴上的两条直线的直观图是成角的两条直线；梯形的直观图不可能是平行四边形，平行的一组对边长度不相等，它们的直观图的长度也不相等；矩形的直观图是平行四边形，不可能是梯形；正方形的直观图是平行四边形。
高一数学立体几何题目
1.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：AB⊥C1F；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．2.如图所示，矩形ABCD中，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BFD；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BFG的体积．3.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．4.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D．5.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．6.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．7.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC 的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．8.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．（1）求证：AB1⊥BC1；（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．10.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．（Ⅰ）证明：NE⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．-中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，11.如图，在四棱锥P ABCD，，，，O为AC与BD的交点，E为棱PB上∠====6023BAD AB PD AD BD一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若2PE EB =，求二面角E AC B --的大小.12.如图，已知AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB=90°，AB ∥CD ，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF ∥面BCE ；（2）求证：AC ⊥面BCE ；（3）求三棱锥E ﹣BCF 的体积．13.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB ；（2）当PD=AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．试卷答案1.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由BB1⊥平面ABC得AB⊥BB1，又AB⊥BC，故AB⊥平面B1BCC1，所以AB⊥C1F；（2）取AB的中点G，连接EG，FG．则易得四边形EGFC1是平行四边形，故而C1F∥EG，于是C1F∥平面ABE；（3）由勾股定理求出AB，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵BB1⊥底面ABC，AB⊂平面ABC∴BB1⊥AB．又∵AB⊥BC，BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面B1BCC1，又∵C1F⊂平面B1BCC1，∴AB⊥C1F．（2）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．∵F，G分别是BC，AB的中点，∴FG∥AC，且FG=AC，∵AC A1C1，E是A1C1的中点，∴EC1=A1C1．∴FG∥EC1，且FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG．又∵EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE．（3）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB==．∴三棱锥E﹣ABC的体积V=S△ABC•AA1=×××1×2=．2.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结FG，证明FG∥AE，然后证明AE∥平面BFD．（2）利用V C﹣BGF=V G﹣BCF，求出S△CFB．证明FG⊥平面BCF，求出FG，即可求解几何体的体积．【解答】（1）证明：由题意可得G是AC的中点，连结FG，∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC=BE，∴F是EC的中点，…（2分）在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．…（2）解：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（8分）∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中点，F是CE中点，∴FG∥AE且FG=AE=1．∴Rt△BCE中，BF=CE=CF=，…（10分）∴S△CFB=××=1．∴V C﹣BGF=V G﹣BCF=•S△CFB•FG=×1×1=．…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，三角锥的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．3.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接MP，只需证明四边形MPC1N是平行四边形，即可得MN∥C1P∵C1P，即可证得C1P∥平面MNC；（2）只需证明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点∵MP∥AC，MP=，又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC；（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1又CM⊂平面MNC，∴平面MNC⊥平面ABB1A1．4.【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】先证明四边形OFEB为平行四边形，可得EF∥BO，利用线面平行的判定定理，即可证明EF∥平面BB1D1D．【解答】证明：取D1B1的中点O，连OF，OB，∵OF∥B1C1，OF=B1C1，∵BE∥B1C1，BE=B1C1，∴OF∥BE，OF=BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO，∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D．5.【考点】LS：直线与平面平行的判定；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明AC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，即可证得AC⊥BC1；（2）取BC1与B1C的交点为O，连DO，则OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，而AC1⊂平面B1CD，利用线面平行的判定定理即可得证．【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，∴OD是三角形ABC1的中位线，OD∥AC1，又∵AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．6.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴AC⊥AB，AC⊥PA，又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB，又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．7.【考点】LS：直线与平面平行的判定；LU：平面与平面平行的判定．【分析】（1）连结SB，由已知得EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）连结SD，由已知得FG∥SD，从而FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，由此能证明平面EFG∥平面BDD1B1．【解答】证明：（1）如图，连结SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，EG不包含于平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．（2）如图，连结SD，∵F，G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD，又SD⊂平面BDD1B1，FG不包含于平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又直线EG∥平面BDD1B1，且直线EG⊂平面EFG，直线FG⊂平面EFG，EG∩FG=G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．8.【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（1）由已知可得AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，再由BC=CC1，得BC1⊥B1C，由线面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C，从而得到AB1⊥BC1；（2）设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，进一步得到AB1⊥平面BOP，说明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．然后求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，则AC⊥CC1．又∵AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面B1BCC1，则AC⊥BC1，∵BC=CC1，∴四边形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C，又AC∩B1C=C，∴BC1⊥平面AB1C，则AB1⊥BC1；（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，连结BP．由（1）知BO⊥AB1，而BO∩OP=O，∴AB1⊥平面BOP，则BP⊥AB1，∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角．∵△OPB1～△ACB1，∴，∵BC=CC1=a，AC=2a，∴OP=，∴=．在Rt△POB中，sin∠OPB=，∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值为．9.【考点】LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由线面垂直得CD⊥PA，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．【解答】（本题满分8分）证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF平行且等于CD，∴GF平行且等于AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．10.【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，由三角形中位线定理可得NF∥PD，，在结合已知得四边形NFCE为平行四边形，得到NE∥AC．再由PD ⊥平面ABCD，得AC⊥PD，从而证得NE⊥PD；（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，则BC⊥平面PDCE．然后利用等积法把三棱锥E﹣PBC的体积转化为B﹣PEC的体积求解．【解答】（Ⅰ）证明：连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且，又EC∥PD且，∴NF∥EC且NF=EC．∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE ∥FC ，即NE ∥AC ．又∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴AC ⊥PD ，∵NE ∥AC ，∴NE ⊥PD ；（Ⅱ）解：∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ， ∴平面PDCE ⊥平面ABCD ，∵BC ⊥CD ，平面PDCE ∩平面ABCD=CD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PDCE ． 三棱锥E ﹣PBC 的体积=．11.（1）证明见解析；（2）60°．试题解析：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC PD ⊥. ∵,60AD BD BAD =∠=，∴ABD ∆为正三角形，四边形ABCD 是菱形， ∴AC BD ⊥，又PD BD D=⋂，∴AC ⊥平面PBD ，而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD .（2）如图，连接OE ，又（1）可知EO AC ⊥，又AC BD ⊥， ∴EOB ∠即为二面角E AC B --的平面角， 过E 作EHPD ，交BD 于点H ，则EH BD ⊥，又31 2,2,3,,33PE EB AB PD EH OH=====，在RT EHO∆中，tan3EHEOHOH∠==60EOH∠=，即二面角E AC B--的大小为60.考点：线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理及二面角的求法.12.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E﹣BCF的体积V E﹣BCF=V C﹣BEF，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF ∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2∴AC=BC==，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．解：（3）三棱锥E﹣BCF的体积：V E﹣BCF=V C﹣BEF====．13.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。
高一数学立体几何试题答案及解析
高一数学立体几何试题答案及解析1.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略2.在正方体ABCD–A1B1C1D1中，已知E是棱C1D1的中点，则异面直线B1D1与CE所成角的余弦值的大小是（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】略3.如图1，正方体中，、是的三等分点，、是的三等分点，、分别是、的中点，则四棱锥的侧视图为（）【答案】C【解析】侧视图从左向右投影，对应，对应，对应，对应，因此侧视图为C项【考点】三视图4.已知直线，平面，下列命题正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行，符号表示为：；【考点】空间中两个平面平行的判定定理；5.（本小题满分13分）如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与面所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）直三棱柱的侧棱和底面垂直，从而可得到AD⊥BB1，并且AD⊥BC，从而由线面垂直的判定定理可得到AD⊥平面BCC1B1；（2）连接C1D，从而可得到∠AC1D为直线AC1和平面BCC1B1所成角，在Rt△AC1D中，容易求出AD，AC1，从而sin∠AC1D=．试题解析：（1）直三棱柱中，，又，D是BC的中点，，平面；（2）连接，由（1）平面，则即为直线与面所成角，在直角中，，，，．即直线与面所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．6.正方体的表面积为24，则该正方体的内切球的体积为____________．【答案】【解析】正方形边长设为，内切球的直径为2，所以体积为【考点】正方体与球的基本知识7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B【解析】根据二面角的定义，是所求二面角的平面角，易得：．【考点】二面角8.已知是直线，是平面，下列命题中：①若垂直于内两条直线，则；②若平行于，则内可有无数条直线与平行；③若m⊥n，n⊥l则m∥l；④若，则；正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】①改为垂直于平面内的两条相交直线；②正确；③改为或相交或异面；④改为或异面．故选A．【考点】线与线，面与面，线与面位置关系9.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________【答案】【解析】直观图中等腰直角三角形斜边长为2，所以两条直角边为，面积为1，因为直观图和平面图面积比为，所以平面图形的面积为【考点】平面直观图10.如图，是一个平面图形的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形的面积等于．【答案】【解析】水平放置的斜二测直观图还原成平面图形如上图，由斜二测画法的定义：平行于轴的线段仍平行于轴，长度不变，平行于轴的线段仍平行于轴，但长度减半，所以，，，所以．【考点】斜二测画法.11.如图，是正方体的棱的中点，给出下列命题①过点有且只有一条直线与直线，都相交；②过点有且只有一条直线与直线，都垂直；③过点有且只有一个平面与直线，都相交；④过点有且只有一个平面与直线，都平行．其中真命题是：A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】直线与是两条互相垂直的异面直线，点不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取的中点，则，且，设与交于，则点共面，直线必与直线相交于某点．所以，过点有且只有一条直线与直线都相交；故①正确；过点有且只有一条直线与直线都垂直，此垂线就是棱，故②正确；过点有无数个平面与直线都相交，故③不正确；过点有且只有一个平面与直线都平行，此平面就是过点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．综上，①②④正确，③不正确，故选B．【考点】1．直线与平面平行的性质；2．平面与平面垂直的性质．【思路点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，①需要构造一个过点M且与直线AB、B1C1都相交的平面，就可判断；②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B1C1都相交的平面，即可判断．④利用线面平行的性质来判断即可．12.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积________________．【答案】【解析】因为设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，，得，圆锥的高，即圆锥的高为，即圆锥的体积．【考点】锥体的侧面积公式．【思路点睛】设圆锥的底面半径为，母线为，利用圆锥的底面周长就是圆锥的侧面展开图的弧长，推出底面半径与母线的关系，通过圆锥的表面积求出底面半径，求出圆锥的高，然后再根据圆锥的体积公式，即可求出圆锥的体积．13.正六棱柱的底面边长为，侧棱长为1，则动点从沿表面移到点时的最短的路程是．【答案】【解析】如下图所示，作出正六棱柱的展开图，如果动点从经侧面通过移到点时，则路程为；如果动点从经经沿上底面移到点时，根据题目条件，，则路程为；而，所以最短的路程是.【考点】1、棱锥的展开图；2、最值问题．14.若底面为正三角形的几何体的三视图如图所示，则几何体的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面为正三角形的直三棱柱，底面三角形的高为，棱柱高为4，设底面边长为x，则解得，故几何体的侧面积为故选：D．【考点】三视图，几何体的侧面积15.如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③不是棱锥D．④是棱柱【答案】D【解析】图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，选D．【考点】空间几何体的结构特征．16.在空间直角坐标系中，给定点，若点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（）A．2B．4C．D．【答案】A【解析】由题意知：，，则，故选A．【考点】空间两点间的距离公式．17.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体的形状是棱长为的正方体上有一个高为的正四棱锥，其体积为．【考点】1、三视图；2、空间几何体的体积．18.（2015秋•大连校级期末）如图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥面PBC．（1）证明：EF∥BC．（2）证明：AB⊥平面PFE．（3）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．【答案】（1）、（2）见解析；（3）BC=3或BC=．【解析】（1）由EF∥面PBC可得出EF∥BC；（2）由PC=PD=CD=4可知△PDC是等边三角形，故PE⊥AC，由平面PAC⊥平面ABC可得PE⊥平面ABC，故PE⊥AB，由EF∥BC，BC⊥AB可得AB⊥EF，从而AB⊥平面PEF；（3）设BC=x，用x表示出四边形DFBC的面积，根据体积列出方程解出x．解：（1）证明：∵EF∥面PBC．EF⊂面ABC，面PBC∩面ABC=BC，∴EF∥BC．（2）∵由CD=DE+EC=4，PD=PC=4，∴△PDC是等边三角形，∴PE⊥AC，又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩面ABC=AC，PE⊂平面PAC，∴PE⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴PE⊥AB，∵∠ABC=，EF∥BC．∴AB⊥EF，又∵PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF．（3）设BC=x，则AB=，∴=，∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴．∵AD=AE，，∴S=，四边形DFBC由（2）可知PE⊥平面ABC，且PE=，∴V=，解得x=3或者，∴BC=3或BC=．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．19.（2015秋•鞍山校级期末）如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】（1）连结OC，推导出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面BCD．（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，由V﹣ACD=V A﹣OCD，能求出点O到平面ACD的距离．O证明：（1）连结OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，，∴．在△AOC中，∵AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．∵BD∩OC=0，∴AO⊥平面BCD．解：（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h．∵V﹣ACD=V A﹣OCD，∴．O在△ACD中，AD=CD=2，．而，，∴．∴点O到平面ACD的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．20.平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图，设截面圆的圆心为，为∴，即球的半径为，∴，故选B.【考点】1、球体的体积；2、球体的性质.【思路点晴】本题考察的是球体的性质，属于中档题目；用平面截球面，得到一个圆，球心到圆心的连线垂直于圆所在的平面，从而得到直角三角形，利用勾股定理即可求出球的半径，再将球的半径代入球的体积公式中，即可求出球的体积．21.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【答案】24【解析】由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）截取得到的．在长方体中分析还原，如图（1）所示，故该几何体的直观图如图（2）所示．在图（1）中，，．故几何体的体积为．【考点】1、三视图；2、组合体的体积.【技巧点晴】本题考查的是空间几何体的体积的求法、三视图问题，属于中档题目；要先从三视图的俯视图入手，如果俯视图是圆，几何体为圆锥或三圆柱，如果俯视图是三角形，几何体为三棱柱或三棱锥；根据三视图得出该几何体为三棱柱截去三棱锥后的几何体，用两个体积相减即可.22.如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面平面BCD，则下列结论正确的是 .（1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）四面体的体积为.【答案】（2）（4）【解析】由BD CD，使平面平面BCD，知平面，所以，又由，得，即，所以平面，即．因此是错误的，是正确的，由上面证明知是与平面所成的角，由知，．故选（2）（4）正确．【考点】命题的真假判断．【名师】折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体．如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线线，线面和面面位置关系的判定方法及相互转化，角的作法，还要正确识别出平面图象折叠后的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题．这正是折叠问题的价值所在．23.如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=PA，F为PA的中点.（1）求证：PC∥平面BDF.（2）记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体积为V2，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）要证线面平行，就是要证线线平行，这条平行线就是过的平面与平面的交线，从图中看，设与的交点为，就是要找的平行线，由中位线定理可证得平行；（2）题中四棱锥与三棱锥的体积没有直接的关系，我们可以通过体积公式进行转化，首先，而三棱锥与四棱锥的高相等（同），因此只要求得其底面积之比即可．试题解析：（1）证：连接EF，连接BD交AC与点O，连OF，依题得O为AC中点，又F为PA的中点，所以OF为中位线，所以OF//PC因为所以PC∥平面BDF。
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5．有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长分别为 、 、 。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的一个是四棱柱，则 的取值范围是_______
6．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．
2．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC= ，BB1=2， ，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为.
3．如图，正方体 的棱长为 ，将该正方体沿对角面 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．
A． B． C． D．
14．设地球半径为R，若甲地位于北纬 东经 ，乙地位于南纬度 东经 ，则甲、乙两地球面距离为
A． B． C． D．
15．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于
第一章《空间几何体》
一、选择题
1．已知高为3的直棱柱ABCபைடு நூலகம்A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为
A． B． C． D．
2．如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是
5． 6． 7．
A． B． C． D．
16．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是
A．4B．5C．6D．7
二、填空题
1．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是.
A． B． C． D．
5．木星的体积约是地球体积的 倍，则它的表面积约是地球表面积的
A．60倍B．60 倍C．120倍D．120 倍
6．在正三棱柱 中，若AB=2， 则点A到平面 的距离为
A． B． C． D．
7．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为
A． B． C． D．
3．如图，在三棱柱 中，点E、F、H、K分别为 、 、 、 的中点，G为ΔABC的重心 从K、H、G、 中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为
A．K B．H C．G D．
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为
正四面体的高的最小值为
A． B．2+ C．4+ D．
12． 的顶点在平面 内， 、 在 的同一侧， 、 与 所成的角分别是 和 ．若 ＝３， ＝ ， ＝５，则 与 所成的角为
A． B． C． D．
13．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为
A． B． C． D．
9．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为
A． B． C． D．
10．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且 均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为
A． B． C． D．
11．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个
7．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．
选择题、填空题答案
一、选择题
1．D 2．D3．C 4．B5．C6．B 7．C 8．C
9．B10．A11．B 12．C 13．C 14．D 15．C16．C
二、填空题
1． 2． 3． 4．