九年级数学圆的性质及习题

、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;3轨迹形式的概念：、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;固定的端点O为圆心。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。

圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：至U角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

四、圆与圆的位置关系外离（图1) —无交点— d R r ；外切（图2) —有一个交点— d = R r ；相交（图3) —有两个交点—R - r ：： d ：：R r ；内切（图4) —有一个交点— d = R _ r ；点在圆内= d ：： r= 点C在圆内；点在圆上 = d=r―点B在圆上；点在圆外=■d r―点A在圆外；直线与圆的位置关系直线与圆相离—d r=■ 无交点；直线与圆相切―d=r=有一个交点;直线与圆相交—d：：r-■有两个交点;、点与圆的位置关系1、2、3、1、2、3、=d ：：：R _r ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB_CD ③CE=DE 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即:在O O 中，T AB // CD•••弧AC 二弧BD④弧BC二弧BD⑤弧AC二弧AD六、圆心角定理顶点到圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论,即：① AOB =/DoE :② AB=DE ;③OC=OF :④弧BA =弧BDABD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的即：∙∙∙. AoB和.ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∙∙∙. AOB =2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，的弧是等弧；即：在。

O中，∙∙∙• C、. D都是所对的圆周角C= . D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所所对的弦是直径。

即：在O O中，I AB是直径或I . C =90..C =90 . AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形。

即：在△ ABC 中，I OC =OA=OB•••△ ABC是直角三角形或∙C=：90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在O O中，•••四边形ABCD是内接四边形CBAD =180BD =180对的弧是半圆, 角形是直角三C角的一半相等的圆周角所对.DAE =∕C九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即: V MN丄OA且MN过半径OA外端∙∙∙ MN是。

O的切线/O(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图) (■推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切F—A -------- N 点0推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这 如图：O 1O 2垂直平分AB 。

即：TO O 、①。

2相交于A 、B 两点••• O 1O 2垂直平分AB十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式:即：∙∙∙ PA 、PB 是的两条切线 点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在。

O 中，∙∙∙ PA 是切线，PB 是割线2∙∙∙ PA =PC PB(4)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等(如上图)。

即：在。

O 中，T PB 、PE 是割线∙∙∙ PC PB = PD PE十二、两圆公共弦定理∙∙∙ PA=PB PO 平分.BPA1 ^一、圆幕定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交,即：在。

O 中，•••弦AB 、CD 相交于点P ,积相等。

∙∙∙ PA 卩B=PC 卩D(2) 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径段的比例中项。

所成的两条线即：在O O 中，•••直径AB — CD ，2二 CE =AE BEA两个圆的的公共弦。

AB : OB:OA =1: ∙. 3 : 2 .十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：R ；180(2)扇形面积公式：R36022、圆柱：(1) A 圆柱侧面展开图S ^= SM2S底=2二 rh 2二 r 2B 圆柱的体积：V-二r 2h(2) A 圆锥侧面展开图S^= S 侧'S 底 =爲 R r n ：；r1B 圆锥的体积：V =-二r 2h3一、 圆的定义。

1、 以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、 在同一平面内，至U —个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、 圆的各元素。

1、 半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、 直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、 弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、 弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1) 劣弧：小于半圆周的弧。

(2) 优弧：大于半圆周的弧。

5、 圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

&圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、 圆的基本性质。

1、圆的对称性。

(1) 圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2) 圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

n :圆心角R :扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S :扇形面积母线长BB W底面圆周长(3) 圆是旋转对称图形。

2、 垂径定理。

(1) 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2) 推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、 圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

(1) 同弧所对的圆周角相等。

(2) 直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、 在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、 夹在平行线间的两条弧相等。

6 设Θ O 的半径为r ，OP=d 。

d < r (r > d )一■点 P 在 Θ O 内 d = r 点P 在Θ O 上d > r (r < d ) 点 P 在Θ O 外 7、 (1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直角三角形的外心就是斜边的中点。

)8、 直线与圆的位置关系。

d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。

2d < r (r > d )= 直线与圆相交。

d = r '=直线与圆相切。

d > r (r <d )叮=■直线与圆相离。

9、 平面直角坐标系中，A (x i ，y i )、B (x 2，y 2)0则 AB= (X i -X 2)2 (y i -丫2)210、圆的切线判定。

(1)d=r 时，直线是圆的切线。

切点不明确：画垂直，证半径。

(2) 经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线切点明确：连半径，证垂直。

11、圆的切线的性质(补充)。

(1) 经过切点的直径一定垂直于切线。

(2) 经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心12、切线长定理(1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等(2)切线长定理。

∙∙∙ PA 、PB 切 Θ O 于点 A 、B ∙∙∙ PA=PB ，∠ 1 = ∠ 2o13、内切圆及有关计算。

C(2)如图，△ ABC 中，AB=5 , BC=6, AC=7, ΘO 切厶ABC 三边于点 D 、E 、F O 求：AD 、BE 、CF 的长。

分析：设 AD=X ,贝U AD=AF=X , BD=BE=5 — X , CE=CF=7 — x. 可得方程：5 — X + 7—x=6 ,解得x=3(3) △ ABC 中，∠ C=90° , AC=b , BC=a , AB=C O求内切圆的半径r O分析：先证得正方形ODCE ,得 CD=CE=rAD=AF=b — r , BE=BF=a — r b — r + a — r=c得 r =a b -c 得r=21(4) S ΔABC = r(a b ■ c)214、(补充)(1) 弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

如图，BC 切ΘO 于点B , AB 为弦，∠ ABC 叫弦切角，∠ ABC= ∠ D(2) 相交弦定理。

圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ,贝U PA ∙ PB=PC ∙ PD O(3) 切割线定理。

如图，PA 切ΘO 于点A , PBC 是ΘO 的割线，贝U PA 2=PB ∙ PC O(4) 推论：如图，PAB 、PCD 是Θ O 的割线，贝U PA ∙ PB=PC ∙ PD O15、圆与圆的位置关系。

(1)外离：d>n + Q, 交点有外切：d=r 1 + r 2, 交点有 相交：r 1 — r 2<d <r 1 + r 2,交点有 内切：d=r 1 —匕， 交点有 内含：0≤ d <r 1 — r 2, 交点有 (2)性质。