矩形荷载平均附加应力系数双向插值计算

重庆科创学院——地基附加应力的计算

2.3 地基附加应力的计算
应用角点法计算附加应力时应注意以下几点： 1.划分的每一个矩形，都有一个共同角点，即计算点； 2.所有划分的各矩形面积的总和，应等于原有受荷载的面积； 3.所划分的每一个矩形面积中，L为长边，b为短边。
例题分析
• 【例2-4】今有均布荷载P=100/㎡,荷载面积为 2m×1m，求荷载面积上角点A、边点E、中心点0以及荷载面积外F点和G点等各点下Z=1m深度处的附加应力。并利用计算结果，说明附加压力的扩散规律。 P=100/㎡
2.3 地基附加应力的计算
• 附加应力：建筑物荷载（p0)在地基中产生的应力。 • 计算假定：地基土为均质，各向同性，用弹性理论计算。 2.3.1 竖向集中荷载作用下土中附加应力的计算布辛奈斯克（法）公式：
P x r
z
P z
y
σz
M(x,y,z) z
。 2
α—附加应力计算系数与(r,z有关)
（二）矩形均布荷载下任意角点处的附加应力计算------角点法角点下垂直附加应力的计算公式
叠加原理
地基中任意点的附加应力
2.3 地基附加应力的计算
两种情况： a.矩形面积内
B
A
C
D
z ( ) p。
A c B c C c D c
2.3 地基附加应力的计算
b.矩形面积外
地基应力分布示意图
2.3 地基附加应力的计算
集中荷载作用下地基中附加应力分布规律： 1.在集中力作用线上，附加应力随着深度Z的增加而递减； 2.在某一水平面上，即Z一定时，附加应力随r的增大而减少； 3.当离集中力作用线某一距离r时，z=0, σz=0，z↑， σz先增加后减小； P 说明：荷载主要由较浅处的土层来承受，达到一定深度后，应力就减少了。

条形基础平均附加应力系数

基础附加应力系数与平均附加应力系数
在设计当中，经常要计算基础的沉降，《建筑地基基础设计规范》GB50007-2011中以应力面积法计算地基的沉降。

基础形式一般有独立基础和条形基础。

（1）独立基础
独立基础一般为矩形，其中心点以下某点的平均附加应力，可用四个小矩形以角点法，查附录K可求得每块小矩形的平均附加应力系数，中心点平均附加应力系数为其4倍。

（2）条形基础
条形础的附加应力系数可由规范上附录K1.0.1-1最后一列直接查得，同样分为四个小矩形，矩形长宽比大于10（基础长宽比大于20时，可视为条形基础）。

其附加应力系数与平均附加应力系数求得如图1所示。

图1 条形基础附加应力系数与平均附加应力系数分析示意图
平均附加应力系为规范附录K，K1.0.1-2中最后一列，即为L/b=10所对应一列；。

地基中的附加应力计算

第二章土体应力计算
地基中的附加应力计算ຫໍສະໝຸດ 附加应力：由外荷引起的土中应力。
一地表集中力下地基中附加应力
虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下
弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他
形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。（一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）
11应用图223所示方法可得竖向基底净压力如下pnpminod32019152915kpaptpmaxpmin480320160kpa4计算各种压力形式pnptph引起的地基m点和n点的附加应力为了清晰起见可采用列表的方法进行第二章土体应力计算25土坝堤自重应力和坝基附加应力通常为实用上的方便不论是均质的或非均质的土坝土坝土堤其坝身任意点自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积土坝自重应力坝基基底压力柔性基础基底压力等于土坝的自重应力第二章土体应力计算25土坝堤自重应力荷坝基附加应力奥斯特伯格公式
线均布荷载（kN/m）P ＝ pdy可得P在任一点M引起的应力：
3 pz3 3 pz3 d z dy dy 2 5 2 5/ 2 2R 2 ( R1 y )
则
z

2 pz 3 2 p 4 d z cos 4 R1 z
(4.3.10)
同理利用布氏解有： 2 p cos 2 sin 2 x
(c) O点在荷载面的边缘外侧：荷载面（abcd）＝面积Ⅰ（ofbg）－面积Ⅱ（ofah）则：
o
+ 面积Ⅲ（oecg）－面积Ⅳ（oedh） f
z ( K c K c K c K cV ) p
(d) O点在荷载面的角点外侧－面积Ⅲ（ogde）+ 面积Ⅳ（ogaf）则：

垂直均布荷载矩形基础地基任意点附加应力系数公式推导

ｄｅｒｉｖａｔｅｓｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｆｏｒｍｕｌａｓａｂｏｕｔｔｈｅａｄｄｉｔｉｏｎａｌｓｔｒｅｓｓｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｔａｎｙｐｏｉｎｔｏｆｔｈｅ
ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓｕｂｓｏｉｌｕｎｄｅｒｔｈｅｖｅｒｔｉｃａｌｌｙｅｖｅｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄｌｏａｄ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，Ｔｈｅａｕｔｈｏｒａｌｓｏ
角点法示意图单个基础fig1thesketchmapofthecornerpointmethod角点法公式法计算表单个基础table1thecalculatedresultsbythecornerpointmethodandtheformulamethodabcd矩形的角点矩形大小ebci2个相同矩形的公共角点每个矩同矩形公共角点每个矩形0136325012020350400840048080104600814公式法lb20100199903504048070104500822x00z10x10z10x25角点法示意图多个基础fig2thesketchmapofthecornerpointmethod角点法公式法计算表多个基础table2thecalculatedresultsbythecornerpointmethodandtheformulamethod基础甲基础乙丙说明个相同小矩形的公共角点每个小矩形为个矩形oeagofca的公共角点oeagoebh矩形为802501866320802197125018663208021971250186616080214712501866160802147074640010007464001000010007664计算点50402025200747750402025800010050402025800010007677甲基础对为公式法与土力学地基基础表34对照表

矩形基础受垂直荷载作用下地基土中任意点的竖向附加应力系数计算公式

ｍｉｕｅｅｃｐｏｈｓｏｉｔｔｔｅａｅｉｈａｅｔｒｕｈｔｅａｕａｏｉｔｒｓｅｙｔｅｆｕｄａｉｎｌａｉｅｏｎｔｘｅｔｆｒｔｏｅｐｎｓａｈｘｓｗｈｃｈｏｇｈｎｇｌｒｐｎｓｃｏｓｄｂｈｎｔｏｏｄｗｔｚｒｒｏｈ
ｓｅｓｉｒｕｉｎａｄｔｅａｄｔｎｌｔｓｏｏｅｏｎｓｕｓｅｔｅｅｔｎｕａｕｄｔｎａｅｎｓｅｉａｐｏｅｔｎｔｓｓｉｔ．ｎｄｉｏａｒｓｆｈｓｉｔｏｔｉｃａｇｌｒｏｎａｉａａｄｉｒｃｌｒｊｃｉｒｄｔｂｏｈｉｓｅｔｐｄｈｒｆｏｒｔｖｔｏ
ｓａｅｅｅａｏｅｃｌｕａｅＩｉａｅ，ｗｏｆｒｕａｅｄｒｖｄ，ｔａａｄｔｅｃｍｐｔｒｗｅｃｎｅｓｌａｃｌｔｐｃｖｎｃｎｎｔａｃｌｔｄ．ｎｔｓＰｐｒｔｏｍｌｓａｅｅｗｉｈｔｍｏｂｈｒｉｈｎｈｕｅ，ａａｉｃｕａｅｙｌ
ｒｃｎｌ．ｉｅｅｔｎｕａｆｕｄｔｎｉＳｂｅｔｅｖｒｃｌｒｎｕａｄｓｉｕｉｎ１ａ．ｈｕｈｈｄｉｏａｅｔｇＷｈｌｔｃｇｌｎａｏＵｊｃｄｔｔｅｉａｔａｇｌｉｒｔｄｔｏｇｅｄｔｎｌａｅｅｈｒａｒｏｉｓｅｏｈｔｉｒｔｂｏｏｔａｉｓｅｓｆｈｓｏｔｉｔｅｏｎａｏｉＷｉｈｒｓｗｔｉｔｅｅｉｌｒｊｃｏａｅｆｈｃｎｕａｕｄｔｎｔｓｏｏｅｉｓｎｈｕｄｔｎｓｌｈｃｅｕｔｉｎｈｒｃｏｅｔｎｐｃｅｅｔｇｌｆｎａｏｒｔｐｎｆｉｏａｉｈｖｔａｐｉｓｏｔｒａｒｏｉ

土体中的应力计算—附加应力的计算(土力学课件)

土中任意点所受的附加应力
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深，附加应力的分布范围越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平面上，集中力作用线下的附加应力最大，向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直线上的附加应力随深度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力

条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)

地基沉降中平均附加应力系数的解析解

地基沉降中平均附加应力系数的解析解根据弹性半空间理论下附加应力系数的布辛奈斯克解，分别推导出矩形均布荷载、三角形分布荷载下角点和圆形均布荷载下中心点的平均附加应力系数的解析解，通过与《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）中数据的比较，证明其精度更高，其编程计算比查表更为方便。

标签：地基沉降；建筑地基基础设计规范；平均附加应力系数；解析解1 引言在地基沉降计算中，《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）（以下简称“规范”）推荐采用分层总和法规范修正公式：，与分层总和法单向压缩公式相比，其运用了平均附加应力系数这一参数。

规范中这一参数通过附录K查表并进行线性插值取得。

平均附加应力系数是地基沉降计算中的关键参数，其取值的准确性直接决定计算结果的准确性。

为了提高计算精度，地基分层厚度应尽可能小，层数尽可能多，由于表格数据的离散性，很难编程计算，这就导致查表插值工作量大大的增加，而且线性插值的方法也是导致误差积累的一个因素。

因此，若提出平均附加应力系数的解析解，通过编程计算，将会大大减小计算工作量，消除计算误差，提高计算精度。

由于解析解是精确计算，还可以用其结果校核规范中附录K表格数据的精确性。

平均附加应力系数的定义为基础底面计算点至某一层土底面范围内附加应力系数的平均值，即。

下面根据弹性半空间理论下附加应力系数的布辛奈斯克解分别推导出矩形均布荷载、三角形分布荷载下角点和圆形均布荷载下中心点的平均附加应力系数的解析解。

2 平均附加应力系数的求解2.1 矩形均布荷载下角点的平均附加应力系数计算简图如下（图1），根据平均附加应力系数的定义，2.2 三角形分布荷载下角点的的平均附加应力系数计算简图如下（图2），三角形分布荷载下角点1和角点2的平均附加应力系数分别为和，根据平均附加应力系数的定义，2.3圆形均布荷载下中心点的平均附加应力系数计算简图如下（图3），根据平均附加应力系数的定义，3 平均附加应力系数解析解与规范表格数据的比较下面分别列出平均附加应力系数的解析解与规范中表格的部分数据进行比较。

垂直均布荷载矩形基础地基任意点附加应力系数公式推导

垂直均布荷载矩形基础地基任意点附加应力系数公式推导石中平【摘要】At present,the additional stress coefficient at any point of the rectangular foundation subsoil under the vertically even distributed load is mainly obtained by the corner point method with the help of the “table look-up”and the interpolation.Although the method seems to be easy to use, the results may vary from person to person.In this paper,the author uses the integration method derivates the computational formulas about the additional stress coefficient at any point of the rectangular foundation subsoil under the vertically even distributed load.Moreover,The author also presents some specific formulas for calculating a corner point,a central point,a mid-point on the long side as well as a corner point of a 2l×2b region beyond the rectangular foundation.By comparing with the formulas for the additional stress coefficients under the corner points listed in the related literature,it is found that the derivated formulas in this paper are completely correct.Although the formulas seem complicated,they are easy to use with the help of the Excel Program Calculation Sheet.They can avoid the interpolation values differences due to different users and the possible confusion due to different rectangle area of l/b and z/b during the calculation by the corner point method.As long as the length l and width b of the rectangular area are given,the additional stress coefficient at any point of (x ,y ,z )can be calculated,which,to some extent,makes the rapid calculation possible.Therefore,the formulas can bevery conveniently applied to the practical work for the engineering technicians.%目前，垂直均布荷载作用下，矩形基础地基中任意点附加应力系数都是通过角点法查表内插求得，虽然用起来方便，但结果可能因人而异。

条形基础平均附加应力系数

基础附加应力系数与平均附加应力系数
在设计当中，经常要计算基础的沉降，《建筑地基基础设计规范》GB50007-2011中以应力面积法计算地基的沉降。

基础形式一般有独立基础和条形基础。

（1）独立基础
独立基础一般为矩形，其中心点以下某点的平均附加应力，可用四个小矩形以角点法，查附录K可求得每块小矩形的平均附加应力系数，中心点平均附加应力系数为其4倍。

（2）条形基础
条形础的附加应力系数可由规范上附录K1.0.1-1最后一列直接查得，同样分为四个小矩形，矩形长宽比大于10（基础长宽比大于20时，可视为条形基础）。

其附加应力系数与平均附加应力系数求得如图1所示。

图1 条形基础附加应力系数与平均附加应力系数分析示意图
平均附加应力系为规范附录K，K1.0.1-2中最后一列，即为L/b=10所对应一列；。

矩形均布竖向荷载角点下任意深度地基附加应力计算公式推导

矩形均布竖向荷载角点下任意深度地基附加应力计算公式推导为了推导矩形均布竖向荷载角点下任意深度地基附加应力计算公式，我们可以采用弹性基础的解法。

假设矩形均布荷载的大小为q，矩形的长为L，宽为B。

我们希望计算位于距离矩形角点点水平坐标为x1，垂直坐标为y1的地基点在任意深度处的附加应力。

我们将地基点的水平坐标记为x，垂直坐标记为y，深度记为z。

根据弹性基础的假设，地基点在水平方向上的位移可以用以下公式表示：u=(q*B/4EI)*(x*(4L-x)-Lx)其中，E是地基的弹性模量，I是地基的惯性矩。

我们可以看出，U与q有关，与底长L和底宽B有关，与地基点的坐标x、y有关，与地基材料的弹性模量E和惯性矩I有关。

我们需要将上述的位移公式推导为应力公式。

考虑到地基点的位移与地基点附近的应力有关，我们可以推导地基点处的应力应力为：σ = E * du/dz其中，du/dz为位移u对深度z的导数。

对位移u做深度z的偏导数，我们可以得到：du/dz = (q * B/4EI) * (4L - 2x - L + x) = (q * B/4EI) * (3L - x)将du/dz代入应力公式，我们可以得到：σ = E * du/dz = (q * B/4I) * (3L - x)这个公式表示在距离矩形角点为x1的点的地基深度为z的地方，受到了一个为σ的竖向荷载的作用。

我们可以发现，附加应力σ与q、B、L、x都有关。

当q增大时，附加应力也增大；当B增大时，附加应力也增大；当L增大时，附加应力减小；当x增大时，附加应力减小。

这个公式的推导过程很简单，但是在实际的工程应用中，还需要根据具体的边界条件和材料参数进行一定的修正和校正。

不同的地基形状和荷载分布，可能需要采用不同的解法。

总之，矩形均布竖向荷载角点下任意深度地基附加应力的计算公式可以通过推导位移公式并对位移公式进行深度偏导得出。

这个公式可以在一定程度上帮助工程师理解和估算在地基上施加荷载后，地基深度处的附加应力。

矩形荷载平均附加应力系数双向插值计算

重庆科创学院——地基附加应力的计算

条形基础平均附加应力系数

地基中的附加应力计算

垂直均布荷载矩形基础地基任意点附加应力系数公式推导

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地基沉降中平均附加应力系数的解析解

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