经济管理决策分析方法第八章-图与网络分析

V1
e1 e4
e5
V4
e2 e6 e3
V3
12
SEU
2、邻接矩阵法(点与点)
D={dij}
1 d ij 0 节点i与节点j有边相联 否则
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
V1
V2
5
4 3
V3
6
0 1 1 0 D 1 1 1 0 0 1
4
• 图 (Graph)
– 节点和边的集合 – 一般用 G(V,E) 表示
v5
– 点集 V={v1,v2,…, vn}
– 边集E={eij }
SEU
无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图 • 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序 是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 • 图中既有边又有弧，称为混合图
节点号 V(I)（相邻节点数） N(I,J) （相邻节点）号
2
3
6
1 2 3 4 5 6
2 3 2 3 3 3
2,5 1,3,4 2,6 2,5,6 1,4,6 3,4,5
17
SEU
总结
矩阵表示 含元素的个数 边 特殊的图 多 重 图 简 单 图
G=（V，E）
子图 点的次
空 图
点边关系
连通图 支撑树 树
SEU
第二节 最小支撑树
• 一般研究无向图 • 树图：倒置的树，根(root)在上，树叶(leaf)在下 • 多级辐射制的电信网络、管理的指标体系、家谱、分类 学、组织结构、路网布局、供水网络等都是典型的树图
C1
根
C2 C3
C4
叶
23
SEU
树的定义及其性质
• 任两点之间有且只有一条路径的图（无圈的连通图）称 为树(tree)，记为T • 树图G=（V,E）的点数记为p，边数记为q，则q=p-1。 • • • • • 树的性质： 最少边的连通子图，树中必不存在回路 任意两节点之间必有一条且仅有一条链 任何树必存在次数为 1 的点 具有 n 个节点的树 T 的边恰好为 n1 条，反之，任何有 n 个节点， n1 条边的连通图必是一棵树
29
SEU
第三节 最短路问题 （Shortest Path Problem,SP）
一般意义的最短路问题
给定一个赋权有向图，即给了一个有向图D=(V，A)，对每一
个弧a=(vi，vj)，相应地赋予了权数；又给定D中的两个顶点vs， vt。设P是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权是P中所有弧的 权之和，记为w(P)。最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中， 求一条权最小的路，即求一条从vs到vt的路P0，使 (P0 ) min (P)
v3
6
1
5 7 2 3
v5
4
v6 4
一不含圈的图为止。
v2
v4
27
SEU
避圈法：
开始选一条权最小的边，以后每一步中，总从
未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选
边不构成圈的边。
v3 6 v1 1
5
7 2 3
v5 4 v6
v3
v1 1 3 2
v5
4
5
v2 v4
4
5
v2
v6
v4
28
SEU
实例 确定区域公路网络主骨架问题(p147)
P
式中对D中所有从vs到vt的路P取最小，称P0是从vs到vt的最短路。路
P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs，vt)。显然，d(vs，vt)与d(vt，vs) 不一定相等。 最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以直接应用于解决生产 实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等， 而且还经常作为一个基本工具，用于解决其他优化问题。
最优性定理
一种隐阶段的动态规划方法
清华大学出版社
31
SEU
首先介绍所有wij≥0情形下的求最短路的方法。
目前公认最好的方法是由Dijkstra1959年提出的。 Dijkstra算法只适用于所有wij≥0的情形，当赋权有向图中存在负权
SEU
端点，关联边，相邻，次
• 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记 为 d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d– • 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的 点称为悬挂点(pendant vertex) 链，圈，路径，回路
• 相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)，又称 为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走
• 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 则称为有向路径(directed path) • 首尾相连的路径称为回路(circuit)；
7
SEU
连通图，子图，成分 • 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 • 若V2V1， E2 E1,称G2为G1的真子图 • 若V2=V1， E2 E1,称G2为G1的部分图 • 若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图 (connected graph)，否则为非连通图( discon-nected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component) • 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图
21
SEU
两个主要定理
定理1 图G中，所有顶点的次的和等于所有
边数的2倍。即
vV 定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。
d (v ) 2 q
证明要点：
vV1
d (v ) d (v ) d (v )
vV2 vV
22
（V1、V2分别是图G中次为奇数和偶数的顶点集合）
v5
6 4 0 1
v6
3 1 0 2
v7
4 1 2 0
SEU
1
5
4
4、邻接目录表法
该方法采用两组数组表示网络的邻接 关系，一组为一维数组V(i)，表示与i 节点相连接 的边的条数，另一组为二 维数组N(i,j)，表示与i节点相邻接的 第j个节点的节点号。
24
SEU
链、路、树
树
Q1 v1e1v2e7v5e8v2e5v4
链(圈)中所含的边均不相同称简单链(圈) 简单链若所含的点也不相同称初等链 初等圈
25
Q2 v1e1v2 e2 v3e4 v4
Q3 v1e1v2 e5v4 e6v5e9 v1
SEU
图的支撑树
v2
e1 e6
e4 • 图T=（V，E‘）是图G=（V，E） 的部分图，若图T是一个树，则称 v1 e3 v4 e7 e5 T是G的一个支撑树 ； e2 e8 • 支撑树一定是部分图，但部分图不 v3 一定是支撑树。 v2 e1 e6 e1 v2
A
D
C B
B
3
C
D
SEU
• 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
网络 (Network)
边上具有表示连接强度 的权值，如 wij 又称加权图(Weighted graph)
• 边 (Edge)
– 节点间的连线，表示有 关系 – 一般用 eij 表示
e22 v1 e12 e'13 v3 e13 e34 图 4.1 v2 e24 e45 v4
18
矩阵表示 A 邻接矩阵 B 关联矩阵 D 距离矩阵
……
顶点数p
边数q
自 回 路
环
重 合
简单图
端点
G=(V,E)
边e=[u,v] 多重边
平行边
含
子图
点的次
0 1 奇数 偶数
多重图
空图 点边关系
真 子 图
部 分 图
孤 悬 立 挂 点 点
奇 点
偶 点 各种链的概念
悬挂边
SEU
总结
（1）弧——点与点之间有方向的连线。 a ( v i , v j ) 指从 v i v j ； （2）有向图——由点集v和弧集A组成的图
2 v1
v2 2
6 4 v4 1 1 3
v5
4
4 v6
1 v7
5
v3
2
将网络用矩阵形式表示:
v1
V1 0 V2 2 V3 5 D V4 V5 V6 V7
v2
2 0 2 4 6
v3
5 2 0 1 3
v4
4 1 0 4 1 4
8
SEU
V2
V4 V1
V2
V4
V1
V6
V6
V3
V5
V3
V5
（a）
V2 V4 V2
（b）
V4 V6
V1 V3 V5
V3
V5
（c）
（d）
9
b,c,d均为a的子图，b为a的部分图，c,d 为a的真子图
SEU
子 图
真子图
基础图(母图)
真子 图
部分图
10
SEU
网络的计算机处理
大量的工程计算无法依靠手工完成
交通工程中的网络计算必须依靠计算机
网络在计算机中的表示与存储
11
SEU
1、关联矩阵法(点与边)
构造VE阶矩阵
A={aij}
1 aij 0
V2
边e j 与点Vi 相联时 否则
1 1 A 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1
5
6 2 3
V5
V4
13
SEU
3. 权矩阵法
V2
5
4 3
V3
6
0 i j Wij 无边相连 w i, j有边相连 ij
V5
V1
5 6 2 3
V4
0 5 W 3 2
5 0 4 6
3 4 0 6 5
6 6 5 0 3 3 0 14 2
第八章 图与网络优化
图是最直观的模型
图论是交通系统分析中的重要工具 图论在交通系统规划、管理中作用大 图论是对实际交通网络进行抽象分析的重要手段
SEU
目录
• 第一节 图与网络的基本概念 • 第二节 最小支撑树问题 • 第三节 最短路问题
2
SEU
第一节 图与网络的基本概念
• 哥尼斯堡七桥问题 (欧拉回路)/环球旅行问题(哈密尔顿回路) • 若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则 称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉(Euler) 回路。 • 给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次，这 条路称作汉密尔顿路。若存在一条回路，经过图中的每个结 点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。 • 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示 实体间的关联 A
v5
v1
e2
e3
e4 v4 e5
e7
e8
e4
e6
v5
v1
e2 v3
v4
v5
v3
破圈法
避圈法
26
SEU
最小支撑树问题
给图G中的每一条边[vi，vj]一个相应的数ij，则称G为
赋权图。在赋权图G的所有支撑树中，必有某个支撑树，其
所有边的和为最小，称为最小树。求赋权图G的最小支撑树 的方法也有两种,“破圈法”和“避圈法”。 破圈法： 任选一个圈，从圈中去掉权 最大的一条边。在余下的图 中重复这个步骤，直到得到 v1 5
5
端点，关联边，相邻，次
• 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 • 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 (end vertex)，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边(incident edge) • 同一条边的两个端点称为相邻(adjacent)节点，具有共同 端点的边称为相邻边 • 一条边的两个端点相同，称为自环(self-loop)；具有两 个共同端点的两条边称为平行边(parallel edges) • 既没有自环也没有平行边的图称为简单图(simple graph) • 在无向图中，与节点相关联边的数目，称为该节点的 “次”(degree)，记为 d ；次数为奇数的点称为奇点 (odd),次数为偶数的点称为偶点(even)；图中都是偶点的 图称为偶图(even graph)
清华大学出版社
30
SEU
在一个赋权有向图中寻求最短路的方法，实源自文库上求从给
定一个点vs到任一个点vj的最短路。
如下事实是经常要利用的
如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P
到vi的路是从vs到vi的最短路。事实上，如果这个结论不成立，设 Q是从vs到vi的最短路，令P′是从vs沿Q到达vi，再从vi沿P到达vj的 路，那么，P′的权就比P的权小，这与P是从vs到vj的最短路矛盾。
D (V , A )
（3）权——指与边或弧有关的数量指标。根据实 际背景可赋予不同含义，如距离、时间、 费用、容量等。 （4）赋权图—图 G (V , E ) 连同边上的权。 （5）网络——指定了起点、终点和中间点的连通 的 赋权图 G (V , E )。包括无向网络、 有向网络、混合网络。