经济管理决策分析方法第八章-图与网络分析

SEU
端点，关联边，相邻，次
• 有向图中，由节点指向外的弧的数目称为正次数，记 为 d+，指向该节点的弧的数目称为负次数，记为 d– • 次数为 0 的点称为孤立点(isolated vertex) ，次数为 1 的 点称为悬挂点(pendant vertex) 链，圈，路径，回路
• 相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)，又称 为行走(walk)；首尾相连的链称为圈(loop)，或闭行走
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矩阵表示 A 邻接矩阵 B 关联矩阵 D 距离矩阵
……
顶点数p
边数q
自 回 路
环
重 合
简单图
端点
G=(V,E)
边e=[u,v] 多重边
平行边
含
子图
点的次
0 1 奇数 偶数
多重图
空图 点边关系
真 子 图
部 分 图
孤 悬 立 挂 点 点
奇 点
偶 点 各种链的概念
悬挂边
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总结
（1）弧——点与点之间有方向的连线。 a ( v i , v j ) 指从 v i v j ； （2）有向图——由点集v和弧集A组成的图
P
式中对D中所有从vs到vt的路P取最小，称P0是从vs到vt的最短路。路
P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs，vt)。显然，d(vs，vt)与d(vt，vs) 不一定相等。 最短路问题是一类重要的优化问题，它不仅可以直接应用于解决生产 实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等， 而且还经常作为一个基本工具，用于解决其他优化问题。
v3
6
1
5 7 2 3
v5
4
v6 4
一不含圈的图为止。
v2
v4
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避圈法：
开始选一条权最小的边，以后每一步中，总从
未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选
边不构成圈的边。
v3 6 v1 1
5
7 2 3
v5 4 v6
பைடு நூலகம்
v3
v1 1 3 2
v5
4
5
v2 v4
4
5
v2
v6
v4
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实例 确定区域公路网络主骨架问题(p147)
4
• 图 (Graph)
– 节点和边的集合 – 一般用 G(V,E) 表示
v5
– 点集 V={v1,v2,…, vn}
– 边集E={eij }
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无向图与有向图
• 边都没有方向的图称为无向图 • 在无向图中 eij=eji，或 (vi, vj)=(vj, vi) • 当边都有方向时，称为有向图，用G(V,A)表示 • 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序 是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 • 图中既有边又有弧，称为混合图
5
6 2 3
V5
V4
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3. 权矩阵法
V2
5
4 3
V3
6
0 i j Wij 无边相连 w i, j有边相连 ij
V5
V1
5 6 2 3
V4
0 5 W 3 2
5 0 4 6
3 4 0 6 5
6 6 5 0 3 3 0 14 2
A
D
C B
B
3
C
D
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• 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
网络 (Network)
边上具有表示连接强度 的权值，如 wij 又称加权图(Weighted graph)
• 边 (Edge)
– 节点间的连线，表示有 关系 – 一般用 eij 表示
e22 v1 e12 e'13 v3 e13 e34 图 4.1 v2 e24 e45 v4
v5
v1
e2
e3
e4 v4 e5
e7
e8
e4
e6
v5
v1
e2 v3
v4
v5
v3
破圈法
避圈法
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最小支撑树问题
给图G中的每一条边[vi，vj]一个相应的数ij，则称G为
赋权图。在赋权图G的所有支撑树中，必有某个支撑树，其
所有边的和为最小，称为最小树。求赋权图G的最小支撑树 的方法也有两种,“破圈法”和“避圈法”。 破圈法： 任选一个圈，从圈中去掉权 最大的一条边。在余下的图 中重复这个步骤，直到得到 v1 5
V1
e1 e4
e5
V4
e2 e6 e3
V3
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2、邻接矩阵法(点与点)
D={dij}
1 d ij 0 节点i与节点j有边相联 否则
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
V1
V2
5
4 3
V3
6
0 1 1 0 D 1 1 1 0 0 1
最优性定理
一种隐阶段的动态规划方法
清华大学出版社
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首先介绍所有wij≥0情形下的求最短路的方法。
目前公认最好的方法是由Dijkstra1959年提出的。 Dijkstra算法只适用于所有wij≥0的情形，当赋权有向图中存在负权
交通工程中的网络计算必须依靠计算机
网络在计算机中的表示与存储
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1、关联矩阵法(点与边)
构造VE阶矩阵
A={aij}
1 aij 0
V2
边e j 与点Vi 相联时 否则
1 1 A 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1
• 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径(path)；在 有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致， 则称为有向路径(directed path) • 首尾相连的路径称为回路(circuit)；
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连通图，子图，成分 • 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图 • 若V2V1， E2 E1,称G2为G1的真子图 • 若V2=V1， E2 E1,称G2为G1的部分图 • 若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图 (connected graph)，否则为非连通图( discon-nected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component) • 链，圈，路径(简称路)，回路都是原图的子图
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SEU
第三节 最短路问题 （Shortest Path Problem,SP）
一般意义的最短路问题
给定一个赋权有向图，即给了一个有向图D=(V，A)，对每一
个弧a=(vi，vj)，相应地赋予了权数；又给定D中的两个顶点vs， vt。设P是D中从vs到vt的一条路，定义路P的权是P中所有弧的 权之和，记为w(P)。最短路问题就是要在所有从vs到vt的路中， 求一条权最小的路，即求一条从vs到vt的路P0，使 (P0 ) min (P)
清华大学出版社
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SEU
在一个赋权有向图中寻求最短路的方法，实际上求从给
定一个点vs到任一个点vj的最短路。
如下事实是经常要利用的
如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那么，从vs沿P
到vi的路是从vs到vi的最短路。事实上，如果这个结论不成立，设 Q是从vs到vi的最短路，令P′是从vs沿Q到达vi，再从vi沿P到达vj的 路，那么，P′的权就比P的权小，这与P是从vs到vj的最短路矛盾。
D (V , A )
（3）权——指与边或弧有关的数量指标。根据实 际背景可赋予不同含义，如距离、时间、 费用、容量等。 （4）赋权图—图 G (V , E ) 连同边上的权。 （5）网络——指定了起点、终点和中间点的连通 的 赋权图 G (V , E )。包括无向网络、 有向网络、混合网络。
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SEU
V2
V4 V1
V2
V4
V1
V6
V6
V3
V5
V3
V5
（a）
V2 V4 V2
（b）
V4 V6
V1 V3 V5
V3
V5
（c）
（d）
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b,c,d均为a的子图，b为a的部分图，c,d 为a的真子图
SEU
子 图
真子图
基础图(母图)
真子 图
部分图
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网络的计算机处理
大量的工程计算无法依靠手工完成
第八章 图与网络优化
图是最直观的模型
图论是交通系统分析中的重要工具 图论在交通系统规划、管理中作用大 图论是对实际交通网络进行抽象分析的重要手段
SEU
目录
• 第一节 图与网络的基本概念 • 第二节 最小支撑树问题 • 第三节 最短路问题
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第一节 图与网络的基本概念
• 哥尼斯堡七桥问题 (欧拉回路)/环球旅行问题(哈密尔顿回路) • 若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则 称该路径为欧拉路径。若该路径是一个圈，则称为欧拉(Euler) 回路。 • 给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次，这 条路称作汉密尔顿路。若存在一条回路，经过图中的每个结 点恰好一次，这条回路称作汉密尔顿回路。 • 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示 实体间的关联 A
2 v1
v2 2
6 4 v4 1 1 3
v5