建模方法-最小二乘法
最小二乘法的用法举例
最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
在许多领域,如线性回归分析、曲线拟合、机器学习、信号处理、控制系统、金融预测和经济建模等,最小二乘法都得到了广泛的应用。
以下是一些最小二乘法的用法举例:1. 线性回归分析线性回归分析是一种统计学方法,用于研究因变量和自变量之间的关系。
最小二乘法可以用于估计线性回归模型的参数,使得预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
2. 曲线拟合曲线拟合是一种数学方法,用于将一组数据拟合到一个特定的函数模型中。
最小二乘法可以用于估计模型的参数,使得模型预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
3. 机器学习机器学习是一种人工智能技术,用于让计算机从数据中学习并自动改进其性能。
最小二乘法可以用于训练机器学习模型,例如线性回归模型、逻辑回归模型和支持向量机等。
4. 信号处理信号处理是一种技术,用于对信号进行变换、分析和合成。
最小二乘法可以用于估计信号的参数,例如频率、幅度和相位等,使得信号的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
5. 控制系统控制系统是一种技术,用于控制系统的行为并使其达到预期的性能指标。
最小二乘法可以用于估计控制系统的参数,例如传递函数和状态空间模型等,使得控制系统的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
6. 金融预测金融预测是一种技术,用于预测金融市场的走势和未来趋势。
最小二乘法可以用于估计金融模型的参数,例如ARIMA模型和神经网络模型等,使得模型的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
7. 经济建模经济建模是一种技术,用于建立经济系统的数学模型并对其进行仿真和分析。
最小二乘法可以用于估计经济模型的参数,例如生产函数和需求函数等,使得模型的预测值和实际观测值之间的残差平方和最小化。
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统及几何拟合的优化方法
几何建模系统是指通过计算机软件将物体的几何形状转化为数学参数化的表示形式。
常见的几何建模系统包括CAD软件(Computer-Aided Design,计算机辅助设计)和3D建模软件。
在进行几何建模时,常常需要进行几何拟合,即通过一些数据点或曲线来拟合出物体的几何形状。
几何拟合的优化方法有以下几种:
1. 最小二乘法:最小二乘法是一种常见的拟合方法,通过最小化数据点到拟合曲线的距离的平方和来确定最佳拟合曲线。
最小二乘法可以应用于直线拟合、曲线拟合、平面拟合等问题。
2. 牛顿法:牛顿法是一种迭代算法,在曲线拟合中,可以通过牛顿法来寻找最佳拟合曲线的参数。
牛顿法需要初始猜测值,并迭代求解,直到收敛为止。
3. Levenberg-Marquardt算法:Levenberg-Marquardt算法是一
种非线性最小二乘方法,常被用于曲线、曲面的拟合。
该算法通过不断调整参数以最小化拟合误差,具有较好的收敛性和稳定性。
4. RANSAC算法:RANSAC(RANdom SAmple Consensus)
算法是一种鲁棒性较强的拟合方法,主要用于拟合具有噪声、异常值等情况下的数据。
RANSAC算法通过随机采样和迭代
过程来找到最佳拟合模型,并剔除异常点。
以上是几何建模系统及几何拟合的常见优化方法,根据具体的应用场景和需求可以选择适合的方法来进行几何建模和拟合。
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法,经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数,使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集,假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ,其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数,x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量,y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ),可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ,然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化,即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题,即只有一个自变量的情况下,最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数,令目标函数对参数的偏导数等于零,求解出参数的最优解。
然而,对于复杂的非线性回归问题,解析方法通常不可行。
在实际应用中,最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值,直到收敛到最优解。
具体而言,梯度下降法首先随机初始化参数的值,然后计算目标函数对于每个参数的偏导数,根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示:βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中,α 是学习率参数,控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择,过小会导致收敛过慢,过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题,还可以用于其他类型的回归问题,比如多项式回归。
在多项式回归中,我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地,最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题,最小二乘法还可以应用于其他领域,比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中,最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差,可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择,通过计算特征的系数大小,可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大,从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ,如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出,并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步,最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进,出现了多种扩展和变 种,如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法(WLS)
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法,通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法(Weighted Least Squares,WLS)是对普通最小二乘法 的改进,通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据,即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重,WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析,是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设,
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健,但仍然容易受到异常值的影响,可
能导致估计结果偏离真实值。
数学建模 非线性最小二乘问题
1、非线性最小二乘问题用最小二乘法计算:sets:quantity/1..15/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: (a+b* @EXP(c*x)-y)^2);@free(a); @free(b);@free(c);data:x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddata运算结果为:Local optimal solution found.Objective value: 44.78049 Extended solve steps: 5Total solve iterartions: 68Variable Value Reduced CostA 2.430177 0.000000B 57.33209 0.000000C -0.4460383E-01 0.000000由此得到a的值为2.430177,b的值为57.33209,c的值为-0.04460383。
线性回归方程为y=2.430177+57.33209* @EXP(-0.04460383*x)用最小一乘法计算:程序如下:sets:quantity/1..15/: x,y;endsetsmin=@sum(quantity: @ABS(a+b*@EXP(c*x)-y));@free(a); @free(b);@free(c);data:x=2,5,7,10,14,19,26,31,34,38,45,52,53,60,65;y=54,50,45,37,35,25,20,16,18,13,8,11,8,4,6;enddata运算结果为:Linearization components added:Constraints: 60Variables: 60Integers: 15Local optimal solution found.Objective value: 20.80640Extended solver steps: 2Total solver iterations: 643Variable Value Reduced CostA 3.398267 0.000000B 57.11461 0.000000C -0.4752126e-01 0.000000由上可得a的值为3.398267,b的值为57.11461,c的值为-0.04752126。
最小二乘法的原理及在建模中的应用分析
最小二乘法的原理及在建模中的应用分析学校代码: 1951本科毕业论文(题目:最小二乘法的原理及在建模中的应用分析学生姓名:学院:系别:专业:班级:指导教师:副教授二0 一。
年六月摘要最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法•它在建模中有着广泛的应用, 用这一理论解决讨论问题具有简明、清晰的特点,特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位•随着最小二乘法理论不断的完善,其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题・本文共分三部分•绪论主要介绍最小二乘法的起源、基本概念以及本文的主要工作;第一章阐述了最佳平方逼近和曲线拟合的算法,并做出二者的流程图,接着对曲线拟合的线性和非线性模型给出求解方法,最后总结出常用的模型函数以及线性化方法第二章首先通过解决实际算例,阐述如何克服病态方程,然后通过预测研究生招生人数,阐明它在建模中的作用,并作简单的分析,最后做出了总结•尖键词:最小二乘法;最佳平方逼近;曲线拟合;病态方程;MatlabAbstractLeast-square method is one of the most fundamental and most important calculation methods and skills in modeling. It is widely used in solving this theory, discuss the problem with concise, clear characteristics, especially in the research of data analysis plays a very important role and status. With the least square theory constantly, perfect the basic theory and application has become a serious research topic.The paper has three parts are mainly in troduced .In troducti on to the origi n of least squares, basic concepts and the main job, The first chapter describes best square approximation and the curve fitting, the algorithm and the flowchart, then both of the curve fitting is linear and nonli near model of solving method, and fin ally summarizes common model function and linearization method, The second chapter first through solving practical examples, this paper discusses how to overcome the pathological equation, and then through the prediction of graduate student recruit students number, expounds its role in modeling and simple analysis, finally made a summary.Keywords: Least-square method; The best square approximation;The curve fitting; Psychopathic equation; Matlab目录绪论 (1)第一章最小二乘法概述 (3)1.1预备知识 (3)1・2最佳平方逼近问题 (4)1・3曲线拟合问题 (6)1・4曲线拟合的模型分类 (8)1.4.1线性模型 (8)1.4.2非线性模型 (11)1・5总结 (13)第二章最小二乘法在建模中的应用 (16)2.1应用举例 (16)2・2病态方程 (18)2.3建模分析 (20)2.4总结 (25)参考文献 (26)附录A最佳平方逼近流程图 (27)附录B曲线拟合流程图 (29)附录C部分Matlab程序 (31)谢辞 (36)绪论在科学研究中,为了揭示某些相尖量之间的尖系,找出其规律,往往需要做数据拟合,其常用方法一般有传统的插值法、最佳一致逼近多项式、最佳平方逼近、最小二乘拟合、三角函数逼近、帕德(Pade)逼近等,以及现代的神经网络逼近、模糊逼近、支持向量机函数逼近、小波理论等・其中,最小二乘法是一种最基本、最重要的计算技巧与方法•它在建模中有着广泛的应用,用这一理论解决讨论问题简明、清晰,特别在大量数据分析的研究中具有十分重要的作用和地位•随着最小二乘理论不断的完善,其基本理论与应用已经成为一个不容忽视的研究课题・1 •最小二乘法的起源与基本概念1805年勒让德(Legendre)发表的论著《计算彗星轨道的新方法》附录中,最早提到最小二乘法丄egendre之所以能做出这个发现,是因为他没有因袭前人的方法一要设法构造出k个方程去求解,他认识到尖键不在于使某一方程严格符合,而在于要使误差以一种平衡的方式分配到各个方程,具体地说,他寻求这样的值,使得n2(X i0 X i11X ik k)达到最小.i11809年,高斯(Gauss)发表论著《天体运动理论》,对其误差进行了研究,再该书末尾,他写了一节有尖“数据结合"的问题,以及其简单的手法导出误差分布■正态分布, 并用最小二乘法加以验证.尖于最小二乘法,Gauss宣称自1795年以来他一直使用这个原理•这立刻引起了Legendre的强烈反击,他提醒说科学发现的优先权只能以出版物确定,并严斥Gauss剽窃了他人的发明•他们间的争执延续了多年•因而,这俩位数学家之间尖于优先权的争论仅次于牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibniz)之间尖于微积分发明的争论•现在一般认为,二人各自独立的发明了最小二乘法•尽管早在10年前,Gauss就使用这个原理,但第一个用文字形式发表的是Lege ndre.最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛尖注•同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的尖注•正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代・综上可知丄egendre和Gauss发现最小二乘法是从不同的角度人手的:一个是为解线性方程组,一个是寻找误差函数;一个用的是整体思维,考虑方程组的均衡性,一个用的是逆向思维,首先接受经验事实,一个是纯代数方法,一个致力于应用•相比而言,高斯不愧为数学王子,他把最小二乘法推进得更远、更深刻,这极大地推进了数理统计学的发展•发展至今,其已在各个方面有了应用•其基本原理如下・基本原理:在自然科学和工程实践中,经常会遇到寻求经验公式问题•由实验或观测得到一组数据(X, yj(i1,2丄m),而各Xi是不同的,且设yf(xj,通过这些数据,我们求一曲线y &(x),在函数空间span{ i.i 1, ,n}中寻找一个逼近函数y f(x)由于观测有误差,因此iSn(Xi)f(X0并不为零•但要求mmi2 [Sn(Xi) f(Xi)]2mini 1 i 1这就是曲线拟合的最小二乘问题.2选题背景与本文的主要工作在科学研究中,为了揭示某些相尖量之间的尖系,找出其规律,往往需要求解其函数解析式•一种方法是采用插值逼近法,即所构造的近似函数(X)在已知节点Xi上必须满足(Xi) yi要求逼近函数(Xi)与被逼近函数f(x)在各已知点Xi处的误差为零,即要求(X)的曲线必须通过所有的点,常用的插值法有拉格朗日(Lagrange)插值,牛顿(Newton)插值,埃尔米特(Hermite)插值等.另一方面,由于观测数据较多,一般不用插值法,而是用拟合的方法•即只要找到一条曲线,即能反映给定数据的一般趋势,又不出现局部较大的波动即可,只要(X)与f(X)的偏差满足某种要求就行了•这种数据间的非确定矣系需要统计方法来描述,最常用的方法就是数据拟合•数据拟合就是找一种函数的解析表达式或近似表达式来描述这组数据间的函数尖系,通常用到最小二乘法•数据拟合的最小二乘法通过最小化误差的平方和,寻找数据的最佳函数•利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小本文就是在这样的背景下,第一章主要介绍了最小二乘法的原理,对最佳平方逼近和曲线拟合给出求解方法,总结了非线性模型下最小二乘法的求法•第二章主要讲述其在实际中的应用,以及如何克服法方程病态的方法•最后通过实例阐述其在建模中的作用.第一章最小二乘法概述最小二乘法通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配 •利用最小二 乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为 最小.在下面的章节中我们主要分析最小二乘法的原理 ,分别对最佳平方逼近和曲线拟合做了简单概述,重点对曲线拟合的非线性模型给出总结.1.1预备知识定义设在区间(a,b)±非负函数(x),满足条件:b(f ,g) = (x)g(x )f (x )dxa称为函数f (x)与g(x)在[a,b ]上的内积.定义1.3内积若满足下列四条公理:1) (f,g) ©f)2) (cf ,g) c( f ,g), c 为常数3) (fif 2,g) (fi,g) (f 2,g)4) (f, f) 0,当且仅当 fO 时(f, f) 01) xn (x)dx 存在(nO,1 丄);a2) 对非负的连续函数g(x),若则在(a,b)上就称(x)为区间(a,b)上的权函数.定义 1.2 设 f(x),g(x) [a,b], g(x) (x)dxg(x) 0(x)是:a,b]上的权函数,积分则连续函数空间c [a,b]上就形成一个内积空间•若f(f丄fn)T,g(g丄gjT则其n内积定义为(f ,g) fgk1定义1.4设A FT为非奇异矩阵,称(Co nd (A)? 1) Co nd(A)v | A ui A J V为矩阵的条件数,其中人为R nn中的某种矩阵范数•则对方程组Ax b⑴如果条件数Con d(A)v很大(Co nd(A)? 1),则称为病态方程组(或A为病态).(2) 当Cond(A)v相对较小时,称为良态方程组(或A是良态的). 定义1・5设在[a,b]给定函数系{0,丄,訂,若满足条件m0,i k(「) .(x)j(x)M) 阿k则称函数系{k}是:a,b]上带权为(x)的正交函数系.n定义1・6对于给定的函数f(x)C [a,b],若n次多项式s (x) 满足尖系job f (x) s (x) dxmin f (x) s(x) dx (1-1) a s(x)爲其中5为所有不超过n次的多项式,则称s(x)为f (x)在区间[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式.定义1・7对于给定函数f(x) C [a,b],如果存在s (x) span {i,i 1,, n}使b b(x)[ f (x) s (x)]2dx min (x)[f (x) s(x)]2dx (1-2)a S(x) a则称S (X)是f(x)在空间中的最佳平方逼近函数1.2最佳平方逼近问题最佳平方逼近问题就是对于给定的一个函数,用另一个函数去逼近它•如图1.1 所示逼近函数原函数图1.1最佳平方逼近图由公式(1 -1)和公式(1要求在给定的函数类中span{ i, i1, , m}中找到一个函数*S (x) ao o ai 1 L an nak k(x)(n m)使S・(x)满足(x)[f(x) S (x)l2dx minS(x)(x)[ f(x)S (x)]2dx 函数类一般可取比较低次的多项式集合或其他较简单的函数类•其中,(x)(0)是[a,b]上给定的权函数,它表示不同的点地位的强弱,它的地位越重要,从而权(x)也越大•其求解步骤概括如下:Stepl做出函数f(x)图形并寻找规律Step2设定数学模型,给出函数空间span{ d1,,n}Step3利用最佳平方逼近原理求出S(x),满足* 2 .(x)[f(x) S (x)] dx minS(x)表示为S*(x) ak k(x)kO(X)是权函数,具体S(x)的求出,相当于求解法方程(°, °)(叮)L(J)a°(f,。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解--三种最常用算法一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process,AHP)是美国著名的运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2,3,4].该方法是社会、经济系统决策的有效工具,目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用.(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序,包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5].下面分别予以介绍.1.递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素,即目标、准则、方案等.每一个因素称为元素.按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次,上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用,形成按层次自上而下的逐层支配关系.具有这种性质的层次称为递阶层次.2.测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案,而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的.然而对于社会、经济系统的决策模型来说,常常难以定量测度.因此,层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化.3.排序原理层次分析法的排序问题,实质上是一组元素两两比较其重要性,计算元素相对重要性的测度问题. (二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]. 1. 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高结果的准确度.T .L .Saaty 等人的作法,一是不把所有因素放在一起比较,而是两两相互对比,二是对比时采用相对尺度.假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响,每次取两个因素i C 和j C ,用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比,全部比较结果可用成对比较阵1,0,ij ij ji n nijA a a a a表示,A 称为正互反矩阵. 一般地,如果一个正互反阵A 满足:,ij jk ik a a a ,,1,2,,i j k n L (1)则A 称为一致性矩阵,简称一致阵.容易证明n 阶一致阵A 有下列性质: ①A 的秩为1,A 的唯一非零特征根为n ;②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量.如果得到的成对比较阵是一致阵,自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重,这个向量称为权向量.如果成对比较阵A 不是一致阵,但在不一致的容许范围内,用对应于A 最大特征根(记作 )的特征向量(归一化后)作为权向量w ,即w 满足:Aw w (2)直观地看,因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij a ,所以当ij a 离一致性的要求不远时,A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大.(2)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法.2. 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素i C 和j C 对于一个上层因素O 的影响时,采用Saaty 等人提出的91 尺度,即ij a 的取值范围是9,,2,1 及其互反数91,,21,1 .3. 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵,但是为了能用它的对应于特征根 的特征向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许范围内.若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ,则n 阶正互反阵A 的最大特征根n ,而当n 时A 是一致阵.所以 比n 大得越多,A 的不一致程度越严重,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大.因而可以用n 数值的大小衡量A 的不一致程度.Saaty 将1nCI n(3)定义为一致性指标.0CI 时A 为一致阵;CI 越大A 的不一致程度越严重.注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ,所以CI 相当于除 外其余1n 个特征根的平均值.为了确定A 的不一致程度的容许范围,需要找到衡量A 的一致性指标CI 的标准,又引入所谓随机一致性指标RI ,计算RI 的过程是:对于固定的n ,随机地构造正互反阵A ,然后计算A 的一致性指标CI .表1 随机一致性指标RI 的数值表中1,2n 时0RI ,是因为2,1阶的正互反阵总是一致阵.对于3n 的成对比较阵A ,将它的一致性指标CI 与同阶(指n 相同)的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ,当0.1CICR RI(4) 时认为A 的不一致程度在容许范围之内,可用其特征向量作为权向量.对于A 利用(3),(4)式和表1进行检验称为一致性检验.当检验不通过时,要重新进行成对比较,或对已有的A 进行修正. 4. 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量,计算各方案对目标的权向量,称为组合权向量.一般地,若共有s 层,则第k 层对第一层(设只有1个因素)的组合权向量满足:1,3,4,kkk w W w k s L (5)其中 kW 是以第k 层对第1k 层的权向量为列向量组成的矩阵.于是最下层对最上层的组合权向量为:132s s s w W W W w L (6)5. 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时,除了对每个成对比较阵进行一致性检验外,还常要进行所谓组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.组合一致性检验可逐层进行.如第p 层的一致性指标为p n p CI CI ,,1 (n 是第1 p 层因素的数目),随机一致性指标为1,,p p nRI RI L ,定义11,,P p p p n CI CI CI w L 11,,p p p p n RI RI RI wL 则第p 层的组合一致性比率为:,3,4,,p p p CI CRp s RIL (7) 第p 层通过组合一致性检验的条件为 0.1pCR .定义最下层(第s 层)对第一层的组合一致性比率为:2*sP p CR CR (8)对于重大项目,仅当*CR 适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验.层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次.同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用,而同一层的各因素之间尽量相互独立.最上层为目标层,通常只有1个因素,最下层通常为方案或对象层,中间可以有1个或几个层次,通常称为准则或指标层,当准则过多时(比如多于9个)应进一步分解出子准则层.(2) 构造成对比较阵从层次结构模型的第2层开始,对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素,用成对比较法和91 比较尺度构造成对比较阵,直到最下层.(3)计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量,利用一致性指标,随机一致性指标和一致性比率做一致性检验.若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量;若不通过,重新构造成对比较阵.(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量,并酌情作组合一致性检验.若检验通过,则可按照组合权向量表示的结果进行决策,否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵.(三) 层次分析法的优点1.系统性层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具.2.实用性层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广.同时,这种方法将决策者与决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策的有效性.3.简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,且所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握.(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括.第一,它只能从原有的方案中选优,不能生成新方案;第二,它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;第三,从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受.当然,采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径. (五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展,下面从应用的角度讨论几个问题. 1. 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵.层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量,用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验.这里人们碰到的问题是:正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量;一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度,特别,当一致性指标为零时,它是否就为一致阵.下面两个定理可以回答这些问题. 定理1 对于正矩阵A (A 的所有元素为正数) 1)A 的最大特征根是正单根 ;2) 对应正特征向量w ( 的所有分量为正数);3)w IA I I A k k k lim ,其中1,1,1 I ,w 是对应 的归一化特征向量.定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根n ;当n 时A 是一致阵.定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根n .2. 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知,用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的,特别是矩阵阶数较高时.另一方面,因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果,对它精确计算是不必要的,下面介绍几种简单的方法. (1) 幂法 步骤如下:a .任取n 维归一化初始向量 0wb .计算1,0,1,2,k k wAw k %L c .1k w%归一化,即令ni k ik k ww1111~~d .对于预先给定的精度 ,当 1||1,2,,k k i i i n L 时,1k w 即为所求的特征向量;否则返回be. 计算最大特征根 111k n ik i in %这是求最大特征根对应特征向量的迭代法, 0w 可任选或取下面方法得到的结果.(2) 和法 步骤如下:a. 将A 的每一列向量归一化得1nij ij iji a a%b .对ij %按行求和得1ni ij j %%c .将i %归一化 *121,,,ni ini w%%L 即为近似特征向量.d. 计算 11n ii iAw n ,作为最大特征根的近似值.这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值,作为A 的特征向量.(3) 根法 步骤与和法基本相同,只是将步骤b 改为对ij %按行求积并开n 次方,即11nn iij j%%.根法是将和法中求列向量的算术平均值改为求几何平均值.3. 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵A 是一致阵时,ij a 与权向量n w ,,1 的关系满iij ja,那么当A 不是一致阵时,权向量w 的选择应使得ij a 与ij相差尽量小.这样,如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题: 21,,11min i nniij i n i j j aL (9) 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同.因为(9)式将导致求解关于i 的非线性方程组,计算复杂,且不能保证得到全局最优解,没有实用价值.如果改为对数最小二乘问题:21,,11min ln ln i nni ij i n i j j aL (10)则化为求解关于ln i 的线性方程组.可以验证,如此解得的i 恰是前面根法计算的结果.特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出. 4. 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果,于是成对比较阵出现残缺.应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢?一般地,由残缺阵 ij A a 构造修正阵 ijA a %%的方法是令,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i jm m i i j%为第行的个数, (11)表示残缺.已经证明,可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵.(六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后,由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性,很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用.从处理问题的类型看,主要是决策、评价、分析、预测等方面. 这个方法在20世纪80年代初引入我国,很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受,得到了成功的应用.层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择:肉、面包、蔬菜.这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价该人体重为55kg维生素A 7500国际单位 (IU)维生素B 1.6338mg热量 R 8548.5kJ考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小?用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素.具体的求解过程如下:①建立层次结构② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵max 2 ,10CI ,100.1CR ,主特征向量0.75,0.25W 故第二层元素排序总权重为 10.75,0.25W表4 比较判断矩阵111max 1113,0,0,0.58CI CR RI ,主特征向量0.4,0.4,0.2W故相对权重 210.4,0.4,0.2,0P③ 第三层组合一致性检验问题因为 2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ,212200.1CR CR CI RI故第三层所有判断矩阵通过一致性检验,从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为:221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时,用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵,可以用原始的营养成分及单价的数据得到.注意到单价对人们来说希望最小,因此应取各单价的倒数,然后归一化.其他营养成分的数据直接进行归一化计算,可得表5表5 各营养成分数据的归一化则最终的第四层各元素的综合权重向量为:3320.2376,0.2293,0.5331W P W ,结果表明,按这个人的偏好,肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适.引入参数变量,令10.2376x k ,20.2293x k ,30.5331x k ,代入 1LP123min 0.02750.0060.007f x x x131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x则得k f 0116.0min13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k容易求得1418.1k ,故得最优解 *336.9350,325.1650,755.9767x;最优值 *16.4497f ,即肉336.94g ,面325.17g ,蔬菜755.98g ,每日的食品费用为16.45元.总之,对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题,用层次分析法来处理比较适用.二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L.A.Zadeh创立的.模糊数学作为一门新兴学科,它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面.在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果.(一) 模糊数学的研究内容第一,研究模糊数学的理论,以及它和精确数学、随机数学的关系;第二,研究模糊语言和模糊逻辑,并能作出正确的识别和判断;第三,研究模糊数学的应用.(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1.数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6].而模糊数学作为一种新的理论,本身就有其巨大的应用背景,国内外每年都有大量的相关论文发表,解决了许多实际问题.目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题,而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中,就其理论本身所具有的实用性的特点而言,模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题.2.数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符.对实际问题有这样一种分类方式:白色问题、灰色问题和黑色问题.毫无疑问,引进新的方法对解决这些问题大有裨益.在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的.在这种情况下,用模糊的模型也许更符合实际.3.数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神.用新理论、新方法解题应该受到鼓励.近年来,用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖,这也说明了评审者对新方法的重视.我们相信,模糊数学方法应该很好,同样能够写出优秀的论文.(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中,如何利用综合评判结果向量12,,,m b b b b L ,其中, 01j b ,m为可能出现的评语个数,提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断,目前通用的判别原则是最大隶属原则[7].在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题,在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用,然而这个原则并不是普遍适用的.最大隶属原则有效度的测量1. 有效度指标的导出在模糊综合评判中,当11max 1,1njj j nj bb 时,最大隶属原则最有效;而在 1max 01,jj nbc c 1n j j b nc 时,最大隶属原则完全失效,且1max jj nb 越大(相对于1njj b 而言),最大隶属原则也越有效.由此可认为,最大隶属原则的有效性与1max jj nb 在1njj b 中的比重有关,于是令:11max njjj nj b b (12)显然,当11max 1,1njj j nj bb 时,则1 为 的最大值,当 1max 01jj nb c c ,1njj bnc时,有1n 为 的最小值,即得到 的取值范围为:11n .由于在最大隶属原则完全失效时,1n 而不为0,所以不宜直接用 值来判断最大隶属原则的有效性.为此设:11111n n n n(13)则 可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性.而最大隶属原则的有效性还与j nj b 1sec (jnj b 1sec 的含义是向量b 各分量中第二大的分量)的大小有很大关系,于是我们定义:11sec njjj nj b b(14)可见: 当 1,1,0,0,,0b L 时, 取得最大值12.当 0,1,0,0,,0b L 时, 取得最小值0.即 的取值范围为012 ,设 02120.一般地, 值越大最大隶属原则有效程度越高;而 值越大,最大隶属原则的有效程度越低.因此,可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标:112121n n n n(15) 使用 指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性.2. 指标的使用从 指标的计算公式看出 与 成反比,与 成正比.由 与 的取值范围,可以讨论 的取值范围: 当 取最大值, 取最小值时, 将取得最小值0;当 取最小值, 取最大值时, 将取得最大值:因为 0lim ,所以可定义0 时, .即:0 .由以上讨论,可得如下结论:当 时,可认定施行最大隶属原则完全有效;当1 时,可认为施行最大隶属原则非常有效;当0.51 时,可认为施行最大隶属原则比较有效,其有效程度即为 值;当00.5 时可认为施行最大隶属原则是最低效的;而当0 时,可认定施行最大隶属原则完全无效.有了测量最大隶属原则有效度的指标,不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级,而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度,即有多大把握认定被评对象属于某个等级. 讨论a . 在很多情况下,可根据 值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算 值.根据 与 之间的关系,当0.7 ,且4n 时,一定存在1 .通常评价等级数取4和9之间,所以4n 这一条件往往可以忽略,只要0.7 就可免算 值,直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的.b . 如果对 12,,,m b b b b L 进行归一化处理而得到b ,则可直接根据b 进行最大隶属原则的有效度测量. (四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支,应用广泛.如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等.这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用. 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是:设 ,,,D V A c 是一个带出发点s v 和收点t v 的容量-费用网络,对于任意,ijv v A ,ijc表示弧 ,i j v v 上的容量,ij 表示弧 ,i j v v 上通过单位流量的费用,0v 是给定的非负数,问怎样制定运输方案使得从s v 到t v 恰好运输流值为0v 的流且总费用最小?如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度,问运输方案应当怎样制定?模型和解法 问题可以归结为:怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案?(1)从s v 到t v 运送的流的值恰好为0v ;(2)总运输费用最小;(3)在容量ij c 大的弧 ,i j v v 上适当多运输.如果仅考虑条件(1)和(2),易写出其数学模型为:,0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v Av v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A %,定义其隶属函数 : 0,1A 为: 00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c c%其中 1,i j ij v v c A cg (平均容量)21,21,0,1lg 1i j i j ij v v A ij v v A A c c d A c cg g建立ij 是为了量化“适当多运输”这一模糊概念.对条件(2)作如下处理:对容量ij c 大的弧 ,i j v v ,人为地降低运价ij ,形成“虚拟运价”ij ,其中ij 满足:ij c 越大,相应的ij 的调整幅度也越大.选取ij 为 1kij ij ij , ,i j v v A .其中k 是正参数,它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位.决策者越看重条件(3),k 取值越小;当k 取值足够大时,便可忽略条件(3) .一般情况下,合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定.最后,用ij 代替原模型M 中的ij ,得到一个新的模型M .用现有的方法求解这个新的规划问题,可期望得到满足条件(3)的解.模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上,增加了模糊约束.新模型比较符合实际,它的解包含了原模型的解,因而它是一个较为理想的模型.隶属度的确定在模糊数学中有多种方法,可以根据不同的实际问题进行调整.同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题.三、灰色系统客观世界的很多实际问题,其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解,对部分信息已知而部分信息未知的系统,我们称之为灰色系统.灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系,即研究如何利用已知信息去揭示未知信息.灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面.(一)灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中,对所要分析研究的各因素,通过一定的数据,在随机的因素序列间,找出它们的关联性,找到主要特性和主要影响因素.计算方法与步骤:1.原始数据初值化变换处理分别用时间序列 k 的第一个数据去除后面的原始数据,得出新的倍数列,即初始化数列,量纲为一,各值均大于零,且数列有共同的起点.2. 求关联系数0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ik i ki k k i k k i k ikx x x x x x x x3. 取分辨系数 01 4. 求关联度11ni ki k k r n(二) 灰色预测1.灰色预测方法的特点(1)灰色预测需要的原始数据少,最少只需四个数据即可建模;(2)灰色模型计算方法简单,适用于计算机程序运行,可作实时预测;(3) 灰色预测一般不需要多因素数据,而只需要预测对象本身的单因素数据,它可以通过数据本身的生成,寻找系统内在的规律;(4) 灰色预测既可做短期预测,也可做长期预测,实践证明,灰色预测精度较高,误差较小.2. 灰色预测GM(1,1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作,提出了相应的方法.本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上,进一步研究GM(1,1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10].问题的存在及改进方法如下:传统灰色预测GM(1,1)模型的一般步骤为: (1)1-ADO :对原始数据序列0k x 1,2,,k n L 进行一次累加生成序列 101kk i i x x1,2,,k n L(2)对0x 数列进行光滑性检验:00,k ,当0k k 时:0011101k k k k ii x x x x文献[11]进一步指出只要0101k k ii x x 为k 的递减函数即可.(3)对1x 作紧邻生成: 1111*1*,2,3,,k k k Z x x k n L一般取0.5b ax dtdx 11 (16)为灰色微分方程 01k k x aZ b 的白化方程. (4)按最小二乘法计算参数,a b(5)解(16)式并进行离散化得模拟序列1x 和0x 的计算公式: 1101exp k x x b a ak b a ,其中0,1,2,,k n L01111011exp *exp k k k x x x a x b a ak ,其中1,2,k L并假定 111101x x x文献[12,13]指出:假定 111101x x x 的理由是不充分的,文献[14]认为应当以最后一个 1n x 为已知条件来确定微分方程中常数项m c 的值,理由是最后一个数据是最新的,最能反映实际情况.同时文献[15]又进一步提出常数m c 的确定,由于数据序列中。
matlab最小二乘法拟合直线
matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一,而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。
在本文中,将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理,并就此主题进行深入的探讨。
【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法,它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。
在直线拟合中,最小二乘法的目标是找到一条直线,使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。
1. 确定拟合的模型在直线拟合中,我们的模型可以表示为:Y = a*X + b,其中a和b为待求参数,X为自变量,Y为因变量。
2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i),计算其到直线的垂直距离d_i,即误差。
误差可以表示为:d_i = y_i - (a*x_i + b)。
3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和,即最小化误差的平方和:min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。
通过求解该最小化问题,可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。
二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。
1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。
可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据,也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。
2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前,先对数据进行预处理。
一般情况下,可以对数据进行去除异常值、归一化等操作,以确保数据的准确性和可靠性。
3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。
polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面,并返回拟合参数。
在拟合直线时,需要指定拟合的阶数,对于直线拟合,阶数为1。
4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来,以便于观察拟合效果。
数学建模与数学实验第五版代码
数学建模与数学实验第五版代码数学建模与数学实验是一门重要的学科,它将数学方法应用于实际问题的解决过程中。
通过数学建模与数学实验的学习,我们可以培养创新思维、数学分析能力和计算能力等重要的数学技能。
在数学建模与数学实验第五版中,我们将学习到各种数学建模方法和相关的代码实现。
下面我将介绍一些常用的数学建模方法以及对应的代码示例。
第一种数学建模方法是线性规划,它是一种用于求解线性目标函数的优化问题的方法。
代码示例如下:```pythonfrom scipy.optimize import linprogc = [-1, -1] #目标函数的系数A = [[2, 1], [-1, 2], [0, 1]] #约束条件的系数矩阵b = [6, 4, 3] #约束条件的取值res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b)print(res)```第二种数学建模方法是最小二乘法,它是一种用于拟合实验数据的方法。
代码示例如下:```pythonimport numpy as npx = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) #自变量y = np.array([2.1, 3.9, 6.1, 8.2, 9.9]) #因变量#拟合多项式函数coefficients = np.polyfit(x, y, 2)print(coefficients)#拟合指数函数coefficients = np.polyfit(x, np.log(y), 1)print(coefficients)```第三种数学建模方法是蒙特卡洛模拟,它是一种通过随机抽样的方法来估计概率分布或函数值的方法。
代码示例如下:```pythonimport numpy as np#生成服从正态分布的随机数mean = 0std = 1samples = np.random.normal(mean, std, 10000)print(samples)#计算样本均值和方差mean = np.mean(samples)variance = np.var(samples)print(mean, variance)```以上是数学建模与数学实验第五版中介绍的一些数学建模方法和对应的代码示例。
matlab加权最小二乘法拟合编程
一、概述最小二乘法(Least Squares Method)是一种常用的数学优化方法,通过最小化残差的平方和来拟合实际数据与理论模型之间的关系。
在实际应用中,我们常常需要对数据进行加权处理,以提高拟合效果和准确度。
而Matlab作为一种强大的数学建模和仿真软件,提供了丰富的函数和工具来实现加权最小二乘法的拟合编程。
二、加权最小二乘法原理1. 最小二乘法原理最小二乘法是一种常用的拟合方法,通过最小化实际观测值和理论值之间的误差来寻找最佳拟合曲线或曲面。
其数学表达为:minimize ||Ax - b||^2其中A为设计矩阵,x为拟合参数,b为观测值向量。
最小二乘法可以看作是一种优化问题,通过求解参数x的最优值来实现最佳拟合。
2. 加权最小二乘法原理在实际情况下,我们往往会遇到观测值有不同的权重或方差的情况,此时可以使用加权最小二乘法来提高拟合效果。
加权最小二乘法的数学表达为:minimize ||W^(1/2)(Ax - b)||^2其中W为权重矩阵,将不同观测值的权重考虑在内,通过加权的方式来优化拟合效果。
三、Matlab实现加权最小二乘法1. 数据准备在进行加权最小二乘法的拟合编程前,首先需要准备实际观测数据和设计矩阵A。
还需要考虑观测值的权重矩阵W,根据实际情况来确定不同观测值的权重。
2. 加权最小二乘法函数Matlab提供了丰富的函数和工具来实现加权最小二乘法的拟合。
其中,可以使用lsqcurvefit或lsqnonlin等函数来进行加权最小二乘法的拟合计算。
通过传入设计矩阵A、观测值向量b和权重矩阵W,以及拟合参数的初始值,来实现加权最小二乘法的拟合计算。
3. 拟合结果评估完成加权最小二乘法的拟合计算后,我们需要对拟合结果进行评估。
主要包括残差分析、拟合效果的可视化等方面。
通过分析残差的分布和拟合曲线与实际观测值的符合程度,来评估拟合效果的优劣。
四、实例分析1. 示例一:线性模型拟合假设我们有一组线性关系的实际观测数据,且各观测值具有不同的权重。
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常⽤的⼗种解题⽅法数学建模常⽤的⼗种解题⽅法摘要当需要从定量的⾓度分析和研究⼀个实际问题时,⼈们就要在深⼊调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等⼯作的基础上,⽤数学的符号和语⾔,把它表述为数学式⼦,也就是数学模型,然后⽤通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。
这个建⽴数学模型的全过程就称为数学建模。
数学建模的⼗种常⽤⽅法有蒙特卡罗算法;数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法;解决线性规划、整数规划、多元规划、⼆次规划等规划类问题的数学规划算法;图论算法;动态规划、回溯搜索、分治算法、分⽀定界等计算机算法;最优化理论的三⼤⾮经典算法:模拟退⽕法、神经⽹络、遗传算法;⽹格算法和穷举法;⼀些连续离散化⽅法;数值分析算法;图象处理算法。
关键词:数学建模;蒙特卡罗算法;数据处理算法;数学规划算法;图论算法⼀、蒙特卡罗算法蒙特卡罗算法⼜称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验⾃⼰模型的正确性,是⽐赛时必⽤的⽅法。
在⼯程、通讯、⾦融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的⼈⼒、物⼒, 对此, ⽤计算机随机模拟就是最简单、经济、实⽤的⽅法; 此外, 对⼀些复杂的计算问题, 如⾮线性议程组求解、最优化、积分微分⽅程及⼀些偏微分⽅程的解⑿, 蒙特卡罗⽅法也是⾮常有效的。
⼀般情况下, 蒙特⼘罗算法在⼆重积分中⽤均匀随机数计算积分⽐较简单, 但精度不太理想。
通过⽅差分析, 论证了利⽤有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。
本⽂给出算例, 并⽤MA TA LA B 实现。
1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法⼆重积分的蒙特卡罗⽅法(均匀随机数)实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的⼆重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计⼀种蒙特卡罗的⽅法计算。
数学建模-最小二乘拟合实验
《数学建模期末实验作业》院系:数学学院专业:信息与计算科学年级:2014级试题编号:37胡克定律的综合评价分析背景摘要:利用一个打蛋器和一个物理学公式,毁掉一面六英寸厚的承重墙,这么天方夜谭的事你能相信吗?但它却真的发生了!《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟,即使没看过里面的内容,但应该都曾经听过它的大名。
在《越狱》第一季第六集中,Michael要通过地下管道爬到医务室的下面,但是一条重要通道是被封死的,因此必须要把这个封死的墙破坏掉,由于是混凝土结构,因此破坏起来很难,Michael从纹身上拓下魔鬼的画像,投影在掩住管道入口的墙上,用“胡克定律”计算出最佳位置,再用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞,最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。
相信大多数人都觉的很梦幻很不科学,但事实就是这样的令人惊讶。
搜狐娱乐曾经报道过,有《越狱》粉丝不相信这一情节,在现实生活中进行实验,结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。
胡克定律的表达式为F=k・x或厶F=k・A x,其中k是常数,是物体的劲度(倔强)系数。
在国际单位制中,F的单位是牛,x的单位是米,它是形变量(弹性形变),k的单位是牛/米。
倔强系数在数值上等于弹簧伸长(或缩短)单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一,也是力学最重要基本定律之一。
在现代,仍然是物理学的重要基本理论。
胡克的弹性定律指出:弹簧在发生弹性形变时,弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量(或压缩量)x成正比,即F= -k • x。
k 是物质的弹性系数,它由材料的性质所决定,负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长(或压缩)的方向相反。
但当我们进行多次实验,便会发现随着F的逐步增大,便不再服从胡克定律。
为此我们应当运用插值与拟合的内容,探索更加准确的公式。
一、建模问题1•问题提出1.1 问题背景弹簧在压力F的作用下伸长x, —定范围内服从胡克定理:F与x成正比, 即F=kx。
现在得到下面一组F,x数据,并在(x,F)坐标下作图,可以看到当F大到一定数据值后,就不服从这个定律了。
两阶段最小二乘 法和广义矩估计法
两阶段最小二乘法和广义矩估计法标题:从最小二乘法到广义矩估计法:深度解析两阶段最小二乘法和广义矩估计法引言:在统计建模和数据分析中,两阶段最小二乘法和广义矩估计法是常用的方法,用于处理数据中的噪声和误差。
本文将重点探讨这两种方法的原理、应用场景以及它们在统计学中的作用。
第一部分:最小二乘法1.1 介绍两阶段最小二乘法1.1.1 定义和基本原理1.1.2 两阶段最小二乘法的主要步骤1.2 两阶段最小二乘法的应用举例1.2.1 线性回归分析案例1.2.2 时间序列分析案例第二部分:广义矩估计法2.1 广义矩估计法的概念和基本原理2.1.1 广义矩估计法的基本思想2.1.2 广义矩估计法与最小二乘法的区别2.2 广义矩估计法的应用举例2.2.1 概率分布拟合案例2.2.2 非线性回归分析案例第三部分:两阶段最小二乘法与广义矩估计法的比较3.1 相似之处3.1.1 基于样本的估计方法3.1.2 都可以用于参数估计和模型拟合3.2 不同之处3.2.1 理论基础和假设前提3.2.2 算法步骤和计算复杂度结论:两阶段最小二乘法和广义矩估计法都是常用的参数估计方法,但在理论假设和计算步骤上存在一些差异。
两阶段最小二乘法适用于线性模型和数据点较多的情况,广义矩估计法则更加灵活,并适用于非线性模型和无需特定分布假设的情况。
在实际应用中,根据具体问题和数据特征,我们可以选择合适的方法来进行参数估计和模型拟合。
个人观点:作为数据分析领域中不可或缺的方法之一,两阶段最小二乘法和广义矩估计法在实践中发挥了重要作用。
我认为,这两种方法的选择应该根据问题的特点和数据的性质进行。
在实际工作中,我们需要深入理解这些方法的原理和适用范围,以便能够灵活应用和合理解释结果。
参考文献:[1] Smith, M. A. et al. (1992). "Two-Stage Least Squares and Generalized Methods of Moments". Journal of Economic Perspectives, 6(2), 187-198.[2] Chamberlain, G. (1987). "Asymptotic efficiency in estimation with conditional moment restrictions". Journal of Econometrics, 34(3), 305-334.注意:以上是一个关于两阶段最小二乘法和广义矩估计法的示范文章,实际情况中可能需要更多针对指定主题的内容和细节。
系统建模最小二乘法
散点图 拟合类Ф Ф的基底 拟合函数φ(x)
最小二乘解φ*(x)
解法方程组 法方程组 数据点
最小二乘法的实现步骤
由数据表中的数值,点画出未知函数的 粗略图形——散点图; 依据散点图,确定拟合函数类Ф及Ф 的基底; 根据最小二乘原理,确定拟合函数中的 未知参数;具体步骤如下:
最小二乘法的实现步骤
计算法方程组的系数,建立法方程组; 解法方程组,将解代入拟合函数φ(x); φ(x)即为给定问题的最小二乘解。
y
(xi , yi) , i = 1, 2, …, m
i0
j0
整理
nm
m
[ j ( xi )k ( xi )]a j yik ( xi )
j0 i0
i0
三、最小二乘解
按 a0 , a1,, an 整理
m
m
m
a0 0(xi )k (xi ) a1 1(xi )k (xi ) an n(xi )k (xi )
i0
i0
i0
m
yik (xi ) i0
极值点 a0 *,a1*,, an * 的问题;
转化 二
将求拟合系数问题转化为函数的极值点问题
三、最小二乘解
3.法方程组
因极值点是驻点,所以极值点一定满足
(a0 , a1 ,, an ) 0
ak
k 0,1,,n
ak
m
n
[2( a j j ( xi ) yi )k ( xi )] 0
励磁电流
R
i2 =const
ia
ML
负载力矩
ML
电动机
3.局部传递函数框图: 4. 系统传递函数框图:
2.3 系统建模方法
使用最小二乘法的条件
使用最小二乘法的条件
最小二乘法是一种常用的预测和估计方法,也被称为最小平方法、最优二乘估计或简称最小二乘估计。
在有关统计建模和机器学习领域中,最小二乘法用于拟合数据,估计模型参数,拟合最佳函数曲线。
最小二乘法受到优化问题的思想指导,其基本原理是有误差,或者说有给定数据。
要在给定数据的情况下找出能最好拟合数据的函数关系,使得拟合曲线与给定数据之间的差别最小,这就是最小二乘法。
最小二乘法有几种使用条件:
一是存在可被测量的随机误差,即给定的m个数据点之间存在某种形式的随机误差,其对对应的点有随机的扰动;
二是用于拟合的模型的所有参数都是需要估算的,是未知参数;
三是满足第一范式条件,即:差异函数完全一致且扰动项(如误差)的期望值未知;
四是满足最大不相关条件,即:扰动项不相关,同时具有常数平方和分布。
五是满足独立性,即:每个观测点都是独立的,不存在任何联系。
通过最小二乘法拟合数据,可以更好地估计参数,从而获得更准确、有效的预测结果。
c语言 最小二乘拟合平面
c语言最小二乘拟合平面C语言是一种广泛应用的编程语言,它具有高效、灵活和可移植的特点,因此在科学计算和工程领域中得到了广泛的应用。
最小二乘拟合平面是数学建模和数据分析中常用的方法之一,它能够通过最小化误差来寻找数据点的最佳拟合平面,因而在实际应用中也具有重要意义。
C语言作为一种强大的编程语言,可以很好地支持最小二乘拟合平面的计算和实现。
在本文中,我们将深入探讨C语言中最小二乘拟合平面的实现方法,并对其进行全面的评估和分析。
1. 最小二乘拟合平面的原理在进行最小二乘拟合平面之前,首先我们需要了解最小二乘法的原理。
最小二乘法是一种数学优化方法,通过最小化观测数据与拟合模型之间的误差平方和来寻找最佳拟合曲面。
在数学表达上,最小二乘拟合平面可以表示为一个线性方程,即通过自变量x和因变量y的线性组合来表示拟合平面。
2. C语言中最小二乘拟合平面的实现在C语言中,我们可以通过矩阵运算和线性代数的库函数来实现最小二乘拟合平面。
我们可以利用C语言提供的矩阵运算库来进行数据矩阵的转置、乘法和逆运算,从而求解最小二乘拟合平面的系数。
3. 个人观点和理解最小二乘拟合平面作为一种重要的数学建模方法,在实际应用中具有广泛的应用价值。
通过C语言的实现,我们可以高效地进行最小二乘拟合平面的计算和实现,从而为科学计算和工程领域的数据分析提供强大的支持。
总结回顾在本文中,我们深入探讨了C语言中最小二乘拟合平面的实现方法,通过对最小二乘法原理和C语言实现的分析,我们对最小二乘拟合平面有了全面的了解。
通过个人观点和理解的共享,我们也对这一主题有了更深入的认识。
通过本文的阅读,相信读者对C语言中最小二乘拟合平面的实现方法有了更深入的理解和认识,也希望能对读者在科学计算和工程领域的实际应用中有所帮助。
C语言作为一种广泛应用的编程语言,其在科学计算和工程领域中的重要性不言而喻。
而最小二乘拟合平面作为数学建模和数据分析中常用的方法,其在实际应用中也具有重要意义。
最小二乘法的公式
最小二乘法的公式最小二乘法是一种常用的回归分析方法,用来寻找一个线性模型来拟合给定的数据。
最小二乘法的目标是最小化实际数据与拟合模型之间的残差平方和,即找到使得残差平方和最小的系数。
在回归分析中,最小二乘法是一种经典的统计学方法,有着广泛的应用。
一般来说,给定一个数据集,我们需要找到一个线性模型,使得该模型能最好地拟合这些数据。
这个线性模型可以通过最小二乘法来求解,具体的公式如下:1. 线性模型公式假设我们的数据集包含了n个样本数据,每个数据由p个特征和一个目标变量组成。
我们可以将每个样本数据表示为一个向量,并将这些向量组合成一个矩阵X,其中X的维度是n x p,n为样本数量,p为特征数量。
我们的目标是找到一个系数向量β,使得线性模型的预测值与实际值之间的残差平方和最小。
我们用y表示实际值,用Xβ表示线性模型的预测值,残差向量为ε = y - Xβ。
2. 残差平方和的最小化为了最小化残差平方和,我们需要最小化ε的平方和。
我们可以用L2范数(欧氏距离)来度量残差向量的长度,即我们的目标是最小化||ε||^2。
所以,我们的最小二乘法的公式可以表述为:min ||ε||^2 = min (y - Xβ)^T(y - Xβ)为了求解这个最小化问题,我们需要计算残差平方和的导数,并令导数为0,从而找到导数为0时的系数β。
3. 求解最小二乘法的一般公式求解最小二乘法的公式可以通过求导的方式来推导,具体的推导过程比较繁琐,这里我们直接给出最后的结果。
设关于β的残差平方和为F(β),则我们需要求解的最优解β的一般公式为:∂F(β)/∂β = -2X^T(y - Xβ) = 0整理方程,我们可以得到最小二乘法的一般公式:X^T(y - Xβ) = 0我们可以进一步解这个等式,求得β的一般解:β = (X^TX)^(-1)X^Ty其中,(X^TX)^(-1)表示X^TX的逆矩阵。
通过这个公式,我们可以计算出最小二乘法的系数β,从而得到拟合数据的线性模型。
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解得 从而得到
A= −4.48072, b = −1.0567
a = e = 11.3253×10
A
−3 −1.0567t
−3
y = 11.3253×10 e
= F (t)
(2)
请回答: 请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢? 怎样比较这两个数学模型的好坏呢? 只要分别计算这两个数学模型的误差, 答 : 只要分别计算这两个数学模型的误差 , 从中挑选误差较小的模型即可。 从中挑选误差较小的模型即可。
δ = ∑δi2 = ∑[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0 i=0
m
m
[ = min ∑ S( xi ) − yi ]2
S( x)∈ ϕ i=0
m
3. 广义定义 通常把最小二乘法 δ 都考虑为加权平方和
2 2
即
δ = ∑ω(xi )[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0
m
ω( x) ≥ 0
i i
(2)使残差的绝对值之和为最小 使残差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使残差的平方和为最小 使残差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
最小二乘法
2. 一般定义 已知: 一组数据( 已知: 一组数据(xi,yi)(i=0,1,…,m), , 求: 在函数类 ϕ = span{ϕ0 ,ϕ1,...,ϕn }中找一 ∗ 使误差平方和最小, 个函数 y = S (x) ,使误差平方和最小, 即
y = 1.2408
(i = 1,...,16) 。 xi , yi ) 可由原始 (
计算出来。 数据 (ti , yi ) 计算出来。
里 这 ϕ0( x) = 1,ϕ1( x) = x
可求得 (ϕk ,ϕ j ),( y,ϕ j ), j, k = 0,1 代入法方程得
16a + 3.38073b = 1.8372×103 3 3.38073a +1.58435b = 0.52886×10
b ln y = lna + t
ˆ 于是由 (ti , yi ) 计算出 ( xi , yi ) ,拟合数 据 ( xi , yi ) 的曲线仍设为 ˆ
S1( x) = A+ bx
得法方程
16A+ 3.38073b = −75.26394 3.38073A+1.58435b = −16.82229
t 增 数 (1) y是 的 函 ; t , (2)当 →0 + 时 y = 0; (3)t →∞时 y趋 一 定 , 于 个 值
根据这些条件,可设想两种形式的函数关系: 根据这些条件,可设想两种形式的函数关系: y = F(t) 是双曲线型
1 b t y = a + ,即 = y t (at + b)
第二章 材料科学研究中的数学模型及分析方法
常用的数学建模方法(数据分析法、理论 分析法、模拟方法、类比方法) 一、数据分析法:重点:最小二乘法、正 交实验 二、理论分析法 三、模拟方法 四、类比方法
一、曲线拟合的最小二乘法
(一)、最小二乘法的定义 )、最小二乘法的定义 (二)、求解方法 )、求解方法 (三)、求解步骤 )、求解步骤 (四)、举例 )、举例
t Y t y 1
4.00
2
6.40
3
8.00
4
8.80
5
9.22
6
9.50
7
9.70
8
9.86
9
10.0 0
10
10.2 0
11
10.3 2
12
10.4 2
13
10.5 0
14
10.5 5
15
10.5 8
16
10.6 0
解
根据所给数据,在坐标纸上标出, 根据所给数据,在坐标纸上标出,得下图 y
t 从图中可以看出开始时浓度增加较快, 从图中可以看出开始时浓度增加较快 , 后来 逐渐减弱, 逐渐减弱 , 到一定时间就基本稳定在一个数 值上,即当t→∞时,y趋于某个常数,故有一 趋于某个常数, 值上,即当 时 趋于某个常数 水平渐近线。 反应未开始, 水平渐近线。另外 t = 0 时,反应未开始,浓 度为0。 度为 。概括起来为
解得 从而得到
a = 80.6621, b = 161.6822
t (1) y= = F (t) 80.6621t +161.6822
y = F(t) 是指数形式
y = ae
b/ t
(b < 0)
为了确定a 为了确定 与b,对上式两边取对数得 ,
令
1 ˆ y = ln y, A = lna, x = t
解得
a0 = 2.77, a1 = 1.13
于是所求拟合曲线为
∗ S1 ( x) = 2.77 +1.13x
在某化学反应里, 例2. 在某化学反应里,根据实验所得生成物的 浓度与时间关系如下表, 求浓度y与时间 与时间t的拟 浓度与时间关系如下表 , 求浓度 与时间 的拟 合曲线y=F(t). 合曲线
(二)、求解方法 二、
求S*(x)
求如下多元函数的最小值
I(a0, a1,..., an ) = ∑ (xi )[∑ajϕj (xi ) − f (xi )]2 ω
i=0 j=0
m
n
由多元函数 求极值的必 要条件
∂I = 0, (k = 0,1 ⋯ n) , , ∂ak
即
m n ∂I = 2∑ω(xi )[∑ajϕj (xi ) − f (xi )]ϕk (xi ) ∂ak i=0 j=0
(一)、最小二乘法的定义 、
1. “曲线拟合”问题 曲线拟合” 曲线拟合 已知: 一组实验数据( 已知 : 一组实验数据 ( xi , yi ) (i=0,1,…,m), , 且观测数据有误差。 且观测数据有误差。 求:自变量x与因变量y之间的函数关系 y=F(x) ,不要求y=F(x)经过所有点,而只要 经过所有点, 不要求 经过所有点 求在给定点上误差
注:权函数在实际问题中有重要作用! 权函数在实际问题中有重要作用!
要理解加权是什么意思,首先需要理解什么叫“权”, “权”的古代含义为秤砣,就是秤上可以滑动以观察 质量的那个铁疙瘩。《孟子·梁惠王上》曰:“权,然后 知轻重。”就是这意思。
例子:学校算期末成绩,期中考试占30%,期末考 试占50%,作业占20%,假如某人期中开始得了84, 期末92,作业分91,如果是算数平均,那么就是 (84+92+91)/3=89; 加权后的,那么加权处理后就是 84*30%+92*50%+91*20%=89.4,这是在已知权重的 情况下;
那么未知权重的情况下呢?想知道两个班的化学 加权平均值,一班50人,平均80,二班60人,平 均82,算数平均是(80+82)/2=81,加权后是 (50*80+60*82)/(50+60)=81.09 还有一种情况类似第一种也是人为规定,比如说 你觉得专家的分量比较大,老师其次,学生最低, 就某观点,满分10分的情况下,专家打8分,老 师打6分,学生打7分,但你认为专家权重和老师 及学生权重应为0.5:0.3:0.2,那么加权后就是 8*0.5+6*0.3+7*0.2=7.2,而算数平均的话就是 (8+6+7)/3=7。
解
根据所给数据, 在坐标纸上标出, 根据所给数据 , 在坐标纸上标出 , 从图 中看到各点在一条直线附近, 中看到各点在一条直线附近 , 故可选择 线性函数作拟合曲线,即令 线性函数作拟合曲线,
S1( x) = a0 + a1 x
得法方程为
8a0 + 22a1 = 47 22a0 + 74a1 = 145.5
2 2
达到最小
则(x,y)应满足 )
∂Q( x, y) =0 ∂x ∂Q( x, y) =0 ∂y
即 6x − y = 17
− 3x + 46y = 48
解得
x = 3.0403 y = 1.2408
所以用最小二乘法解得的超定线性方程组 的解为 x = 3.0403
例3. 用最小二乘法解超定方程组
解
2x + 4y = 11 3x − 5y = 3 x + 2y = 6 2x + y = 7
欲求( ) 欲求(x,y)使得其尽可能使四个等式成 立,即使
Q( x, y) = (2x + 4y −11)2 + (3x − 5y − 3)2 + ( x + 2y − 6) + (2x + y − 7)
本例经过计算可得
m | δi(1) |= 0.568×10−3 ,m | δi(2) |= 0.277×10−3 ax ax
i i
而均方误差为
∑(δ
i=1
m
(1) 2 i )
= 1.19×10 ,
−3
∑(δ
i=1
m
Байду номын сангаас
(2) 2 i )
= 0.34×10
−3
由此可知第二个模型较好。 由此可知第二个模型较好。
推导: 推导:线性方程 Y = a + bx
(三)、求解步骤 三、
确定拟合曲线的形式
最困难! 最困难!
确定变量对应的数据
确定法方程
求解法方程
(四)、举例 四、
已知一组实验数据如下,求它的拟合曲线. 例1. 已知一组实验数据如下,求它的拟合曲线
xi fi ωi 1 4 2 2 4.5 1 3 6 3 4 8 1 5 8.5 1