最小二乘法
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法实现公式
最小二乘法实现公式最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计线性模型中的参数。
它通过最小化观测值与预测值之间的误差平方和，来确定最优的参数估计值。
下面将详细介绍最小二乘法的原理和应用。
一、最小二乘法原理最小二乘法的基本思想是，通过找到一条线（或曲线），使得该线与观测数据点之间的误差最小化。
具体来说，对于一个线性模型 y = β0 + β1x + ε，其中 y 是因变量，x 是自变量，β0 和β1 是待估计的参数，ε 是误差项。
最小二乘法的目标是找到最优的参数估计值β0* 和β1*，使得观测值与预测值之间的误差平方和最小化。
为了实现最小二乘法，需要定义一个衡量误差的函数，通常选择误差的平方和作为目标函数。
即最小化目标函数：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2通过对目标函数求导，可以得到参数估计值的解析解。
令目标函数的导数等于零，可以得到以下两个方程：Σyi - nβ0 - β1Σxi = 0Σxiyi - β0Σxi - β1Σxi^2 = 0解这个方程组，可以求得最优的参数估计值β0* 和β1*。
最小二乘法的核心思想就是通过最小化误差平方和来确定最优的参数估计值。
二、最小二乘法的应用最小二乘法广泛应用于各个领域的回归分析中。
下面将介绍最小二乘法在经济学、统计学和工程学中的应用。
1. 经济学中的应用最小二乘法在经济学中被广泛应用于建立经济模型和估计经济参数。
经济学家可以利用最小二乘法来估计需求函数、供给函数和生产函数等。
通过回归分析，经济学家可以研究各种经济变量之间的关系，并对经济现象进行解释和预测。
2. 统计学中的应用最小二乘法是统计学中最常用的参数估计方法之一。
通过最小二乘法，统计学家可以估计线性回归模型中的参数，并进行统计推断。
最小二乘法还可以用于解决多重共线性、异方差性和自相关等统计问题。
3. 工程学中的应用最小二乘法在工程学中有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，最小二乘法可以用于信号滤波和信号重构。
最小二乘法分类
最小二乘法分类最小二乘法（Least Squares Method）是一种常用的参数估计方法，用于寻找一个函数模型的最佳拟合参数，使得模型的预测值与观测值的残差平方和最小化。
这种方法最早由高斯提出，并被广泛应用于统计学和计算机科学等领域。
本文将介绍最小二乘法的基本原理、应用场景以及相关的算法和评估指标。
一、基本原理：最小二乘法用于求解形如y = f(x;θ) 的函数模型的参数θ，其中y是观测值，x是自变量，f是函数模型。
最小二乘法的目标是找到最佳的参数θ，使得模型的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
具体步骤如下：1. 定义函数模型：根据具体问题，选择适当的函数模型，如线性模型、多项式模型、指数模型等。
2. 表达目标函数：根据函数模型和参数θ，将目标函数表达为关于θ的函数形式。
3. 定义损失函数：通常采用残差的平方和作为损失函数，即Loss = Σ(y_i - f(x_i;θ))^2 。
4. 求解参数θ：通过最小化损失函数，即求解使得∂Loss/∂θ = 0 的参数θ。
5. 参数估计：根据求解得到的参数θ，即可获得最佳的函数模型。
二、应用场景：最小二乘法在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 线性回归：最小二乘法用于拟合线性回归模型，求解自变量与因变量之间的关系。
2. 特征选择：最小二乘法可用于特征选择，筛选对目标变量影响最大的特征。
3. 数据压缩：通过最小二乘法可以估计出一个低维子空间，将高维数据进行压缩。
4. 图像处理：最小二乘法可用于图像去噪、图像恢复等问题，如使用低秩矩阵模型对图像进行恢复。
5. 信号处理：最小二乘法可用于信号滤波、信号恢复等问题，如基于 DCT 的音频和图像压缩。
三、算法与评估指标：1. 最小二乘法的数值解：在实际应用中，最小二乘法的数值解可以通过各种数值优化算法来求解，包括梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等。
2. 算法评估指标：常用的评估指标包括残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）、均方误差（Mean Square Error, MSE）以及决定系数（Coefficient of Determination, R^2）等。
最小二乘法(least sqaure method)
最小二乘法（least sqauremethod）专栏文章汇总文章结构如下：1：最小二乘法的原理与要解决的问题2 ：最小二乘法的矩阵法解法3：最小二乘法的几何解释4：最小二乘法的局限性和适用场景5：案例python实现6：参考文献1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta_nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
最小二乘法的基本思想和步骤
最小二乘法的基本思想和步骤
步骤：
1、最小二乘法的拟合曲线（即,估计值,含有未知数）；
2、真实值-估计值,然后平方；
3、对未知数求导,等于0,这样使得误差最小；
4、根据方程组,求解未知数。
最小二乘法简介：
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法（Least Squares）是回归分析中的一种标准方法，它是当方程数量大于未知数个数时，利用数据点构建的方程组，对未知参数进行一种近似估计的方法。
之所以叫做“最小二乘”，是因为利用的优化项是由所有数据点与模型观测点残差的平方和构成的，通过极小化残差的平方和，达到一种从整体上最“接近”实际观测数据的模型参数。
最小二乘法公式
最小二乘法公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y 计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)² (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘函数
最小二乘函数
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）性、线性及无偏性，简称为BLU特性。
最小二乘法算法
最小二乘法算法概述最小二乘法是一种常见的回归分析方法，用于估计线性回归模型中的未知参数。
该方法通过最小化观测值与模型估计值之间的残差平方和来求解最优参数。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于数据拟合、回归分析、信号处理等领域。
算法原理线性回归模型最小二乘法的基础是线性回归模型，该模型基于以下假设： - 目标变量与自变量之间存在线性关系； - 自变量的观测值是准确的，不存在测量误差； - 目标变量的观测值是独立的，并且具有相同的方差。
线性回归模型可以表示为：y=β0+β1x1+β2x2+...+βn x n+ε其中，y是目标变量，x1,x2,...,x n是n个自变量，β0,β1,β2,...,βn是对应的参数，ε是误差项。
最小二乘法优化目标最小二乘法通过最小化残差平方和来求解最优参数。
假设有m个观测样本(x i1,x i2,...,x in,y i)，对于每个观测样本，可以计算出预测值y î，即：y î=β0+β1x i1+β2x i2+...+βn x in残差r i定义为观测值y i减去预测值y î，即r i=y i−y î。
那么，残差平方和RSS可以表示为：mRSS=∑(y i−y î)2i=1最小二乘法的目标是找到使RSS最小的参数值β0,β1,β2,...,βn。
最小二乘法解法最小二乘法的求解可以通过求解正规方程组来实现。
对于线性回归模型，正规方程组的解为：[β0̂β1̂β2̂...βn̂]=(X T X)−1X T y其中，X是一个m行n+1列的矩阵，每行为观测样本的自变量取值，第一列为全1向量；y是一个m行1列的向量，每行为观测样本的目标变量取值。
算法流程1.准备数据：收集观测样本的自变量和目标变量；2.构建设计矩阵X：将自变量和全1向量组合成一个设计矩阵；3.计算参数估计值：通过计算(X T X)−1X T y求解参数的最优估计值；4.进行预测：利用估计的参数进行目标变量的预测；5.评估模型：计算残差平方和RSS，分析模型的拟合程度。
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(1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结
论？
课前探究学题应先画散点图，判断其是否线性相
关，再利用最小二乘法求其回归方程．
[解题流程] 画散点图 → 是否线性相关 → 求线性回归方程 → 预测
[规范解答](1)散点图如图所示．
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题型一
求线性回归的方程
【例1】 某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下 表： 年收入 x(万元)
2
4
4
6
6
6
7
7
8 10
年饮食支出 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 y(万元) 根据上述数据，家庭年收入与年饮食支出之间有怎样的关 系呢？求出回归直线方程．
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散点 (2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的______ 散点图 呈现出线性关系，可以用最小二乘法估 图．如果_______ 散点图 呈现出其他的曲线关 计出线性回归方程；如果_______ 系，我们就要利用其他的工具进行拟合． 线性回归方程 2．
x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn － － 如果用 x 表示 ，用 y 表示 ， n n 则可以求得 b＝
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题型二
利用线性回归方程对总体进行估计
【例2】 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花 费的时间，为此进行了10次实验，收集数据如下：
零件数 x(个) 加工时间 y(小时) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
－ y -b－ x． a＝______
这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是 系数 ． 线性回归方程的_____ 想一想：回归直线通过样本点的中心，比照平均数与样本 数据之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间
的关系吗？
提示 对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中 心， 类似地， 对于双变量样本数据， 假设样本点为(x1， y1)， 1 1 － － (x2，y2)，„，(xn，yn)，记 x ＝ (x1＋x2＋„＋xn)， y ＝ (y1 n n ＋y2＋„＋yn)，则(－ x ，－ y )为样本点的中心，回归直线一定 过这一点．
可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近 程度： 2＋[y －(a＋bx )]2＋…＋[y －(a＋bx )]2 [ y － ( a ＋ bx )] 1 1 2 2 n n ______________________________________________. 最小值 的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直 使得上式达到_______ 最小二乘法 ． 线，这种方法称为___________
因为散点图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具 有线性相关关系，没有必要求回归方程．
两个变量之间具有相关关系，但是否具有线性
关系，需要用散点图来判断，只有具有线性相关关系的两 个变量，才能用回归方程来体现它们的关系．有的同学对 两个变量的相关关系不进行判断就盲目地利用回归方程来 表示，从而使问题出现了严重错误.
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【训练1】 某种产品的广告费x(单位：百万元)与销售额y(单 位：百万元)之间有如下对应数据：
x y (1)画出散点图； (2)判断x与y是否具有线性相关关系，若具有，求回归直线 方程，并说明回归直线方程斜率的意义． 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
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题后反思 用最小二乘法求出线性回归方程后，根据线性 回归方程可以说明其实际意义，并可以用于预测．
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误区警示
忽视相关关系的判断而致错
【示例】 下表是某地连续七年年平均降雨量(mm)与年平均 气温(℃)的相关数据，两者具有线性相关关系吗？若具
有，求出其回归方程；若不具有，说明理由. 年平均气 温 x/ ℃ 年平均降 雨量y/mm 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05
• 最小二乘法最早称为回归分析法。由著名 的英国生物学家、统计学家道尔顿（ F.Gallton）——达尔文的表弟所创。 • 早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域的 研究。 • 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间 的关系时，建立了回归分析法。
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名师点睛
1． 回归直线方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可
从而得到回归直线方程为y＝0.800＋0.172x.
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规律方法
用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤
是：(1)把数据列成表格；(2)作散点图；(3)判断是否线 性相关；(4)若线性相关，求出系数b，a的值(一般也列
成表格的形式，用计算器或计算机计算)；(5)写出回归
直线方程y＝a＋bx.
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[思路探索] (1) 调整表中数据 → 作散点图 → 判断线性相关 (2) 计算b，a的值 → 求得线性回归方程
解
以年收入为横坐标，把年饮
食，描出如右图所示散点支出y的相
应取值作为纵坐标图． 由散点图可以看出，各散点在一条 直线附近，且年收入越高，年饮食 支出越高，说明这两个变量之间具 有线性相关关系． 对前面列表中的数据进行具体计 算，可列出以下表格：
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i xi yi
1 2
2 4
3 4
4 6
5 6 2.1
6 6 1.9
7 7 1.8
8 7 2.1
9 8 2.2
10 10 2.3
0.9 1.4 1.6 2.0
xiyi 1.8 5.6 6.4
12 12.6 11.4 12.6 14.7 17.6 23
－ x ＝6，－ y ＝1.83，
§8
【课标要求】 1．了解最小二乘法．
最小二乘估计
2．理解线性回归方程的求法．
3．掌握线性回归方程的意义． 【核心扫描】
1．线性回归方程的求法．(重点)
2．线性回归方程的意义．(易混点) 3．最小二乘法的原理．(难点)
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自学导引
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
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回归直线方程求解的方法步骤 2．
根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可 以方便地求出回归方程．
求线性回归方程的步骤：
第1步：列表xi，yi，xiyi；
第 2 步：计算－ x ，－ y，
第3步：代入公式计算b，a的值；
第4步：写出回归方程y＝a＋bx.
利用回归直线对总体进行估计： 利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx ＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.
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•
在处理数据时，常要把实验获得的 一系列数据点描成曲线表反映物理量间 的关系。为了使曲线能代替数据点的分 布规律，则要求所描曲线是平滑的，既 要尽可能使各数据点对称且均匀分布在 曲线两侧。由于目测有误差，所以，同 一组数据点不同的实验者可能描成几条 不同的曲线(或直线)，而且似乎都满足上 述平滑的条件。那么，究竟哪一条是最 曲线呢？这一问题就是“曲线拟合”问 题。一般来说，“曲线拟合”的任务有 两个：
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55 950－10×55×91.7 所以 b＝ ≈0.668， 38 500－10×552 a＝－ y －b－ x ＝91.7－0.668×55＝54.96. 故所求线性回归方程为 y＝0.668x＋54.96. 10 分 (3)由线性回归方程可以得出每多加工 10 个零件，就多花 费 6.68 小时. 12 分
6 60 95 3 600 5 700
7 70 102 4 900 7 140
8 80 108 6 400 8 640
9 90 115
10 100 122
合计 550 917
8 100 10 000 38 500
xi y i
2 250 3 240
10 350
12 200 55 950
－ x ＝55，－ y ＝91.7
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• 一 是物理量y与x间的函数关系已经确定 ，只有其中的常数未定（及具体形式未 定）时，根据数据点拟合出各常数的最 佳值。 • 二 是在物理量y与x间函数关系未知时， 从函数点拟合出 y 与 x 函数关系的经验公 式以及求出各个常数的最佳值。
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最小二乘法产生的历史
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解
(1)散点图如图所示
(2)由散点图知 x 与 y 具有线性相关关系．由题中数 据可求得－ x ＝5，－ y ＝50，
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a＝－ y － b－ x ＝50－6.5×5＝17.5. 所求回归直线方程为 y＝6.5x＋17.5. 回归直线方程的斜率 6.5 表示广告费每增加 100 万元， 销售额平均增加 650 万元．
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由散点图知二者呈线性相关关系.
4分
(2)设线性回归方程为y＝bx＋a.
列表并利用科学计算器进行有关计算.
i xi yi
x2 i
1 10 62 100 620
2 20 68 400 1 360
3 30 75 900
4 40 81 1 600
5 50 89 2 500 4 450