最小二乘法线性详细说明
最小二乘法原理
以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
最小二乘法可以用来处理一组数据, 可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系, 这种函数关系称为经验公式
最小二乘法直线线拟合原理
在第二行中，网上资源少加了转置符号
曲线线拟合
笔记
clear：清除工作空间的所有变量
close all：关闭所有的Figure窗口
clc：清除命令窗口的内容，对工作环境中的全部变量无任何影响
size（）：获取矩阵的行数和列数
1、s=size(A),当只有一个输出参数时，返回一个行向量，该行向量的第一个元素是矩阵的行数，第二个元素是矩阵的列数。
2、[r,c]=size(A),当有两个输出参数时，size函数将矩阵的行数返回到第一个输出变量r，将矩阵的列数返回到第二个输出变量c。
3、size(A,n)如果在size函数的输入参数中再添加一项n，并用1或2为n赋值，则size 将返回矩阵的行数或列数。其中r=size(A,1)该语句返回的时矩阵A的行数，c=size(A,2) 该语句返回的时矩阵A的列数。
在matlab中，波浪号~（也就是键盘上数字键1 旁边的那个）主要有两个用法：
最小二乘法原理
最小二乘法
最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法公式：
设拟合直线的公式为
,
其中：拟合直线的斜率为：
；计算出斜率后，根据
和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
亦即
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
普通最小二乘法的原理
普通最小二乘法的原理
普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）是用来估计参数最受欢迎
的线性回归方法。它用来估计线性模型中的参数，也就是方程的未知数。其假设是，观测值之间没有任何关系，这里就不考虑协变量间的相关性，而且所有观测值都是模型下的服从正态分布。
普通最小二乘法的计算公式如下：设现有数据集X和Y，X是样本变量矩阵，Y
为结果变量矩阵。设B是需要推断的各参数的系数，则可以用最小二乘法表示为：
min（(Y-XB)T (Y-XB)）
将以上公式求导，得到最优解B(hat)：
B(hat) =(XT*X)-1 * XT*Y
普通最小二乘法旨在找到能够最好地拟合观测值的参数系数，其假设是数据
集中每一对观测值互相独立，由于回归模型是线性的，所以每个变量与回归模型的关系也是线性的。
普通最小二乘法最重要的优点是可以更准确地估算参数。在大数据量的情况下，它可以更好地拟合观测值，而且它既可以解决多变量回归模型，也可以解决只有一个变量的单变量回归。
然而，普通最小二乘法也有缺点，最明显的是它无法检测出某个变量与观测值
之间的关系，它只能计算出每个变量与观测值之间的差异。如果存在异常值，它可能造成过拟合，影响模型的准确性。
总的来说，普通最小二乘法是统计学中最有用的估计参数的方法，具有较高的
准确度和较快的收敛速度，因此被广泛地使用和推广。
线性最小二乘法推导
线性最⼩⼆乘法推导
代数形式
最⼩⼆乘法在中学时讲过。有⼀些散点有线性的趋势，⽤⼀个⼀次函数去拟合，使得差距最⼩化。
假设数据点为 (x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m) ，使⽤如下⼀次函数去拟合：
y=w1x+w0
对于x i，采⽤上述函数计算出的结果记为^
y i，即：
^
y i=w
1
x i+w0
定义差距为：
m
∑
i=1(y i−^ y i)2
现需要最⼩化这个差距。显然，上式为关于w0和w1的函数（损失函数）。为了⽅便，将m
∑
i=1简记为 ∑ ，记：
f(w0,w1)=∑(y i−^ y i)2
=∑(y i−(w1x i+w0))2
=∑(y2i−2y i x i w1−2y i w0+x2i w21+w20+2x i w0w1)分别对w0,w1求偏导：
∂f
∂w0
=∑(−2y i+2w0+2x i w1)
=−2∑y i+2mw0+2w1∑x i
∂f
∂w1
=∑(−2x i y i+2x2i w1+2w0x i)
=−2∑x i y i+2w1∑x2i+2w0∑x i
令：
∂f
∂w0
=0
∂f
∂w1
=0
得：
mw0+w1∑x i=∑y i
w1∑x2i+w0∑x i=∑x i y i
联⽴上⾯两式可得：
w0=∑x i∑x i y i−∑y i∑x2i (∑x i)2−m∑x2i
w1=∑x i∑y i−m∑x i y i (∑x i)2−m∑x2i
注意， ∑x 2i ≠(∑x i )2 ，计算时要细⼼。
矩阵形式
记 X 为 m ×n 的矩阵，表⽰有 m 个样本点，特征维数为 n 维； y 为 m 维列向量，表⽰这 m 个样本点的实际值； ˆy
线性回归之最小二乘法
1.最小二乘法的原理最小二乘法的主要思想是通过确定未知参数（通常是一个参数矩阵），来使得真实值和预测值的误差（也称残差）平方和最小，其计算公式为
E=\sum_{i=0}^ne_i^2=\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y_i})^2 ，其中 y_i 是真实值，
\hat y_i 是对应的预测值。如下图所示（来源于维基百科，Krishnavedala 的作品），就是最小二乘法的一个示例，其中红色为数据点，蓝色为最小二乘法求得的最佳解，
绿色即为误差。
图1图中有四个数据点分别为：(1, 6), (2, 5), (3, 7), (4, 10)。在线性回归中，通常我们使用均方误差来作为损失函数，均方误差可以看作是最小二乘法中的 E 除以
m（m 为样本个数），所以最小二乘法求出来的最优解就是将均方误差作为损失函数求出来的最优解。对于图中这些一维特征的样本，我们的拟合函数为
h_\theta(x)=\theta_0+\theta_1x ，所以损失函数为
J(\theta_0,\theta_1)=\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-
h_\theta(x^{(i)}))^2=\sum_\limits{i=0}^m(y^{(i)}-\theta_0-
\theta_1x^{(i)})^2 （这里损失函数使用最小二乘法，并非均方误差），其中上标(i)表示第 i 个样本。2.最小二乘法求解要使损失函数最小，可以将损失函数当作多元函数来处理，采用多元函数求偏导的方法来计算函数的极小值。例如对于一维特征的最
最小二乘的解
最小二乘的解
最小二乘法是一种常见的数学方法，用于解决线性回归问题。它的基本思想是通过求解最小化误差平方和的问题，找到最接近观测数据的数学模型。
在最小二乘法中，我们首先需要有一组观测数据，通常表示为一系列的点。我们假设这些观测数据可以由一个线性模型表示，该模型可以用一条直线的方程来描述。我们的目标是找到一条直线，使得观测数据点到这条直线的距离之和最小。
为了达到这个目标，我们先定义一个误差函数，它是观测数据点到直线的距离的平方和。然后我们通过对误差函数求导，将问题转化为求解一个线性方程组的问题。最终，我们可以得到一组系数，这些系数可以用来表示最佳拟合直线的方程。
最小二乘法在实际问题中有着广泛的应用。例如，在经济学中，我们可以使用最小二乘法来分析需求和供应关系。在物理学中，最小
二乘法可以用来拟合实验数据，从而找到实验结果的数学模型。在工程学中，最小二乘法可以用来解决信号处理和图像处理的问题。
总而言之，最小二乘法是一种强大的数学工具，用于解决线性回归问题。通过最小化观测数据与数学模型之间的误差平方和，我们可以找到最佳拟合模型的系数。这种方法在实际应用中具有重要的意义，并且被广泛应用于各个领域。
高中生都能看懂的最小二乘法原理
高中生都能看懂的最小二乘法原理
在简单线性回归等曲线拟合中提到的最多的最小二乘法，那么下面引用《正态分布的前世今生》里的内容稍微简单阐述下。
一、最小二乘法的历史
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发明“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。（来自于wikipedia）
二、原理
我们口头中经常说：一般来说，平均来说。如平均来说，不吸烟的健康优于吸烟者，之所以要加“平均”二字，是因为凡事皆有例外，总存在某个特别的人他吸烟但由于经常锻炼所以他的健康状况可能会优于他身边不吸烟的朋友。而最小二乘法的一个最简单的例子便是算术平均。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。用函数表示为：
使误差「所谓误差，当然是观察值与实际真实值的差量」平方和达到最小以寻求估计值的方法，就叫做最小二乘法，用最小二乘法得到的估计，叫做最小二乘估计。当然，取平方和作为目标函数只是众多可取的方法之一。
最小二乘法推导详细
最小二乘法推导详细
最小二乘法是一种通用的回归分析方法，它所得模型可用于估计自变量和因变量之间的线性关系，适用于预测和探索走势。最小二乘法原理是通过寻找最小化误差平方和的方法，来确定独立变量（即自变量）和被解释变量（即因变量）的关系。假如存在一个二元线性回归问题，自变量为 x，因变量为 y，则最小二乘法所求得的回归方程为：y = β0 + β1x，其中β0 和β1 是截距和斜率。最小二乘法可以应用于任何数学函数，只要函数可以近似描述数据集内的关系。
最小二乘法的推导过程包含以下几步骤：
Step 1: 定义问题
假设存在一组数据集 (x_i, y_i)，其中 x_i 为独立变量，y_i 为所要解释的变量。我们要寻找一个线性方程y = β0 + β1x，其中β0 和β1 为待求解的系数，使得该方程能够最好地描述数据集内的关系。
Step 2: 确定模型
模型的选择是最小二乘法中至关重要的一步。在本例中，我们需要使用线性回归模型y = β0 + β1x。这意味着当自变量 x 增加 1 个单位时，因变量 y 会增加β1 个单位。
Step 3: 求解系数
我们要通过最小二乘法来求解方程的系数β0 和
β1。因为最小二乘法可最小化误差平方和，而误差即为样本数据集中观测值 y_i 与估计值 y_i^ 的差距。因此，我们需要将这个差距（即残差）平方并求和。最终我们需要得到误差的公式以及误差对系数的偏导数。
Step 4: 残差平方和的最小值
在最后一步中，我们要用求导法将误差函数（即残差平方和）最小化，以得到系数β0 和β1 的最佳解。为求得残差平方和的最小值，需要对误差函数对β0 和β1 分别求导。
利用最小二乘法求线性回归方程
利用最小二乘法求线性回归方程
最小二乘法的线性回归方程是一种常用的统计分析方法，其用于描述两变量之间的依赖关系，这些变量可以是连续或离散类型的。线性回归方程可以用来估计目标变量，预测特定的输入变量，或者预测一组输入变量的相互作用。最小二乘法可以用来拟合线性回归模型，以获得最佳的拟合结果。
最小二乘法的线性回归模型需要一个因变量和至少一个自变量
来构建拟合曲线。因变量是拟合曲线的响应变量，而自变量是因变量的驱动变量。最小二乘法确定一条最佳拟合线，该拟合线可以使响应变量与自变量之间的误差最小。
最小二乘法可以用来拟合一维、二维或多维线性回归方程。一维线性回归模型由以下线性方程所确定：
y = aX + b
其中，a为斜率，b为原点。X表示自变量，y表示因变量，而a 和b表示拟合曲线的参数。最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数a 和b，从而拟合一维线性回归模型。
二维线性回归模型由以下线性方程所确定：
y = aX1 + bX2 + c
其中，X1和X2分别为两个自变量，y表示因变量，而a、b和c 表示拟合曲线的参数。最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数a、b 和c，从而拟合二维线性回归模型。
多维线性回归模型由以下线性方程所确定：
y = aX1 + bX2 + cX3 ++ z
其中，X1、X2、X3、…Z分别为多个自变量，y表示因变量，而a、b、c、…z表示拟合曲线的参数。最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数a、b、c、…z，从而拟合多维线性回归模型。
最小二乘法可以用来求解拟合曲线参数的最优值，从而得到最佳的拟合效果。它的原理是：最小二乘法估计公式参数使得残差平方和最小，残差即为实际值和拟合值之差。通过最小二乘法拟合方程，计算出不同变量之间的回归系数，以衡量变量之间的相互依赖性，以及拟合曲线的准确程度。
第五章线性参数的最小二乘法处理
v1
V
v2
vn
系数矩阵
a11, a12 ,, a1t
A
a21, a22
,,
a2t
an1
,
an
2
,,
ant
v1 l1 (a11x1 a12 x2 a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 a2t xt )
v2
l2
a21x1
a22 x2
a2t xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
v12 v22 vn2 最小
(
n
vi2 )
i1
x1
0
且
n
(
vi2 )
i 1
xt
y1 a11 x1 a12 x2 a1t xt y2 a21 x1 a22 x2 a2t xt
yn an1 x1 an2 x2 ant xt
其误差方程：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 a1t xt ) v2 l2 (a21x1 a22 x2 a2t xt )
第五章 线性参数的最小二乘法
则残差方程的矩阵表达式为
ˆ V L AX
等精度测量最小二乘原理的矩阵形式：
V TV 最小 T ˆ） L AX） 最小 ˆ （L AX （
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第五章 线性参数的最小二乘法处理 第一节 最小二乘原理
四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理
思路一：
( 2 i 2 )
d i
(i 1,2,, n)
由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率 为
1 P Pi e i1 1 2 n 2 i 1
n
n
i 2 ( 2 i 2 )
d1d 2 d n
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
ˆ c X d
则有：
0.034 1.13 C 0.034 0.0012
1
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第五章 线性参数的最小二乘法处理 第一节 最小二乘原理
令
l1 l L 2 ln
x1 x ˆ X 2 xn
v1 v V 2 vn
a11 a12 a1t a a a 2t A 21 22 an1 an 2 ant
问题：如何根据 l1 , l2 ,, ln和测量方程解得待测 量的估计值 x1 , x2 ,, xt？
最小二乘法做线性回归
最小二乘法做线性回归
最小二乘法是最常用的线性回归方法，它的思想是最小化回归平方误差，即找到一条使得回归平方误差最小的直线，从而获得最佳拟合参数。
它的求解过程如下：
（1）给定训练数据集{(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}，求解线性模型：
y=a0+a1x1+a2x2+…+apxp
（2）假设误差函数为：
E=∑ni=1(yi−a0−a1xi−a2x2i−…−apxpi)2
（3）求解使得误差函数最小的参数a0,a1,a2,…,ap：
分别对a0,a1,a2,…,ap求偏导，将其结果设置为0，求解得到参数的最优解。
最小二乘法求解线性回归问题
最小二乘法求解线性回归问题最小二乘法是一种求解线性回归问题的常用方法，可以通过求
解最小化残差平方和来得到回归系数。在实际应用中，线性回归
问题非常广泛，例如：用于根据人口、GDP等因素预测国家的经
济增长；用于预测某个公司未来的销售额等等。因此，掌握最小
二乘法的原理及实现方法对于数据分析人员来说是非常有必要的。
一、线性回归问题的定义
首先，我们需要了解什么是线性回归问题。简单地说，线性回
归问题是指在给定的一些输入自变量和输出因变量之间，通过线
性函数建立它们之间的联系，然后预测新的自变量所对应的因变
量的值。例如，在预测房屋价格时，我们可以使用房屋面积等自
变量来建立一个线性模型，模型的输出为房屋价值。
二、最小二乘法的原理
最小二乘法的本质是通过找到一组能够最小化误差平方和的回
归系数来进行预测。对于给定的自变量和因变量，我们假设它们
之间存在一个线性关系：
$$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_nx_n+\epsilon$$
其中，$\beta_0$表示常数项，$\beta_1, \beta_2,...,\beta_n$分别表示$x_1, x_2,...,x_n$的系数，$\epsilon$表示误差。因此，我们需要求解出这些系数，使得误差平方和最小化。
误差平方和的表达式为：
$$S(\beta_i)=\sum_{i=1}^n (y_i-\tilde{y_i})^2 =\sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\beta_1x_{i1}-\beta_2x_{i2}-...-\beta_nx_{in})^2$$
一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)
一文让你彻底搞懂最小二乘法
（超详细推导）
要解决的问题
在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+b
f(x)=kx+b
这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。
但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。
于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？
早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。
线性回归——最小二乘法（一）
线性回归——最⼩⼆乘法（⼀）
相信学过数理统计的都学过线性回归（linear regression），本篇⽂章详细将讲解单变量线性回归并写出使⽤最⼩⼆乘法（least squares method）来求线性回归损失函数最优解的完整过程，⾸先推导出最⼩⼆乘法，后⽤最⼩⼆乘法对⼀个简单数据集进⾏线性回归拟合；
线性回归
线性回归假设数据集中特征与结果存在着线性关系；
等式：y = mx + c
y为结果，x为特征，m为系数，c为误差在数学中m为梯度c为截距
这个等式为我们假设的，我们需要找到m、c使得mx+c得到的结果与真实的y误差最⼩，这⾥使⽤平⽅差来衡量估计值与真实值得误差（如果只⽤差值就可能会存在负数）；⽤于计算真实值与预测值的误差的函数称为：平⽅损失函数（squard loss function）；这⾥⽤L表⽰损失函数，所以有：
整个数据集上的平均损失为：
我们要求得最匹配的m与c使得L最⼩；
数学表达式可以表⽰为：
最⼩⼆乘法⽤于求⽬标函数的最优值，它通过最⼩化误差的平⽅和寻找匹配项所以⼜称为：最⼩平⽅法；这⾥将⽤最⼩⼆乘法⽤于求得线性回归的最优解；
最⼩⼆乘法
为了⽅便讲清楚最⼩⼆乘法推导过程这⾥使⽤，数据集有1…N个数据组成，每个数据由、构成，x表⽰特征，y为结果；这⾥将线性回归模型定义为：
平均损失函数定义有：
要求得L的最⼩，其关于c与m的偏导数定为0，所以求偏导数，得出后让导数等于0，并对c与m求解便能得到最⼩的L此时的c与m便是最匹配该模型的；
关于c偏导数：
因为求得是关于c的偏导数，因此把L的等式中不包含c的项去掉得：
最小二乘法公式偏导数
最小二乘法公式偏导数
最小二乘法是一种常用的线性回归方法，用于估计线性模型
中的参数。在最小二乘法中，我们需要求解使得观测值与模型
预测值之间残差平方和最小化的参数。
设线性回归模型为：
$$
y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_
nx_n
$$
其中，$y$是因变量，
$\beta_0,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$是模型的参数，$x_1,x_2,\ldots,x_n$是自变量。
我们定义残差为：
$$
e=y\hat{y}
$$
其中，$y$是观测值，$\hat{y}$是模型预测值。
最小二乘法的目标是求解参数
$\beta_0,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$，使得残差平
方和$SSR$最小。$SSR$的定义是：
$$
SSR=\sum_{i=1}^{N}(y_i\hat{y_i})^2
$$
其中，$N$是样本数量。
为了求解最小二乘法的参数，我们需要对参数进行偏导，然
后令导数等于零，求解参数的值。
首先，我们对
$\beta_0,\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$分别求偏导数，得到以下方程组：
$$
\frac{\partialSSR}{\partial\beta_0}=2\sum_{i=1}^{N }(y_i\hat{y_i})=0
$$
$$
\frac{\partialSSR}{\partial\beta_1}=2\sum_{i=1}^{N }x_{i1}(y_i\hat{y_i})=0
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2 2 2
∂ 2 ∑ vi 2 ∂ 2 ∑ vi 2 ∂ 2 ∑ vi 2 2 ⋅ −( ) 2 2 ∂a ∂b ∂a ∂b = 4 n ∑ x i 2 − (∑ x i 2 ) = 4 ∑ x i − (∑ x i ) n
2
[
[
]
2
]
= 4 n ∑ (xi − x ) > 0
2
所以⑥⑦式求出的a, b可使为极小值。因而由a, b 所确定的曲线y=a+bx就是用最小二乘法拟合的最 佳曲线。 由于已知函数形式为非线性时 非线性时，可用变量代换法 非线性时 “曲线改直 曲线改直”使函数变为线性关系 线性关系，因而最小二 曲线改直 线性关系 乘法就有更普遍的意义。
6
从图上虽可看出，个子高的父亲确有生出个子高的 儿子的倾向，同样地，个子低的父亲确有生出个子 低的儿子的倾向。得到的具体规律如下：
y = a + bx + u ˆ y = 84.33 + 0.516 x
如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思 不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳 定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男 子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
24
起码相关系数 -- R0
R 0 的值与数据点的个数n有关。书中P40表5-3 中给出了起码相关系数 R0的值。 如果有一组数据点初步观测为线性分布。那么， 为多大时，就可以用一条最佳直线来表示其分 R 布呢？ 只有相关系数 R≥ R时，才能用线性回归方程 0 y=a+bx来描述数据的的分布规律。否则毫无 意义。
最小二乘法线性详细说明
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在处理数据时，常要把实验获得的一系 列数据点描成曲线表反映物理量间的关系 物理量间的关系。 物理量间的关系 为了使曲线能代替数据点的分布规律，则 要求所描曲线是平滑的，既要尽可能使各 数据点对称且均匀分布在曲线两侧。由于 目测有误差，所以，同一组数据点不同的 实验者可能描成几条不同的曲线(或直线)， ( ) 而且似乎都满足上述平滑的条件。那么， 究竟哪一条是最曲线呢？这一问题就是 “曲线拟合”问题。一般来说，“曲线拟 合”的任务有两个：
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由于实验数据总是存在着误差，所以，把各组数据 代入(1)式中，两边并不相等。相应的作图时，数据 点也并不能准确地落在公式对应的直线上，如图所 示。由图一还可以看出第i个数据点与直线的偏差为：
vi = ∆yi + ∆xi
2
2
(1)
如果测量时，使x较之y的偏差很小，以致可以忽略 （即∆xi很小 ）时，我们可以认为x的测量是准确的， 而数据的偏差，主要是y的偏差，因而有：
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解：已知n=11,首先计算下列量 ∑ x = 55 = 5 . 50 × 10 ∑ y = 109 . 25 = 1 . 09 × 10 ∑ x = 385 = 3 . 85 × 10 ∑ y = 1523 . 26 = 1 . 523 × 10 ∑ x y = 765 . 76 = 7 . 658 × 10 可以得到： x y s = ∑ x y − ∑ ∑ = 219 .51 = 2 .159 × 10 n (∑ x ) s =∑x − = 110 = 1 .10 × 10
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2. 经验公式的线性回归—函数形式未知
由于经验公式的函数形式是未知的，因而恰 当地选择经验公式的函数形式就成了曲线拟 合中的重要问题。 在进行经验公式的回归时，必须先确定函数 的形式。确定函数形式一般是根据理论的推 断或者从实验数据的变化趋势来推测判断。 如根据实验得到的一组数据 (xi, yi ) （或其在x y 坐标上的数据点）初步判断经验公式为线性 关系时，即可用最小二乘法按⑤，⑥式求出 b, a值，并进而拟合出直线的线性关系式： y=a+bx 回归方程。
2
已经确定， 一 是物理量y与x间的函数关系已经确定 已经确定 只有其中的常数未定（及具体形式未定） 时，根据数据点拟合出各常数的最佳值。 未知时，从 二 是在物理量y与x间函数关系未知时 未知时 函数点拟合出y与x函数关系的经验公式以 及求出各个常数的最佳值。
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解决问题的办法
寻找变量之间直线关系的方法很多。于是，再接下 来则是从众多方法中，寻找一种优良的方法，运用 方法去求出线性模型—y=a+bx+u中的截距a= ?； 直线的斜率b= ? 正是是本章介绍的最小二乘法。 所得直线可靠吗？怎样衡量所得直线的可靠性？ 最后才是如何运用所得规律——变量的线性关系？
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由最小二乘法确定a和b
首先，求偏差平方和，将②式两边平方后相加， 得：
∂ ∑ vi 2 = ∑ ( yi − a − bxi ) i =1 i =1
2
n
n
2
③
∑ 显然， vi 是a, b的函数。按最小二乘法，当a,
b选择适当，能使为最小时y=a+bx才是最佳曲 线。
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根据二元函数求极值法 二元函数求极值法，把③式对a和b分 二元函数求极值法 别求出偏导数。得：
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回归方程的精密度
根据统计理论还可以求出a和b的标准偏差分别 为：
σb =
σs
s xx
xi 2 = σa = σb ∑n
∑ xi
nsxx
2
⋅σs
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回归分析法的运算步骤
首先计算R，判断是否能拟合成线性曲线。 R≥ R 0 利用最小二乘法计算出b, a得出回归方程即两个变 量之间的关系式。 计算 s ，并利用肖维涅准则 肖维涅准则判断有无粗差。 肖维涅准则 如果有粗差，剔除后重复①，②，③步骤计算。 如无粗差，计算σb , σa ，给出最后的回归方程。
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第一节 一元线性拟合
1. 函数形式已知
数学推证过程
1.已知函数为线性关系，其形式为： y=a+bx （1） 式中a, b为要用实验数据确定的常数。此类方 程叫线性回归方程，方程中的待定常数a, b叫 线性回归系数。 由实验测得的数据是 x= x1, x2,………. xn 时， 对应的y值是y= y1,y2,…….yn
vi = ∆yi = [ yi − (a + bxi )]
②
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我们的目的是根据数据点确定回归常数a和b， 并且希望确定的a和b能使数据点尽量靠近直线 能使v尽量的小。由于偏差v大小不一，有正有 负，所以实际上只能希望总的偏差（∑ vi）最小。
2
所谓最小二乘法就是这样一个法则，按照这个 法则，最好地拟合于各数据点的最佳曲线应使 各数据点与曲线偏差的平方和为最小。
i i 2 i
2
2
i
2
3
i
i
2
i
i
xy
i i
2
xx
s yy = ∑ R = s xy
n ( ∑ xi ) 2 yi 2 − = 1523 .26 = 1 .523 × 10 2 n = 0 .9998 > 0 .735 = R 0
i
2
i
2
2
s xx s yy
29
式中的0.735是n=11时的起码相关系数R。所以 x,y(即u,I)间是线性关系，可用y=a+bx表示。且:
2
22
23
这时“最佳”二字只能说明数据点距这直线的总偏差 较小，但不能反映出数据点的分布规律。或者说，我 们事先的初步判断是错误的。数据点的分布规律不是 线形的,根本就不能用一条直线表示。 为了帮助我们理解这一点,我们再讨论极限情况。 s 当 R=0时（σs 最大）xy = 0 , syy ≠ 0 ,sxx ≠ 0,所以 b=0,a= y , 从而得到y= y 的错误结论。这说明数据点 的分布不是线性,不能拟合为线性关系曲线。
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3. 回归方程的精度和相关系数
用最小二乘法确定a, b存在误差。 总结经验公式时，我们初步分析判断所假定 的函数关系是正确，为了解决这些问题，就 需要讨论回归方程的精度 相关性 精度和相关性 精度 相关性。 为了估计回归方程的精度，进一步计算数据 点 (xi, yi ) 偏离最佳直线y=a+bx的大小，我们 引入概念——剩余标准差 σs ，它反映着回 剩余标准差 归方程与各数据点的拟合程度。
b = s xy
s xx a = y − b x = − 0 . 0459
(1 − R ) syy
2
= 1 . 9955 ≈ 1 . 996
其次为了检查粗差，先计算剩余标准偏差：
( n − 2) = 0.086395 ≈ 0.087
取 σs =0.087
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利用肖维湟准则剔除粗差，从§2(p12)表2-1可查的n=11 时,k=2.00, 即位标准差的极限值。表三给出了此极限值下 测量值y(I)的上下限。由表二，表三可知u=5.00v组数据的I 值有粗差的坏值，应予剔除。剔除后重新计算，并经过检 查，得：
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最小二乘法的地位与作用
现在回归分析法已远非道尔顿的本意，已经成 为探索变量之间关系最重要的方法，用以找出 变量之间关系的具体表现形式。 后来，回归分析法从其方法的数学原理——误 差平方和最小出发，改称为最小二乘法 最小二乘法。 最小二乘法
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最小二乘法的思路
1．为了精确地描述Y与X之间的关系，必须使用这 两个变量的每一对观察值，才不至于以点概面。 2．Y与X之间是否是直线关系（协方差或相关系 数）？若是，将用一条直线描述它们之间的关系。 3．什么是最好？—找出判断“最好”的原则。 最好指的是找一条直线使得这些点到该直线的纵 向距离的和（平方和）最小。
Hale Waihona Puke Baidu
σ
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〔例题〕
用伏安法测电阻，测量数据如表。问能否拟 合成线性关系曲线？若可以，试判断有无粗 差并计算出b, a, σa , σb . 表一
Xu(V) YI(mA) Xu(V) YI(mA) 0.00 0.00 6.00 11.83 1.00 2.00 7.00 13.75 2.00 4.01 8.00 16.02 3.00 6.05 9.00 18.10 4.00 7.85 10.00 19.94 5.00 9.60
解方程，得：
sxy b=
⑥
sxx a = y − bx
⑦
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公式⑥⑦式中：
sxy
xx
(∑ x ∑ y ) = ∑xy −
i i i i 2 i
2
(∑ x ) s = ∑x − x = ∑x n
i i
n
n
从④不难求出对a, b的二阶偏导数为： a, b
∂ ∑ vi 2 = 2n 2 ∂a ∂ ∑ vi 2 = 2∑ xi 2 2 ∂b ∂ ∑ vi 2 = 2∑ xi ∂a∂b
∂ ∑ vi i =1 = −2 ( yi − a − bxi ) ∑ ∂a (4 ) n ∂ ∑ vi 2 i =1 = −2 ( yi − a − bxi ) ⋅ xi ∑ ∂b
2
n
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令④等于零，得：
∑ yi − na − b ∑ xi = 0 i =1 i =1 (5) n n n yixi − a ∑ xi − b ∑ xi 2 = 0 ∑ i =1 i =1 i =1 n n
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最小二乘法产生的历史
最小二乘法最早称为回归分析法。由著名的英 国生物学家、统计学家道尔顿（F.Gallton）— —达尔文的表弟所创。 早年，道尔顿致力于化学和遗传学领域的研究。 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间的关 系时，建立了回归分析法。
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父亲的身高与儿子的身高之间关系的研究
1889年F.Gallton和他的朋友K.Pearson收集了 上千个家庭的身高、臂长和腿长的记录 企图寻找出儿子们身高与父亲们身高之间关系 的具体表现形式 下图是根据1078个家庭的调查所作的散点图 （略图）
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剩余标准差 s
σ
σs =
公式中：
∑ vi = (1− R ) syy n−2 n −2
2 2
(∑ yi ) 2 syy = ∑ yi − n
2
R=
sxy sxxsyy
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R称为相关系数。其值可正可负，一般有：
0 ≤ R ≤1
σ a:当R=±1时，s=∑ vi = 0 ,即各数据点与最佳直线完全重合。 b：0<R<1时，各数据点与最佳直线不完全重合。有两种 情况： 一种可能是各数据点与该线偏差较小，一种可能是各数据 点与该线偏差较大。 当R → 1时， s 减小，一般的数据点越靠近最佳值两旁。两 σ 变量间的关系线性相关，可以认为是线性关系，最佳直线 所反应的函数关系也越接近两变量间的客观关系。同时还 说明了测量的精密度高。 当 R << 1时， s 增大，根据数据点的分布，也许能得到一 σ 条“最佳”直线。然而，数据点与“最佳”直线的偏差过 大。