全最小二乘法(y=ax+b形式讨论)+演示文稿
(完整版)最小二乘法
的关系吗？
提示 对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中 心，类似地，对于双变量样本数据，假设样本点为(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，记－x ＝n1(x1＋x2＋…＋xn)，－y ＝n1(y1 ＋y2＋…＋yn)，则(－x ，－y )为样本点的中心，回归直线一定 过这一点．
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i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 yi 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 xiyi 1.8 5.6 6.4 12 12.6 11.4 12.6 14.7 17.6 23
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2．回归直线方程求解的方法步骤 根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可 以方便地求出回归方程． 求线性回归方程的步骤： 第1步：列表xi，yi，xiyi；
第 2 步：计算－x ，－y ，
第3步：代入公式计算b，a的值； 第4步：写出回归方程y＝a＋bx. 利用回归直线对总体进行估计：
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx
＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.
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题型一 求线性回归的方程
【例1】 某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下 表：
年收入 x(万元)
2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
（x1－－x ）（y1－－y ）＋（x2－－x ）（y2－－y ）＋…＋（xn－－x ）（yn－－y ） （x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2
高中数学 第一章第九节《最小二乘估计》教学课件 北师大版必修3
C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知. 14
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
15
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
A.y=x+1 B. y=x+2
4 4.41 24.92
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b
x1y1 xn yn nx y
x12
xn2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x
a y bx
0.733333333 0.694166667
回归方程预测值
2.050833333
13
课堂练习：
高中数学必修３第一章第 九节《最小二乘估计》教
学课件
1
最小二乘估计
2
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手 一拃长之间近似存在着线性关系，这种 线性关系可以有多种方法来进行刻画， 那么用什么样的线性关系刻画会更好？ 这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
3
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更 好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近 （也就是距离最小）。
最小二乘估计PPT教学课件
• ②存在x0∈I，使f(＝x0) M. • 那么M是函数y＝f(x)的最大值．
• 若M是函数y＝f(x)的最小值又如何填写条
件？
－5
• (2)函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为 ， 最大值为5.
－3
5
－3
• (40)函数y＝x2－2x－3在[－－24,0]上的最小值0. 为
，最大值为 ；在[2,3]上的最小
气温 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
1）求线性回归方程
2）如果某天的气温是－30C，预测这天 能卖热茶多少杯？
i xi
1
1.4
2
1.5
3
1.6
4
1.7
5
1.8
6
1.9
7
2
8
2.1
x 1.75
y 1.9775
yi
xi 2
xi yi
1.7 1.79 1.88 1.95 2.03 2.1 2.16 2.21
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
1. 散点图；
2.回归方程：
y 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
例2：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（x） 之间是线性相关的
• 2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m， n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、 f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)， f(n)．
• 3．单调性是函数的重要性质，应用它可 以解决许多函数问题．如判断函数在给定 区间上的单调性；求函数在给定区间上的 最大值、最小值；求已知函数的单调区间；
高等数学《最小二乘法》课件
y
y = ax + b
列表计算:
目录
O
上页 下页 返回 结束
t
i 0 M 7 Σ
得法方程组
ti
0
ti2
0
yi
27.0
yiti
0
M
7 28
M
49 140
M
24.8 208.5
M
137.6 717.0
140 a + 28b = 717 28a + 8b = 208.5
y = f (t) = 0.3036t + 27.125
目录
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下页
返回
结束
特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 使 y = ax + b 满足:
M(a, b) = ( yk axk b)2 = min ∑
M = a M M = b
k =0
n
y
O
称为法方程组 (注意其特点)
x
令
+ ( ∑xk )b
得
n
( ∑xk )a
k =0
n
偏差 ri = yi f (xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小i f (xi )]2 = min ∑
i=0
n
y
O
来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理: 最小二乘法原理 设有一列实验数据
x
, 它们大体
分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法 找出的函数关系称为经验公式 . 最小二乘法, 最小二乘法 经验公式
－0.125 －0.018 0.189 －0.003 yi f (ti ) －0.021 0.086 0.093 －0.200
(完整word版)最小二乘法(word文档良心出品)
最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线中最小。
我们用最小二乘法拟合三次多项式。
最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线反映数据的基本趋势。
曲线的拟合几何解释：求一条曲线，使所有的数据均在离曲线的上下不远处。
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=m i ir 02=[]∑==-mi ii y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
高等数学课件第八章最小二乘法
第八验数据
求它们的近似函数关系 y＝f (x) .
需要解决两个问题:
1. 确定近似函数的类型
根据数据点的分布规律
根据问题的实际背景
2. 确定近似函数的标准
实验数据有误差,
不能要求
最小二乘法
偏差
有正有负,
值都较小且便于计算,
可由偏差平方和最小
为使所有偏差的绝对
物的量.
试根据上述数据定出经验公式
(P70例2)
解:
由化学反应速度的理论知, 经验公式应取
其中k , m 为待定常数.
对其取对数得
(线性函数)
(书中取的是常用对数)
因此 a , b 应满足法方程组:
经计算得
解得:
所求经验公式为
其均方误差为
观测数据:
用最小二乘法确定a, b
通过计算确定某些经验公式类型的方法:
－0.125 －0.018 0.189 －0.003
－0.021 0.086 0.093 －0.200
例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据:
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
作业 (习题8 -10 ) P72 1 , 2
来确定近似函数 f (x) .
最小二乘法原理:
设有一列实验数据
分布在某条曲线上,
通过偏差平方和最小求该曲线的方
法称为最小二乘法,
找出的函数关系称为经验公式 .
, 它们大体
特别, 当数据点分布近似一条直线时,
问题为确定 a, b
令
满足:
使
得
解此线性方程组 即得 a, b
称为法方程组
高等数学课件最小二乘法标准版资料
wéi)均对方本误题差(bě, ntí)均方误差
1 7
M
0.124
它在一定程度上反映了经验函数的好坏. O
t
2021/10/3
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第六页，共10页。
例2. 在研究某单分子(fēnzǐ)化学反应速度时, 得到下列数据:
i 1 2 3 4 5 6 78 i 3 6 9 12 15 18 21 24 yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
2021/10/3
Y a X b (线性函数)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第七页，共10页。
因此(yīncǐ) a , b 应满足法
方程组:8
8
8
2 k
a
k
b
k
ln
yk
k 1
k 1
k 1
8
8
k a
k 1
8b
ln yk
k 1
y
经计算(jìsuà1n)8得36 a 108b 280.994 108a 8b 23.714
经计算(jìs令(据ugàn)u得:ānxicè)数xi1 xi , yi yi1 yi (i 1, 2,, n)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
yi 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间, (1) 若 定值 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间,
, 则考虑 y a x b 同济(tónɡ jì)版高等数学课件
特别, 当数据点分布近似一条(yī 线时,
使 y ax b 满足:
n
tiáo)直
问题(wèntí)为确 定 a, b
最小二乘法-PPT课件
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
最小二乘法方程
《最小二乘法方程》
小朋友们，今天老师来给你们讲讲最小二乘法方程。
咱们先想象一下，有一些数据点，就好像是一群调皮的小精灵，到处乱跑。
我们想找到一条线，能让这些小精灵尽可能地靠近它。
这时候，最小二乘法方程就来帮忙啦。
比如说，我们有一些数据，像（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）。
我们想找到一条直线y = ax + b 来拟合这些点。
《最小二乘法方程》
小朋友们，咱们接着来讲。
那怎么找到这条最合适的直线呢？
这就要用到最小二乘法方程啦。
我们要计算每个点到这条直线的距离，然后让这些距离的平方和最小。
就好像我们在比赛中，要找到得分最高的方法一样。
有一次，小红在做这个的时候，一开始总是算不对，但是她没有放弃，一直尝试，最后终于找到了那条最合适的直线。
小朋友们，遇到困难可不能轻易放弃哟！
《最小二乘法方程》
小朋友们，老师再和你们说一说。
比如说，我们再举个例子，数据是（2，1），（3，2），（4，3），（5，4）。
我们还是用最小二乘法方程来找到拟合的直线。
这个过程可能有点复杂，但是只要我们认真算，就能找到答案。
就像我们玩拼图，一块一块地拼，最后就能拼出完整的图案。
小朋友们，加油，相信你们能学会最小二乘法方程的！。
ax=b的最小二乘解
ax=b的最小二乘解
要求解方程 ax=b 的最小二乘解，我们可以使用最小二乘法来
求解。
最小二乘法是一种常用的数值分析方法，用于解决超定方程
组或者无解方程组的近似解。
首先，我们将方程 ax=b 转化为矩阵形式，即 Xw=y，其中 X
是一个m×n 的矩阵，w 是一个n×1 的列向量，y 是一个m×1
的列向量。
具体地，我们可以将 a 的每一行作为 X 的一行，b 的
每一个元素作为 y 的一个元素。
接下来，我们的目标是找到一个 w，使得 Xw 尽可能地接近 y。
我们可以定义一个误差函数 E(w)，表示 Xw 与 y 的差距。
常用的
误差函数是平方误差函数 E(w) = ||Xw y||^2。
最小二乘法的思想是，通过最小化误差函数 E(w)，找到使得
Xw 尽可能接近 y 的 w。
具体来说，我们可以通过求解误差函数的
导数为零的方程来找到最小化误差函数的 w。
即，求解方程 X^T(Xw y) = 0。
解这个方程可以得到最小二乘解 w = (X^T X)^(-1) X^T y。
其
中，^T 表示矩阵的转置，^(-1) 表示矩阵的逆。
需要注意的是，方程 ax=b 的最小二乘解存在的前提是矩阵 X 的秩满足一定的条件。
如果 X 的列向量线性相关，即 X 的秩小于n，那么方程 ax=b 的最小二乘解可能不存在。
综上所述，要求解方程 ax=b 的最小二乘解，可以按照上述步骤进行计算。
最小二乘法是一种常用的数值方法，可以在实际问题中得到广泛应用。
最小二乘法PPT课件
一、问题背景
• 在多数估计和曲线拟合的问题中，不论是 参数估计还是曲线拟合，都要求确定某些(或 一个)未知量，使得所确定的未知量能最好地 适应所测得的一组观测值，即对观测值提供 一个好的拟合。
• 解决这类问题最常用的方法就是最小二乘 法。
• 在一些情况下，即使函数值不是随机变量， 最小二乘法也可使用。
数
，aˆ1
，…，
aˆ2
。这样aˆk求出的参数叫参数的最小二乘估计。
第6页/共74页
正规方程
=最小
• 根据数学分析中求函数极值的条件：
共得k个方程，称正规方程，求此联立方程的解可得出诸参数估计值
(j＝1，2，…，k)。 aˆ 等精度观测的情况，若诸观测值yi是不等精度的观测，即它们服从不 同的方差σi2的正态分布N(0，1)，那么也不难证明，在这种情况下，最小二乘 法可改为：
正规方程(5—19)组，还可表示成如下形式
表示成矩阵形式为
第23页/共74页
线性参数正规方程的矩阵形式
又因
（5-21）
有 即 若令 则正规方程又可写成 若矩阵C是满秩的，则有
（5-22）
（5-22） （5-23）
第24页/共74页
的数学期望Xˆ
因 可见 Xˆ 是X的无偏估计。
式中Y、X为列向量(n ×1阶矩阵和t×l阶矩阵)
例5．3
• 试求例5．1中铜棒长度的测量精度。
已知残余误差方程为 将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
第43页/共74页
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精度估计相似，只是公 式中的残余误差平方和变为加权的残余误差平方和，测量数据的单位权方差 的无偏估计为
最小二乘法
• 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间 的关系时，建立了回归分析法。
名师点睛
1．回归直线方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可 定量描述两个变量间依存的数量关系． (2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的 范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车 流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中 的NO的浓度． (3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先 作出散点图，确定合适的拟合模型．
最小二乘法
It is applicable to work report, lecture and teaching
自学导引
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近 程度： _[y_1_－__(_a_＋__b_x_1)_]_2＋__[_y_2_－__(a_＋__b_x_2_)_]2_＋__…__＋__[_y_n－__(_a_＋__b_x_n_)]_2. 使得上式达到_最__小__值__的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直 线，这种方法称为_最__小__二__乘__法__．
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)关于加工零件的个数与加工时间，判断其是否线性相 关，再利用最小二乘法求其回归方程． [解题流程] 画散点图 → 是否线性相关 → 求线性回归方程 → 预测
从而得到回归直线方程为y＝0.800＋0.172x.