教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时)
学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能
1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.
2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观
1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识.
2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质
●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r
n n
n
n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈，
（2）1
(1)1n r r
n n
n x C x C x x +=++++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n
T C a b -+= 二、引入
通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时，
n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1
此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年
下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究
观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】
•1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中
•2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 •3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1
②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？）
【提示】设这一数为
r
C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知：
1
1
01C C 02
C 12
C 2
2C 03
C
13
C
23
C
33
C
1
4C 0
4
C 3
4C 2
4C 4
4C 0
5C 1
5C 2
5C 35
C 4
5C 55
C
③与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ④中间的数值最大 2、二项式系数的函数观点
n b a )(+展开式的二项式系数依次是：C n 0 , C n 1…C n r …C n n .
从函数角度看，r
n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f y = 其定义域是：｛0,1,2…n ｝
当n=5及n=6时，分别作出其图象
图1 图2
据图可分析出函数r
n C r f =)(，图象的对称轴是2
n
r =
3、二项式系数的性质
据图1,2和表1可得出二项式系数的性质 【1】对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2
n
r =
是图象的对称轴．
[典型问题]
e.g1.已知5
15C =a ，9
15C =b ，那么10
16C =__________；
【2】增减性与最大值
∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=⋅
， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，11
12
n k n k k -++>⇔<
， Ⅰ.当21
+≤n k 时，二项式系数逐渐增大．
当2
1+≥n k 时，二项式系数逐渐增大
根据对称性可知，在中间取得最大值； Ⅱ.当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项1
2n n C -，12n n
C
+取得最大值．
[典型问题]
e.g 2．在9)(b a +的展开式中，二项式的系数最大是第____项，最大值为____ e.g 3.若n b a )(+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则___=n e.g 4n
x
x )1(23+
展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于( ) A.210 B.120 C.461 D.416
【3】各二项式系数和[．赋值法．．．]．
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r
n
n n n n n C C C C C =+++
++
+[组合数公式]
[典型问题]
e.g 5.111C
+
3
11C
+…+
1111
C
=____ e.g 6.=+++++++++++++1
1
211101210n n n n n n n
n n n C C C C C C C C ____；
四、经典例题
例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式01()()n n n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，
令1,1a b ==-，则0123
(11)(1)n n n
n
n n n n C C C C C -=-+-++-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴02
13
n
n n n C C C C ++=++
，
即在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
13
12n n
n n n C C C C -++=++
=.
五、拓展训练
1.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++
求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++；
2.若n x
x )21(4+
展开式中前三项系数成等差数列
求（1）展开式中含x 的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。

六、小结
①通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：
即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和. 注意灵活利用.
②数学思想：函数思想（a单调性；b图象；c最值）
③数学方法：赋值法、递推法、
七、讨论
• 1.中国古代数学的成就和地位
• 2.东西方数学发展比较
• 3.历史人物[1.杨辉2.帕斯卡]
• 4.中国当代数学大师及其成就
八、课后作业：完成《课时作业九.1.3.2杨辉三角》
九、教学反思
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.。