高考数学提分秘籍 必记篇 函数与方程及函数的应用
高考数学知识点巧记总结
高考数学知识点巧记总结高考数学是一项重要的考核科目，对于考生而言，合理的学习方法和巧妙的记忆技巧是至关重要的。
本文将以高考数学的主要知识点为出发点，为大家总结一些巧记技巧，帮助考生更好地掌握这些知识点。
一、函数与方程函数与方程是数学中的重要概念，考生需要掌握它们的定义和性质。
为了记忆这些知识点，我们可以运用关联记忆的方法。
以函数为例，我们可以将函数比喻成一家餐馆，自变量x代表顾客所点的菜品，因变量y代表菜品的价格。
函数的定义域就像是餐馆的菜单，只有菜单上列出的菜品才能被顾客点到。
而函数的值域则是指所有出售的菜品的价格范围。
这样比较形象的记忆方法可以帮助考生更好地理解函数的概念。
对于方程，我们可以把它比作一道数学谜题。
考生可以将未知数看作是谜底，方程的各种运算符号就像谜底与题目之间的提示。
通过这种类比的方法，考生可以更容易地记忆方程的解法和性质。
二、几何与三角函数几何和三角函数也是高考数学中重要的考点。
对于有关几何的知识点，考生可以通过构建图像和场景来进行记忆。
例如，对于平面几何中的平行线与垂直线，我们可以想象两条平行线如铁路上的两条平行铁轨，而垂直线则像是和地面上的垂直杆子。
这样一来，我们可以通过形象的记忆帮助自己区分这些概念，并避免混淆。
对于三角函数，我们可以将其记忆成一个有趣的游戏。
例如，正弦函数可以被理解为游戏中的“上升”动作，正切函数则是类似于“攀登”的过程。
通过将知识和游戏联系在一起，我们可以更加有趣地学习和记忆三角函数的概念和性质。
三、数列与概率数列和概率也是高考数学考点中的重要部分。
对于数列，考生可以通过找到规律以及构建数列的特殊情况来进行记忆。
例如，对于等差数列，考生可以把它想象成一个钟表上的时针，每次按照相同的间隔移动。
而等比数列则可以比作一个水桶的蓄水过程，每次蓄水的量都是前一次的倍数。
这样一来，我们可以通过这些场景来帮助我们掌握数列的性质和求解方法。
在概率方面，我们可以将概率问题比作一个投掷骰子的游戏。
数学高考复习指南重点知识点解析与数学应用技巧
数学高考复习指南重点知识点解析与数学应用技巧数学一直被认为是高考中最具挑战性和繁重的科目之一。
对于学生来说，熟练掌握数学的重点知识点和灵活运用数学的应用技巧是提高成绩的关键。
本文将为广大高考生提供一份数学高考复习指南，详细解析重点知识点，并分享数学应用技巧，帮助学生更好地备考。
一、函数与方程函数与方程是数学高考中的重点知识点，掌握好这一部分内容对于解题至关重要。
1.1 一次函数一次函数即形如y=ax+b的函数，其中a和b分别为常数。
在复习一次函数时，需要掌握函数的性质和基本应用，例如求函数的零点、函数的定义域和值域等。
1.2 二次函数二次函数是高考中经常考查的内容，要熟练掌握二次函数的图像和各种形式的表示方法。
此外，需要注意理解二次函数与一次函数的比较，掌握二次函数的性质和应用。
1.3 幂函数与指数函数幂函数与指数函数是高中数学的重点内容，也是高考中的热点。
复习幂函数和指数函数时，要掌握它们的基本性质，并能够灵活应用到各种类型的题目中。
二、平面几何平面几何是高考数学中占比较大的一个部分，掌握好平面几何的知识点对于解答几何题目非常重要。
2.1 直线与圆直线与圆是平面几何中的基本图形，复习时要熟悉直线的性质、直线的表示方法以及圆的性质、圆的方程等内容。
此外，要注意直线与圆的相交关系和切线的求解方法。
2.2 三角形与四边形三角形与四边形是高考中经常出现的几何图形，复习时要掌握三角形和四边形的性质，包括角的性质、边的性质以及特殊三角形和四边形的性质。
三、概率与统计概率与统计是数学高考中的考点之一，要注意复习这一部分知识点，并且掌握好应用技巧。
3.1 随机事件与概率随机事件与概率是概率与统计的基础，复习时要掌握随机事件的定义和基本性质，熟悉概率计算的方法，并能够解答与概率有关的问题。
3.2 统计与频数分布统计与频数分布是统计学中的重要内容，复习时要了解统计的基本概念和统计图的绘制方法，同时要熟悉频数分布表的制作和数据的处理方法。
高考数学必备知识点总结
高考数学必备知识点总结在高考数学中，有一些必备的知识点，了解并掌握它们对考试中的成绩提升是非常有帮助的。
本文将逐一介绍这些知识点，并展示其在不同题型中的应用。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基础概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。
方程是一个等式，其中包含未知数，通过解方程可以确定未知数的值。
在高考数学中，函数与方程的应用非常广泛。
1.1 一次函数与一元一次方程一次函数是指函数的最高次项是1的函数，形式为 y=ax+b。
一元一次方程是指方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次项是1。
解一元一次方程的方法有图解法、等价变形法等。
在高考数学中，应用一次函数与一元一次方程解决实际问题是常见的。
1.2 二次函数与二元一次方程二次函数是指函数的最高次项是2的函数，形式为 y=ax^2+bx+c。
二元一次方程是指方程中有两个未知数，并且未知数的最高次项是1。
通过解二次方程可以求出函数的极值、判断函数的开口方向等。
而通过解二元一次方程可以求出两个未知数的值，并确定函数与坐标系的交点。
1.3 指数函数与对数函数指数函数是指一个变量以指数的形式出现。
指数函数具有一些特殊的性质，例如 a^x * a^y = a^(x+y)。
对数函数是指一个变量以对数的形式出现，对数函数的定义与指数函数互为反函数。
指数函数与对数函数常常用于解决增长与衰减问题，例如人口增长、财富增长等。
二、几何与三角学几何与三角学是数学中的重要分支，它们在高考数学中占据着重要的比重。
掌握几何与三角学的基本概念和定理，并熟练应用它们解题，可以在高考中取得较好的成绩。
2.1 直线与平面几何直线几何研究点、直线与平面之间的关系，运用直线几何的知识可以解决线段垂直、平行、相交等问题。
平面几何研究平面与平面之间的关系，例如平面的垂直、平行等。
掌握直线与平面的性质，可以帮助我们解决有关平面与直线的几何问题。
2.2 三角学三角学是研究三角形及其相关概念和性质的学科。
高三数学考前必背知识点归纳
高三数学考前必背知识点归纳一、函数与方程1. 函数的定义与性质- 函数的定义：函数是一个具有唯一性的、使每一个自变量对应唯一的函数值的关系。
- 函数的性质：奇偶性、周期性、增减性、极值等。
2. 一元二次函数- 一元二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c。
- 一元二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向、图像与系数的关系。
3. 指数与对数函数- 指数函数与对数函数的定义与性质：指数函数和对数函数是互为反函数的函数。
- 指数函数的性质：底数、指数、图像特点。
- 对数函数的性质：底数、真数、图像特点。
4. 三角函数- 三角函数的定义与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
- 三角函数的关系与常用公式：诱导公式、和差化积、倍角公式等。
5. 方程与不等式- 一元二次方程的求解：配方法、求根公式等。
- 线性方程组与矩阵的方法：高斯消元法、克莱姆法则等。
- 一元一次不等式的求解：正负号区间法、代数法等。
二、立体几何1. 点、线、面的坐标与距离公式- 点的坐标：二维平面、三维空间。
2. 空间几何体的性质与计算- 直线与平面的关系：相交、平行、垂直等。
- 空间几何体的计算公式：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体等。
3. 空间向量- 向量的定义与性质：加法、减法、数量积、向量积等。
- 向量的共线、垂直与夹角：向量共线与线性相关、向量垂直与正交、向量夹角的计算等。
- 平面向量与立体几何：平面向量的坐标法、平面向量的垂直、平面的法向量等。
4. 空间解析几何- 空间曲面与二次曲面的方程：球面、圆锥曲线、椭球面、单叶双曲面等。
- 空间直线与平面的交线：直线与平面的交线方程、直线与直线的位置关系。
三、概率统计1. 随机事件与概率- 随机事件的定义与性质：必然事件、不可能事件、互斥事件、对立事件等。
- 概率的定义与性质：古典概型、几何概型、条件概率、独立事件等。
2. 事件的运算与概率模型- 事件的运算：并、交、差等。
高考数学必考知识点归纳总结
高考数学必考知识点归纳总结高考数学是每个考生都要面对的一门重要科目，它占据着总分的比重很高。
为了顺利应对高考数学，掌握必考的知识点是至关重要的。
本文将对高考数学的必考知识点进行归纳总结，以帮助考生进行备考复习。
一、函数与方程1. 函数基本概念：了解函数的定义、自变量、因变量、函数的定义域、值域等基本概念。
2. 一次函数与二次函数：掌握一次函数与二次函数的性质、图像的变化规律以及与实际问题的应用。
3. 幂函数与指数函数：理解幂函数与指数函数的基本概念，研究它们的性质及应用。
4. 对数函数：了解对数函数的定义与性质，理解对数函数与指数函数之间的关系。
5. 三角函数：掌握三角函数的定义、性质与图像变化规律，能够灵活运用三角函数解决实际问题。
6. 方程与不等式：熟练掌握一元方程及一元不等式的解法，能够解决相关实际问题。
二、平面几何1. 点、直线、射线、线段：了解它们的基本概念与性质，能够判断点与直线的位置关系。
2. 各种三角形：研究各种三角形的性质，包括角平分线、中线、高线、垂直定理等。
3. 圆的基本概念：掌握圆的基本概念，能够解决圆的切线与弦的性质相关的问题。
4. 相似三角形：熟悉相似三角形的性质与判定方法，理解相似三角形的应用。
5. 直角三角形与三角函数：熟练掌握勾股定理、正弦定理、余弦定理等用于解决相关问题。
三、立体几何1. 空间几何体的表面积与体积：熟练计算各种几何体的表面积与体积，包括立方体、长方体、圆柱体等。
2. 空间几何体的位置关系：了解各种空间几何体之间的位置关系，如平行、垂直、相交等。
3. 空间向量的运算：掌握向量的基本概念，熟练计算向量的模、方向以及向量的加法与减法。
四、概率与统计1. 概率的基本概念：理解概率的定义、性质与计算方法，能够解决简单概率问题。
2. 统计的基本概念：了解统计的基本概念，包括频数、频率、平均数、中位数等。
3. 统计图表：能够制作与解读各种统计图表，如折线图、柱状图、饼状图等。
高考数学知识点必记
高考数学知识点必记高考，作为每个学生人生中的重要一步，不仅考验着学生的基础知识掌握和思维能力，更是决定学生未来发展的一次机会。
而在高考中，数学作为一门重要的科目，常常是学生们最担心的一门。
为了能在数学考试中取得好成绩，我们需要掌握一些重要的数学知识点。
本文将为大家总结一些高考数学知识点，帮助大家备战高考。
一、函数与方程在高考数学中，函数与方程是一个基础且重要的知识点。
学生们需要熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数等各种常见函数的性质和图像特点。
同时，还需掌握函数的定义域、值域、单调性等概念，并能熟练运用函数的性质解决实际问题。
在方程方面，掌握解方程的基本方法是必不可少的，包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等等。
二、几何与三角在高考数学中，几何与三角也是必备的知识点。
具体来说，学生们需要熟悉平面几何与空间几何中的各种性质和定理，如平行线的性质、三角形的性质、圆的性质等等。
同时，需要熟练掌握三角函数的定义、性质以及三角恒等式的运用。
这些知识点在高考数学中往往与计算题、证明题密切相关，所以学生们要加强对这些知识的记忆与理解。
三、概率与统计概率与统计也是高考数学中的重要知识点之一。
学生们需要熟练掌握概率的基本定义和计算方法，包括事件的概率、加法公式、乘法公式等等。
同时，还需掌握统计中的各种概念和方法，如频率、平均数、中位数、离散程度等。
这些知识点在高考数学中常常出现在选择题和应用题中，所以学生们要加强对这些知识的理解和应用。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高考数学中的重要知识点。
学生们需要熟练掌握等差数列、等比数列的性质和求和公式。
同时，还需要了解数列的通项公式，并能应用数学归纳法解决一些问题。
数列与数学归纳法在高考数学中常常与选择题、填空题相关，所以学生们要加强对这些知识的记忆和应用能力。
五、导数与微分导数与微分是高考数学中的一个重要知识点。
学生们需要掌握函数的导数定义、导数的性质以及常见函数的导数公式。
关于高考数学高考必备知识点总结归纳
关于高考数学高考必备知识点总结归纳高考数学是高中阶段学生进行综合素质测评的关键科目之一，也是学生升学的重要参考。
为了帮助学生顺利通过高考数学科目，下面将对高考数学必备知识点进行总结和归纳。
一、函数与方程
1.一次函数与二次函数的性质：定义域、值域、单调性、零点、图像等。
2.一次函数与二次函数的应用：表示与求解实际问题。
3.一次函数与二次函数的变形：平移、翻转、伸缩等。
二、数列
1.等差数列的概念：通项、前n项和、性质等。
2.等差数列的应用：表示与求解实际问题。
3.等比数列的概念：通项、前n项和、性质等。
4.等比数列的应用：表示与求解实际问题。
三、三角函数
1.正弦、余弦、正切、余切函数的定义与性质。
2.三角函数的应用：求角度、边长、面积等。
3.三角函数的图像与变形：平移、翻转、伸缩等。
四、平面几何
1.基本图形的性质：点、线、角、面的定义与性质。
2.相似三角形的性质：比例关系、角度关系、边长关系等。
3.平面几何的应用：表示与求解实际问题。
五、立体几何
1.基本立体体积与表面积的计算：长方体、正方体、圆柱体等。
2.空间几何图形的性质：平行关系、垂直关系、角度关系等。
3.空间几何的应用：表示与求解实际问题。
六、概率论与统计
1.随机事件的概念与性质：样本空间、事件概率、事件运算等。
2.概率计算：频率与概率的关系、排列与组合等。
3.统计分析：样本数据的整理与分析、频数分布等。
高三差生数学提分知识点
高三差生数学提分知识点在高三阶段，数学成绩对于学生的升学和发展起着至关重要的作用。
对于那些数学成绩相对较差的学生来说，提高数学成绩是一个迫切的任务。
下面将介绍一些可以帮助高三差生提分的数学知识点。
一、函数与方程1. 一次函数和二次函数学生需要熟练掌握一次函数和二次函数的基本概念、图像和性质。
掌握其图像的变换、平移和缩放规律，能够解答与函数和方程相关的各类问题。
2. 指数与对数函数熟练掌握指数与对数函数的定义、性质和运算法则，了解其在实际问题中的应用。
特别是对数函数的反函数性质，要掌握其在解方程和求解实际问题中的应用。
3. 反比例函数熟悉反比例函数的定义、性质和图像特点，学会利用反比例函数解决实际问题，并能够进行函数图像的变换。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等比数列了解等差数列和等比数列的定义、通项公式以及求和公式，能够利用这些公式解决与数列相关的各类问题。
同时，要能够判断一个数列是等差数列还是等比数列，并能够求出序列的下一个项或前n项和。
2. 通项公式与递推公式掌握根据数列的递推关系给出通项公式的方法，熟练运用求解递推公式的方法。
同时，要会灵活地运用数学归纳法，证明数学问题的正确性。
三、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质熟练掌握三角函数的定义，包括正弦、余弦、正切等三角函数的周期、对称性及其在坐标平面上的图像。
掌握这些性质有助于理解和应用三角函数的概念。
2. 三角函数的运算与方程熟悉三角函数的运算法则，包括和差化积、倍角、半角等公式。
能够灵活地运用这些公式解决与三角函数相关的方程和不等式问题。
3. 解三角形掌握解三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理和正切定理等。
能够熟练运用这些定理解决各类与三角形相关的计算问题。
四、概率与统计1. 事件与概率理解事件和概率的概念，掌握简单事件的概率计算方法。
对于复杂事件，要能够利用集合的概念和运算，求解包含多个事件的概率。
2. 随机变量与概率分布了解随机变量和概率分布的基本概念，包括离散型随机变量和连续型随机变量。
高考数学知识点总结必背
高考数学知识点总结必背数学是高考中的必考科目，对于考生来说，掌握好数学知识点是提高成绩的关键。
下面将对高考数学知识点进行总结和归纳，帮助考生更好地备考。
1. 解二次方程在解二次方程时，可以使用配方法、求根公式和求解因式分解三种方法。
其中，配方法适用于一般的二次方程，求根公式适用于一般的带常数项的二次方程，因式分解则适用于出现因式分解的二次方程。
熟练掌握这三种方法可以帮助考生更快地解决相关问题。
2. 函数与方程函数与方程是高考数学中的重点内容。
重点理解和掌握函数的定义、性质和思维方法，以及一次函数、二次函数等常见函数的图像特点。
并在此基础上熟悉函数与方程之间的互相转化关系，以及函数方程与对应的图象之间的关联性。
3. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学考察的一个重要方面。
数列的概念和常见数列的特点是需要熟悉的内容，比如等差数列、等比数列等。
掌握数列的通项公式和前n项和的计算方法，以及在解题过程中应用数学归纳法的技巧，对于应对高考数学试题至关重要。
4. 几何与三角函数在几何和三角函数的知识点中，特别是平面几何和立体几何中的性质、定理和计算方法是需要重点掌握的内容。
包括几何图形的相似、全等性质，以及三角函数的定义、性质和应用等。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数的图像及其变换性质，熟悉其计算和运用技巧是需要重点复习的内容。
5. 概率与统计概率与统计也是高考数学考试的重要部分。
需要重点掌握概率和统计的基本概念、计算方法，理解事件概率、频率、统计图表等概念的含义。
灵活运用概率与统计的知识，解决实际问题是考查的重点。
除了上述知识点之外，高考数学知识的综合运用和解题技巧也是需要重点关注的内容。
在解题过程中需要注重分析题目，抓住问题的关键，选择合适的解题方法，思路清晰，步骤正确，运算准确，才能取得好的成绩。
在备考过程中，要注重理论与实践的结合，理论知识的掌握要通过实际题目的训练来加深理解和运用。
通过做大量的高考模拟试题和历年真题来检验自己的复习成果，发现自己在知识点上的不足，并及时进行弥补。
高三数学考前必看知识点
高三数学考前必看知识点一、函数与方程1. 函数函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
函数可以用公式、图像、表格等形式表示，常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数等。
在高中数学中，我们需要掌握函数的性质、图像以及函数的复合、反函数等概念。
2. 方程方程是等式的一种特殊形式，其中包含有未知数。
方程可以用来描述各种数学问题，解方程就是寻找使得方程成立的未知数的值。
在高中数学中，我们需要掌握一元一次方程、一元二次方程等的解法，以及方程的应用问题。
二、三角函数1. 三角函数的定义三角函数是描述角度与边长之间关系的函数，包括正弦、余弦、正切等。
在高中数学中，我们需要熟悉三角函数的定义，掌握各种特殊角的数值以及三角函数的性质。
2. 三角函数的图像与性质了解三角函数的图像是解决各种三角函数问题的基础。
我们需要熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数的图像特点，掌握函数的周期、对称性等性质。
此外，还需要掌握三角函数的运算法则，如和差化积、倍角公式等。
三、导数与微分1. 导数的定义与性质导数是函数变化率的度量，也可以理解为函数在某一点的切线斜率。
我们需要掌握导数的定义，求导法则以及导数的几何意义。
此外，还需要了解函数的极值与导数的关系，以及导数的应用问题。
2. 微分与微分中值定理微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数的变化量。
掌握微分的计算方法，以及微分中值定理的条件及应用是解决各类导数与微分问题的关键。
四、概率与统计1. 概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，它可以是一个百分比或一个分数。
了解概率的基本概念，包括事件、样本空间、随机变量等，是学习概率的前提。
2. 统计的基本概念与数据分析统计是收集、整理、分析数据的方法和过程。
我们需要了解统计的基本概念，包括总体与样本、频数与频率等。
此外，还需要掌握数据的收集、整理与分析方法，如频数分布表、直方图、箱线图等。
五、解析几何1. 坐标系与直线方程解析几何是研究几何图形和代数关系之间联系的数学分支。
高考数学提分知识点
高考数学提分知识点高考是每个学生都极为关注的重大考试，数学作为其中一科，更是考生们普遍认为难度较大的一门科目。
在备考过程中，掌握一些提分的知识点是非常重要的。
本文将针对高考数学中的一些知识点进行详细阐述，帮助考生们在备考过程中能够更好地理解和掌握这些知识点。
一、函数与方程函数与方程是数学中的基础概念，也是高考数学中的重点考察内容。
在备考过程中，要熟练掌握函数与方程的基本性质，例如函数的图像特征、方程的解法等。
同时，要注意函数与方程在实际问题中的应用，例如利用函数的性质解实际问题，或是将实际问题转化为数学方程进行求解。
二、几何与三角学几何与三角学是高考数学中的重要内容，尤其是在平面几何和立体几何的考察中。
在备考过程中，要熟悉平面几何和立体几何的基本定理和性质，例如直线和平面的交点、相似三角形的性质等。
同时，要善于利用三角函数解决几何问题，例如用正弦定理、余弦定理等求解三角形的边长、角度等。
三、概率与统计概率与统计是高考数学中的常见考点。
在备考过程中，要熟悉概率与统计的基本概念和公式，例如概率的定义、事件的独立性、均值与方差的计算等。
同时，要掌握如何应用概率与统计的知识解决实际问题，例如利用概率分布计算某事件发生的概率，或是通过样本统计得到总体参数的估计等。
四、导数与积分导数与积分是高考数学中的重要内容，尤其是在解析几何和微积分的考察中。
在备考过程中，要熟练掌握导数和积分的基本概念和性质，例如导数的定义、求导法则、积分的定义、换元积分法等。
同时，要灵活运用导数和积分解决实际问题，例如求曲线的切线方程、曲线与坐标轴所围成的面积等。
五、极限与数列极限与数列是高考数学中的考察重点，也是数学分析的基础内容。
在备考过程中，要熟悉极限和数列的基本定义和性质，例如极限的四则运算法则、数列的递推公式等。
同时，要能够推导数列的极限值，例如利用数列的性质计算极限值、判断数列的收敛性等。
六、数与代数数与代数是高考数学中的基础内容，对于准备参加高考的学生来说尤为重要。
高考数学高分知识点大全
高考数学高分知识点大全作为高考的一门重要科目，数学一直是许多学生备战高考的重点。
在数学中，有些知识点是高分考试的关键，掌握了它们，就能事半功倍。
本文将为大家总结一些高考数学高分知识点，帮助大家在考试中取得好成绩。
一. 函数和方程在高考数学中，函数与方程是非常重要的内容。
学生要熟悉各种函数的性质，包括一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
特别是二次函数，它在高考中出现频率最高。
掌握二次函数的定义、图像和性质，能够帮助学生解决与二次函数相关的各种题目。
此外，方程也是考试中的重点。
特别是一元二次方程和一元一次方程，学生要了解它们的解法和应用。
二. 几何在高考数学中，几何是一个考察学生空间理念和动手能力的重要内容。
重点知识点包括图形的性质、图形的变换和直线与圆的基本性质。
学生要熟练掌握图形的对称性、相似性和全等性质，以及平移、旋转和对称的几何变换。
此外，直线与圆的交点性质、弦和切线的性质也是高考经常涉及的内容，学生要注意理解和应用。
三. 概率与统计概率与统计是高考数学的一大篇章，也是数学中的实际应用部分。
在概率部分，学生要了解基本的概率计算方法，包括事件的概率、互斥事件和相互独立事件。
在统计部分，学生要熟悉数据的收集和整理方法，以及频数分布表和统计图表的制作和分析。
同时，学生还要掌握统计量的计算和利用，包括均值、中位数和标准差等。
四. 数列与数项数列与数项是高考数学重要的知识点之一。
学生要了解数列的概念和性质，包括等差数列、等比数列和递推数列等。
同时，学生还要掌握数列的求和公式和通项公式，以及对数列进行分类和比较的方法。
此外，学生还要注意数列相关题目的实际应用，如等差数列在日常生活中的应用和等比数列在经济中的应用等。
五. 排列与组合排列与组合是高考数学的一大难点，同时也是高分考试的重要内容。
学生要理解排列与组合的概念和计算方法，包括全排列、部分排列、全组合和部分组合等。
特别是在应用题中，学生要善于将实际问题转化为排列与组合问题，运用相关的计算方法求解。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
数学高三数学函数与方程知识总结与应用
数学高三数学函数与方程知识总结与应用在高三数学学习过程中，数学函数与方程是非常重要的内容。
掌握了这些知识，不仅可以为学习其他数学课程提供基础，也能在解决实际问题时发挥重要作用。
下面将对高三数学函数与方程的知识进行总结并介绍其应用。
一、函数知识总结1.1 函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，通常用f(x)表示。
其中，x是自变量，f(x)是因变量。
要使一个关系为函数，对于任意的x值，都必须有唯一的f(x)值与之对应。
函数也有定义域与值域的概念，分别表示自变量与因变量的可能取值范围。
1.2 基本函数类型高中数学中常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
每种函数类型都有其独特的特点和性质。
例如，线性函数的图像为直线，二次函数的图像为抛物线。
1.3 函数图像的性质通过函数的表达式，我们可以得到其图像的一些性质。
例如，对于一次函数y = kx + b，其中k和b为常数，我们知道其图像是一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度。
二、方程知识总结2.1 一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的一般步骤是将方程化简为ax = b的形式，然后求出x的值。
2.2 一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的一般步骤可以通过配方法、因式分解法或求根公式等方式进行。
2.3 二元一次方程组二元一次方程组是形如{ax + by = c,dx + ey = f}的方程组，其中a、b、c、d、e和f是已知常数，x和y是未知数。
解二元一次方程组的一般步骤是使用消元法或代入法等方法，最终得到x和y的值。
三、函数与方程的应用3.1 函数的图像应用函数的图像不仅可以直观地展示函数的性质，还可以应用于实际问题的解决。
例如，在物理学中，我们可以通过绘制v - t图像，其中t表示时间，v表示速度，从图像中直观地了解物体的运动情况。
高考数学必背知识点总结大全
高考数学必背知识点总结大全在高中数学学习中，高考是一个重要的里程碑。
高考数学涵盖的知识点众多，难度也逐渐加深。
为了帮助同学们更好地备考高考数学，下面将对一些数学必背知识点进行总结和归纳。
一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 函数的定义：对于任意的自变量，函数都能唯一确定一个因变量。
- 定义域与值域：函数的自变量的取值范围为定义域，函数的因变量的取值范围为值域。
- 函数的奇偶性：若对于任意的 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
2. 二次函数- 二次函数的一般式：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a≠0。
- 二次函数的顶点式：f(x) = a(x-h)^2 + k，其中 (h, k)为顶点坐标。
- 二次函数的对称轴：x = h（横坐标为 h 的直线）。
3. 方程与不等式- 一元一次方程与一元一次不等式：ax + b = 0，ax + b > 0。
- 一元二次方程与一元二次不等式：ax^2 + bx + c = 0，ax^2 + bx + c > 0。
- 二元一次方程组：ax + by = c，dx + ey = f。
二、平面向量1. 向量及其运算- 向量的定义：向量是有大小和方向的量。
- 向量的运算：加法、减法、数乘和数量积。
2. 平面向量的表示与坐标- 向量的表示：以坐标差值的形式表示向量。
- 向量的坐标：向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标。
3. 向量的模与方向角- 向量的模：向量的大小，用竖线表示。
- 向量的方向角：向量与某一坐标轴的夹角。
三、解析几何1. 直线与曲线- 直线的斜率与截距：直线的斜率等于直线的倾角的正切值，直线的截距等于直线与坐标轴的交点坐标。
- 圆的标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中 (a, b)为圆心坐标。
2. 平面几何- 点、直线、平面的位置关系：平面上的一点与直线的关系可以分为在直线上、在线上与直线外三种情况。
高三数学提高基础知识点
高三数学提高基础知识点高三是学生们备战高考的重要时期，而数学作为高考必考科目之一，是许多学生头痛的难题。
为了帮助高三学生们提高数学成绩，本文将介绍几个高三数学的基础知识点，并给出相关解题技巧和练习题，希望能够对同学们有所帮助。
一、函数与方程1. 一次函数一次函数是高三数学中的基础知识点之一。
其一般形式为y=ax+b，其中 a 为斜率， b 为截距。
我们可以通过给定两点的坐标来确定一次函数的表达式。
一次函数图像为一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。
解题技巧：对于一次函数题目，我们可以利用已知的坐标点求解出斜率，再带入其中一个坐标点求解出截距。
同时，当两点的横坐标相同时，直线为竖直线；当两点纵坐标相同时，直线为水平线。
练习题：已知一次函数图像过点(2,3)，且斜率为2，求该一次函数的表达式。
2. 二次函数二次函数是高三数学中比较复杂的一种函数类型。
其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中 a 不为0。
二次函数图像为一条开口向上或向下的抛物线，其顶点位置和开口方向由 a 的正负号决定。
解题技巧：对于二次函数题目，我们可以通过求解顶点坐标、判别式、平移等方法进行解题。
同时，对于一些特殊形式的二次函数题目，如完全平方式、轴对称等，需要根据题意特点进行解答。
练习题：已知二次函数图像的顶点为(-1,2)，开口向下，求该二次函数的表达式。
二、常数与对数1. 指数与对数指数与对数是数学中的基本概念，也是高考中考察的重点。
指数表示一个数的底数被连乘多少次，对数则表示指数运算的逆运算。
解题技巧：在解决指数与对数题目时，我们需要掌握指数和对数的基本性质，如幂运算、对数运算的运算法则等。
同时，对于一些常见的指数与对数方程，如求解指数方程、对数方程等，我们可以根据题目特点灵活运用对应的性质和公式进行解答。
练习题：求解方程 2^x=16。
2. 模运算模运算是高三数学中的一个重要概念，也是数论的基础。
模运算利用了数的周期性，其余数由模数决定。
数学高考重要知识总结函数与方程的应用技巧
数学高考重要知识总结函数与方程的应用技巧数学高考重要知识总结：函数与方程的应用技巧在数学高考题目中，函数与方程是两个重要的概念和工具。
它们在解决实际问题中起着关键的作用。
本文将对函数与方程的应用技巧进行总结，帮助同学们在考试中更好地应对这一部分的内容。
一、函数的应用技巧函数是数学中的基本概念，深入理解和掌握函数的应用技巧对于高考数学的顺利解题至关重要。
1. 函数的图像与性质在高考中，函数的图像常常是理解和解题的重要依据。
当遇到函数题时，我们可以根据函数的图像来推断其性质和特点，进而得出解题的思路。
2. 函数的变化特征了解函数的变化特征可以帮助我们更好地分析和解题。
例如，对于一次函数，我们可以通过寻找其截距、斜率等特征来确定函数的表达式；对于二次函数，我们可以根据开口方向、顶点坐标等特征来确定函数的性质。
3. 函数的综合应用函数的应用不仅局限于图像和变化特征，还涉及到实际问题的建模与求解。
通过将实际问题转化为函数表达式，我们可以应用函数的性质和特点解决问题。
例如，利用一次函数来解决速度、距离和时间之间的关系问题。
二、方程的应用技巧方程是解决数学问题的常用工具之一，熟练掌握方程的应用技巧对于高考数学的高分至关重要。
1. 理清方程的思路在解题过程中，我们需要理清方程的思路，明确要求和目标。
首先，要明确未知数和已知条件；其次，要根据已知条件建立方程；最后，通过解方程来求解未知数。
2. 合理运用等式性质方程的等式性质是解决方程问题的重要技巧之一。
我们可以通过合理运用等式的可逆性、对称性、替换性等性质，简化方程的形式，从而更容易求解。
3. 特殊情况的考虑在解决方程问题时，遇到特殊情况时需要特别留意。
例如，当方程的系数为零或不存在解时，我们需要单独讨论，并给出相应的解释。
4. 方程的实际应用方程在实际问题中的应用非常广泛，包括问题的建模、解方程组、比例关系等。
我们可以通过学习和掌握方程的应用场景，提高解决实际问题的能力。
高考数学必记知识点
高考数学必记知识点数学作为高考科目之一，是许多考生所担心的科目之一。
然而，只要我们掌握了一些必记的知识点，就能够在高考中取得好成绩。
下面，我将为大家总结一些高考数学必记的知识点，希望对大家有所帮助。
一、函数与方程在高考数学中，函数与方程是基础且重要的知识点。
首先，我们需要熟悉函数的概念，了解函数的性质以及函数的图像特征。
其次，方程也是不可忽视的部分。
掌握一元二次方程、一次方程、绝对值方程等各种类型的方程解题方法，并能够熟练运用到实际问题中。
二、数列与数列的求和数列是高考中常见且重要的考点。
考生需要熟练掌握等差数列和等比数列的定义、通项公式以及求和公式。
同时，还需要了解数列的性质，如递增、递减、有界等，以便能够解答与数列相关的各类题目。
三、三角函数三角函数是高考中的热门考点之一。
考生需要熟悉正弦、余弦、正切等常见三角函数的定义、性质以及图像特征。
此外，还需要了解三角函数的反函数，比如反三角函数的定义和性质。
熟练掌握三角函数的运用方法，能够将其应用于实际问题的求解过程中，将会大大提升解题能力。
四、空间几何与向量在空间几何与向量这一部分，考生需要掌握点、线、面的相关知识，包括点、直线、平面的定义及其性质。
另外，向量在高考数学中也是一项重要知识点。
考生需要了解向量的定义、运算法则以及运用方法。
熟练掌握向量的运算和应用，对于解答与向量相关的几何题目有着重要的作用。
五、导数与微分导数与微分是高考数学中的难点之一。
掌握导数的定义、性质以及基本运算法则，理解导数与函数图像之间的关系，能够求解导数应用题，将有助于考生在解答高考题目中更加得心应手。
六、概率与统计概率与统计是高考数学中的考点之一。
考生需要掌握概率与统计的基本概念、基本原理以及计算方法。
了解事件的概率计算、随机变量的分布、统计数据的分析与解读等内容，能够帮助考生应对概率与统计方面的高考题目。
总结起来，高考数学必须记忆的知识点涵盖了函数与方程、数列与数列的求和、三角函数、空间几何与向量、导数与微分以及概率与统计等内容。
数学高考必考知识点总结
数学高考必考知识点总结数学是高考中的必考科目之一，对于考生来说，熟悉并掌握高考必考知识点是取得高分的关键。
本文将对数学高考必考知识点进行总结，帮助考生全面复习准备。
一、函数与方程1.一次函数一次函数是高考常见的考点，其一般式为y = kx + b。
考生需要掌握一次函数的性质和图像的变化规律，能够求解一次函数的解析式以及与坐标轴的交点等。
2.二次函数二次函数是高考数学中较为重要的知识点，其一般式为y = ax² + bx + c。
考生需要熟悉二次函数的性质，理解抛物线的开口方向和顶点坐标的求解方法，能够求解二次函数的解析式、顶点坐标以及与坐标轴的交点等。
3.指数与对数掌握指数与对数的性质和运算法则，理解指数函数和对数函数的图像特点，能够求解指数方程和对数方程，以及利用指数函数和对数函数解决实际问题。
4.三角函数熟悉三角函数的定义、诱导公式、图像变换规律和性质，能够求解三角函数方程和利用三角函数解决实际问题，同时还需要掌握三角函数的和差化积、积化和差等公式。
二、空间与几何1.向量与立体几何了解向量的定义、性质和运算法则，能够进行向量的加减、数量乘法运算，熟练掌握向量共线、垂直和平行的判定方法。
在立体几何方面，需要熟悉立体图形的基本性质和公式，能够求解立体图形的面积、体积以及空间位置关系。
2.三角形与四边形理解三角形和四边形的基本性质，掌握三角形和四边形的面积计算公式，能够判断形状和大小的关系，解决与三角形和四边形相关的几何问题。
三、概率与统计1.概率了解概率的基本概念和计算方法，熟练掌握事件的概率计算和复合事件的概率计算，理解概率分布函数和数理统计的基本原理。
2.统计熟悉统计的基本概念和统计图表的绘制方法，能够进行数据的整理、分析和描述，掌握平均数、中位数和众数等统计指标的计算方法，同时还需了解抽样调查和统计推断的基本原理。
四、数列与数学推理1.等差数列与等比数列理解等差数列和等比数列的定义和性质，能够求解等差数列和等比数列的通项公式，掌握数列的前n项和通项求和公式，能够解决与数列相关的问题。
数学必备知识点归纳高考
数学必备知识点归纳高考数学是高考中的一门必修科目，也是很多学生所头疼的科目之一。
虽然数学在高考中的分值较低，但却直接影响着学生的综合成绩。
为了帮助同学们在高考中取得好的成绩，今天我将对数学中的一些必备知识点进行归纳总结。
第一部分：函数与方程1. 一次函数：平时我们常见的线性方程，其实就是一次函数的表达方式。
可以通过给定的两个点或者点和斜率来确定一次函数的具体表达式。
2. 二次函数：二次函数的标准形式为y = ax² + bx + c。
其中，a不等于0，a决定了函数的开口方向。
通过求解二次函数的零点可以得到方程的解。
3. 指数函数与对数函数：指数函数以一个常数为底数，进行自然数幂运算得到的函数，而对数函数则是指数函数的逆运算。
在解决实际问题时，我们常常会用到指数与对数之间的换底公式。
4. 进一步就是三角函数、指数对数函数的组合运用，例如，复合函数，反函数等等。
第二部分：几何与图形1. 直线与曲线：直线是数学中最基本的图形之一，可以通过给定的两点来确定一条直线。
曲线的表示方式又有很多种，例如圆的标准方程、椭圆、抛物线和双曲线的方程等等。
2. 三角形、四边形与多边形：在几何学中，三角形是最简单的多边形，它包含了直线、平行线、垂直线等诸多概念。
而四边形则是指有四个顶点的封闭曲线，包括矩形、正方形、梯形和平行四边形等。
学习这些图形的特性，能够帮助我们解决几何问题。
3. 空间几何与立体图形：空间几何是对三维物体的研究，学习了空间几何的概念之后，我们便能够解决与三维空间相关的问题。
立体图形包括了球体、圆锥、棱柱、棱锥等，它们都有各自的特性以及求面积和体积的方法。
4. 诱导思维与证明：数学的学习不仅仅是应用公式，更重要的是培养逻辑思维能力和解决问题的方法。
通过诱导思维，我们可以推导出一些隐藏的规律和公式。
在解决问题的过程中，还需要学会运用数学的证明方法，以提供准确的证据。
第三部分：概率与统计1. 数字特征与数据分析：概率与统计是数学中一个重要的分支，通过它们我们可以对数据进行整理和分析。
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高考数学提分秘籍 必记篇 函数与方程及函数的应用1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点 例1 (1)(2013·重庆)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x －x 2＋2x x >0，2x ＋1x ≤0，的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.(2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________.答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32， ∴－1<x 0<0，∴n ＝－1.考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案 A解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f (x )是“12－伴随函数”， 则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0， 则f (12)＋12f (0)＝0， 若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点； 若f (0)，f (12)均不为0， 则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理， 知f (x )在(0，12)内存在零点x 0， 所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx x <0，log 3x x >0，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案 C解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)，若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π－x 0＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|xx 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)， ∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23， 则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76， g (0)－g (12)＝2(a －14)． 故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g 12，0≤a ≤14，g 0，14<a ≤12. 即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12. 当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立； 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2. 故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标． (1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋80<x ≤4，2x ＋28x －1x >4.当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx 216＋2m 0<x ≤4，m x ＋142x －2x >4，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m2x －22<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可，即167≤m ≤103.所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点．(2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<bB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析 函数f (x )＝(13)x －log 2x 在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0<a <b <c ，∴f (a )>f (b )>f (c )．又∵f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ，若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ，故x 0>c 不可能成立，故选D.2．若f (x )＋1＝1f x ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞) C ．[0，13) D ．(0，12] 答案 D解析 根据方程与函数关系．设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，∴f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1， ∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m ≤12. (推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3)答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0， f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内． 2．若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析 由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知，对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立．对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D.3．函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析 因为f ′(x )＝2x ln 2＋2x 2>0， 所以f (x )是增函数，由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ c x ，x <A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以c A＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.5．已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析 令f (x )＝|x 2－6x |，作图象如下：知f (x )＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，它与直线y ＝a 交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6．(2013·辽宁)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ， g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.二、填空题7．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析 由于f (－1)＝1－2－1＝12>0， 又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点；又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13. 9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．答案 7解析 由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根， 由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.三、解答题11．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2， 因为|x |≥0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1， 即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]．(2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x －12x －2＝0， 整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成关于x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝120，即k ＝120x－1， 所以y ＝432k ＋(k ＋1)(x 3＋x )＝432×(120x －1)＋120x(x 3＋x ) ＝51 840x＋120x 2－312. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤60.故y 与x 的函数关系是y ＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)． (2)因为f (x )＝51 840x＋120x 2－312(0<x ≤60)，则 f ′(x )＝－51 840x 2＋240x ＝240x 2(x 3－216)， 由f ′(x )>0，得x 3>216，又0<x ≤60，则6<x ≤60.所以f (x )在区间(6,60]上为增函数，在区间(0,6)上为减函数．所以当x ＝6时，f (x )取最小值，此时k ＝120x －1＝1206－1＝19. 故需要修建19个增压站才能使y 最小．13．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f x x－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x －4ln x －2 (x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝x －1x －3x 2.x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋g (x ) 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．。