8函数的性质 奇偶性

奇偶性

[提出问题]

函数(1)f(x)＝x2－1，(2)f(x)＝－1

x，(3)f(x)＝2x的图象分别如图所示：

问题1：各个图象有怎样的对称性?

问题2：对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系?

[导入新知]

[化解疑难]

理解函数的奇偶性应关注四点

(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇(偶)函数．

(2)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．

(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.

(4)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x D，D是关于原点对称的实数集．

[例1]判断下列函数的奇偶性：