怎样修改游戏规则

怎样修改游戏规则湖北省孝感市孝南区车站中学（432011） 殷菊桥以往的中考概率问题，考查游戏规则公平性的较多，这只需列表或画树状图通过简单的计算进行判断．近年的中考题，关于游戏规则公平性的试题，加大了难度，不再单纯考查计算，还要求对不公平的游戏规则进行修改，使之对双方公平，或者根据给定的概率确定新的规则．如何解决这类问题呢？请看下面的方法．一、通过公倍数确定新的游戏规则 例１．（山东青岛） 小明和小亮用如图１的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．解：从表中可以得到：Ｐ（小明获胜）＝95，Ｐ（小亮获胜）＝94， ∴小明的得分为95×1＝95 ， 小亮的得分为 94×1＝ 94． ∵95＞94，∴游戏不公平． 修改规则不惟一．如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．反思：通过列表可求出小明和小亮获胜的概率．因为95和94的分母相同，考虑到５和４的最小公倍数是２０，所以若两次转出颜色相同或配成紫色，小明得２０÷５＝４分，否则小亮得２０÷４＝5分，这样可让小明和小亮的平均得分均为920分．当然用５和４的其他公倍数，如４０，６０等也可．例２．（内蒙古包头市）小刚和小明玩抛掷硬币游戏．其规则是：两人轮流同时．．抛掷三枚均匀的硬币，如果掷得“两正一反”，那么小刚得６分，否则小明得４分．（１）试用列举法（列表法或画树状图）分析并求出同时．．抛掷三枚均匀的硬币出现“两正一图１反”的概率；（２）按照现在的游戏得分规则，你认为该游戏对两人是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一种得分方式，使这个游戏对两人都公平，并说明理由．解：（１）树状图如图：正 反正 反 正 反正 反正 反 正 反正 反因为同时抛掷三枚硬币共有８种结果，其中出现“两正一反”的情况有三种，所以“两正一反”的概率为83． （２）不公平．因为当重复抛掷很多次后，平均每８次中有３次出现“两正一反”，而有５次出现的不是“两正一反”．于是平均每８次中，小刚可得６×３＝１８（分），小明可得４×５＝２０（分），所以该游戏对两人不公平．若规定掷得“两正一反”小刚得５分，否则小明得３分，这时该游戏对双方公平，因为小刚与小明得分的概率比为３：５，所以设定得分比为５：３，双方得分相同．反思：本题是根据平均得分判断游戏公平性的．修改规则也是根据概率83和85的分子３和５的最小公倍数１５来确定的，１５÷３＝５，１５÷５＝３，从而设定得分比为５：３，双方得分相同．二、通过观察表中数据个数确定新的游戏规则 例３．（内蒙古鄂尔多斯）如图２，有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ，Ｂ．转盘Ａ被平均分成3等份，分别标上１，２，３三个数字；转盘Ｂ被平均分成4等份，分别标上３，４，５，６四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘Ａ与Ｂ，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜．你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？解：不公平．列 表P ∵（和为6）31124==，∴Ｐ（和不为6）＝１－41＝43，从而甲、乙获胜的概率Ａ Ｂ图２不相等，∴不公平．规则改为：和是6或7，甲胜，否则乙胜．反思：用列表法知有１２种等可能结果，易求出相应的概率．而和是6或7的共有６种情况，其概率为６÷１２＝21，这样甲、乙获胜概率各占21，游戏对双方公平．考虑到表中奇数和偶数各占一半，规则也可修改为：和是奇数，甲胜，否则乙胜．又表中和小于７的有６种情况，和不小于（大于或等于）７的也有６种情况，故规则还可修改为：和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜等．例４．（宁夏）如图３，有两个质地均匀的转盘Ａ、Ｂ，转盘Ａ被４等分，分别标有数字１，２，３，４；转盘Ｂ被３等分，分别标有数字５，６，７．小强与小华用这两个转盘玩游戏，小强说：“随机转动Ａ、Ｂ盘各一次，转盘停止后，将Ａ、Ｂ转盘的指针所指的数字相乘，积为偶数我赢；积为奇数你赢．”（１）小强指定的游戏规则公平吗？通过计算说明理由． （２）请你只在转盘．．．．Ｂ．上修改其中一个数字．．．．．．．．．，使游戏公平．Ａ Ｂ图３Ｐ（小强获胜）＝12＝3． （２）修改方案：将数字６改成奇数．反思：本题限定了规则修改的方式，表面看来难度更大．但只要注意到转盘Ｂ上的数字５和７与１，２，３，４分别相乘，奇数和偶数各占一半，知将数字６改成奇数即可．利用数字相乘的奇偶性也可解决这一问题：因为１，２，３，４中奇数和偶数各占一半，与偶数相乘的积都为偶数，与奇数相乘的积奇偶数各占一半，故可将数字６改成奇数．三、根据给定的概率确定新规则 例５．（辽宁大连西岗）如图４，放在平面直角坐标系中的正方形ＡＢＣＤ的边长为4，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子（如图５，它有四个顶点，各顶点数分别是1、2、3、4）．每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点Ｑ的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． ⑴求点Ｑ落在正方形面上（含边界，下同）的概率．⑵将正方形ＡＢＣＤ平移数个单位，是否存在一种平移，使点Ｑ落在正方形面上的概率为41，若存在，指出其中的一种平移方式，若不存在，说明理由．解：（１）抛掷一枚均匀的正四面体骰子，点Ｑ的坐标有１６种等可能结果：（１，１），（１，２），（１，３），（１，４）；（２，１），（２，２），（２，３），（２，４）；（３，１），（３，２），（３，３），（３，４）；（４，１），（４，２），（４，３），（４，４）．若设正方形面上的点的坐标为（x ,y ）,则－１≤x ≤３，－１≤y ≤３，所以点Ｑ落在正方形面上（含边界）有９种可能（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，２），（３，３），故点Ｑ落在正方形面上（含边界）的概率为：９÷１６＝169． （２）可以．例如，把坐标系先向上平移２个单位，再向左平移１个单位，这时点（１，１），（２，１），（３，１），（４，１）在正方形面上，其概率为：４÷１６＝41． 反思：（１）要求点Ｑ落在正方形面上（含边界）的概率，必须求出点Ｑ的坐标有多少种等可能结果以及点Ｑ落在正方形面上（含边界）有几种可能结果．（２）若点Ｑ落在正方形面上的概率为41，则必须使点Ｑ落在正方形面上（含边界）的可能结果有４种．（３）本题将坐标、平移和概率结合在一起，新颖独特，且第二问结论开放，答案不唯一，还可以上１右１，或上１左２，或下１左１，或下１右２等．四、通过面积关系确定新的游戏规则例６．(广东梅州)小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图６是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．（2）请你在图７中，设计一个不同于图６的方案，使游戏双方公平． 解：（1）这个游戏公平．根据图6的对称性，阴影部分的面积等于圆 面积的一半， ∴这个游戏公平．（2）把图７中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略）反思：判断游戏是否公平的依据是取胜的概率是否图６图７图５43 21 图４相等,所以首先应该计算阴影部分的面积，而本题的第（1）小题根据圆的对称性可直接作出判断，不必计算．第（2）小题抓住圆的对称性，将同心圆的面积平分即可轻松解决问题． 以下几题供练习：１．（陕西）有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ、Ｂ，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图８所示，规则如下：①分别转动转盘Ａ、Ｂ；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． 图８（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．２．（辽宁省十一市）有两个可以自由转动的均匀转盘Ａ，Ｂ，均被分成4等份，并在每份内都标有数字（如图９所示）．李明和王亮同学用这两个转盘做游戏．阅读下面的游戏规则，并回答下列问题：（1）用树状图或列表法，求两数相加和为零的概率；（2）你认为这个游戏规则对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则中的赋分．．标准，使游戏变得公平． ３．（山西太原）有一块表面是咖啡色、内部是白色、形状是正方体的烤面包．小明用刀在它的上表面、前面面和右侧表面沿虚线各切两刀（如图10），将它切成若干块小正方体形面包（如图11）．（1）小明从若干块小面包中任取一块，求该块面包有且只有两个面是咖啡色的概率； （2）小明和弟弟边吃边玩．游戏规则是：从中任取一块小面包，若它有奇数个面为咖啡色时，小明赢；否则，弟弟赢．你认为这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使之公平．（图９）ＡＢ图10图11４．（贵州贵阳）桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同，把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？ 参考答案：１．（１）数字之积为3的倍数的概率为95；数字之积为5的倍数的概率为93． （2）这个游戏对双方不公平．∵小亮平均每次得分为910952=⨯（分）， 小芸平均每次得分为99933=⨯（分），而1910≠，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．２．解：（1）树状图或列表法（略），和为0的概率为41164P ==． （2）不公平．李明平均每次得分：11242⨯=（分）；王亮平均每次得分：33144⨯=（分）． 1324< ，∴不公平．修改游戏规则中的赋分标准为：如果和为0，李明得3分，王亮不得分；如果和不为0，李明不得分，王亮得1分．３．解：（1）按上述方法可将面包切成27块小面包，有且只有两个面是咖啡色的小面包有12块，124279=．所以，所求概率是49． （2）27块小面包中有8块是有且只有3个面是咖啡色，6块是有且只有1个面是咖啡色．从中任取一块小面包，有且只有奇数个面为咖啡色的共有14块，剩余的面包块共有13块．小明赢的概率是1427，弟弟赢的概率是1327． 所以，按照上述规则弟弟赢的概率小于小明赢的概率，游戏不公平．游戏规则修改举例：任取一块小面包，恰有奇数个面为咖啡色时，小明得13分；恰有偶数个面为咖啡色时，弟弟得14分．积分多者获胜．４．解：（1）列表（略），Ｐ（数字之和为5）＝41． （2）因为Ｐ（甲胜）＝41，Ｐ（乙胜）＝43， ∴甲胜一次得12分，要使这个游戏对双方公平，乙胜一次得分应为：１２÷３＝４（分）．。