6-选修2-2导数及其应用知识点总结
人教版高中数学选修2-2知识点汇总
人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
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3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
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数学选修 2-2 数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？ 答：形如 a．+．b．i．的数叫做复数，其中 i 叫虚数单位， a 叫实部， b 叫虚部，数集
C = a + bi | a,b R 叫做复数集。
规定：a + bi = c + di a．=．c．且．b．=．d．，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相
和综合法常结合使用，不要将它们：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法
个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？ 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质 1
b
1dx = b − a
a
性质 5
若 f (x) 0,
特别地：
b
kf (x)dx = k
a
b f (x)dx(k为常数)
a
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
人教a版数学【选修2-2】第1章《导数及其应用》归纳总结课件
3 1 ∴x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号， 结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ＝ 4a2－4a＝4a(a－1)≤0， ∵a＞0，知0＜a≤1. ∴a的取值范围为(0,1]．
1 2 5．(2014· 成都质量检测)已知函数f(x)＝－2x ＋2x－aex. (1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值， 1 1 即g(x)min＝－e3，所以a≤－e3， 1 即实数a的取值范围是(－∞，－e3]．
典例探究学案
1 2 [解析] (1)当a＝1时，f(x)＝－2x ＋2x－ex， 1 2 3 则f(1)＝－2×1 ＋2×1－e＝2－e， f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e， 3 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－( 2 －e)＝(1－e)(x 1 －1)，即y＝(1－e)x＋2.
ex· 1＋ax2－2ax [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝ .① 1＋ax22 4 (1)当a＝3时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得x1＝2，x2＝2.
结合①，可知 x f ′( x ) f ( x) 1 (－∞，2) ＋ 1 2 0 极大值 1 3 (2，2) － 3 2 0 极小值 3 (2，＋∞) ＋
1.(2014· 黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝ ( ) A．e2 ln2 C． 2 B．e D．ln2
[答案] B [解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
高中数学选修2-2最全知识点汇总
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 内
(1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;
3.导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则 ；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若 为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
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19 反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确， 即所求证命题正确。反证法的思维方法:正难则反。矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾． 20 常见的“结论词”与“反义词”
常见的导数和定积分运算公式:若 f x， g x均可导（可积），则有：
和差的导数运算 积的导数运算 商的导数运算 复合函数的导数 微积分基本定理
和差的积分运算
积分的区间可加性
-1-
六安一中东校区高二数学选修 2-x)的导数 f '(x) ②令 f '(x) >0,解不等
证明当 n=k+1 时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数
n
都正确
新疆 王新敞
[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
b
f (x)dx
a
a
c1
ck
11 定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，
也可能取负值，还可能是 0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，
定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时， 定积分的值取负值，且等于 x 轴上方图形面积的 相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于 位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值 为 0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积．
原结论词
反义词
数学选修2导数知识点总结
数学选修2导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它是函数在某一点上的变化率，反映了函数在这一点的斜率。
在数学选修2课程中，学生需要掌握导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等知识点。
本文将对这些知识点进行详细的总结和讲解。
一、导数的定义1.1 导数的基本概念导数在数学上的定义是函数在某一点处的变化率。
一个函数在某一点的导数可以理解为该函数在这一点附近的线性近似。
具体地，对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f在x处的导数为f'(x)。
导数的几何意义可以理解为函数在这一点处的切线斜率，也可以理解为对应点的瞬时速度。
1.2 导数的定义公式对于函数y=f(x)，它在点x处的导数可以通过极限的定义来求得。
导数的定义公式如下：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中h表示自变量的微小变化，当h趋近于0时，就可以计算得到函数在点x处的导数f'(x)。
1.3 导数的几何解释对于函数y=f(x)，它在点x处的导数f'(x)表示了函数图像在这一点处的切线斜率。
也就是说，如果我们在点(x, f(x))处画一条切线，那么这条切线的斜率就是函数在这一点的导数。
1.4 导数的物理意义对于描述物体运动的函数，它导数的物理意义可以理解为对应点的瞬时速度。
例如，对于位置函数s(t)，它的导数s'(t)就表示了物体在时刻t的瞬时速度。
二、求导法则2.1 导数的基本运算法则对于一些基本的函数，我们可以通过一些简单的法则来求导。
这些基本运算法则包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
2.2 基本导数法则的总结常数函数f(x)=c（c为常数）的导数为f'(x)=0幂函数f(x)=x^n（n为常数）的导数为f'(x)=nx^(n-1)指数函数f(x)=a^x（a为常数且不等于1）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x三角函数f(x)=sin(x)的导数为f'(x)=cos(x)反三角函数f(x)=arcsin(x)的导数为f'(x)=1 / sqrt(1 - x^2)2.3 复合函数的求导对于复合函数，我们可以利用链式法则来求导。
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选修2-2 导数及其应用知识点总结
1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆x
f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率能够看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x
x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
6、常见的导数运算公式：若()f x ，()g x 均可导，则有：
6.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；。