几个常用统计分布

根据 分布的可加性知 n
2
Xi
i 1
n
2
2 ( n)分布的概率密度曲线如 图.
n 1 ~ , . 2 2
2 分布的性质
性质1 ( 分布的可加性 )
2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).
由中心极限定理得
n
lim P{
n
2 n
2n
lim P { x} n
i 1
2 X i n
n
n
x}
x
1 2
e dt
t2
2
即 2分布的极限分布是正态 分布, 也即, 当n很大时
近似 n 2 近似服从 N (0,1).进而 n ~ N (n,2n). 2n 2 n
2
2
Y
i 1
n2
i
分别是这两
或 ( X Y ) ( 1 2 )
2 12 / n1 2 / n2
~ N (0,1)
2 2. 分布
定义 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，均服从 N (0, 1) 分布, 则称统计量 ＝X X X 服从自由
C i X i ~ N ( C i ,
i 1 n n 2 2 C i ). i 1 n
的样本 , 则样本的任一确定的线 性函数
i 1
其中 C 1 , C 2 , , C n为不全为零的常数 .
推论2
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本 , X 是样本均值 , 则有 X ~ N ( , 2 / n ).
例1 设 X 1 , X 2 , , X 6为来自正态总体 N ( 0,1)的一组 样本 , 求 C1 , C 2使得 Y C1 ( X 1 X 2 ) 2 C 2 ( X 3 X 4 X 5 X 6 ) 2 服从 2分布 .
解
同理
X1 X 2 X 1 X 2 ~ N (0,2), 则 ~ N (0,1) 2
第6.3节
几个常用统计分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结
一、常见分布
1.正态分布
定理 设 r.vX 1 , X 2 , , X n 相互独立, 且 X i ~ N ( i , i )
2
(i 1, 2, , n)
n n
则它们的任一确定的线性函数

i 1
n
Ci X i ~ N ( Ci i , Ci2 i2 ).
2 2
又因为 X i ~ N ( 0, 1),
即 X i2
1 1 ~ , , i 1, 2, , n. 2 2
由定义 X i2 ~ 2 (1),
因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立 ,
2 2 所以 X 12 , X 2 , , X n 也相互独立 ,
推论3 设 X 1 , X 2 , , X n 与 Y1 , Y2 , , Yn 分别是
1 2
来自两个独立的正态总 体 N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 ) 1 n1 1 的样本, 设 X X i , Y n1 i 1 n2 个样本的均值, 则有
2 12 2 X Y ~ N ( 1 2 , ) n1 n2
2 性质3 设 2 n ~ ( n ), 则对任意 x , 有
lim P{
n
n 2n
2 n
x x}
n
1 2
e dt
t2
2
2 证明 由假设和定义, n X i2 , 其中X 1 , X 2 , , X n i 1
独立且每个X i ~ N (0,1),因而X 12 , X 22 , , X n2独立同分布, 且 E ( X i2 ) 1, D( X i2 ) 2 ( i 1,2, , n)
证明
2
因为 X i ~ N ( 0, 1), 所以 E ( X i 2 ) D( X i ) 1,
4 2
D( X i ) E ( X i ) [ E ( X i )]2 3 1 2, i 1, 2, , n.
n n 2 2 2 故 E ( ) E X i E ( X i ) n, i 1 i 1 n n 2 2 2 D ( ) D X i D ( X i ) 2 n. i 1 i 1
n
n
n
D( Ci X i ) C D( X i ) Ci2 i2
i 1 i 1 2 i i 1
n
n
n
所以
2 2 C X ~ N ( C , C i i i i ii ) i 1 i 1 i 1 n n n
推论1
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N ( , 2 )
X X S/ n / n
( n 1) S ~ t ( n 1). 2 (n 1)
2
定理 设 X 1 , X 2 , , X n1 与 Y1 , Y2 , , Yn2 分别是来自
2 两个正态总体 N ( 1 , 12 ), N ( 2 , 2 )的样本 , 且这
i 1 i 1
其中C1 , C2 , , Cn为不全为零的常数.
证明 由于X 1 , X 2 , , X n 独立且均为正态变量, 故他们的线性函数 C i X i 仍为正态变量, 又
i 1 n
E ( C i X i ) C i E ( X i ) C i i
i 1 i 1 i 1
由
(n1 1) S12

2
~ 2 (n1 1),
2 (n2 1) S2

2
~ 2 (n2 1),
且它们相互独立 , 故由 2 分布的可加性知
V
(n1 1) S
2
2 1

2 (n2 1) S2
2
~ 2 ( n1 n2 2),
由于 U 与 V 相互独立 , 按 t 分布的定义 U V /( n1 n2 2) ( X Y ) ( 1 2 ) ~ t ( n1 n2 2). 1 1 Sw n1 n2
X3 X4 X5 X6 4 ~ N (0,1)
X 3 X 4 X 5 X 6 ~ N (0,4), 则
X3 X4 X5 X6 X1 X 2 与 相互独立 且 4 2
X1 X 2 2 X 3 X 4 X 5 X 6 2 ) ~ 2 ( 2) 所以( ) ( 4 2

1
2 2 ( X X ) ~ (n 1); i 2 i 1
n
3. t 分布
定义 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 ( n), 且 X , Y 独立 , X 则称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t Y /n 分布, 记为 T ~ t (n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t ( n) 分布的概率密度函数为
3. F分布
定义
设 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), 且X , Y 独立, 则
X / n1 称随机变量 F 服从自由度为 ( n1 , n2 ) 的 F 分布, Y / n2 记为 F ~ F (n1 , n2 ).
F ( n1 , n2 )分布的概率密度为
n1 n1 2 1 n n n 1 2 1 2 y 2 n2 , y0 n1 n2 ( y) n1 n2 n1 y 2 1 2 2 n2 其它 0,
2 n 2 1 2 2 2 n
自由度 :
度为 n 的 分布, 记为 n ~ (n).
2 2 2
指 n X X X 中右端包含独立
2 1 2 2 2 n
2
变量的个数 .
定理
2 (n)分布的概率密度为
n x 1 1 2 2 x e x0 n 2 n p( x ) 2 ( ) 2 其它 0 1 1 2 证明 因为 (1) 分布即为 , 分布,
2
定理
设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 N ( , ) 的
2
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有 X ~ t ( n 1). S/ n X ~ N (0,1), 证明 / n
(n 1) S 2

2
~ 2 (n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
( X Y ) ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2), 1 1 Sw n1 n2 (n1 1) S (n2 1) S 2 其中 S , Sw Sw . n1 n2 2
2 w 2 1 2 2
2 2 证明： 因为 X Y ~ N 1 2 , n n 1 2 ( X Y ) ( 1 2 ) 所以 U ~ N ( 0,1), 1 1 n1 n2
2
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设 i2 ~ 2 ( ni ), 并且 i2 ( i 1, 2,, m ) 相互 独立 , 则 i2 ~ 2 ( n1 n2 nm ).
i 1 m
性质2 ( 2分布的数学期望和方差 )
若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
性质2 设 T ~ t (n) 则
n
2 此性质说明，当 n 时，T分布的极限
分布是标准正态分布。
lim p (t )
1
e
t2 2
例2 设X ~ N ( , ),
2
Y
X T Y n 的概率分布.

2
~ (n), 且X , Y相互独立 , 试求
2
X 解 因为X ~ N ( , ), 所以 ~ N (0,1) Y X Y 2 又 2 ~ ( n), 且X , Y 独立, 则 与 2 独立, 由定义得 X (X ) / T ~ t ( n) Y n (Y / 2 ) / n
n 1 n 1 2 2 t 2 h( t ) 1 , t n n πn 2
t分布的概率密度曲线如 图
显然图形是关于 t 0对称的 . 当n充分大时, 其图 形类似于标准正态 变量概率密度的图 形.
1 因为 lim h( t ) e n 2π
t2 2
,
所以当 n足够大时 t分布近似于 N ( 0,1)分布 ,
但对于较小的 n , t分布与 N ( 0,1)分布相差很大 .
t 分布具有下列性质： 性质1
n 2 时有 设T ~ t (n) , 则当
E (T ) 0
n D (T ) n2 p ( t ) 是T的分布密度， ，
1 1 两个样本互相独立 , 设 X X i , Y n1 i 1 n2 别是这两个样本的均值 ,
2 1 n1 n2
n1
Y
i 1
Leabharlann Baidu
n2
i
分
1 1 2 2 2 S ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 i n1 1 i 1 n2 1 i 1 分别是这两个样本的样本方差, 则有
则C1 1 2 , C 2 1 4 .
关于正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和 样本方差有以下重要定 理 . 定理
设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 N ( , 2 ) 的样本 , 分别是样本均值和样本方差, 则有 (1) (n 1) S
2
X , S2
2 (2) X 与 S 2独立.