几个常用统计分布
数理统计分布类型
数理统计分布类型数理统计是数学和统计学的交叉学科，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和原则。
其中，分布类型是数理统计的重要概念之一。
统计分布是指一组数据按照一定规律的分布情况，根据数据分布的形状和特点，可以将统计分布分为不同的类型。
常见的数理统计分布类型有正态分布、均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、几何分布、指数分布、正态分布、t分布和F分布等。
以下将逐一介绍这些常见的分布类型。
1.正态分布：正态分布（或高斯分布）是数理统计中最常见的一种分布类型。
正态分布的密度函数呈钟形曲线，对称且具有峰值，其分布的均值、方差决定了曲线的位置和形状。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如身高、体重、考试成绩等。
2.均匀分布：均匀分布是指数据在给定区间内的分布是均匀的，即每个数据点出现的概率相等。
均匀分布的密度函数是一个常数，对应的分布函数是线性的。
均匀分布常用于模拟随机数产生、建立实验设计等领域。
3.伯努利分布：伯努利分布是一种离散型的分布，只有两个可能的取值（例如0和1），其中一个取值的概率为p，另一个取值的概率为1-p。
伯努利分布常用于描述二项式试验中的成功和失败的概率。
4.二项分布：二项分布是由多次独立的伯努利试验组成的概率分布，其中每个试验只有两个可能的结果（例如成功和失败）。
二项分布可以用于描述多次独立重复试验中成功次数的分布情况。
5.泊松分布：泊松分布是一种用于描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布。
泊松分布假设事件以恒定的平均速率独立地发生，其参数λ表示单位时间或空间内事件的平均发生次数。
6.几何分布：几何分布是一种描述第一次成功发生需要的独立试验次数的概率分布。
每次试验只有两个可能的结果（例如成功和失败），成功的概率为p，几何分布描述了第一次成功发生之前需要进行的试验次数的分布情况。
7.指数分布：指数分布是描述时间间隔或空间间隔的分布，它的特点是具有无记忆性。
指数分布可以用于描述等待时间、服务时间、设备故障时间等。
五个数据分布类型及实例 -回复
五个数据分布类型及实例-回复数据分布是指数据在整体上呈现出的规律或特征。
不同的数据集可能呈现出不同的分布类型，而了解和理解这些分布类型可以帮助我们更好地分析和解释数据。
本文将介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例来帮助读者更好地理解这些概念。
第一种数据分布类型是正态分布，也被称为高斯分布。
正态分布是统计学中最常见的分布类型之一，它的形状呈现出钟形曲线。
在正态分布中，平均值、中位数和众数都是相等的，且曲线关于平均值对称。
一个典型的正态分布的例子是身高分布。
在一个大样本中，大多数人的身高都聚集在平均值附近，然后逐渐减少，直到达到极端的身高。
这个分布通常受到遗传、环境和营养等多种因素的影响。
第二种数据分布类型是偏态分布，也被称为斜态分布。
在偏态分布中，数据的分布形成一个长尾，其中一个尾部更长或更重，使曲线形状不对称。
一个例子是收入分布。
在许多国家和地区，大多数人的收入聚集在较低的水平上，而只有少数人的收入非常高。
这导致了偏态分布，其中大部分数据集中在左侧，右侧的数据则呈现出较长的尾巴。
第三种数据分布类型是均匀分布，也被称为矩形分布。
在均匀分布中，数据在整个范围内的出现频率是相等的，没有明显的高点或低点。
一个例子是掷骰子的结果。
假设我们投掷一个公正的六面骰子，每个面的结果出现的概率相等。
在大量的掷骰子试验后，每个面的出现频率将趋近于相等，这意味着结果呈现出均匀分布。
第四种数据分布类型是二项分布，用于描述在一系列独立的是/非实验中的成功次数。
二项分布是离散性的，其形状由两个参数决定：成功的概率和试验次数。
一个实例是硬币的正面朝上概率。
假设我们有一个公正的硬币，进行了10次独立投掷的实验，我们想知道正面朝上的次数。
这种情况下，我们可以使用二项分布来描述正面朝上次数的分布。
第五种数据分布类型是泊松分布，用于描述一段时间或空间内某事件发生的次数。
泊松分布是离散分布，它的形状由一个参数决定，即事件的平均发生率。
一个例子是某地区每小时发生的交通事故次数。
6.2数理统计中几种常用的分布
一、 2 分布
二、t 分布
三、F分布
1
一、 2 分布
2分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义: 设 X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量：
2
X12
X
2 2
Xn2
所服从的分布为自由度为 n 的 2 分布.
记为 2 ~ 2 (n)
2 0.05
(10
)，
2 0.1
(20
)。
解：从附表 5查得
2 0.05
(10
)
18
.307
，
2 0.1
(20
)
28
.412，
5
二、t 分布 定义: 设X～N(0,1) , Y～ 2(n), 且X与Y相互
独立，则称变量 T X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为T～t(n).
6
t分布的分位点
F F1 (n1, n2 )
所以 P{ 1
1 }
F F1 (n1, n2 )
又因为 1/ F ~ F(n2,n1)， 所以 F
即 F1 (n1, n2 ) 例： F0.95(12,9)
1 F (n12 , n1) F0.05 (9,12)
1 (n2,n1) F1 (n1, 1 0.357
2.80
2
由 2分布的定义，不难得到：
1. 设X1, X2, , Xn 相互独立, 都服从正态分布
N (, 2 ), 则
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~ 2 (n)
2. 设X1 ~ 2 (n1), X 2 ~ 2 (n2 ),且X1,X2相互
常用的统计分布
(419)
则Z的密度函数为
f
(x;
m,
n)
1 B(m,
n)
(m)(m nn
m
x) 2
1(1
m
n
x) 1(mn) 2
x0
(420)
22
其中
B(
p,
q)
1
0x
p1(1
x)q1dx
(
p
0,
q
0)
是
B(贝塔)函数
如果随机变量X的密度函数由(420)给出 则称X服从第
一自由度为m 第二自由度为n的F分布 记作X~F(m n)
n
22
1 ( n )
n 1 1 x
x2 e 2 ,
2
(x 0)
则称X服从以n为自由度的2分布 记作X~2(n)
说明
根据命题41 若X1 X2 Xn是n个相互独立的标准 正态随机变量 则
X
X12
X
2 2
X
2 n
~
2(n)
9
定义46(2分布)
如果随机变量X的密度函数为
2 (x; n)
n
22
n)
1 B(1 ,
n)
1
(1
x2 )
n1 2
x
nn
22
则称X服从自由度为n的t分布 记作X~t(n)
当自由度n很大时 t分布接
近于标准正态分布 这是因为
lim(1
x2
)
n1 2
e
1 x2 2
n n
19
t分布的分位数
附表5对于一些充分小的值给出了t分布的水平的上
侧分位数t(n)之值 当X~t(n)时 有
常见统计分布及其特点
常见统计分布及其特点统计分布是描述数据集合中数据分布情况的一种方法。
统计学中存在着很多常见的统计分布，每个分布都具有其独特的特点和应用领域。
以下是一些常见的统计分布及其特点的介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它的特点是呈钟形曲线，对称分布，均值和标准差完全决定了其形状。
正态分布有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是指在一系列独立的试验中，每次试验只有两个可能的结果：成功或失败。
每次试验的成功概率由固定的参数p确定。
二项分布的特点是具有两个参数n和p，其中n为试验的次数，p为每次试验的成功概率。
二项分布在生物学、医学、工程等领域中经常被使用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间内事件发生的次数的概率分布。
这个分布有一个参数λ，表示单位时间内事件的平均发生率。
泊松分布的特点是时间间隔内事件的数量是不确定的，但平均发生率λ是已知的。
泊松分布在物理学、生物学、通信技术等领域中被广泛应用。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指在一个有限的区间内，每个数出现的概率相等。
均匀分布的特点是概率密度函数在区间内是常数。
均匀分布在模拟、随机数生成等领域中经常被使用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布用于描述一个事件发生之间的时间间隔的概率分布。
指数分布的特点是具有一个参数λ，表示事件的平均发生率。
指数分布在可靠性工程、生物学、等领域中被广泛应用。
6. t分布（t Distribution）t分布是用于小样本情况下的假设检验和置信区间估计的重要分布。
与正态分布相比，t分布的尾部更厚，更适合于小样本情况的推断。
t分布在统计学中常用于处理样本容量较小的情况。
7. F分布（F Distribution）F分布是用于分组之间方差的比较的一种分布。
数理统计中几种分布之间的关系
数理统计中有几种常见的概率分布，包括正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在实际应用中有着重要的意义，它们之间的关系也是数理统计中的一个重要内容。
1. 正态分布正态分布是自然界和社会现象中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线，呈现出中间高、两端低的特点。
正态分布有着许多重要的性质，比如均值和标准差能够完全描述一个正态分布。
在实际应用中，正态分布可以用来描述许多自然现象，比如身高、体重等。
另外，中心极限定理告诉我们，大量独立同分布的随机变量之和的分布趋于正态分布。
2. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述少量成功事件在长时间内发生的情况。
泊松分布的参数是平均发生率λ，它决定了事件发生的概率。
泊松分布在实际应用中被广泛运用，比如描述单位时间内接到的通信方式数、一段时间内发生的交通事故数等。
3. 指数分布指数分布是描述事件发生间隔时间的概率分布，它是泊松分布的补充。
指数分布的参数是事件发生率λ，它与泊松分布的参数相互关联。
指数分布常用来描述无记忆性的随机变量，比如设备的寿命、服务时间间隔等。
数理统计中，这三种分布之间存在着密切的联系。
正态分布和泊松分布在一定条件下可以近似互相转化。
当事件发生率λ趋向无穷大时，泊松分布将近似于正态分布。
而在一些特殊情况下，指数分布也可以退化为泊松分布。
这三种分布之间并不是孤立存在的，它们在一定条件下是相互联系、相互激发的。
在我的理解中，这三种概率分布之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的相关知识。
通过对它们之间关系的深入了解，我们可以更准确地选择合适的分布来描述实际问题，从而提高统计分析的准确性和实用性。
总结起来，正态分布、泊松分布和指数分布是数理统计中常见的概率分布，它们之间存在着密切的联系。
深入理解它们之间的关系有助于我们更好地应用统计学知识，提高数据分析的准确性和实用性。
希望通过本篇文章的阐述，能为读者带来一些启发和帮助。
统计学常用分布
统计学常用分布一、引言在统计学中，分布是描述数据变化规律和概率的重要工具。
不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
本篇文章将介绍统计学中常用的几种分布，包括正态分布、二项分布与泊松分布、指数分布与对数正态分布、卡方分布与t分布等。
二、正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，它在自然现象、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。
正态分布的曲线呈钟形，数据值集中在均值附近，随着远离均值，概率逐渐减小。
正态分布在统计学中具有重要地位，许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
三、二项分布与泊松分布1.二项分布：二项分布是用来描述伯努利试验中的随机事件的概率分布，其中每次试验只有两种可能的结果，并且每次试验都是独立的。
二项分布适用于计数数据，尤其在生物实验和可靠性工程等领域有广泛应用。
2.泊松分布：泊松分布是二项分布在伯努利试验次数趋于无穷时的极限形式，常用于描述单位时间内随机事件的次数。
泊松分布在概率论和统计学中具有重要地位，广泛应用于保险、通信和生物医学等领域。
四、指数分布与对数正态分布1.指数分布：指数分布描述的是随机事件之间的独立间隔时间或者随机变量的概率分布。
指数分布常用于描述寿命测试和等待时间等问题，例如电话呼叫的间隔时间和电子元件的寿命等。
2.对数正态分布：对数正态分布在统计学中用于描述那些其自然对数呈正态分布的随机变量。
许多生物学、经济学和社会科学中的数据都服从对数正态分布，例如人的身高、体重以及股票价格等。
五、卡方分布与t分布1.卡方分布：卡方分布在统计学中主要用于描述离散型概率分布。
卡方分布是通过对两个独立的随机变量进行平方和运算得到的，常用于拟合检验和置信区间的计算。
2.t分布：t分布在统计学中广泛应用于样本数据的参数估计和假设检验。
相比于正态分布，t分布在数据量较小或参数偏离正态性时具有更好的稳定性。
t分布在金融、生物医学和可靠性工程等领域有广泛应用。
六、结论在统计学中，不同的数据类型和问题背景需要采用不同的分布来描述。
三大抽样分布及常用统计量的分布
(n1
1) S12
2
～
2
(n1
1),
(n2
1)S
2 2
2
～
2
(n2
1)
且S12与S22相互独立，由 2分布的性质知
(n1 1)S12
2
(n2 1)S22
2
～ 2 (n1
n2
2)
再由定义3知
T
X
Y Sn
(1
1 n1
1
2
)
～t(n1
n2
n2
- 2)
t 分布的上侧分位点
对于给定的 (0< <1)，称满足条件
X
2 i
.
i2
i4
解 (1) 因为Xi～N(0,1)，i=1, 2, …, n. 所以
X1-X2 ～N(0, 2)，
X
2 3
X
2 4
~
2(2),
X1
X2 2
~
N(0,1),
故
X1 X2
X
2 3
X
2 4
(X1
X
X 2)
2 3
X
2 4
2
～t(2).
2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单
/2
/2
- t/2(n) O t/2(n) t
图5-8
在附表4 (P256)中给出了t分布的临界值表.
例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，
t0.05(15)= 1.753
t0.05/2(15)= 2.131
其中t0.05/2(15)由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得.
第3节 常用统计分布(三个常用分布)
例2
设X
~
N
(
,
2
),
Y
2
~
2 (n),且X ,Y相互独立,
试求 T X 的概率分布.
Yn
解 因为X ~ N(, 2),所以 X ~ N(0,1)
又Y
2
~
2 (n),且X ,Y独立,则
X
与Y
2
独立,
由定理得
T (X ) / X ~ t(n) (Y / 2) / n Y n
n
事实上，它们受到一个条件的约束：
Xi nX
i 1
n
i 1
Xi
X
1
n
(
i 1
Xi
nX )
1
0
0.
例1
设X1 ,
X 2 ,
,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
2
4
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
3. t 分布 定义 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 (n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X 服从自由度为 n Y /n
的 t 分布, 记为T ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t(n) 分布的概率密度函数为
2. 2分布（卡方分布）
定义、设 X1, X 2 ,L , X n 相互独立，同服从 N (0, 1)
常见统计分布及其特点
附录一常见分布汇总一、二项分布二项分布Binomial Distribution,即重复n次的伯努利试验Bernoulli Experiment,用ξ表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是;二、泊松poisson分布1、概念当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np;通常当n≧10,p≦时,就可以用泊松公式近似得计算;2、特点——期望和方差均为λ;3、应用固定速率出现的事物;——在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客,以固定的平均瞬时速率λ或称密度随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间面积或体积内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布三、均匀分布uniform设连续型随机变量X的分布函数Fx=x-a/b-a,a≤x≤b则称随机变量X服从a,b上的均匀分布,记为X~Ua,b;四、指数分布Exponential Distribution1、概念2、特点——无记忆性1这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害;2无记忆性当s,t≥0时有PT>s+t|T>t=PT>s 即,如果T是某一元件的寿命,已知元件使用了t小时,它总共使用至少s+t小时的条件概率,与从开始使用时算起它使用至少s 小时的概率相等;3、应用在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果五、正态分布Normal distribution1、概念2、中心极限定理与正态分布说明了正态分布的广泛存在,是统计分析的基础中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ^2;有限的任意一个总体中抽取样本量为n的样本,当n充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ^2/n 的正态分布;3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在;4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法ML的理论基础定理一：设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n——总体方差常常未知,用t分布较多六、χ2卡方分布与方差有关chi-square distribution1、概念若n个相互独立的随机变量ξ、ξ、……、ξn ,均服从标准正态分布也称独立同分布于标准正态分布,则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量,其分布规律称为卡方分布chi-squaredistribution,其中参数n称为注意假设随机干扰项呈正态分布;因此,卡方分布可以和RSS残差平方和联系起来;用RSS/δ2,所得的变量就是标准正态分布,就服从卡方分布;2、卡方分布的特点1分布的为自由度 n,记为 E = n;这个容易证明2分布的为2倍的自由度2n,记为 D = 2n;3如果互相独立,则：独立可加减服从分布,自由度；服从分布,自由度为3、图形特点4、应用定理二,设X1,X2,X3.;;Xn是来自正态总体Nμ,δ2的样本,则有样本均值X~Nμ,δ2/n1正态分布以及卡方分布是F检验的基础;大量的检验用到了F检验：F检验、三大检验;七、t学生分布用样本方差s来标准化——Student'st-distribution1、概念适用于δ2未知理解把样本标准正态化的U变换前提是方差已知,但总体方差是未知的,所以用样本方差来代替总体方差;根据中心极限定理,抽样服从方差为总体方差除以n 的正态分布;由于在实际工作中,往往σ是未知的,常用s作为σ的估计值,为了与u变换区别,称为t变换,统计量t 值的分布称为t分布u变换指把变量转换为标准正态分布思考为什么样本方差比总体方差要小因为一个是总体方差,一个是样本均值的方差;不同2、特点1与标准正态分布曲线相比,自由度v 越小,t 分布曲线愈平坦,曲线中间愈低,曲线双侧尾部翘得愈高；自由度v 愈大,t 分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度v=∞时,t 分布曲线为标准正态分布曲线;定理三：设X1,X2,X3.;;Xn 是来自正态总体N μ,δ2的样本,则有样本均值X~N μ,δ2/n,S 为样本方差 ）（μ1-n t ~n /S X 注意S 是样本方差;中心极限定理说的是样本均值的方差;八、F 分布F-distribution1、概念F 分布定义为：设X 、Y 为两个独立的随机变量,X 服从自由度为k1的卡方分布,Y 服从自由度为k2的卡方分布,这2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计量的分布2、特点1它是一种非对称分布；2它有两个自由度,即n1 -1和n2-1,相应的分布记为F n1 –1, n2-1, n1 –1通常称为分子自由度, n2-1通常称为分母自由度；3F 分布是一个以自由度和为参数的分布族,不同的自由度决定了F 分布的形状;4F 分布的性质：5残差平方和之比通常与F分布有关;九、逻辑分布logistic分类评定模型——最早应用最广的离散选择模型1、概念2、特点用作增长曲线并为二进制响应建模;在生物统计和经济领域使用;Logistic 分布由尺度和位置参数描述;Logistic 分布没有形状参数,也就是说其概率密度函数只有一个形状;下列图形显示了不同参数值对 Logistic 分布的效应;尺度参数的效应位置参数的效应Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似,但 Logistic 分布的尾部更长;十、伽马分布1、概念——伽玛分布Gamma Distribution是统计学的一种连续概率函数;Gamma分布中的参数α称为形状参数shape parameter,β称为scale parameter;假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间, 密度函数为特征函数为伽马分布的可加性当两随机变量服从Gamma分布,且单位时间内频率相同时,Gamma数学表达式若随机变量X具有概率密度其中α>0,β>0,则称随机变量X服从参数α,β的伽马分布,记作Gα,β.九、extreme value distribution 极值分布十、DF分布与ADF分布——用于时间序列平稳性的单位根检验;八、pareto分布十、weibull分布。
常见统计分布及其特点
常见统计分布及其特点常见的统计分布有：正态分布、均匀分布、二项分布、泊松分布、指数分布等。
1.正态分布：正态分布又称为高斯分布或钟形曲线分布，是最为常见的一种分布。
正态分布具有以下特点：-均值和中位数相等，分布的对称轴对称；-在均值处取得最大值，随着离均值的距离增大，分布的概率逐渐减小；-标准差决定了曲线的宽窄，标准差越大，曲线越宽；-68%的数据落在均值的一个标准差范围内，95%的数据落在均值的两个标准差范围内，99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。
2.均匀分布：均匀分布又称为矩形分布，是最简单的分布之一、均匀分布具有以下特点：-在一个有限的区间内，所有取值的概率相等；-分布曲线呈矩形，具有等宽；-在整个区间上积分等于13.二项分布：二项分布描述了在n次独立的重复实验中，成功的次数的分布情况。
二项分布具有以下特点：-每次实验只有两个可能的结果，成功或失败；-实验之间是独立的；-成功的概率和失败的概率保持不变；-成功的次数符合二项分布。
4.泊松分布：泊松分布描述了一个时间段或区域内随机事件发生的次数的分布情况。
泊松分布具有以下特点：-事件在一个固定时间段或区域内按独立的随机过程发生；-事件在一个极短时间段内发生的概率极低，即发生频率很低；-事件的平均发生次数相对较低。
5.指数分布：指数分布描述了连续发生独立随机事件的时间间隔的分布情况。
指数分布具有以下特点：-事件的发生时间间隔是独立的，事件间的时间间隔符合指数分布；-时间间隔的概率密度递减；-指数分布在实际应用中常用于描述等待时间、生命周期等。
这些统计分布常用于描述和分析随机事件的分布情况。
在实际应用中，我们可以根据样本数据的特点，选择合适的统计分布进行建模和分析。
在统计学中，概率分布函数可以帮助我们理解随机事件的分布规律，有助于对数据进行建模、预测和推断。
常用21个统计分布总结
● Bernoulli ( p ) 伯努利分布说明与例：x 为伯努利试验的结果，当试验成功，则x=1，试验失败则x=0。
可以把伯努利试验理解为抛硬币，x=1为出现正面● Binomial ( n, p ) 二项分布（图以p=0.4,n=5为例）说明与例：x 是重复n 次的伯努利试验结果，即x=试验成功的次数，可以理解为抛n 次硬币，正面出现的次数。
P X x p | ()p x 1p ()1x ; x 01 , ; 0p1EXp , Var Xp 1p ()M X t ()1p ()pe t P X x n | p , ()n x ()p x1p ()nxx 012...n , , , , ; 0p 1EX np , Var X np 1p ()M x t ()pe t1p ()[]n● Multinomial ( m, p 1, ..., p n ) 多项分布图略（因为是联合分布的多维分布）说明与例：多项分布是二项分布的推广，二项分布结果只有两个，而多项分布结果可以有多个，比如仍骰子，x1表示n 次试验点数1出现的次数…x6表示点数6出现的次数。
● Geometric ( p ) 几何分布（图以p=0.4为例）说明与例：得到一次成功而进行的伯努利试验次数n ，即前面失败了n-1次，第n 次成功。
比如x 可以理解为抛硬币，出现正面所抛的次数f x 1...x n , , ()m !x 1!...x n !p 1x1...p nxnm !i 1np i x ix i !ÕP X x p | ()p 1p ()x 1 ; x 12... , , ; 0p 1EX1p, Var X1pp 2M X t ()pe t11p ()et, t log 1p ()-● Hypergeometric超几何分布（以N=10,m=5，n=4为例）说明与例：已知N 个总体中有m 个不合格的产品，现在抽取n 个，出现不合格产品的数量。
几种常用统计量的分布
P{
χ2
χ
2 a
(n)
}
f
a2 (n)
x dx a
的点χa 2(n)称为 χ2 分布单侧 分位点或双侧临界值，如图11-5 所示 .
图11-5
几种常用统计量的分布
定义4
设X ~ N ( ， 2 ) ，样本方差为S 2，则统计量χ2
(n
1)S 2
2
服从自由度为n
1
的χ 2分布，记作
χ2
n
/ n
几种常用统计量的分布
证明
X ~ N ( ， 2 ) ，( X1.，X 2 ， ，X n )是来自总体 X 的样本 ，
X
~
N ( ， 2 )(i 1，2 ，
，n) ，其线性函数 X
1 n
n i 1
Xi
也服从正态分布，即
E X
E1 n
n i 1
Xi
1n E
n i1
Xi
1 n n
(
EX i i 1，2
n) ，
1 n
1
DX
D n
i 1
Xi
n2
n
D Xi
i 1
1 n2 2 (
n2
n
X1 ，X 2 ， X n相互独立) ，
则X ~ N ( ， 2 ) ，故 X ~ N (0 ，1) .
n
/ n
几种常用统计量的分布
例1
解
因为总体 X 服从正态分布N 5 ，9 ，所以 X 服从正态分布N (5 ，9 ) ，故
图11-2
几种常用统计量的分布
显然，f x随着n不同而不同，且f x为偶函数 . 当n 时，有
lim f x
几个常用的分布和临界值
7 2 P X i 4 i 1
解：∵总体为N(0，0.52) ∴Xi～N (0，0.52 ) i=1，2，…，7 Xi 0 1) 从而 0.5 2 X i ～ N (0,
2 (7) 由 分布定 有 ( 2 X i ) 4 X ～
2
7
2
7
i 1
自由度n是指(3.1)式右端的独立变量个数。
2
分布的概率密度为
n x 1 1 x2 e 2, n n f ( x ) 2 2 2 0,
x 0, 其它.
(3.2)
由第二章知， 分布密度函数f ( x)的图像：
2
n 1 分布的密度函数正是参数为2 , 2 的 分布。
t分布的概率密度函数 f ( x)的图像为：
f(x)
f ( x )的图形关于x 0 对称, 当n充分大时,图形接 近于标准正态变量概率密 度的图形.
x f(x)
m
n
m n
x
3. F分布
定义4 设X ~ (m), Y ~ (n), 且X , Y独立，则称随机变量 X /m （3.7） Y /n 服从自由度为m, n的F分布, 记为F ~ F (m, n).其中m称为第一自由 F 度，n称为第二自由度
1－α
t ( n)
t1 (n)
4．F分布的临界值
定义8 对于给定的正数 称满足条件 P{F F (m, n)}
F ( m , n )
f ( x)dx
的实数F (m, n)为F (m, n)分布的临界值. 如图所示：
F分布的临界值 有表可查(见附表5） .
二 几个重要分布的临界值
13种常见的统计分布
9
属性
F分布 F Distribution
连续型分布 用于方差的齐性检验和方差分析
理解
10
属性
Γ分布 Γ Distribution or Gamma Distribution
连续型分布 正偏态分布，常用于正偏态分布的拟合
11
属性
圆形分布 Circular Distribution
离散型分布 用于产品质量检测及流行病学
应用 条件
描述了由有限个物件中抽出 n个物件，成功抽出指定种类 的物件的次数（不归还） 在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品， 抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C(k M）·C(n-k N-M)/C(n N）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为 下限，b为上限
4
属性
Poisson分布 Poisson Distribution
离散型分布 研究稀有事件 （即小概率）的频数分布
单位时间内某事件发生次数的分布，如细菌、血细胞等单
应用
位面积内计数结果的分布 人群中某些发病率很低的传染病、某些恶性肿瘤的患病数 放射医学中放射性核素计数的数据处理 某些疾病的地区或家庭聚焦性
2
属性
负二项分布 Negative Binomial Distribution
离散型分布 用于昆虫学、寄生虫学、微生物学及流行病学
应用 条件
实验包含一系列独立的实验 每个实验都有成功、失败两种结果 成功的概率是恒定的 实验持续到r次成功，r可以为任意正数
3
属性
超几何分布 Hypergeometric Distribution
5
属性
均匀分布 Uniform Distribution
五个数据分布类型及实例 -回复
五个数据分布类型及实例-回复标题：五个数据分布类型及实例详解在统计学中，数据分布是描述一组数据如何分散或集中的方式。
理解不同的数据分布类型对于数据分析、预测和决策制定至关重要。
以下将详细介绍五种常见的数据分布类型，并提供实例进行说明。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布，也称为高斯分布，是最常见和最重要的数据分布类型之一。
其特征是呈现出对称的钟形曲线，其中大部分数据集中在均值附近，而极端值较少。
正态分布有两个重要参数：均值（μ）和标准差（σ），它们决定了曲线的形状和位置。
实例：人的身高是一个典型的正态分布的例子。
在全球范围内，成年男性的平均身高约为175厘米，标准差约为7厘米。
这意味着大多数男性的身高集中在175厘米左右，而极高或极矮的身高则相对较少。
2. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是指所有可能的结果具有相等的概率。
这种分布的数据在一定区间内是均匀分布的，没有特定的集中趋势。
实例：抛硬币的结果就是一个均匀分布的例子。
硬币的两面分别是正面和反面，每次抛硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，没有任何一面更可能出现。
3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布用于描述在n次独立的是/非试验中成功的次数。
每个试验的成功概率为p，失败的概率为q=1-p。
二项分布有两个参数：n和p。
实例：在一项医学研究中，研究人员想要了解某种新药治疗某种疾病的疗效。
他们对100名患者进行了试验，该药物的有效率为80。
那么，在这100名患者中，成功治愈的患者数量就符合二项分布。
4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生的次数。
它只有一个参数λ，表示单位时间（或单位面积、单位体积等）内事件发生的平均次数。
实例：在某个呼叫中心，平均每小时接到的电话数量为10个。
那么，在任意一个小时内，实际接到的电话数量就符合泊松分布。
数学中的统计分布
数学中的统计分布统计分布是数学中一个极为重要和广泛应用的概念，它描述了一组数据在取值上的特征和分布规律。
在统计学中，常用的统计分布包括正态分布、二项分布、泊松分布等等。
这些分布模型有助于我们理解和分析数据的特性，提供了数学工具来支持我们对数据的解读和预测。
一、正态分布正态分布（又称高斯分布）是最经典的统计分布之一，它的概率密度函数是一个钟形曲线。
正态分布的特点是对称、均值与中位数相等、标准差决定曲线的宽窄程度。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域，被广泛认为是描述随机变量的理想模型。
二、二项分布二项分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，成功事件发生的次数的概率分布。
它的概率质量函数在取值为整数的非负范围内有定义，形成了一个离散分布。
二项分布的特点是每次试验成功的概率相同，且各次试验之间互相独立。
三、泊松分布泊松分布描述了在一段时间或空间内，某个确定区域内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数在取值为非负整数的范围内有定义，形成了一个离散分布。
泊松分布的特点是事件的发生是独立的且随机的，平均发生率在一段时间或空间内是固定的。
四、其他常见统计分布除了正态分布、二项分布和泊松分布之外，还有很多其他常见的统计分布模型，如均匀分布、指数分布、伽玛分布等等。
这些分布模型在不同的场景中应用广泛，有助于我们对各类数据的分析和处理。
五、统计分布的应用统计分布在实际应用中有广泛的用途。
在数据分析和统计推断中，我们可以利用不同的统计分布进行假设检验、置信区间估计以及参数估计等。
在风险评估和预测模型构建中，统计分布可以帮助我们建立合适的模型来预测未来的风险和事件发生的概率。
另外，统计分布也在财务管理、工业生产、市场调研等领域起着重要的作用。
例如，在金融领域中，利用正态分布描述资产和收益的分布情况，对风险进行度量和控制。
在工业生产中，可以利用泊松分布对产品的缺陷或故障进行统计建模，从而提高质量和效率。
几种常见的分布
应用
指数分布经常用于描述可靠性工 程、生存分析和排队理论。
正态混合分布
1 定义
正态混合分布是多个正态分布的混合。
2 特征
正态混合分布的概率密度函数是多个正态分布的线性组合。
3 应用
正态混合分布在统计建模中常用于处理复杂的数据分布。
负二项分布
定义
负二项分布描述了在重复的 独立实验中，达到一定数量 的成功之前的失败次数。
几种常见的分布
统计学中有许多不同的分布。其中包括正态分布、二项分布、泊松分布、均 匀分布、指数分布等多种分布。
正态分布
1
定义
正态分布也被称为高斯分布，是自然界
特征
2
中最常见的分布。
正态分布呈钟形曲线，其均值和方差决
定了曲线的位置和形状。
3
应用
正态分布广泛用于统计学和自然科学领 域，具有许多重要的性质。
特征
负二项分布取决于两个参数， 失败的概率和达到成功所需 的次数。
应用
负二项分布用于模拟撞车次 数、机器失效次数以及其他 计数数据。F分布1 Nhomakorabea定义
F分布是两个独立的卡方分布的比值。
特征
2
F分布具有两个自由度参数，用于描述其
形状和尾部重量。
3
应用
F分布经常用于方差分析、回归分析和统 计推断。
二项分布
定义
二项分布描述在重复的独立实验 中，成功和失败的次数。
特征
二项分布取决于两个参数，试验 的次数和成功的概率。
应用
二项分布用于模拟二分类问题和 风险评估。
泊松分布
定义
泊松分布描述了在给定时间内发生事件的次数。
特征
泊松分布是一种离散分布，其均值和方差相等。
poisson分布、t分布、正态分布的参数个数
poisson分布、t分布、正态分布的参数个数一、概述在统计学中，分布是描述随机变量概率分布的重要工具。
其中，Poisson分布、t分布和正态分布是最常用的三种分布。
这三种分布各自有其特点和适用场景，而决定使用哪种分布的关键因素之一就是参数的个数。
二、参数个数1.Poisson分布：Poisson分布是一种描述事件发生次数的概率分布，其参数λ表示单位时间（或单位面积）内事件发生的平均次数。
因此，Poisson分布只有单个参数。
2.t分布：t分布是一种用于统计检验和区间估计的分布，其参数个数取决于自由度（df）的大小。
自由度是用来衡量离中趋势的指标，通常由样本量决定。
因此，t分布通常有两个或两个以上的参数。
3.正态分布：正态分布是最常用的连续概率分布之一，其参数包括均值和标准差。
正态分布有两个参数，即均值和标准差。
三、参数个数对分布的影响1.Poisson分布：由于只有一个参数，Poisson分布适用于描述事件发生次数等确定性的数据。
当数据符合Poisson分布时，可以使用该分布来进行预测、区间估计和假设检验等统计推断。
2.t分布：t分布的参数个数为自由度加一，因此可以根据需要选择不同的自由度来适应不同的情况。
t分布适用于参数具有不确定性的场合，如大样本观测数据的区间估计和统计假设检验等。
在样本量不确定的情况下，t分布也可以用于小样本数据的统计推断。
3.正态分布：正态分布有两个参数，适用于描述连续型随机变量的特征，如均值和标准差。
正态分布在统计学中应用广泛，如数据清洗、数据平滑、假设检验、区间估计等。
四、选择合适的分布在实际应用中，需要根据数据的性质和统计问题的需求来选择合适的分布。
当数据符合Poisson分布的特点时，应使用Poisson分布；当数据具有不确定性和统计假设检验等t分布适用场合时，可以选择t分布；当需要描述连续型随机变量的特征时，可以选择正态分布。
此外，还可以根据实际需要结合使用其他分布，如泊松-t混合分布等，以适应更为复杂的情况。
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性质2 设 T ~ t (n) 则
n
2 此性质说明，当 n 时，T分布的极限
e
t2 2
例2 设X ~ N ( , ),
2
Y
X T Y n 的概率分布.
2
~ (n), 且X , Y相互独立 , 试求
2
X 解 因为X ~ N ( , ), 所以 ~ N (0,1) Y X Y 2 又 2 ~ ( n), 且X , Y 独立, 则 与 2 独立, 由定义得 X (X ) / T ~ t ( n) Y n (Y / 2 ) / n
由中心极限定理得
n
lim P{
n
2 n
2n
lim P { x} n
i 1
2 X i n
n
n
x}
x
1 2
e dt
t2
2
即 2分布的极限分布是正态 分布, 也即, 当n很大时
近似 n 2 近似服从 N (0,1).进而 n ~ N (n,2n). 2n 2 n
2
定理
设 X 1 , X 2 , , X n 是总体 N ( , ) 的
2
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有 X ~ t ( n 1). S/ n X ~ N (0,1), 证明 / n
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
1 因为 lim h( t ) e n 2π
t2 2
,
所以当 n足够大时 t分布近似于 N ( 0,1)分布 ,
但对于较小的 n , t分布与 N ( 0,1)分布相差很大 .
t 分布具有下列性质： 性质1
n 2 时有 设T ~ t (n) , 则当
E (T ) 0
n D (T ) n2 p ( t ) 是T的分布密度， ，
X X S/ n / n
( n 1) S ~ t ( n 1). 2 (n 1)
2
定理 设 X 1 , X 2 , , X n1 与 Y1 , Y2 , , Yn2 分别是来自
2 两个正态总体 N ( 1 , 12 ), N ( 2 , 2 )的样本 , 且这
2
2
Y
i 1
n2
i
分别是这两
或 ( X Y ) ( 1 2 )
2 12 / n1 2 / n2
~ N (0,1)
2 2. 分布
定义 设 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，均服从 N (0, 1) 分布, 则称统计量 ＝X X X 服从自由
根据 分布的可加性知 n
2
Xi
i 1
n
2
2 ( n)分布的概率密度曲线如 图.
n 1 ~ , . 2 2
2 分布的性质
性质1 ( 分布的可加性 )
2 2 设 12 ~ 2 ( n1 ), 2 ~ 2 ( n2 ), 并且 12 , 2 独 2 立, 则 12 2 ~ 2 ( n1 n2 ).
i 1 i 1
其中C1 , C2 , , Cn为不全为零的常数.
证明 由于X 1 , X 2 , , X n 独立且均为正态变量, 故他们的线性函数 C i X i 仍为正态变量, 又
i 1 n
E ( C i X i ) C i E ( X i ) C i i
i 1 i 1 i 1
推论3 设 X 1 , X 2 , , X n 与 Y1 , Y2 , , Yn 分别是
1 2
来自两个独立的正态总 体 N ( 1 , 1 ), N ( 2 , 2 ) 1 n1 1 的样本, 设 X X i , Y n1 i 1 n2 个样本的均值, 则有
2 12 2 X Y ~ N ( 1 2 , ) n1 n2
证明
2
因为 X i ~ N ( 0, 1), 所以 E ( X i 2 ) D( X i ) 1,
4 2
D( X i ) E ( X i ) [ E ( X i )]2 3 1 2, i 1, 2, , n.
n n 2 2 2 故 E ( ) E X i E ( X i ) n, i 1 i 1 n n 2 2 2 D ( ) D X i D ( X i ) 2 n. i 1 i 1
( X Y ) ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2), 1 1 Sw n1 n2 (n1 1) S (n2 1) S 2 其中 S , Sw Sw . n1 n2 2
2 w 2 1 2 2
2 2 证明： 因为 X Y ~ N 1 2 , n n 1 2 ( X Y ) ( 1 2 ) 所以 U ~ N ( 0,1), 1 1 n1 n2
C i X i ~ N ( C i ,
i 1 n n 2 2 C i ). i 1 n
的样本 , 则样本的任一确定的线 性函数
i 1
其中 C 1 , C 2 , , C n为不全为零的常数 .
推论2
设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N ( , 2 ) 的样本 , X 是样本均值 , 则有 X ~ N ( , 2 / n ).
1 1 两个样本互相独立 , 设 X X i , Y n1 i 1 n2 别是这两个样本的均值 ,
2 1 n1 n2
n1
Y
i 1
n2
i
分
1 1 2 2 2 S ( X X ) , S ( Y Y ) i 2 i n1 1 i 1 n2 1 i 1 分别是这两个样本的样本方差, 则有
由
(n1 1) S12
2
~ 2 (n1 1),
2 (n2 1) S2
2
~ 2 (n2 1),
且它们相互独立 , 故由 2 分布的可加性知
V
(n1 1) S
2
2 1
2 (n2 1) S2
2
~ 2 ( n1 n2 2),
由于 U 与 V 相互独立 , 按 t 分布的定义 U V /( n1 n2 2) ( X Y ) ( 1 2 ) ~ t ( n1 n2 2). 1 1 Sw n1 n2
2
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设 i2 ~ 2 ( ni ), 并且 i2 ( i 1, 2,, m ) 相互 独立 , 则 i2 ~ 2 ( n1 n2 nm ).
i 1 m
性质2 ( 2分布的数学期望和方差 )
若 2 ~ 2 ( n), 则 E ( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
2 n 2 1 2 2 2 n
自由度 :
度为 n 的 分布, 记为 n ~ (n).
2 2 2
指 n X X X 中右端包含独立
2 1 2 2 2 n
2
变量的个数 .
定理
2 (n)分布的概率密度为
n x 1 1 2 2 x e x0 n 2 n p( x ) 2 ( ) 2 其它 0 1 1 2 证明 因为 (1) 分布即为 , 分布,
2 2
又因为 X i ~ N ( 0, 1),
即 X i2
1 1 ~ , , i 1, 2, , n. 2 2
由定义 X i2 ~ 2 (1),
因为 X 1 , X 2 , , X n 相互独立 ,
2 2 所以 X 12 , X 2 , , X n 也相互独立 ,
例1 设 X 1 , X 2 , , X 6为来自正态总体 N ( 0,1)的一组 样本 , 求 C1 , C 2使得 Y C1 ( X 1 X 2 ) 2 C 2 ( X 3 X 4 X 5 X 6 ) 2 服从 2分布 .
解
同理
X1 X 2 X 1 X 2 ~ N (0,2), 则 ~ N (0,1) 2
3. F分布
定义
设 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), 且X , Y 独立, 则
X / n1 称随机变量 F 服从自由度为 ( n1 , n2 ) 的 F 分布, Y / n2 记为 F ~ F (n1 , n2 ).
F ( n1 , n2 )分布的概率密度为
n1 n1 2 1 n n n 1 2 1 2 y 2 n2 , y0 n1 n2 ( y) n1 n2 n1 y 2 1 2 2 n2 其它 0,
第6.3节
几个常用统计分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结
一、常见分布
1.正态分布
定理 设 r.vX 1 , X 2 , , X n 相互独立, 且 X i ~ N ( i , i )
2
(i 1, 2, , n)
n n
则它们的任一确定的线性函数
i 1
n
Ci X i ~ N ( Ci i , Ci2 i2 ).
n
n
n
D( Ci X i ) C D( X i ) Ci2 i2
i 1 i 1 2 i i 1
n
n
n
所以
2 2 C X ~ N ( C , C i i i i ii ) i 1 i 1 i 1 n n n