现控复习题2013
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1 0 2 x x u 2 5 0 y 2 0x
试设计一个状态观测器，使其极点配置在-10，-10 上。画出系统状态图。 二十四、已知系统状态空间表达式为
0 0 1 0 0 0 x 1 x 0 u 0 6 5 1 y 1 0 0x
1 1 x 0 y 1 1 0 0 0 2 0 x 0 u 0 1 1 0x
0 0 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 x u 1 0 1 0 0 0 1 1
C 0 0 1
0 1 0 （2） A 0 0 1 2 3 0
1 0 B 0 1 0 1
2 1 1 C 2 1 1
九、试用矩阵指数函数的级数展开法和拉氏变换法求下列矩阵的矩阵指数函数 e At 。 (1) A 4
现代控制理论基础复习题（自2010）
一、已知电路和机械系统如图所示，试分别写出状态空间表达式。
二、列写下列微分方程的状态空间表达式。 3 4y 2y u （1） y y 5 7y 3y u 3u 2u (2) y y 三、两输入两输出的系统，其模拟结构图如图所示，试求系统的状态空间表达式和传递函数阵。
(2) (t )
Ax ； x
2e t e 2t
t 2t e e
2e 2t 2e t 2e 2 t e t
十二、设某二阶系统的齐次状态方程为
1 e t 2te t ； 当 x(0) 时， x(t ) t t 1 e te
(1) 确定系统的平衡点。 (2) 在平衡点附近进行线性化，并讨论平衡点的稳定性。 二十七、设非线性系统状态方程为
1 x2 x 2 a (1 x 2 ) 2 x2 x1 x
（a>0）
试确定其平衡状态的稳定性。 二十八、设非线性系统
1 ax1 x2 x 2 x1 x2 bx25 x
四、列写如图（a,b）所示各系统的状态空间表达式。
u
1 s2
3
x1 y
x2
1 s
2 x
(b) 五、系统传递函数为
G ( s) 2s 3 2 s 3 12 s 2 22 s 12
(1) 建立系统特征矩阵对角化标准实现，画出状态图; (2) 建立系统可控标准形实现，画出状态图; (3) 建立系统可观测标准形实现，画出状态图。 六、系统传递函数为
(l) 设计状态观测器，使观测器极点落在 –3， -3， -3 上，求观测器输出反馈矩阵G。 (2) 利用状态观测器进行状态反馈，使系统极点配置在 –6， -3±j3 求满足要求的状态反馈矩阵K。 (3) 画出系统总体状态图。 二十五、试求下列系统的平衡状态和李亚普诺夫函数（利用公式ATP+PA=-Q）,并判别系统的稳定性。
系统中一个状态既可控又可观测，另一个状态既不可控又不可观测，试确定 b1 ， b2 和 c1 ， c2 。
二ຫໍສະໝຸດ Baidu二、已知系统状态方程为
0 1 0 0 0 1 1 x 0 u x 0 1 10 10
试设计状态反馈阵K，使系统极点配置在 -l0，- 1 j 3 ，并画出系统状态图。 二十三、 已知系统状态空间表达式为
当 x(0) 时， x(t ) t 1 e
2
2e t
试求其状态转移矩阵 (t ) 和系统矩阵A。 十三、 线性定常系统状态方程为
1 0 1 x x u 1 1 1
初始状态为 x(0) 0
0 1 0
100
(2) A
1 1 4 1
十、 试利用凯莱—哈密尔顿定理计算
a b c d
其中：ad=bc 。
十一、验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，试求其对应的 A 阵。
0 1 (1) (t ) 0 sin t 0 cos t 0 cos t sin t
1
,
输入为u(t)=l(t)，求系统状态方程的解x(t)。
十四、有系统如图所示，试求离散化的状态空间表达式。
u1
k x1 s 1
u2
1 s
2
x2
a
y
十五、离散时间系统如下，设采样周期分别为 T=0.1 和 1 ，而u1和u2为分段常数。求x(k):
1 1 x1 ( k 1) 2 8 x1 (k ) 1 0 u1 ( k ) x2 ( k 1) 1 1 x2 (k ) 0 1 u2 ( k ) 8 2 x1 (0) 1; x2 (0) 3
试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。
0 二十九、设线性离散系统的状态方程为： x( k 1) 0 0 1 0 a 2 0 1 x ( k ) 0
a>0
试求在平衡点 x=0 处系统
渐近稳定时，参数 a 的取值范围。
At
（1）
（2）
y 0 1 1 0x
试问系统是否可控? 是否可观测? 求出系统的传递函数 G( s) 十八、系统状态空间表达式如下
1 0 x a1 a2 0 0 y 0 c 1x 0 0 0 x 1 u 0 b
y ( s) u(s)
分别写出系统可控、可观测时a1，a2， b， c 等常数应满足的条件。 十九、已知某系统的结构图如图所示。
1 s 1
u
x2
x1 1 s 3
x3
y
2 s
(1)写出系统的状态空间表达式； (2)由状态空间表达式求出系统由输入U到输出Y之间的传递函数; (3)分析系统的可控性与可观测性。 二十、若 n 阶系统
G ( s) s2 6s 8 s 5s 2 7 s 3
3
试用并联分解法建立状态空间表达式，并画出系统状态图。 七、系统状态空间描述为
0 0 x 3 y 1 1 0 0 1 x 0 u 2 0 1 0x 1 0
Ax bu x y Cx
,
满足
Cb CAb CA 2 b CA n 2 b 0 CA n1b K 0
试证明此系统总是既可控又可观测的。 二十一、已知系统状态空间表达式如下
1 b1 0 x x u 2 3 b2 y c1 c2 x
输入ul(k)是从斜坡函数t采样而来，u2(k)是从 e t 同步采样而来。
十六、已知系统状态空间表达式为
0 1 0 x x u 0 2 1 y 2 0x
(1)根据状态空间表达式画出系统状态图; (2)判定系统的可控性、可观测性; (3)求出系统的传递函数; (4)求出系统的状态转移矩阵 e 。 十七、系统状态空间表达式为
（1） x 1 2 x 1 4 （2） x 1 0 x 2 2
二十六、 下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉 (Volterra)方程
1 x1 x1 x2 x 式中，x1,x2分别表示两种生物的个数。 , , , 为非零实数。 2 x2 x1 x2 x
(1)求状态向量 x 对输入量 u 的传递函数Gxu(s) (2)求系统输出量 y 对输入量 u 的传递函数Gyu(s)。 八、求下列各系统的特征方程、特征值和传递函数矩阵Gyu(s)。
0
（ 1） A 0
1 0 0 1 6 11 6
2 6 B 3 5 1 1
试设计一个状态观测器，使其极点配置在-10，-10 上。画出系统状态图。 二十四、已知系统状态空间表达式为
0 0 1 0 0 0 x 1 x 0 u 0 6 5 1 y 1 0 0x
1 1 x 0 y 1 1 0 0 0 2 0 x 0 u 0 1 1 0x
0 0 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 x u 1 0 1 0 0 0 1 1
C 0 0 1
0 1 0 （2） A 0 0 1 2 3 0
1 0 B 0 1 0 1
2 1 1 C 2 1 1
九、试用矩阵指数函数的级数展开法和拉氏变换法求下列矩阵的矩阵指数函数 e At 。 (1) A 4
现代控制理论基础复习题（自2010）
一、已知电路和机械系统如图所示，试分别写出状态空间表达式。
二、列写下列微分方程的状态空间表达式。 3 4y 2y u （1） y y 5 7y 3y u 3u 2u (2) y y 三、两输入两输出的系统，其模拟结构图如图所示，试求系统的状态空间表达式和传递函数阵。
(2) (t )
Ax ； x
2e t e 2t
t 2t e e
2e 2t 2e t 2e 2 t e t
十二、设某二阶系统的齐次状态方程为
1 e t 2te t ； 当 x(0) 时， x(t ) t t 1 e te
(1) 确定系统的平衡点。 (2) 在平衡点附近进行线性化，并讨论平衡点的稳定性。 二十七、设非线性系统状态方程为
1 x2 x 2 a (1 x 2 ) 2 x2 x1 x
（a>0）
试确定其平衡状态的稳定性。 二十八、设非线性系统
1 ax1 x2 x 2 x1 x2 bx25 x
四、列写如图（a,b）所示各系统的状态空间表达式。
u
1 s2
3
x1 y
x2
1 s
2 x
(b) 五、系统传递函数为
G ( s) 2s 3 2 s 3 12 s 2 22 s 12
(1) 建立系统特征矩阵对角化标准实现，画出状态图; (2) 建立系统可控标准形实现，画出状态图; (3) 建立系统可观测标准形实现，画出状态图。 六、系统传递函数为
(l) 设计状态观测器，使观测器极点落在 –3， -3， -3 上，求观测器输出反馈矩阵G。 (2) 利用状态观测器进行状态反馈，使系统极点配置在 –6， -3±j3 求满足要求的状态反馈矩阵K。 (3) 画出系统总体状态图。 二十五、试求下列系统的平衡状态和李亚普诺夫函数（利用公式ATP+PA=-Q）,并判别系统的稳定性。
系统中一个状态既可控又可观测，另一个状态既不可控又不可观测，试确定 b1 ， b2 和 c1 ， c2 。
二ຫໍສະໝຸດ Baidu二、已知系统状态方程为
0 1 0 0 0 1 1 x 0 u x 0 1 10 10
试设计状态反馈阵K，使系统极点配置在 -l0，- 1 j 3 ，并画出系统状态图。 二十三、 已知系统状态空间表达式为
当 x(0) 时， x(t ) t 1 e
2
2e t
试求其状态转移矩阵 (t ) 和系统矩阵A。 十三、 线性定常系统状态方程为
1 0 1 x x u 1 1 1
初始状态为 x(0) 0
0 1 0
100
(2) A
1 1 4 1
十、 试利用凯莱—哈密尔顿定理计算
a b c d
其中：ad=bc 。
十一、验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，试求其对应的 A 阵。
0 1 (1) (t ) 0 sin t 0 cos t 0 cos t sin t
1
,
输入为u(t)=l(t)，求系统状态方程的解x(t)。
十四、有系统如图所示，试求离散化的状态空间表达式。
u1
k x1 s 1
u2
1 s
2
x2
a
y
十五、离散时间系统如下，设采样周期分别为 T=0.1 和 1 ，而u1和u2为分段常数。求x(k):
1 1 x1 ( k 1) 2 8 x1 (k ) 1 0 u1 ( k ) x2 ( k 1) 1 1 x2 (k ) 0 1 u2 ( k ) 8 2 x1 (0) 1; x2 (0) 3
试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐近稳定时，参数a和b的取值范围。
0 二十九、设线性离散系统的状态方程为： x( k 1) 0 0 1 0 a 2 0 1 x ( k ) 0
a>0
试求在平衡点 x=0 处系统
渐近稳定时，参数 a 的取值范围。
At
（1）
（2）
y 0 1 1 0x
试问系统是否可控? 是否可观测? 求出系统的传递函数 G( s) 十八、系统状态空间表达式如下
1 0 x a1 a2 0 0 y 0 c 1x 0 0 0 x 1 u 0 b
y ( s) u(s)
分别写出系统可控、可观测时a1，a2， b， c 等常数应满足的条件。 十九、已知某系统的结构图如图所示。
1 s 1
u
x2
x1 1 s 3
x3
y
2 s
(1)写出系统的状态空间表达式； (2)由状态空间表达式求出系统由输入U到输出Y之间的传递函数; (3)分析系统的可控性与可观测性。 二十、若 n 阶系统
G ( s) s2 6s 8 s 5s 2 7 s 3
3
试用并联分解法建立状态空间表达式，并画出系统状态图。 七、系统状态空间描述为
0 0 x 3 y 1 1 0 0 1 x 0 u 2 0 1 0x 1 0
Ax bu x y Cx
,
满足
Cb CAb CA 2 b CA n 2 b 0 CA n1b K 0
试证明此系统总是既可控又可观测的。 二十一、已知系统状态空间表达式如下
1 b1 0 x x u 2 3 b2 y c1 c2 x
输入ul(k)是从斜坡函数t采样而来，u2(k)是从 e t 同步采样而来。
十六、已知系统状态空间表达式为
0 1 0 x x u 0 2 1 y 2 0x
(1)根据状态空间表达式画出系统状态图; (2)判定系统的可控性、可观测性; (3)求出系统的传递函数; (4)求出系统的状态转移矩阵 e 。 十七、系统状态空间表达式为
（1） x 1 2 x 1 4 （2） x 1 0 x 2 2
二十六、 下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉 (Volterra)方程
1 x1 x1 x2 x 式中，x1,x2分别表示两种生物的个数。 , , , 为非零实数。 2 x2 x1 x2 x
(1)求状态向量 x 对输入量 u 的传递函数Gxu(s) (2)求系统输出量 y 对输入量 u 的传递函数Gyu(s)。 八、求下列各系统的特征方程、特征值和传递函数矩阵Gyu(s)。
0
（ 1） A 0
1 0 0 1 6 11 6
2 6 B 3 5 1 1