高级计量经济学课后习题参考答案
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1.3 某市居民家庭人均年收入服从4000X =元，
1200σ=元的正态分布，
求该市居民家庭人均年收入：（1）在5000—7000元之间的概率；（2）超过8000元的概率；（3）低于3000元的概率。 （1）
()()
()()()2,0,15000700050007000(
)
2.50.835( 2.5)62
X N X X X
N X
X X
X
P X P F F X X
P σσ
σ
σ
σ
σ-∴
---∴<<=<
<
--=<<=
根据附表1可知
()0.830.5935F =，()2.50.9876F =
()0.98760.5935
500070000.1971
2
P X -∴<<=
=
PS ：
()()5000700050007000(
)
55( 2.5) 2.5660.99380.79760.1961
X
X X
X
P X P X X P σ
σ
σ
σ---<<=<
<
-⎛⎫=<<=Φ-Φ ⎪
⎝⎭=-=
在附表1中，()()
F Z P x x
z σ=-<
（2）()80001080003X X X X X P X P P σσσ⎛⎫
⎛⎫--->=>=> ⎪
⎪⎝
⎭
⎝
⎭
=0.0004 （3）()3000530006
X X X X X P X P P σσσ⎛⎫⎛⎫
---<=<=<- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
=0.2023 ()030001050300036X X X X X X P X P P σ
σσσ⎛⎫⎛⎫
----<<=<<
=-<<- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=0.2023-0.0004=0.20191.4 据统计70岁的老
人在5年内正常死亡概率为0.98，因事故死亡的概率为0.02。保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。若5年内因事故死亡，公司要赔偿a 元。应如何测算出a ，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司可期望总获益多少？
设公司从一个投保者得到的收益为X ，则
则()1000.02E X a =-
故要是公司可期望获益，则有()1000.02E X a =->0，即5000a <
PS ：赔偿金应大于保险费？
1000人投保时，公司的期望总收益为()10001000.021*******a a -=-
2.1 写出过原点的一元、二元线性回归模型，并分别求出回归系数的最小二乘估计。 解答：
过原点的一元线性回归模型为Y X βε=+
(
)
()
2
2ˆmin ˆˆ20ˆi i i i i i i
i
y x y x x x y x
β
β
β
ββ
-⇒--=⇒=∑
∑∑∑对一阶求导
约束最小二乘估计：y x αβε=++
(
)
(
)()()2
,22
ˆmin ..0ˆˆ20ˆ00
ˆi i i i i
i
i
i
i
i i i y x s t L y x y x y x x x y x αβ
αβ
ααβ
λα
ααβ
λβαβ
αβ
--=⇒=--+--+=--==⇒=∑
∑
∑∑∑∑对求导得到：-对求导得到：-2
过原点的二元线性回归模型为11
2
2
Y X X ββ
ε
=++
(
)
()
()()()12
2
1122
ˆˆ,12
1122111
22
22
2122112
22
12122112122
2
22
1212ˆˆmin ˆˆ,ˆˆ20
ˆˆ20
ˆˆi i i i i i i i
i
i
i
i i i i i i i
i i i i i i i i i i i
i i i i
y x x y x x x y x x x x y x x x x y x x x x x y x x x x y x x x x βββββββββ
βββ--⇒---=---=-⇒=--=-∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑对分别求一阶导
2.2针对多元线性回归模型
Y X βε=+
试证明经典线性回归模型参数OLS 估计量的性质()ˆE ββ=和()()1
2
ˆˆ,Cov X X ββσ-'=，并说明你在证明时用到了哪些基本假定。 解答：
()()()()
()
()ˆ
1
ˆˆˆˆmin ˆ20ˆY Y Y Y Y X Y X X Y X X X X Y
β
βββ
β-''--=--'⇒--=''⇒= 无多重共线性
()
()
()
()()
()()()1
1
11
ˆE E X X X Y X X X E Y X X X E X X X X X β
βεββ
----''''==''=+''== 零均值
()()()()()
()()()(
)
()(
)
()()()(
)
()()
()
()()()
()()()
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
21
2ˆˆˆˆˆˆˆ,ˆˆX X X Y X X X X X X X Cov E E E E E X X X X X X E X X X X X X X X X E X X X X X X IX X X X X β
βεβεββββββ
β
ββ
βεε
εεεεσσ------------''''''==+=+'=--'
'
''''=--=''''=''''='''='=又
同方差，无序列相关
2.3为了解某国职业妇女是否受到歧视，可以用该国统计局的“当前人口调查”中的截面数据，研究男女工资有没有差别。这项多元回归分析研究所用到的变量有：