2021届海南省海南中学、文昌中学高三联考理科数学
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由
所以函数 为偶函数，排除选项B.
又 ，所以排除选项D.
故选Leabharlann BaiduA
【点睛】
本题考查由具体函数的表达式选择函数图像，属于基础题.
5．B
【分析】
设大正方形为长为 ，则直角三角形的两直角边分别为 ，小正方形边长为 ，由几何概型概率计算公式得飞镖落在小正方形内的概率．
【详解】
“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，
16．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ， ，其中 是数列 的前 项和，则 ______.
三、解答题
17．在 中，角 所对的边分别是 满足： ，且 成等比数列.
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 ,判断三角形的形状.
18．据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若 ， ， ，试比较 ， 的大小.
参考答案
1．A
【解析】
依题意， ，则 ，故选A．
2．D
【解析】
【分析】
由条件可得 ，再由复数的除法运算法则可求解.
【详解】
复数 满足 ,则
即
所以
故选：D
【点睛】
本题考查复数的运算法则应用，属于基础题.
3．C
【分析】
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出 即可.
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 ，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）
【详解】
因为 ， ，
， ，
所以 ，即 .
故选：C.
【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
4．A
【分析】
用排除法，根据函数的奇偶性、定义域和特殊点处的函数值可以排除不正确的选项.
【详解】
函数 的定义域为 ，则排除选项C.
A．等边三角形B．直角三角形
C．两腰长都为 的等腰三角形D．两腰长都为 的等腰三角形
10．执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ： 上存在 、 两点恰好关于直线 ： 对称，且直线 与直线 的交点的横坐标为2，则椭圆 的离心率为（ ）
送货单数
30
40
50
60
天数
甲
10
10
20
10
乙
5
15
25
5
已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪 元，每单抽成 元；乙公司规定底薪 元，每日前 单无抽成，超过 单的部分每单抽成 元．
（1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资 （单位：元）与送货单数 的函数关系式；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
2019届海南省海南中学、文昌中学高三联考理科数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则复数 为（）
A． B．
C． D．
3．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若 具有“穿墙术”，则 （）
A． B． C． D．
12．在棱长为 的正方体 中,点 分别是线段 （不包括端点）上的动点,且线段 平行于平面 ,则四面体 的体积的最大值是
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ______.
14．若 ， 满足 ，则 的最小值为______.
15．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．
A． B．
C． D．
6．若二项式 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中 的系数为（）
A．60B．120
C．160D．240
7．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和为
A． B． C． D．
8．设函数 ，若 对任意实数 都成立，则 的最小值为（）
A． B．
C． D．
9．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形 沿对角线 折叠，使 到 位置.折叠后三棱锥 的俯视图如图（2）所示，那么其正视图是（）
其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 .
设 ，则 ， ， ，
向大正方形内随机投掷一枚飞镖，可得飞镖落在小正方形内的概率是 .
故选：B
【点睛】
本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．D
【分析】
根据二项式 的展开式中二项式系数之和为 ，可求出 ，然后再用展开式的通项公式可求解答案.
①记甲快递公司的快递员的日工资为 （单位：元），求 的分布列和数学期望；
②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ， ， .
（2）令 ，如果 图象与 轴交于 ， ， 中点为 ，求证： .
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线 ： =0(a>0)，曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系；
(1)求曲线 ， 的极坐标方程;
(2)已知极坐标方程为 = 的直线与曲线 ， 分别相交于P，Q两点（均异于原点O），若|PQ|= ﹣1，求实数a的值；
（1）若 为 的中点，求证： 面 ；
（2）若二面角 为 ，设 ，试确定 的值.
20．已知动圆 恒过点 ，且与直线 相切．
（Ⅰ）求圆心 的轨迹方程；
（Ⅱ）动直线 过点 ，且与点 的轨迹交于 ， 两点，点 与点 关于 轴对称，求证：直线 恒过定点．
21．已知函数 .
（1）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中 为自然对数的底）；
所以函数 为偶函数，排除选项B.
又 ，所以排除选项D.
故选Leabharlann BaiduA
【点睛】
本题考查由具体函数的表达式选择函数图像，属于基础题.
5．B
【分析】
设大正方形为长为 ，则直角三角形的两直角边分别为 ，小正方形边长为 ，由几何概型概率计算公式得飞镖落在小正方形内的概率．
【详解】
“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，
16．已知 是定义在 上的奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ， ，其中 是数列 的前 项和，则 ______.
三、解答题
17．在 中，角 所对的边分别是 满足： ，且 成等比数列.
(Ⅰ)求角 的大小；
(Ⅱ)若 ,判断三角形的形状.
18．据统计，仅在北京地区每天就有500万单快递等待派送，近5万多名快递员奔跑在一线，快递网点人员流动性也较强，各快递公司需要经常招聘快递员，保证业务的正常开展.下面是50天内甲、乙两家快递公司的快递员的每天送货单数统计表：
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若 ， ， ，试比较 ， 的大小.
参考答案
1．A
【解析】
依题意， ，则 ，故选A．
2．D
【解析】
【分析】
由条件可得 ，再由复数的除法运算法则可求解.
【详解】
复数 满足 ,则
即
所以
故选：D
【点睛】
本题考查复数的运算法则应用，属于基础题.
3．C
【分析】
通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出 即可.
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
5．三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 ，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）
【详解】
因为 ， ，
， ，
所以 ，即 .
故选：C.
【点睛】
归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．
4．A
【分析】
用排除法，根据函数的奇偶性、定义域和特殊点处的函数值可以排除不正确的选项.
【详解】
函数 的定义域为 ，则排除选项C.
A．等边三角形B．直角三角形
C．两腰长都为 的等腰三角形D．两腰长都为 的等腰三角形
10．执行如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ： 上存在 、 两点恰好关于直线 ： 对称，且直线 与直线 的交点的横坐标为2，则椭圆 的离心率为（ ）
送货单数
30
40
50
60
天数
甲
10
10
20
10
乙
5
15
25
5
已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪 元，每单抽成 元；乙公司规定底薪 元，每日前 单无抽成，超过 单的部分每单抽成 元．
（1）分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资 （单位：元）与送货单数 的函数关系式；
（2）若将频率视为概率，回答下列问题：
2019届海南省海南中学、文昌中学高三联考理科数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则复数 为（）
A． B．
C． D．
3．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： ，则按照以上规律，若 具有“穿墙术”，则 （）
A． B． C． D．
12．在棱长为 的正方体 中,点 分别是线段 （不包括端点）上的动点,且线段 平行于平面 ,则四面体 的体积的最大值是
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， ，若向量 与 共线，则 ______.
14．若 ， 满足 ，则 的最小值为______.
15．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．
A． B．
C． D．
6．若二项式 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中 的系数为（）
A．60B．120
C．160D．240
7．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和为
A． B． C． D．
8．设函数 ，若 对任意实数 都成立，则 的最小值为（）
A． B．
C． D．
9．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形 沿对角线 折叠，使 到 位置.折叠后三棱锥 的俯视图如图（2）所示，那么其正视图是（）
其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 .
设 ，则 ， ， ，
向大正方形内随机投掷一枚飞镖，可得飞镖落在小正方形内的概率是 .
故选：B
【点睛】
本题考查概率的求法，考查几何概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．D
【分析】
根据二项式 的展开式中二项式系数之和为 ，可求出 ，然后再用展开式的通项公式可求解答案.
①记甲快递公司的快递员的日工资为 （单位：元），求 的分布列和数学期望；
②小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，平面 底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ， ， .
（2）令 ，如果 图象与 轴交于 ， ， 中点为 ，求证： .
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线 ： =0(a>0)，曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系；
(1)求曲线 ， 的极坐标方程;
(2)已知极坐标方程为 = 的直线与曲线 ， 分别相交于P，Q两点（均异于原点O），若|PQ|= ﹣1，求实数a的值；
（1）若 为 的中点，求证： 面 ；
（2）若二面角 为 ，设 ，试确定 的值.
20．已知动圆 恒过点 ，且与直线 相切．
（Ⅰ）求圆心 的轨迹方程；
（Ⅱ）动直线 过点 ，且与点 的轨迹交于 ， 两点，点 与点 关于 轴对称，求证：直线 恒过定点．
21．已知函数 .
（1）若方程 在 内有两个不等实根，求 的取值范围（其中 为自然对数的底）；