第5课 二次根式及其运算
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2010 10＋3)]
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2010 ＝(10－9)2010＝1
答题规范
注意二次根式运算中隐含条件 考题再现
2 a － 1 a －2a＋1 已知：a＝ 1 ，求 － 的值． 2 a＋1 a －a 2＋ 3 2 a ＋ 1 a － 1 a － 1 解：原式＝ － a＋1 aa－1 ＝ a － 1 － a －1 ＝ a － 1 － 1 . aa－1 a 2
∴原式＝
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
题型
二次根式运算中的技巧
，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； 3 (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
解析： 27÷ 3 ＝ 27÷3 ＝ 9 ＝3，选C.
3＋ 1 . 2 －2 2 6 3 解：原式＝2 6 － 1 6＋ 1 6 － 1 6＝ 3 6 . 3 2 2 3
(2)计算： 24 －
题型
二次根式混合运算
【例】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8 ＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4 分]
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10 .
学生作答
∴当a＝
原式＝
1 时， 2＋ 3
1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3 ∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a. a＋1a－1 1－ a 1 － ＝ a－ 1 ＋ . a＋1 aa－1 a ∴当a＝ 1 时， 2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 3 )＝3. 2＋ 3
a
＝
1 p a
题型
【例 】
实数的运算
0 (1)计算： －4 ＋ 2＋1 － 12 +tan45° ；
(2)计算：(－2)2＋2×(－3)＋( 1)－1.
3
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：
(1)|－4|＋( 2＋1)0－ 12 ＝4＋1－2 3 +1＝6－2 3
第2课 二次根式
及实数运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a (a≥0，b>0) ． b
1 (2)(－2)2＋2×(－3)＋(3)－1＝4－6＋3 ＝1
(2011· 菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则
a－42
＋ a－112 化简后为( A )
A. 7
C．2a－15
B．－7
D．无法确定
解析：可知5<a<10，所以a－4>0，a－11<0，
a－4＋ a－11＝(a－4)＋(11－a)＝7. 原式＝
计算： －
4 × 45 5
1 15 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
题型
二次根式的运算 A．2 3 ＋4 2 ＝6 5 C. 27÷ 3 ＝3 C) B. 8 ＝4 2 D. －32 ＝－3
【例】 (1)下列运算正确的是(
a＝ b
1.有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.
2.零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于1，
0＝1(a≠0) a 即
；
任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的 (a≠0，p为正整数 倒数， 即 －p ． )
【例】 (1)已知x＝2－
探究提高
Hale Waihona Puke Baidu
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，
计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1 ＝－1
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，
[2分] [4分]
＝[( 10 )2－32]2010 ＝(10－9)2010＝1
答题规范
注意二次根式运算中隐含条件 考题再现
2 a － 1 a －2a＋1 已知：a＝ 1 ，求 － 的值． 2 a＋1 a －a 2＋ 3 2 a ＋ 1 a － 1 a － 1 解：原式＝ － a＋1 aa－1 ＝ a － 1 － a －1 ＝ a － 1 － 1 . aa－1 a 2
∴原式＝
(2)已知a＝3＋2 5 ，b＝3－2 5 ，求a2b－ab2的值；
解：∵a－b＝(3＋2
5)－(3－2 5 )＝4 5 ， ab＝(3＋2 5 )(3－2 5 )＝－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 5 ＝－44 5 .
题型
二次根式运算中的技巧
，y＝2＋ 3 ，求：x2＋xy＋y2的值； 3 (2)已知x＋ 1 ＝－3，求x－ 1 的值． x x 解：(1)∵x＝2－ 3 ，y＝2＋ 3 ， ∴x＋y＝(2－ 3 )＋(2＋ 3 )＝4， xy＝(2－ 3 )×(2＋ 3 )＝1， ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15.
解析： 27÷ 3 ＝ 27÷3 ＝ 9 ＝3，选C.
3＋ 1 . 2 －2 2 6 3 解：原式＝2 6 － 1 6＋ 1 6 － 1 6＝ 3 6 . 3 2 2 3
(2)计算： 24 －
题型
二次根式混合运算
【例】 计算： (1)(3 2 －1)(1＋3 2 )－(2 2 －1)2； (2)( 10 －3)2010·( 10 ＋3)2010. 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：(1)原式＝(3 2 )2－1－[(2 2 )2－4 2 ＋1] ＝18－1－8＋4 2 －1 [2分] ＝8 ＋4 2 (2)原式＝[( 10 －3)( [4 分]
∴ 10 的整数部分a＝3，小数部分b＝ 10 －3. ∴a2－b2＝32－( 10－3)2 ＝9－(10－6 10＋9) ＝－10＋6 10 .
学生作答
∴当a＝
原式＝
1 时， 2＋ 3
1 －1－(2＋ 3 )＝－1－2 3 . 2＋ 3
规范解答 解：∵a＝
1 <1，∴a－1<0. 2＋ 3 ∴ a2－2a＋1＝ a－12 ＝|a－1|＝1－a. a＋1a－1 1－ a 1 － ＝ a－ 1 ＋ . a＋1 aa－1 a ∴当a＝ 1 时， 2＋ 3 原式＝ 1 －1＋(2＋ 3 )＝3. 2＋ 3
a
＝
1 p a
题型
【例 】
实数的运算
0 (1)计算： －4 ＋ 2＋1 － 12 +tan45° ；
(2)计算：(－2)2＋2×(－3)＋( 1)－1.
3
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！ 解：
(1)|－4|＋( 2＋1)0－ 12 ＝4＋1－2 3 +1＝6－2 3
第2课 二次根式
及实数运算
要点梳理
1．二次根式的概念：
式子 a (a≥0) 叫做二次根式． 2．二次根式的性质：
(1)( a )2＝ a(a≥0) ； a(a≥0) (2) a2＝|a|＝ 0(a＝0) －a(a< 0)
(3) ab ＝ (4)
a · b(a≥0，b≥0) ．
a (a≥0，b>0) ． b
1 (2)(－2)2＋2×(－3)＋(3)－1＝4－6＋3 ＝1
(2011· 菏泽)实数a在数轴上的位置如图所示，则
a－42
＋ a－112 化简后为( A )
A. 7
C．2a－15
B．－7
D．无法确定
解析：可知5<a<10，所以a－4>0，a－11<0，
a－4＋ a－11＝(a－4)＋(11－a)＝7. 原式＝
计算： －
4 × 45 5
1 15 2
解：原式＝－
4 1 × × 45×15 5 2 ＝－ 4 × 1×15× 3 ＝－6 3 . 5 2
题型
二次根式的运算 A．2 3 ＋4 2 ＝6 5 C. 27÷ 3 ＝3 C) B. 8 ＝4 2 D. －32 ＝－3
【例】 (1)下列运算正确的是(
a＝ b
1.有关实数的非负性：
1a
2
0;
2 a 0; 3
a 0 (a 0).
若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都0.
2.零指数幂，负整数指数幂： 任何非零数的零次幂都等于1，
0＝1(a≠0) a 即
；
任何不等于的数的－p次幂，等于这个数p次幂的 (a≠0，p为正整数 倒数， 即 －p ． )
【例】 (1)已知x＝2－
探究提高
Hale Waihona Puke Baidu
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，
计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
6 知能迁移3 (1) － 18－( 1 )0 2 2 解：原式＝3 2 －3 2 －1 ＝－1
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1； 2 解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值． 解：∵3< 10 <4，