第5讲 二次根式及其运算

(3)(2012· 南通)计算： 48÷ 3－
1 2× 12＋ 24.
解：原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6
【点评】
b≥0)，
(1)二次根式化简 ，依据 ab＝ a · b (a≥0 ， a a ( 0 0) b＝ b a≥ ，b＞ ，前者将被开方数分解，后
者分子、分母同时乘一个适当的数使分母变成一个完全平 方数，即可将其移到根号外； (2)二次根式加减，即化简 之后合并同类二次根式；(3)二次根式乘除结果要化为最 简二次根式．
4．(1)已知 m＝1＋ 2，n＝1－ 2，则代数式 m2＋n2－3mn的 值为( C ) A．9 B．±3 C．3 D．5
1 x－4＋ 4－x y (2)(2014· 德州)若 y＝ －2，则(x＋y) ＝____ 4 ； 2
(3)已知|6－3m|＋(n－5)2＝3m－6－ （m－3）n2，则 m－n＝
（ c － a－ b ）
2
.
解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a|＋
|c－a－b|＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋
(a＋b－c)＝2a＋2b＋2c
【点评】 (1)对于二次根式，它有意义的条件是被开方
数大于或等于 0；(2)注意二次根式性质( a) ＝a(a≥0)， a ＝|a|的区别，判断出各式的正负性，再化简．
2
二次根式的运算
【例 2】 各式：① (1)(2014· 济宁)如果 ab＞0，a＋b＜0，那么下面
a a b ＝ b， ②
a b a · ＝1，③ ab÷ ＝－ b， b a b
其中正确的是 ( B )
A．①②
C．①③
B．②③
D ．①②③
(2)计算： 24－
3 2＋
2 3－2
1 6.
1 1 1 3 解：原式＝2 6－ 6＋ 6－ 6＝ 6 2 3 3 2
(2)二次根式的乘法： a· b＝
ab(a≥0，b≥0)
；
(3)二次根式乘法的反用： ab＝ a· b(a≥0，b≥0) ； a (a≥0，b＞0) a b (4)二次根式的除法： ＝ ； b a (a≥0，b＞0) a b (5)二次根式除法的反用： ＝ ． b
要点梳理 4．最简二次根式
运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二
次根式．最简二次根式，需满足两个条件：
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式．
“双重非负性”
算术平方根 a具有双重非负性，一是被开方数 a 必须
是非负数，即 a≥0；二是算术平方根 a的值是非负数， 即 a≥0.算术平方根的非负性主要用于两方面： (1)某些二次根式的题目中隐含着 “a≥0”这个条件 ，做
安 徽 省
数
学
第一章 数与式
第5讲 二次根式及其运算
要点梳理
1．二次根式的概念 a(a≥0) 式子 2．二次根式的性质 (1)( a)2＝
(2) a2＝|a|＝
叫做二次根式．
a(a≥0)
a（a＞0） ； 0（a＝0） ； －a（a＜0） Ｗ.
。
要点梳理
3．二次根式的运算
(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；
解：(1)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]＝18－1－8 ＋4 2－1＝8＋4 2
(2)( 10－3)2012· ( 10＋3)2013.
原式＝( 10－3)2012×( 10＋3)2012×( 10＋3)＝ [( 10－3)( 10＋3)]2012×( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3
2k－1 【例 1】 (1)等式 ＝ k－3 2k－1 成立，则实数 k 的 k－3
范围是( D )
1 A．k＞3 或 k＜2 1 C．k≥2 B．0＜k＜3
D．k＞3
(2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长 ，试化简：
2 2 2 a b c a b c b c a （ ＋ ＋ ）＋ （ － － ） ＋ （ － － ） ＋
【点评】
(1)二次根式混合运算，把若干个知
识点综合在一起，计算时要认真仔细；(2)可以
运用运算律或适当改变运算顺序，使运算简便．
3．(1)(2014· 荆门)计算： 24×
1 3－4×
1 0 (1 2) . × － 8
3 2 解：原式＝2 6× －4× ×1＝2 2－ 2＝ 2 3 4
(2)已知 10的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2－b2 的值．
解： (1)∵x＝2－ 3， y＝2＋ 3， x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3) ＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1，∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2 －xy＝42－1＝15 1 1 (2)已知 x＋ ＝－3， 求 x－x的值． x 12 12 1 2 (2)∵(x－ ) ＝(x＋ ) －4＝(－3) －4＝5，∴x－ ＝± 5 x x x
4．(2014· 福州)若(m－1) 2＋ n＋ 2＝0， 则 m＋ n 的值是( A ) A．－1 B． 0 C． 1 D． 2 5．(2014· 内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的 n 值 为 2，则最后输出的结果是( C )
A． 14
B． 16
C ．8 ＋ 5 2
D． 14＋ 2
二次根式概念与性质
2．(1)(2012· 安顺 )计算 27的结果是 ( D ) A．± 3 3 B．3 3 C．± 3 D． 3
3
(2)(2012· 福州 ) 若 20n 是整数 ， 则正整数 n 的最小值为
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5 ． ____
(3)(2014· ____ 抚州 )计算： 27－ 3＝2 3 ．
二次根式混合运算
【例 3】 计算： (1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；
－2． ____
2 2 (1) x xy y 【点评】 ＋ ＋ 是一个对称式，可先求出基本 2 2 2 4 1 ( ) x y xy x xy y x y 对称式 ＋ ＝ ， ＝ ， 然后将 ＋ ＋ 转化为 ＋
12 12 －xy，整体代入即可；(2)注意到(x－x) ＝(x＋x) －4，可 12 1 得(x－x) ＝5，x－x＝± 5.
解：∵3＜ 10＜4，∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b ＝ 10－3.∴a2 －b2＝32 －( 10－3)2 ＝9－(10－6 10 ＋9) ＝－10＋6 10
二次根式运算中的技巧
2 2 4 (1) x 2 3 y 2 3 x xy y 【例 】 已知 ＝ － ， ＝ ＋ ，求 ＋ ＋
的值；
题时要善于挖掘隐含条件，巧妙求解；
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零．
两个防范
(1)求 a 时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等
2 式 a ＝|a|， 当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时
2
就要分类讨论； (2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探
求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接
2
2
1．(1)(－ 2)2 的平方根是 ± 2
；9 的算术平方根是
-4 是－64 的立方根． 3 ；____ ____
(2)(2014· 达州)二次根式 －2x＋4有意义，则实数 x 的取 值范围是( D )
A．x≥－2
C．x＜2
B．x＞－2
D．x≤2
(3)如果 （2a－1） ＝1－2a，则( B ) 1 A．a＜2 1 C．a＞2 1 B．a≤2 1 D．a≥2
影响求解过程的附加条件和隐含条件．要特别注意，问 题中的条件没有主次之分，都必须认真对待．
求值问题“五招” (1)巧用平方；(2)巧用乘法公式；(3)巧用配方；(4) 巧用换元；(5)巧用倒数．
1．(2014· 安徽) 设 n 为正整数 ，且 n＜ 65＜n＋1，则 n 的值 为( D ) A．5 B． 6 C． 7 D． 8 2．(2013· 安徽)若 1－ 3x 在实数范围内有意义， 则 x 的取值 1 范围是__x≤ __． 3 3．(2014· 徐州)下列运算中错误的是( A ) A. 2＋ 3＝ 5 C. 8÷ 2＝2 B. 2 × 3 ＝ 6 D．(－ 3)2＝ 3