角度计算(含详细解析)
第04讲 角度计算(含解答)
九年级数学竞赛专题第四讲角度计算一、选择题1．如图1，在△ABC中，∠，∠B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D、E，且AD=AB=BE，则∠A的度数是（）A．10°B．11°C．12°D．14°(1) (2) (3)2．如图2，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5 C．4：5：6 D．以上结果都不对3．如图3，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°4．如图4，在△ABC中，AD是BC边上的中线；∠ADB，∠ADC的平分线各交AB，AC 于M，N，MN交AD于P，连结PB，PC，则∠BPC是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上都可能(4) (5) (6)5．如图5，点P是正方形ABCD内的一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a>0），那么∠APB 的大小是（）A．100°B．120°C．135°D．150°二、填空题1．已知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，则该凸十一边形的各内角中，最小的内角大小为____________。
2．如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=7，那么∠CPA=_____________.3．如图7，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC被点D、E三等分，且BC=3AC，那么∠AEC+∠ADC+∠ABC=_____________。
(7) (8) (9)4．如图8，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，D是AB边上一点，AD=BC，连结CD，那么∠BDC的大小是__________。
小学数学四年级讲义：角度计算(精编)
小学数学四年级讲义：角度计算[解题方法和技巧]一.角及其分类：1、角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角。
锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：等于180°的角叫做平角。
周角：等于360°的角叫做周角。
2、对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交，构成两对对顶角。
互为对顶角的两个角相等。
3、余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等二、三角形的外角：1、定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。
2、性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
.三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角.三、折叠图形性质：折叠前后重叠部分完全重合（对应角，对应边，面积相等）[题型一：线与角求角度计算][模型例题1．]如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线。
(1)写出图中与∠1互余的角；(2)若∠2=30°，求∠AOE的度数．答案：(1)∠COE，∠2.(2)120°。
解析：(1)和为90°的两个角互余，故∠COE与∠1互余，又∠2与∠COE为对顶角，相等，故也与∠1互余。
(2)∠2与∠COE为对顶角，相等，故∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+30°=120°。
[参照模型做练习1]1．如图1所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，那么下列结论错误的是（）A．∠AOC与∠COE互为余角B．∠BOD与∠COE互为余角C．∠COE与∠BOE互为补角D．∠AOC与∠BOD是对顶角2．如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠BOE=90°，若∠COE=55°，求∠BOD的度数。
小学奥数教程：角度计算_全国通用(含答案)
4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒其中，正确说法的个数是【考点】角度计算【难度】3星【题型】填空【解析】几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例2】下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
(复杂版)三年级奥数角度计算
(复杂版)三年级奥数角度计算介绍本文档旨在提供关于三年级奥数角度计算的详细解释和方法。
我们将介绍角度的基本概念、角度的计算公式和一些相关的例题。
角度的定义在几何学中，角度是两条射线或线段之间的夹角。
我们通常用角度符号来表示角度的大小。
一个完整的角度是360度。
角度的计算公式角度的度量方式角度可以通过度（°）、弧度（rad）或百分比来进行度量。
- 度 (°) 是最常用的度量单位，一个完整的角度为360°。
- 弧度 (rad) 是另一种常用的度量单位，一个完整的角度为2π弧度。
- 百分比 (%) 通常用于表示角度的一部分。
角度的计算公式下面是一些常用的角度计算公式：1. 两条相互垂直的直线（例如，直角）之间的角度为90°。
2. 两条直线平行时，它们之间的角度为0°。
3. 如果一个角度是另一个角度的一半，那么两个角度的度数之比为1:2。
4. 三角形中的三个内角的和为180°。
5. 三角形的外角等于与之相对的内角的和。
示例问题问题1如果一个角度是60°，那么它的对角度是多少？解答：根据角度计算公式，一个角度的对角度等于180°减去这个角度的大小。
所以，对于60°的角度，它的对角度为180°-60°=120°。
问题2在一个直角三角形ABC中，角A的度数是30°。
请计算另外两个角的度数。
解答：根据三角形的内角和为180°的性质，我们可以计算出另外两个角的度数。
角A + 角B + 角C = 180°角A = 30°所以，角B + 角C = 180° - 30° = 150°由于角B和角C是互补角，它们的度数之和为90°（直角）。
因此，角B = 90° - 角C将上面的等式代入，得到 90° - 角C + 角C = 150°解得角C = 30°所以，角B = 90° - 30° = 60°所以，在这个直角三角形中，角B的度数为60°，角C的度数为30°。
小学奥数 角度计算 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例 1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒ 其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)
人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练习(含答案)人教版七年级数学《角度换算》计算题专项练1.计算：13°58′+28°37′×2．解答】13°58′+28°37′×2=13°58′+57°14′=71°12′．2.计算（结果用度、分、秒表示）：22°18′20″×5﹣28°52′46″．解答】22°18'20''×5﹣28°52'46''=110°90'100''﹣28°52'46''=82°38'54''．3.计算：1）90°﹣36°12'15″2）32°17'53“+42°42'7″3）25°12'35“×5；4）53°÷6．解答】（1）90°﹣36°12'15″=53°′45″；2）32°17'53“+42°42'7″=74°59′60″=75°；3）25°12'35“×5=125°60′175″=126°2′55″；4）53°÷6=8°50′．5.计算：1）27°26′+53°48′2）90°﹣79°18′6″．解答】（1）27°26′+53°48′=81°14′；2）90°﹣79°18′6″=10°41′54″．6.计算1）25°34′48″﹣15°26′37″2）105°18′48″+35.285°．解答】（1）25°34′48″﹣15°26′37″=10°8′11″；2）105°18′48″+35.285°=140°28′48″．7.计算：1）40°26′+30°30′30″÷6；2）13°53′×3﹣32°5′31″．解答】（1）40°26′+30°30′30″÷6=45°31′；2）13°53′×3﹣32°5′31″=41°32′59″．8.计算：180°﹣48°39′40″．解答】180°﹣48°39′40″=131°20′20″．9.计算：26°21′30″+42°38′30″．解答】26°21′30″+42°38′30″=69°60′=70°．10.（1）180°﹣（34°55′+21°33′）；2）（180°﹣91°31′24″）÷2．解答】（1）180°﹣（34°55′+21°33′）=123°12′；2）（180°﹣91°31′24″）÷2=44°14′18″．11.计算：72°35′÷2+18°33′×4．解答】72°35′÷2+18°33′×4=36°17′30″+74°12′=110°29′30″．12.计算：48°39′+67°41′．解答】48°39′+67°41′=116°20′．13.计算：18°20′32″+30°15′22″．解答】18°20′32″+30°15′22″=48°35′54″．14.计算：180°﹣22°18′×5．解答】180°﹣22°18′×5=67°30′．15.计算：56°31′+29°43′×6．解答】56°31′+29°43′×6=245°19′．16.计算：49°28′52″÷4．解答】49°28′52″÷4=12°22′13″．4.计算：(1) 27°26′+53°48′。
(完整版)小学奥数教程之角度计算教师版全国通用
4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例 1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
第二单元角度计算问题“拓展型”专项练习-四年级数学(解析版)北师大版
2023-2024学年四年级数学上册典型例题系列第二单元：角度计算问题“拓展型”专项练习（解析版）一、填空题。
1．图中∠1＝70°，那么∠2＝( )°。
【答案】40【分析】由图可知，∠1、∠2和∠3构成了一个平角，根据折叠的特性可知，∠1与∠3的度数相等，用平角的度数减去∠1和∠3的度数，即可算出∠2的度数。
据此解答。
如图：【详解】180°－70°－70°＝110°－70°＝40°图中∠1＝70°，那么∠2＝40°。
【点睛】本题主要考查学生对平角的认识，掌握折叠后角大小不变这一特性是解决此题的关键。
2．看图计算。
如图，已知∠1＝50°，那么∠2＝( )。
【答案】80°【分析】在图中添加∠3；如图：∠1是∠3折上去的，∠1与∠3相等，且∠1＋∠2＋∠3＝平角＝180°，已知∠1的度数，只要用180°－∠1－∠3＝∠2，据此解答。
【详解】因为∠1＝∠3＝50°，∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠2＝180°－50°－50°＝130°－50°＝80°。
如图，已知∠1＝50°，那么∠2＝（80°）。
【点睛】本题主要考查了学生对折叠角的求法，关键是清楚哪些角的度数和是180°。
3．将长方形的一个角按下图所示的方式折叠。
已知140∠=︒，那么2∠=( )°。
【答案】10【分析】长方形中有四个直角，因此∠1＋∠1＋∠2＝90°，由此可知，用90°减2个∠1的度数即可，依此计算。
【详解】90°–40°－40°＝50°–40°＝10°，即∠2＝10°。
【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握直角的特点，以及图形的折叠特点。
专题 与平行线有关的角度计算(四大题型)(解析版 )
（人教版）七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题与平行线有关的角度计算1．（2023秋•惠安县期末）如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为（）A．64°B．66°C．84°D．86°【分析】根据对顶角相等结合已知可求出∠1的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝232°，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝116°，∵l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∴∠4＝64°，∵∠3＝∠4，∴∠3＝64°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角的性质是解题的关键．2．如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（）A．154°B．144°C．134°D．124°【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝56°，∴∠C＝180°﹣∠B＝124°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．3．（2023秋•遂平县期末）如图．直线a∥b，直线L与a、b分别交于点A、B，过点A作AC⊥b于点C．若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130°B．50°C．40°D．25°【分析】直接利用垂直的定义得出∠ACB＝90°，再利用平行线的性质得出答案．【解答】解：∵AC⊥b，∴∠ACB＝90°，∵∠1＝50°，∴∠ABC＝40°，∵a∥b，∴∠ABC＝∠2＝40°．故选：C．【点评】此题主要考查了垂线以及平行线的性质，正确得出∠ABC的度数是解题关键．4．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝44°，则∠2的度数为（）A．30°B．44°C．46°D．56°【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可以得到∠CBD的度数，再根据直线l1∥l2，可以得到∠CBD ＝∠2，从而可以得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：∵CD⊥AB于点D，∠1＝44°，∴∠CBD＝46°，∵直线l1∥l2，∴∠CBD＝∠2，∴∠2＝46°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．5．如图，一个由4条线段a，b，c，d组成的“鱼”形图案，若∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝140°，则∠4的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【分析】先由∠1、∠2的关系得到b与c的关系，再利用平行线的性质求出∠4．【解答】解：∵∠1＝45°，∠2＝45°，∴∠1＝∠2．∴b∥c．∴∠3+∠4＝180°．∵∠3＝140°，∴∠4＝180°﹣140°＝40°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．6．（2023秋•泰兴市期末）如图，AB∥CD，直线EF和AB、CD分别交于点G、H，若∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，则x的值为（）A．10B．20C．100D．110【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质，可以得到∠EGB和∠CHF的关系，然后即可求得x的值．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠EHD，∵∠EHD＝∠CHF，∴∠EGB＝∠CHF，∵∠EGB＝（2x+30）°，∠CHF＝（80﹣3x）°，∴2x+30＝80﹣3x，解得x＝10，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质、对顶角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．如图，DE∥BC，点A在直线DE上，∠DAB＝78°，∠ACF＝135°，∠BAC＝度．【分析】由DE∥BC可知∠DAC＝∠ACF＝135°，再利用角的差求∠BAC即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC＝∠ACF＝135°，∵∠DAB＝78°，∴∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝57°．故答案为：57．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．8．（2023秋•东坡区期末）如图，AB∥CD，∠ACD＝155°，∠AFE＝26°，则∠CEF的度数为．【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝25°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝155°，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝25°，∵∠CEF是△AEF的一个外角，∠AFE＝26°，∴∠CEF＝∠A+∠AFE＝51°，故答案为：51°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．如图，直线AB∥EF，直线AG，BD分别交直线EF于点C，D．若∠A＝2∠B，∠ECG＝108°，则∠BDF的度数为°．【分析】由∠ECG＝108°，AB∥EF，可得∠A＝72°，而∠A＝2∠B，知∠B=12∠A＝36°；故∠BDF＝∠B＝36°．【解答】解：∵∠ECG＝108°，∴∠ACD＝108°，∵AB∥EF，∴∠A＝180°﹣∠ACD＝72°，∵∠A＝2∠B，∴∠B=12∠A＝36°；∵AB∥EF，∴∠BDF＝∠B＝36°；故答案为：36．【点评】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补是解题的关键．10．（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为．【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．11．（2023秋•商水县期末）如图，已知DE∥CB，∠B＝∠D．（1）判断AB、CD是否平行，并说明理由．（2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数．【分析】（1）由平行线的性质可得∠D＝∠BCF，从而可求得∠BCF＝∠B，即可判定AB∥CD；（2）由平行线的性质可得∠B+∠BED＝180°，∠F＝∠BEF，结合条件即可求解．【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵DE∥CB，∴∠D＝∠BCF，∵∠B＝∠D，∴∠BCF＝∠B，∴AB∥CD；（2）∵DE∥CB，∴∠B+∠BED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF＝180°，∵AB∥CD，∴∠F＝∠BEF，∴∠B+∠F+∠DEF＝180°，∵∠B+∠F＝102°，∴∠DEF＝78°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．12．（2023秋•长沙期末）如图，直线EF与CD交于点O，OA平分∠COE交直线l于点A，OB平分∠DOE交直线l于点B，且∠1+∠2＝90°．（1）求∠AOB的度数；（2）求证：AB∥CD；（3）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠A=12∠A，∠A=12∠A，然后利用平角定义，以及角的和差关系进行计算，即可解答；（2）利用（1）的结论可得：∠AOB＝90°，从而利用平角定义可得：∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，从而利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；（3）利用角平分线的定义可得∠2=12∠DOE，从而可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE+∠3＝180°，从而可得∠3＝100°，进而可得∠COE＝∠3＝100°，最后利用角平分线的定义可得∠AOE ＝50°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．【解答】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴∠A=12∠A，∠A=12∠A，∴∠AOE+∠BOE=12∠COE+12∠DOE=12（∠COE+∠DOE）=12×180°＝90°，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB的度数为90°；（2）证明：由（1）得：∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠2＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠AOC＝∠1，∴AB∥CD；（3）解：∵OB平分∠DOE，∴∠2=12∠DOE，∵∠2：∠3＝2：5，∴∠DOE：∠3＝4：5，∵∠DOE+∠3＝180°，∴∠3=180°×59=100°，∴∠COE＝∠3＝100°，∵OA平分∠COE，∠A=12∠A=50°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°，∴∠AOF的度数为130°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．1．（2023秋•南关区校级期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝131°，则∠DBC的度数为．【分析】由平行线是的性质推出∠GED＝∠ADE＝131°，∠DBC+∠GED＝180°，即可求出∠DBC的度数．【解答】解：∵AD∥EG，∴∠GED＝∠ADE＝131°，∵EG∥BC，∴∠DBC+∠GED＝180°，∴∠DBC＝49°．故答案为：49°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠GED＝∠ADE，∠DBC+∠GED＝180°．2．（2023秋•威宁县期末）一把直尺按如图所示摆放，AB∥CD，且∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．70°B．60°C．30°D．80°【分析】根据题意可得：EF∥HG，从而利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝70°，然后再利用平行线的性质可得∠3＝∠2＝70°，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：EF∥HG，∴∠1＝∠3＝70°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠2＝70°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．3．（2023秋•海安市期末）将一直尺和一块含30°角的三角尺按如图放置，若∠CDE＝40°，则∠BF A 的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．140°【分析】先求∠CFA的度数，再求∠BFA的度数．【解答】解：∵DE∥AF，∴∠CDE＝∠CFA，∵∠CDE＝40°，∴∠CFA＝40°，∴∠BFA＝180°﹣∠CFA＝140°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质．4．（2023秋•铜官区期末）如图，将一块含有45°角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果∠2＝65°，那么∠1的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据题意∠2＝65°即可算出∠3度数，再利用平行性质即可算出本题答案．【解答】解：如下图所示：∵∠2＝65°，一块含有45°角的三角板，∴∠3＝90°﹣65°＝25°，∵两个顶点放在直尺的一组对边上，∴∠3＝∠4＝25°，∴∠1＝45°﹣25°＝20°，故选：B．【点评】本题考查平行线性质，关键是余角定义，角度计算．5．（2023秋•锦江区校级期末）一块含30°角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线a∥b，∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．45°B．35°C．30°D．25°【分析】先根据题意得出∠1+∠BAC的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝35°，∴∠1+∠BAC＝35°+30°＝65°，∵a∥b，∴∠2+∠ACB+∠1+∠BAC＝180°，即∠2+90°+35°+30°＝180°，∴∠2＝25°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．6．如图，将一副三角尺按如图所示的位置在同一平面内摆放，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠B＝30°，∠ECD＝45°．若AB∥CE，CB与DE相交于点F，则∠BCD的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据平行线的性质得出∠ECA＝120°，进而利用角的关系解答即可．【解答】解：∵AB∥CE，∴∠ECA＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，∵∠ECD＝45°，∴∠DCA＝120°﹣45°＝75°，∵∠BCA＝90°，∴∠BCD＝90°﹣75°＝15°，故选：A．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．7．（2023秋•新都区期末）如图，将含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角顶点A放到矩形DEFH 的边DE上，若∠EAB＝15°，则∠FQG的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°【分析】先根据∠EAB＝15°，∠CAB＝90°得出∠CAE的度数，再由HF∥DE得出∠CMF的度数，由三角形内角和定理得出∠CQM的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵∠EAB＝15°，∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣15°＝75°，∵HF∥DE，∴∠CMF＝∠CAE＝75°，∵∠C＝60°，∴∠CQM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴∠FQG＝∠CQM＝45°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．8．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（）A．105°B．120°C．150°D．165°【分析】由∠D＝∠BAC，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AC∥DF，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ACE的度数，结合∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，可求出∠BCE的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠BCF的度数．【解答】解：∵∠D＝∠BAC＝90°，∴AC∥DF，∴∠ACE＝∠F＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°．又∵∠BCE+∠BCF＝180°，∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出∠BCE的度数是解题的关键．9．一副三角形板如图放置，DE∥BC，∠C＝∠DBE＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°，则∠ABD的度数为（）A．5°B．15°C．20°D．25°【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到∠DC＝45°，∠AB＝60据此可得∠ABD的度数．【解答】解：Rt△ABC中，∠A＝30°，∴∠ABC＝60，∵BC∥DE，∠EDB＝∠E＝45°，∴∠DBC＝45°，∴∠ABD＝60°﹣45°＝15°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．10．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE．则∠AFD的度数是（）A．25°B．20°C．15°D．10°【分析】利用三角板的度数可得∠A＝30°，∠D＝45°，由平行线的性质定理可得∠1＝∠D＝45°，利用三角形外角的性质可得结果．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，∴∠D＝180°﹣∠EFD﹣∠DEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵AB∥DE，∴∠1＝∠D＝45°，∴∠AFD＝∠1﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出∠A，∠D的度数是解本题的关键．11．（2023秋•莲湖区期末）如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠2＝55°，求∠1的度数．【分析】先根据两直线平行的性质，得到∠3＝∠2，再根据平角的定义，即可得出∠1的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3．∵∠2＝55°，∴∠3＝55°．∵∠1+60°+∠3＝180°，∴∠1＝65°．【点评】本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．12．将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，t＝．（2）当t＝18时，求∠BCD的度数？（3）在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时（不包含重合的情形），求此时t的值为．（直接写出答案即可）【分析】（1）当AC为∠DCE的角平分线时，可以求出旋转角，再根据旋转的速度即可求解．（2）当t＝18时，旋转角为90°，可求出∠ACD，即可求出∠BCD．（3）数形结合，分情况进行讨论即可．【解答】解：（1）当AC为∠DCE的角平分线时，旋转角为15°，∴t=155=3，故答案为3．（2）当t＝18时，旋转角为90°，如图：∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，∴∠ACD＝60°，∠BCD＝60°﹣45°＝15°．（3）当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时，有3种情况：①当AB∥DE时，如图：此时，BC与CD重合，t＝（30+40）÷5＝15，②当AB∥CE时，如图：∵AB∥CE，∴∠BCE＝∠B＝90°，∴∠ACE＝90°+45°＝135°，∴t＝135÷5＝27，③当AB∥CD时，如图：∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠D＝90°，∴∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，∴t＝165÷3＝33．综上所述，t＝15或27或33．【点评】本题考查旋转的性质，角平分线的性质，平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论．1．如图，在弯形管道ABCD中，若AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD的大小为（）A．58°B．68°C．78°D．122°【分析】根据平行线的性质得出∠ABC+∠BCD＝180°，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝122°，∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质定理进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．2．如图，万岁山大宋武侠城的两条小路AB∥CD，则∠BAE+∠AEC+∠ECD＝（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】作辅助线EF∥AB，然后根据平行线的性质，可以得到∠BAE+∠AEC+∠ECD的度数．【解答】解：过点E作EF∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠FEC+∠ECD＝180°，∵∠AEF+∠FEC＝∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质，明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2023秋•海门区期末）如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，入射光线OM经过镜子两次反射后的出射光线NO平行于AB，图中∠1＝∠2，∠3＝∠4．当OM∥BC时，∠α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由平行线的性质推出∠4＝∠α，∠1＝∠α，又∠3＝∠4，∠2＝∠1，得到∠1＝∠2＝∠α，判定△MNB是等边三角形，得到∠α＝60°．【解答】解：∵ON∥AB，∴∠4＝∠α，∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠α，∵OM∥BN，∴∠1＝∠α，∵∠2＝∠1，∴∠2＝∠α，∴∠3＝∠2＝∠α，∴△MNB是等边三角形，∴∠α＝60°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠2＝∠α．4．（2023秋•即墨区期末）生活中的椅子一般依据人体工学原理设计，如图为生活中一把椅子的侧面图，从人体脊柱的形势而言，当靠背角度∠DEF＝115°时，能产生较为接近自然腰部的形状，此时最舒适．已知DE与地面平行，支撑杆BD与地面夹角∠ABD＝50°，则制作时用螺丝固定时支撑杆BD和AF需构成夹角∠ACB为（）A．70°B．65°C．60°D．50°【分析】先求出∠DEC的度数，再求出∠CAB的度数，最后求出∠ACB的度数．【解答】解：∵∠DEF＝115°，∴∠DEC＝180°﹣∠DEF＝65°，∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠DEC＝65°，∵∠ABD＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABD﹣∠CAB＝65°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质．5．当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同．如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行．若∠1＝110°，则∠2的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】根据题意可得：AB∥CE，然后利用平行线的性质可得∠ACE＝70°，再利用两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠ACE＝70°，即可解答．【解答】解：如图：由题意得：AB∥CE，∴∠1+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝180°﹣∠1＝70°，∵AC∥BE，∴∠2＝∠ACE＝70°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（2023秋•鹿寨县期末）如图1是某景区电动升降门，将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，当CD平行于地面AE时，则∠ABC+∠BCD＝．【分析】过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，所以∠ABF＝90°，于是有∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD ＝270°．【解答】解：过点B作BF∥AE，如图：∵CD∥AE，∴BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案为：270°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．7．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，则∠2+∠3的度数为．【分析】过∠2顶点做直线l∥支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解．【解答】解：过∠2顶点做直线l∥支撑平台，∴l∥支撑平台∥工作篮底部，∴∠1＝∠4＝30°、∠5+∠3＝180°，∴∠4+∠5+∠3＝30°+180°＝210°，∵∠4+∠5＝∠2，∴∠2+∠3＝210°．故答案为：210°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝130°，AB∥DE，∠D＝70°，则∠ACD＝．【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，最后利用角的和差关系求解即可．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，又∠BAC＝130°，∠D＝70°，∴∠ACF＝130°，∠DCF＝110°，∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键．9．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（）A．30°B．29°C．28°D．27°【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE．【解答】解：如图，延长DC交AE于F，∵AB∥CD，∠BAE＝92°，∴∠CFE＝92°，又∵∠DCE＝121°，∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．10．（2023秋•鹰潭期末）生活现象如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．数学模型如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由．【分析】由AC∥BD可得∠A+∠ABD＝180°，进而得出∠ABD＝76°，再根据内错角相等，两直线平行可得答案．【解答】解：OE∥BD，理由如下：∵AC∥BD，∴∠A+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°，∴∠ABD＝∠BOE，∴OE∥BD．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握这些判定和性质解题的关键．11．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即AB∥CD．活动小组在探索∠APD与∠A，∠D的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A＝∠D时，瞄准最准确．现测得∠A＝160°，∠APD＝40°，判断此时瞄准是否最准确，请说明理由．【分析】如图所示，过点P作PQ∥AB，利用平行线的性质得到∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，在求出∠DPQ的度数即可得到答案．【解答】解：此时瞄准最准确．如图所示，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝20°，∠D＝180°﹣∠DPQ，∵∠APD＝40°，∴∠DPQ＝∠APD﹣∠APQ＝20°∴∠D＝160°，此时瞄准最准确．【点评】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．1．（2023秋•天元区期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别在M、N的位置上，EM与BC的交点为G，若∠EFC＝125°，则∠1＝（）A．35°B．55°C．70°D．65°【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠DEF+∠EFC＝180°，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算，即可求出∠1．【解答】解：∵长方形对边AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣125°＝55°，由翻折的性质得：∠DEF＝∠MEF＝55°，∴∠1＝180°﹣55°×2＝70°，故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．2．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝30°，则∠EFC′的度数为（）A．120°B．100°C．150°D．90°【分析】根据折叠的性质知∠BEF＝∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，根据平角定义可求出∠BED的度数，即得∠BEF的度数，再根据平行线的性质即可得解．【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝30°，∴∠AEB＝60°，由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF=12∠BED，∵∠BED＝180°﹣∠AEB＝120°，∴∠BEF＝60°，∵BE∥C′F，∴∠BEF+∠EFC′＝180°，∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝120°．故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，熟记折叠的性质及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．2．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠1＝115°，则图中∠2的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】由邻补角概念和翻折变换性质得出∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，据此知∠CFB′＝50°，结合∠B＝∠B′＝90°知∠2＝90°﹣∠CFB′，从而得出答案．【解答】解：∵∠1＝115°，∴∠EFB′＝∠1＝115°，∠EFC＝65°，∴∠CFB′＝50°，又∵∠B＝∠B′＝90°，∴∠2＝90°﹣∠CFB′＝40°，故选：A．【点评】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质．3．（2022•南京模拟）如图，将一块长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝α，则∠2的度数为（）A．90°﹣αB．45°+αC．45°+2D．90°−2【分析】根据平行线的性质即可求解．【解答】解：如图，作过点B的射线AF'，∵AB∥CD，∴∠1+∠FBC+∠2＝180°，∠F'BC＝∠2∵纸条是对折，∴∠FBC＝∠F'BC＝∠2，∴2∠2+∠1＝180°，∵∠1＝α，∴∠2=12×（180°﹣α），∴∠2＝90°−12α，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，本题的解题关键找出是纸条对折后的角度关系．4．（2022秋•宛城区校级期末）如图，把一个长方形纸片沿OG折叠后，C，D两点分别落在C'，D'两点处，若∠AOD'：∠D'OG＝4：3，则∠BGO＝度．【分析】设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出∠BGO的度数．【解答】解：∵∠AOD'：∠D'OG＝4：3，设∠AOD'＝4x，则∠D'OG＝3x，由翻折可知∠DOG＝∠D'OG＝3x∵∠AOD'+∠D'OG+∠DOG＝180°，即10x＝180°，解得x＝18°，∵AD∥BC，∴∠BGO＝∠DOG＝3x＝54°，故答案为：54．【点评】本题考查了折叠的性质和平角的等于180°，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等．5．（2023秋•北林区校级期末）将长方形ABCD纸片沿AE折叠得到如图所示的图形，已知∠CED′＝68°，则∠EAB的度数是．【分析】由折叠可得∠DEA＝∠D'EA，再由已知的条件可求得∠DEA的度数，从长方形可得AB∥CD，从而可求∠EAB的度数．【解答】解：由折叠得：∠DEA＝∠D'EA，∵∠CED′＝68°，∴∠DED'＝180°﹣∠CED'＝112°，∴∠DEA=12∠DED'＝56°，∵四边形ABCD是长方形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝56°．故答案为：56°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．6．（2023秋•萍乡期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为°．【分析】根据平行线的性质得到∠BDE＝∠B＝40°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ADC，根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADC的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°，∴∠BDE＝40°，由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°，∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝110°，∴∠ADE＝∠ADC＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．7．（2023秋•淮南期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠1＝76°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠B的度数为．【分析】由折叠的性质得∠FED＝∠1，∠A＝∠F，根据平角的定义求出∠FEC的度数，再根据平行线的性质求出∠F的度数，即可得出∠A的度数，从而求出∠B的度数．【解答】解：由折叠的性质得∠FED＝∠1，∠A＝∠F，∵∠1＝76°，∴∠FED＝76°，∴∠FEC＝180°﹣∠FED﹣∠1＝180°﹣76°﹣76°＝28°，∵EF∥AB，∴∠F＝∠FEC＝28°，∴∠A＝28°，∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62°．【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．8．（2023秋•丹徒区期末）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠EFC ＝30°，则∠DAE等于．【分析】由长方形的性质得出∠D＝90°，AD∥BC，再由折叠的性质得出∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D ＝90°，结合已知∠EFC＝30°即可求出∠AFB的度数，从而求出∠DAE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠D＝90°，AD∥BC，由折叠得，∠DAE＝∠FAE，∠AFE＝∠D＝90°，∵∠EFC＝30°，∴∠AFB＝180°﹣∠AFE﹣∠EFC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，即60°＝2∠DAE，∴∠DAE＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了平行线的性质，长方形的性质，折叠的性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．9．（2022•郑州模拟）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，点C、D的对应点分别为C'、D'．若∠DEF ＝α，用含α的式子可以将∠C'FG表示为（）A．2αB．90°+αC．180°﹣αD．180°﹣2α【分析】由折叠的性质可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，从而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出结果．【解答】解：由长方形纸带ABCD及折叠性质可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，∵AD∥BC，∴∠D'GF＝∠DEG＝2α，∴∠C'FG＝180°﹣2α．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记折叠的性质．10．（2023秋•泉州期末）如图，四边形ABCD是一条两边互相平行的纸带，将其沿着EG折叠，使得点B，C分别落在点H，I处，EH与DG相交于点F，若∠EGF＝56°，求∠EFD的度数．【分析】利用平行线的性质可得∠BEG＝∠EGD＝56°，再利用折叠的性质可得：∠BEF＝2∠BEG＝112°，然后利用平行线的性质可得∠BEF＝∠EFD＝112°，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGD＝56°，由折叠得：∠BEF＝2∠BEG＝112°，∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFD＝112°，∴∠EFD的度数为112°．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．11．在图中，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3．（1）若在图1中，∠DEF＝20°，则图3中∠C2FE的度数是多少？（2）若∠DEF＝α，请用α表示图3中的∠C2FE的度数．【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CFE＝160°，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE＝∠DEF，然后求出∠BFC1，再根据翻折的性质可得∠CFE＝∠EFC1，∠C2FB+∠BFC1，即可得解；（2）同（1）的方法求解即可．【解答】解：（1）∵矩形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝20°，由翻折的性质得，∠CFE＝∠EFC1，∴∠BFC1＝160°﹣20°＝140°，由翻折的性质得，∠C2FB+∠BFC1，所以，∠C2FE＝140°﹣20°＝120°；（2）∵矩形对边AD∥BC，∴CF∥DE，∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝α，由翻折的性质得，∠CFE＝∠EFC1，∴∠BFC1＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，由翻折的性质得，∠C2FB+∠BFC1，所以，∠C2FE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．12．（2022秋•东阳市期末）如图，长方形纸片ABCD中，G、H分别是AB、CD边上的动点，连GH，将长方形纸片ABCD沿着GH翻折，使得点B，C分别落在点E，F位置．（1）若∠BGH＝110°，求∠AGE的度数．（2）若∠FHD＝20°，求∠CHG的度数．（3）已知∠BGH和∠CHG始终互补，若∠BGH＝α，请直接写出∠FHC的度数（含α的代数式）．【分析】（1）根据折叠得到∠BGH＝∠EGH＝110°，再根据平角的定义，利用∠AGE＝∠BGH+∠EGH ﹣180°计算可得；（2）根据折叠得到∠CHG＝∠FHG，再根据平角的定义计算即可；（3）根据互补得到∠BGH+∠CHG＝180°，从而求出∠CHG＝∠FHG＝180°﹣α，分情况继而可得结果．【解答】解：（1）由折叠可得：∠BGH＝∠EGH＝110°，∵∠BGH+∠AGH＝180°，∴∠AGE＝∠BGH+∠EGH﹣180°＝40°；（2）由折叠可得：∠CHG＝∠FHG，∴∠C=12(180°−∠Cp=80°；（3）情况一：∵∠BGH和∠CHG始终互补，∴∠BGH+∠CHG＝180°，∵∠BGH＝α，∴∠CHG＝180°﹣α，∴∠FHG＝180°﹣α，∴∠FHC＝∠FHG+∠CHG＝360°﹣2α．情况二：由第一种情况可知：∠1＝360°﹣2α，∴∠FHC＝360°﹣（360°﹣2α）＝2α．【点评】本题考查了折叠的性质，平角的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等．。
小学四年级数学 角度的计算教案 例题+练习+作业+答案
角度的计算知识点1：角的分类1.锐角：小于 90°的角2.直角：等于 90°的角3.钝角：大于 90°小于 180°的角4.平角：等于 180°的角5.周角：等于 360°的角知识点2:角度的计算1.对顶角相等2.三角形内角和为180°3.多边形内角和：（边数﹣2）×180°知识点3:特殊角度1.一个锐角为30°的直角三角形，斜边的长度是较短直角边的2倍；2.一个角为45°的直角三角形为等腰直角三角形；3.正三角形（等边三角形）的三个内角均为 60°【例题精讲】例题1.（1）三角形的内角和是多少度？（2）四边形的内角和是多少度？（3）五边形的内角和是多少度？【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°。
【解析】根据画图的方法，分析出来三角形，四边形，五边形的内角和，（1）如下图三角形中，内角和=平角=180 °（2）我们可以发现，任意四边形都可以被分成两个三角形，利用三角形的内角和180°，那么两个三角形的内角和就是2×180° = 360°。
（3）如上图得知：任意五边形都可以被分成三个三角形，利用三角形的内角和180°，那么三个三角形的内角和就是3×180°= 540°。
从而得到内角和与边数的关系式，内角和公式：（边数－2）×180°＝540°【铺垫或引入】利用三角形纸片证明三角形内角和为180°，利用三角形内角和进而推导出四边形内角和、五边形内角和，得出结论：多边形内角和＝（边数－2）×180°【拓展或总结】拓展：八边形内角和多少度？已知一多边形内角和1800°，是几边形？ 【小结】多边形内角和：（边数﹣2）×180°练习1. 一个六边形的内角和是多少度？【答案】720°。
三角形中角度计算七大几何模型(解析版)-初中数学
三角形中角度计算七大几何模型【模型18字模型】 1【模型2飞镖模型】 5【模型3A字模型】 11【模型4老鹰抓小鸡模型】 14【模型5双内角平分线模型】 19【模型6双外角平分线模型】 24【模型7内外角平分线模型】 30【模型18字模型】【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D.【练习】1.如图，∠C=∠D=90°，∠A=20°，则∠COA=，∠B=．【分析】依据三角形内角和定理，以及对顶角相等，即可得到∠AOC和∠B的度数．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=20°，∴∠AOC=∠BOD=70°，又∵∠D=90°，∴∠B=90°-70°=20°，故答案为：70°，20°．2.如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据三角形的内角和等于180°求解即可．【解答】解：如图，∠A+∠D=∠1，∠B+∠E=∠2，∵∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案为：180°．3.如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为．【分析】首先求出∠F+∠B=∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，最后结合题干∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．【解答】解：∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B-∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°．故答案为：208°．4.如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【解答】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故答案为：240°．5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于()A.240°B.300°C.360°D.540°【分析】连接BD，根据三角形内角和定理与对顶角的性质得出∠E+∠F=∠GDB+∠GBD，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案．【解答】解：连接BD，∵∠E+∠F=∠GDB+∠GBD，又∵∠A+∠C+∠CDB+∠DBA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠GDB+∠GBD=360°，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =360°．故选：C ．6.如图，△ABC ≌△ADE ，且∠CAD =10°，∠B =∠D =25°，∠EAB =120°，求∠DFB 和∠DGB 的度数．【分析】由△ABC ≌△ADE ，可得∠DAE =∠BAC =12(∠EAB -∠CAD )，根据三角形外角性质可得∠DFB =∠FAB +∠B ，因为∠FAB =∠FAC +∠CAB ，即可求得∠DFB 的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB =∠DFB -∠D ，即可得∠DGB 的度数．【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠DAE =∠BAC =12(∠EAB -∠CAD )=12(120°-10°)=55°．∴∠DFB =∠FAB +∠B =∠FAC +∠CAB +∠B =10°+55°+25°=90°∠DGB =∠DFB -∠D =90°-25°=65°．综上所述：∠DFB =90°，∠DGB =65°．7.我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD ，BC 相交于点O ，连接AB ，CD 得到“8”字图形ABDC ．(1)如图1，试说明∠A +∠B =∠C +∠D 的理由；(2)如图2，∠ABC 和∠ADC 的平分线相交于点E ，利用(1)中的结论探索∠E 与∠A 、∠C 间的关系；(3)如图3，点E 为CD 延长线上一点，BQ 、DP 分别是∠ABC 、∠ADE 的四等分线，且∠CBQ =14∠ABC ，∠EDP =14∠ADE ，QB 的延长线与DP 交于点P ，请探索∠P 与∠A 、∠C 的关系．【分析】(1)根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；(2)根据角平分线的定义可得∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ，结合(1)的结论可得2∠E =∠A +∠C ；(3)运用(1)和(2)的结论即可求得答案．【解答】解：(1)如图1，∵∠AOB +∠A +∠B =∠COD +∠C +∠D =180°，∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图2，∵∠ABC 和∠ADC 的平分线相交于点E ，∴∠ABE =∠CBE ，∠CDE =∠ADE ，由(1)可得：∠A +∠ABE =∠E +∠ADE ，∠C +∠CDE =∠E +∠CBE ，∴∠A +∠ABE +∠C +∠CDE =∠E +∠ADE +∠E +∠CBE ，∴2∠E =∠A +∠C ．(3)由(1)得：∠A +∠ABC =∠C +∠CDA ，∴14∠A +14∠ABC =14∠C +14∠CDA ，又∠CBQ =14∠ABC ，∠EDP =14∠ADE ，∠CDA =180°-∠ADE ，∴14∠A +∠CBQ =14∠C +45°-∠EDP ，设AD 与PQ 的交点为点O ，则∠CBQ +∠BOD =∠C +∠ADC ，两式相减可得：∠BOD -14∠A =34∠C +∠ADC +∠EDP -45°，∴∠BOD -14∠A =34∠C +180°-∠ADP -45°，∴45°-14∠A =34∠C +180°-∠ADP -∠BOD ，∵∠P =180°-∠BOD -∠ADP ，∴45°-14∠A =34∠C +∠P ，即∠A +3∠C +4∠P =180°．【模型2飞镖模型】【结论】如图所示，已知四边形ABDC ，则∠BDC =∠A +∠B +∠C .【证明】如图,延长BD 交AC 于点E .∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.【练习】8.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度数是()A.37°B.61°C.60°D.39°【分析】首先连接AD，并延长到E，根据三角形外角的性质，易得∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC，继而求得答案．【解答】解：连接AD，并延长到E，∵∠1=∠B+∠BAD，∠2=∠C+∠CAD，∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC，∵∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，∴∠BAC=∠BDC-∠B-∠C=37°．故选：A．9.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )度．A.90B.60C.50D.40【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°-∠DBC= 90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°-90°=50°；故选：C．10.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为()A.90°B.180°C.360°D.无法确定【分析】根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理可得∠1+∠2+∠C=180°，进而可得答案．【解答】解：延长BE交AC于F，∵∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，∠1+∠2+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故选：B．11.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=°．【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM=∠BAE+∠B，∠DEM=∠DAE+∠ADE，∠DFN=∠DAF+∠ADF，∠CFN=∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD=∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论．【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示．∵∠BEM是△ABE的外角，∴∠BEM=∠BAE+∠B．同理可得出：∠DEM=∠DAE+∠ADE，∠DFN=∠DAF+∠ADF，∠CFN=∠CAF+∠C，∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，即∠BED+∠CFD=∠A+∠B+∠EDF+∠C，∴∠CFD=70°．故答案为：70．12.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°．【分析】由三角形的外角的性质，可以推出∠EOC=∠E+∠C+∠D，∠BOF=∠A+∠B+∠F，于是可以解决问题．【解答】解：∵∠EOC=∠E+∠EMO，∠EMO=∠C+∠D，∴∠EOC=∠E+∠C+∠D，同理：∠BOF=∠A+∠B+∠F，∵∠BOF=∠EOC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2∠EOC=2×115°=230°．故答案为：230．13.如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC的度数是．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE，再根据三角形外角性质即可求出∠BHC的度数．【解答】解：∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF为△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故答案为：130°．14.【探究】如图①，求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C．【应用】(1)如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°，∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数；(2)如图③，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【分析】∠BOC=∠BOM+∠COM，其中∠BOM与∠COM分别是△ABO与△AOC的外角．∠ABC+∠BCD+∠CAO=180°．【解答】证明：【探究】连接OA，并延长，如图①所示：∵∠BOM是△ABO的外角，∴∠BAO+∠B=∠BOM．①∵∠COM是△AOC的外角，∴∠CAO+∠C=∠COM．②①+②得，∠BAO+∠B+∠CAO+∠C=∠BOM+∠COM，即∠BOC=∠A+∠B+∠C．【应用】(1)∵∠ABC=64°，∠BCD=46°，∴∠CAO=180°-∠ABC-∠BCD=180°-64°-46°=70°，∴∠BAO=∠CAO=70°．(2)连接AD，如图③所示：由【探究】可知∠F+∠FAD+∠EDA=∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C=∠ABC④，③+④，得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°，∴原图中∠A+∠C+∠D+∠F=230°．15.已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．(1)如图1，若∠A=28°，∠B=72°，∠C=11°，求∠ADC；(2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【分析】(1)如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题；(2)∠A-∠C=2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1=∠P+∠3，由∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C即可解决问题；【解答】解：(1)如图1，延长AD交BC于E．在△ABE中，∠AEC=∠A+∠B=28°+72°=100°，在△DEC中，∠ADC=∠AEC+∠C=100°+11°=111°．(2)∠A-∠C=2∠P，理由如下：如图2，∠5=∠A+∠1，∠5=∠P+∠3，∴∠A+∠1=∠P+∠3，∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠A+∠2=∠P+∠4，由(1)知∠4=∠2+∠P+∠C，∴∠A+∠2=∠P+∠2+∠P+∠C，∴∠A-∠C=2∠P．【模型3A字模型】【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A.【练习】16.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为()A.180°B.215°C.235°D.245°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【解答】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故选：D．17.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2=214°，则∠A的度数为()A.17°B.34°C.68°D.无法确定【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度数或者∠B+∠C的度数即可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题．【解答】解：方法一：∵∠1+∠AEF=180°，∠2+∠AFE=180°∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=360°∵∠1+∠2=214°∴∠AEF+∠AFE=360°-214°=146°∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE=180°(三角形内角和定理)∴∠A=180°-146°=34°方法二：∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2=360°(四边形内角和为360°)∠1+∠2=214°∴∠B+∠C=360°-214°=146°∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理)∴∠A=180°-146°=34°．故选：B．18.如图，在△ABC中，∠C=70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A.140°B.180°C.250°D.360°【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠C=70°，∴∠3+∠4=180°-70°=110°，∴∠1+∠2=(180°-∠3)+(180°-∠4)=360°-(∠3+∠4)=250°．故选：C．19.在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=61°．【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠B+∠1+∠2)=119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1∴1 2∠DAC+12∠ACF=12(∠B+∠2)+12(∠B+∠1)=12(∠B+∠B+∠1+∠2)，∵∠B=58°(已知)，∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，∴1 2∠DAC+12∠ACF=119°∴∠AEC=180°-12∠DAC+12∠ACF=61°．故答案为：61°．20.如图，已知∠A=40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A=140°．∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°．【模型4老鹰抓小鸡模型】【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【证明】如图，连接AF.∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，即∠BAC+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【练习】21.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于()A.40°B.60°C.80°D.140°【分析】证明∠1+∠2=2∠A即可解决问题．【解答】解：连接AA′．∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠A=40°∵∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，∠BAC=∠EA′D，∴∠1+∠2=∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD=80°，故选：C．22.如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°【分析】根据翻折的性质可得∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，结合平角的定义可求解∠BED+∠BDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠B的度数．【解答】解：由翻折可知：∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE=360°，∵∠1+∠2=80°，∴2∠BED+2∠BDE=280°，∴∠BED+∠BDE=140°，∵∠BED+∠BDE+∠B=180°，∴∠B=180°-140°=40°．故选：C．23.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C=180°-65°-70°=45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2=∠C+∠DOC，∠DOC=∠1+∠C'，则∠2的度数可求．【解答】解：根据题意，易得∠C=∠C'=180°-65°-70°=45°；如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2=∠C+∠DOC，∠DOC=∠1+∠C'，则∠2=∠C+∠1+∠C'=45°+20°+45°=110°．故选：D．24.如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是．【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=46°，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1-∠2=92°．故答案为：92°．25.一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部)(1)如图1，若∠A=45°，则∠1+∠2=°．(2)利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数．【分析】(1)根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；(2)由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；(3)由(1)∠1+∠2=2∠A知∠A=54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=90°-12∠A．利用∠BA'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)可得答案．【解答】解：(1)∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，∴∠ADE=12(180°-∠1)，∠AED=12(180°-∠2)，在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴45°+12(180°-∠1)+12(180°-∠2)=180°，整理得∠1+∠2=90°；故答案为：90；(2)∠1+∠2=2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2=2∠A；(3)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=108°，∴∠A=54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A．∴∠BA'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)，=180°-90°-12∠A=90°+12∠A=90°+12×54°=117°．26.Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：．(不需说明理由)．【分析】(1)如图1中，连接PC．由∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2=(∠DCP+∠PCE)+(∠DPC+∠EPC)，由∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，即可推出∠1+∠2=(2)结论：∠1+∠2=90°+α．证明方法类似(1)．(3)由∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，由∠C=90°，即可推出∠1=90°+∠2+α．【解答】解：(1)如图1中，连接PC．∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=(∠DCP+∠PCE)+(∠DPC+∠EPC)，∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α=50°，∴∠1+∠2=140°．(2)结论：∠1+∠2=90°+α．理由如图2中，连接PC．∵∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠PCE+∠CPE，∴∠1+∠2=(∠DCP+∠PCE)+(∠DPC+∠EPC)，∵∠DCP+∠PCE=90°，∠DPC+∠EPC=α∴∠1+∠2=90°+α．(3)如图3中，∵∠1=∠C+∠COD，∠COD=∠2+α，∵∠C=90°，∴∠1=90°+∠2+α．故答案为∠1=90°+∠2+α．【模型5双内角平分线模型】【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的内角和为180°,得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°,得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①,得∠A+2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°+∠A，即∠BDC=90°+12∠A.【练习】27.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC=80°，则∠BOC的度数是()A.130°B.120°C.100°D.90°【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可．【解答】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=50°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°，故选：A．28.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为()A.20°B.30°C.45°D.50°【分析】根据∠AOB=125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．【解答】解：∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=55°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∴∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=2×55°=110°，∴∠C=70°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°，即∠CAD的度数是20°．故选：A．29.如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为．【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，结合三角形内角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，∠ABC=25°．∴∠ABO=12故答案为：25°．30.已知在△ABC中，∠A=100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD．(1)如图1，求∠BDC的度数；(2)如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED-∠AFD=12°，求∠ACF的度数．【分析】(1)依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数；(2)设∠ACF=α，则∠BCD=α，∠CBD=40°-α=∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED=∠ACF+∠CDF，∠AFD=∠ABE+∠BDF，再根据∠AED-∠AFD=12°，即可得到α的值．【解答】解：(1)∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=80°，又∵∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCD=12∠ACB，∴∠CBD+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=40°，∴∠BDC=180°-40°=140°；(2)设∠ACF=α，则∠BCD=α，∵∠BDC=140°，∴∠CBD=40°-α=∠ABD，∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角，∴∠AED=∠ACF+∠CDF，∠AFD=∠ABE+∠BDF，∴∠AED-∠AFD=∠ACF+∠CDF-∠ABE-∠BDE=α-(40°-α)=12°，解得α=26°，∴∠ACF=26°．31.已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O(1)若∠A=70°，求∠BOC的度数；(2)若∠A=a，求∠BOC的度数；(3)如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=13∠ABC，∠OCB= 13∠ACB，∠A=a，求∠BOC的度数．三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=55°，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=125°；(2)∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-α)=90°-12α，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°-12α=90°+12α；(3)∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∵∠OBC=13∠ABC，∠OCB=13∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=13(∠ABC+∠ACB)=13(180°-α)=60°-13α，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°-13α=120°+13α．32.已知△ABC中，∠A=60°，在图(1)中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，则计算可得∠BO1C=120°：(1)在图(2)中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，得到∠BO2C．则∠BO2C=；(2)在图(3)中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，(n-1)条等分角线分别对应交于O1、O2⋯O n-1，则∠BO n-1C=(用含n的代数式表示)．【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°得出(∠ABC+∠ACB)，再由∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2得出∠O2BC+∠O2CB的度数，进而可得出结论；(2)根据n等分的定义求出∠O n-1BC+∠O n-1CB的度数，在△O n-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：(1)在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线，∴∠O2BC+∠O2CB=23(∠ABC+∠ACB)=23(180°-60°)=120°-23×60°；∴∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB)=180°-120°-23×60°=60°+23×60°=100°．故答案为：100°；(2)∵O n-1B和O n-1C分别是∠B、∠C的n等分线，∴∠O n-1BC+∠O n-1CB=n-1n (∠ABC+∠ACB)=n-1n(180°-60°)=(n-1)×180°n-(n-1)×60°n；∴∠BO n-1C=180°-(∠O n-1BC+∠O n-1CB)=180°-(n-1)×180°n-(n-1)×60°n=(n-1)×60°n+180°n=60°+120°n．故答案为：60°+120°n．【模型6双外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°-12∠A.【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y.由△BCD的内角和为180°,得x+y+∠BDC=180°.①易得2x+2y=180°+∠A.①由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A，即2∠BDC=180°-∠A，即∠BDC=90°-12∠A.【练习】33.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A=α，∠H=β，则α与β之间的数量关系为．【分析】根据角平分线定义设∠ABF=∠DBF=θ，∠ACG=∠ECG=φ，则∠ABD=2θ，∠CBH=∠DBF=θ，∠ACE=2φ，∠BCH=∠ECG=φ，∠ABC=180°-2θ，∠ACB=180°-2φ，在△ABC中由三角形内角和定理得α+180°-2θ+180°-2φ=180°，即θ+φ=90°+1/2α，在Rt△HBC中由三角形内角和定理得β+θ+φ=180°，据此可得α与β之间的数量关系．【解答】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，∴设∠ABF=∠DBF=θ，∠ACG=∠ECG=φ，则∠ABD=2θ，∠CBH=∠DBF=θ，∠ACE=2φ，∠BCH=∠ECG=φ，∴∠ABC=180°-∠ABD=180°-2θ，∠ACB=180°-∠ACE=180°-2φ，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴α+180°-2θ+180°-2φ=180°，整理得：θ+φ=90°+12α，在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH=180°，∴β+θ+φ=180°，∴β+90°+12α=180°，整理得：α+2β=180°．∴α与β之间的数量关系为α+2β=180°．故答案为：α+2β=180°．34.在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，当∠Q=65°，则∠BPC=°．【分析】由三角形内角和定理得∠QBC+∠QCB=180°-∠Q=115°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BPC= 180°-(∠PBC+∠PBC)，根据角平分线定义得∠EBC=2∠QBC，∠FCB=2∠QCB，则∠EBC+∠FCB=2 (∠QBC+∠QCB)=230°，再根据三角形外角性质得∠EBC=∠A+∠ACB，∠FCB=∠A+∠ABC，则∠EBC+∠FCB=2∠A+∠ABC+∠ACB=180°+∠A，由此得180°+∠A=230°，则∠A=50°，然后根据∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．得∠PBC+∠PBC=12(∠ABC+∠ACB)=65°，据此可得∠BPC的度数．【解答】解：如图所示：∵∠Q=65°，∴∠QBC+∠QCB=180°-∠Q=115°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PBC)，∴∠EBC =2∠QBC ，∠FCB =2∠QCB ，∴∠EBC +∠FCB =2(∠QBC +∠QCB )=2×115°=230°，由三角形外角性质得：∠EBC =∠A +∠ACB ，∠FCB =∠A +∠ABC ，∴∠EBC +∠FCB =2∠A +∠ABC +∠ACB =2∠A +180°-∠A =180°+∠A ，∴180°+∠A =230°，∴∠A =50°，∵∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点P ，∴∠PBC =12∠ABC ，∠PBC =12∠ACB ，∴∠PBC +∠PBC =12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-12∠A =65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PBC )=180°-65°=115°．故答案为：115．35.如图，点F ，C 在射线AN 上，点B ，E 在射线AM 上，∠MEF 与∠NFE 的角平分线交于点P ，∠MBC 与∠NCB 的角平分线交于点G ．若∠G =67°，那么∠P =°．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质分别用角A 表示出∠G 和∠P 即可．【解答】解：∵∠MEF 与∠NFE 的角平分线交于点P ，∴∠G =180°-12∠NCB +12∠MBC =180°-12(180°-∠ACB )+12(180°-∠ABC ) =180°-12[180°+180°-(∠ACB +∠ABC )]=180°-12(180°+∠A )=90°-∠A =67°，∵∠MBC 与∠NCB 的角平分线交于点G ，∴∠P =180°-12∠NFE +12∠MEF =180°-12(180°-∠AFE )+12(180°-∠AEF ) =180°-12[180°+180°-(∠AEF +∠AFE )]=180°-12(180°+∠A )=90°-∠A =67°，故答案为：67°．36.如图，△ABC 中，∠CAB =n °，∠CBA =m °，点D 是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB 到点G ，∠FCB 与∠CBG 的平分线将于点E ，若BE ∥AC ，则45n +35m =．义得∠CBE=12∠CBG=90°-14m°，然后根据BE∥AC得∠FCB+∠CBE=180°，进而得4n+3m=360°，由此可得45n+35m值．【解答】解：∵∠CAB=n°，∠CBA=m°，∴∠FCB=∠CAB+∠CBA=n°+m°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=12∠CBA=12m°，∴∠CBG=180°-∠CBD=180°-12m°，∵BG平分∠CBG，∴∠CBE=12∠CBG=90°-14m°，∵BE∥AC，∴∠FCB+∠CBE=180°，即n°+m°+90°-14m°=180°，整理得：4n+3m=360°，∴4 5n+35m=15(4n+3m)=15×360°=72°．故答案为：72°．37.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是()A.AD∥BCB.∠ACB=2∠ADBC.∠ADC=90°-∠ABDD.BD平分∠ADC【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确．B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；D、用排除法可得结论．【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故A 正确．B 、由(1)可知AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∴∠ABC =2∠ADB ，∵∠ABC =∠ACB ，∴∠ACB =2∠ADB ，故B 正确．C 、在△ADC 中，∠ADC +∠CAD +∠ACD =180°，∵CD 平分△ABC 的外角∠ACF ，∴∠ACD =∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠ADC =∠DCF ，∠ADB =∠DBC ，∠CAD =∠ACB∴∠ACD =∠ADC ，∠CAD =∠ACB =∠ABC =2∠ABD ，∴∠ADC +∠CAD +∠ACD =∠ADC +2∠ABD +∠ADC =2∠ADC +2∠ABD =180°，∴∠ADC +∠ABD =90°∴∠ADC =90°-∠ABD ，故C 正确；不妨设，D 选项正确，可以推出AB =AD =AC ，推出∠ACB =∠ACD =∠DCF =60°，显然不可能，故D 错误．故选：D ．38.如图，AD ，BD 分别是△ABC 的外角∠BAF ，∠ABG 的角平分线；AE ，BE 分别是∠DAB ，∠ABD 的角平分线；AM ，BN 分别是∠FAD ，∠DBG 的角平分线．当∠C =( )时，AM ∥BN ．A.45°B.50°C.60°D.120°【分析】由角平分线的定义可求得∠MAB =34∠FAB ，∠NBA =34∠ABG ，再由三角形的外角性质可得∠FAB =∠C +∠ABC ，∠ABG =∠C +∠BAC ，再由三角形的内角和得∠ABC +∠BAC =180°-∠C ，要使AM ∥BN ，则可使∠MAB +∠NBA =180°，从而可求解．【解答】解：∵AD 是△ABC 的外角∠BAF 的角平分线；AM 是∠FAD 的角平分线，∴∠DAB =∠FAD =12∠FAB ，∠MAD =12∠FAD ，∴∠MAB =34∠FAB ，同理可得：∠NBA =34∠ABG ，∵∠FAB =∠C +∠ABC ，∠ABG =∠C +∠BAC ，∠ABC +∠BAC =180°-∠C ，∴∠FAB +∠ABG =2∠C +∠ABC +∠BAC ，∴∠MAB +∠NBA=34∠FAB +34∠ABG =34(∠FAB +∠ABG )=34(2∠C +∠ABC +∠BAC )=34(2∠C +180°-∠C )=34(180°+∠C )，要使AM ∥BN ，则∠MAB +∠NBA =180°，即34(180°+∠C )=180°，解得：∠C =60°．故选：C ．【模型7内外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，则∠D =12∠A .【证明】设∠ABD =∠DBC =x ，∠ACD =∠ECD =y .由外角定理得2y =∠A +2x ，①y =∠D +x .②把②代人①,得2(∠D +x )=xA +2x ,即∠D =12∠A .【练习】39.如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角平分线交于点P ；若∠BPC =25°，则∠ACB 的度数为()A.25°B.50°C.65°D.70°【分析】由角平分线的定义可得∠PBC =12∠ABC ，∠ACP =∠DCP =12∠ACD ，从而可求得∠DCP =90°-12∠ACB ，再利用三角形的外角性质得∠DCP =∠PBC +∠P ，从而可求解．【解答】解：如图，∵∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角平分线交于点P ，∴∠PBC =12∠ABC ，∠ACP =∠DCP =12∠ACD ，∵∠ABC =∠ACB ，∴∠PBC =12∠ACB ，∠DCP =12(180°-∠ACB )=90°-12∠ACB ，∵∠DCP 是△BCP 的外角，∠BPC =25°，∴∠BPC +∠PBC =∠DCP ，25°+12∠ACB =90°-12∠ACB ，解得：∠ACB =65°．故选：C ．40.如图，BE 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CE 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABC =40°，∠ACD =100°，则∠A +∠E =()A.40°B.90°C.100°D.140°【分析】由BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，利用角平分线的定义，可求出∠CBE ，∠DCE 的度数，由∠ACD 是△ABC 的外角，∠DCE 是△BCE 的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠A ，∠E 的度数，再将其代入∠A +∠E 中，即可求出结论．【解答】解：∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠CBE =12∠ABC =12×40°=20°，∠DCE =12∠ACD =12×100°=50°．∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠DCE 是△BCE 的外角，∴∠A =∠ACD -∠ABC =100°-40°=60°，∠E =∠DCE -∠CBE =50°-20°=30°，∴∠A +∠E =60°+30°=90°．故选：B ．41.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP 的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP =∠FAP ，即可得出答案【解答】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD =x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP =∠PCD =x °，PM =PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠PBC ，PF =PN ，∴PF =PM ，∵∠BPC =40°，∴∠ABP =∠PBC =∠PCD -∠BPC =(x -40)°，∴∠BAC =∠ACD -∠ABC =2x °-(x °-40°)-(x °-40°)=80°，∴∠CAF =100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，P A =P A PM =PF ，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA (HL )，∴∠FAP =∠P AC =50°．故选：B ．42.如图，在△ABC 中，∠ACB <∠A ，BD 是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角∠ACF 的平分线交于点G ．以下四个结论：①∠ABD =∠CBD ；②∠ABE +∠A =90°；③∠G =12∠A ；④∠A -∠ACB =2∠EBD ．其中结论正确的个数是()31A.1B.2C.3D.4【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC =2∠GBC ，∠ACF =2∠GCF ，∠ACF =∠ABC +∠A ，∠GCF =∠GBC +∠G ，从而可得出∠G =12∠A ，可判断③，由2∠EBD =2(90°-∠ADB )，∠ADB =∠DBC +∠ACB ，可得2∠EBD =180°-(2∠DBC +2∠ACB )=∠A -∠ACB ，从而可判断④，从而可得答案．【解答】解：∵BD 是△ABC 角平分线，∴∠ABD =∠CBD ，故①正确；∵BE 是边AC 上的高，∴∠ABE +∠A =90°，故②正确；∵BD 是△ABC 角平分线，CG 平分∠ACF ，∴∠ABC =2∠GBC ，∠ACF =2∠GCF ，∵∠ACF =∠ABC +∠A ，∠GCF =∠GBC +∠G ，∴2∠GCF =2∠GBC +∠A ，∴∠G =12∠A ，故③正确；∵2∠DBE =2(90°-∠ADB )，∠ADB =∠DBC +∠ACB ，∴2∠DBE =180°-(2∠DBC +2∠ACB )=180°-(∠ABC +2∠ACB )=180°-(180°-∠A +∠ACB )=∠A -∠ACB ，故④正确；∴正确的有①②③④共4个，故选：D ．43.如图，在△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，⋯，∠A 2023BC 和∠A 2023CD 的平分线交于点A 2024，则∠A 2024的度数为()A.3022024 °B.3022023 °C.6022024 °D.6022023°【分析】根据角平分线定义设∠ABA 1=∠CBA 1=α，∠ACA 1=∠DCA 1=β，则∠ABC =2α，∠ACD =2β，由三角形外角性质得∠DCA 1=∠CBA 1+∠A 1，∠ACD =∠ABC +∠A ，即β=α+∠A 1，2β=2a +∠A ，由此得∠A 1=12∠A ，同理：∠A 2=12∠A 1=122∠A ，∠A 3=12∠A 2=123∠A ，⋯，以此类推，∠A n =12n ∠A ，据此可得当∠A =60°时，∠A 2024的度数．【解答】解：∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点A 1，∴设∠ABA 1=∠CBA 1=α，∠ACA 1=∠DCA 1=β，∴∠ABC =2α，∠ACD =2β，由三角形外角性质得：∠DCA 1=∠CBA 1+∠A 1，∠ACD =∠ABC +∠A ，即β=α+∠A 1，2β=2a +∠A ，∴2(α+∠A 1)=2α+∠A ，32∴∠A 1=12∠A ，同理：∠A 2=12∠A 1=122∠A ，∠A 3=12∠A 2=123∠A ，⋯，以此类推，∠A n =12n ∠A ，∴当∠A =60°时，∠A 2024=122024∠A =6022024°．故选：C ．44.如图，在△ABC 中，∠A =∠ABC ，BH 是∠ABC 的平分线，BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，D 、C 、H 三点在一条直线上，下列结论中：①DB ⊥BH ；②∠D =90°-12∠A ；③DH ∥AB ；④∠H =12∠A ；⑤∠CBD =∠D ，其中正确的结论有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】①根据BH 、BD 是∠ABC 与∠CBE 的平分线，可得∠ABC =2∠CBH ，∠CBE =2∠CBD ，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，可得∠D =180°-12(180°-∠ABC )-12(180°-∠ACB )，可得②正确；③根据∠A =∠ABC ，可得∠BCF =∠A +∠ABC =2∠ABC ，可得∠BCD =∠ABC ，可得③正确；④根据∠D =90°-12∠A ，∠DBH =90°，可得④正确；⑤根据∠ABC +∠CBE =180°，BD 平分∠CBE ，可得∠CBD =90°-12∠ABC ，再由∠A =∠ABC ，可得∠CBD =90°-12∠A ，可得⑤正确，即可求解．【解答】解：①∵BH 、BD 是∠ABC 与∠CBE 的平分线，∴∠ABC =2∠CBH ，∠CBE =2∠CBD ，∵∠ABC +∠CBE =180°，∴∠CBH +∠CBD =90°，即∠DBH =90°，∴DB ⊥BH ，故①正确；②∵BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，∴∠D =180°-∠DBC -∠DCB=180°-12∠EBC -12∠BCF =180°-12(180°-∠ABC )-12(180°-∠ACB )=12(∠ABC +∠ACB )=12(180°-∠A )=90°-12∠A ，故②正确；③∵∠A=∠ABC，∴∠BCF=∠A+∠ABC=2∠ABC，∵CD是∠BCF的平分线，∴∠BCD=12∠BCF=∠ABC，∴DH∥AB，故③正确；④∵∠D=90°-12∠A，∠DBH=90°，∴∠H=90°-∠D=12∠A，故④正确；⑤∵∠ABC+∠CBE=180°，BD平分∠CBE，∴∠CBD=12∠CBE=12(180°-∠ABC)=90°-12∠ABC，∵∠A=∠ABC，∴∠CBD=90°-12∠A，∵∠D=90°-12∠A，∴∠CBD=∠D，故⑤正确．综上所述，正确的有5个．故选：D．45.在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图(1)，若∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D=°；(2)【问题推广】①如图(2)，若∠MON=α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D=°(用含α的代数式表示)；②如图(2)，∠MON=α(0°<α<180°)，点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合)，点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠D=12α，则AE是△OAB的角平分线吗？请说明理由；(3)【拓展提升】如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式33。
八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)
八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)角度计算是数学中非常重要的一部分，它与几何形状、图形关系等有着密切的联系。
在八年级数学上册中，我们学习到了一些经典的角度计算模型，通过举一反三的方法，我们可以进一步应用这些模型去解决更加复杂的问题。
本文将介绍并解析其中的经典模型。
一、等腰三角形内角计算模型等腰三角形是指两边长度相等的三角形，它具有一些特殊的性质。
在角度计算中，我们可以利用等腰三角形内角的关系来求解未知角度。
假设等腰三角形两边的夹角为x度，那么根据等腰三角形的性质，其他两个角度也是x度。
因此，我们可以通过等腰三角形的内角关系求解未知角度。
示例：已知一个等腰三角形的两边夹角为45度，求其他两个角度。
解析：根据等腰三角形的性质，其他两个角度也是45度。
因此，该等腰三角形的三个角度均为45度。
二、垂直直角三角形内角计算模型垂直直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形，也被称为直角三角形。
在角度计算中，我们可以利用直角三角形的内角关系来求解未知角度。
通过观察直角三角形的角度特点，我们可以利用已知角度和直角的关系来求解其他未知角度。
示例：已知一个直角三角形的一个内角为30度，求其他两个角度。
解析：由于直角三角形的角度和为180度，其中一个内角为90度，已知另一个内角为30度，那么第三个角度为180度减去90度和30度得到的60度。
三、平行线夹角计算模型平行线是指在同一个平面上不相交且始终保持相同距离的两条直线。
在角度计算中，我们可以利用平行线夹角的关系来求解未知角度。
根据平行线的性质，夹在同一边的两个角互补，它们的和为180度。
因此，我们可以通过已知角度和平行线的夹角关系求解其他未知角度。
示例：已知一对平行线之间的夹角为60度，求其余两个夹角。
解析：根据平行线夹角的关系可知，其余两个夹角的和为180度减去已知的60度，即120度。
角度计算的经典模型(八大题型)(解析版)-初中数学
角度计算的经典模型(八大题型)【题型01：双垂直模型】【题型02：A字模型】【题型03：8字模型】【题型04：飞镖模型】【题型05：风筝模型】【题型06：两内角角平分线模型】【题型07：两外角角平分线模型】【题型08：内外角平分线模型】【题型01：双垂直模型】【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.1.AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C=50°，求∠BHD．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠BHD+∠HBD=90°，∵BE是△ABC的高，∴∠HBD+∠C=90°，∴∠BHD=∠C，∵∠C=50°，∴∠BHD=50°．2.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数．【答案】110°【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质．先根据三角形的内角和定理得到∠ACB 的度数，然后根据角平分线的定义得到∠ECD 的值，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC =80°，∠B =60°，∴∠ACB =180°-∠CAB =∠B =180°-80°-60°=40°，∵CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ECD =12∠ACD =12×40°=20°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =90°，∴∠AEC =∠ADC +∠ECD =90°+20°=110°．3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是AC 边上一点，BE 与AD 交于点F ，若∠ABC =45°，∠BAC =75°，∠BFD =60°，求∠BEC 的度数．【答案】90°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出∠C ，然后求出∠DBF ，进而得出答案．【详解】∵∠ABC =45°,∠BAC =75°，∴∠C =180°-45°-75°=60°．∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°．∵∠BFD =60°，∴∠DBF =90°-60°=30°，∴∠BEC =180°-∠EBC -∠C =180°-60°-30°=90°．【题型02：A 字模型】图1【条件】图1中三种情况【结论】∠1=∠2【证明】略图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°∴∠1+∠2=∠3+∠4图3【结论】∠1+∠2=180°+∠A【证明】∠1+∠2=(∠AED+∠A)+(∠ADE+∠A)=180°+∠A4.探索归纳：(1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=270°．(2)如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=220°．(3)如图2，根据(1)与(2)的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是180°+∠A．(4)如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2=360°-(∠A+∠B)=360°-90°=270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案为：270°；(2)∠1+∠2=180°+40°=220°，故答案是：220°；(3)∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；故答案为：180°+∠A；(4)∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF)又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A．5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB于点E．若∠A=70°，∠BDC=100°，则∠BED的度数为()A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】A【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出∠EBD，∠EDB，再利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：∵∠A+∠ABD=∠BDC，∠A=70°，∠BDC=100°，∴∠ABD=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，又∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=30°，∴∠BED=180°-∠ABD-∠BDE=120°．故选：A．6.如图，已知：AD∥EF，∠CAD+∠DEF=180°．(1)证明：AC∥DE；(2)若AC平分∠BAD，∠ADC=35°，∠ACD=∠ADE+45°．求∠G的度数．【答案】(1)见解析(2)∠G=50°【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．(1)由平行线的性质可得∠DEF+∠ADG=180°,由∠CAD+∠DEF=180°可得∠CAD=∠ADG,即可证明；(2)首先利用已知条件可以去求出∠BAC=∠ADE=50°，然后利用三角形的外角求出∠BDG,解答即可．【详解】(1)证明：∵AD∥EF，∴∠DEF+∠ADG=180°．∵∠CAD+∠DEF=180°．∴∠CAD=∠ADG．∴AC∥DE；(2)解：∵AC是∠BAD的平分线，且AC∥DE，∴∠BAC=∠CAD，∠CAD=∠ADE，∴∠BAC=∠ADE，∵∠ACD=∠ADE+45°，∠ACD=∠B+∠BAC，∴∠B=45°，∵∠ADC=35°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADC=180°-45°-35°=100°．∵AC是∠BAD的平分线，∠BAD=50°，∴∠CAD=∠ADE=12∴∠G=∠BAD-∠ADE=100°-50°=50°．7.在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C DE，对折叠后产生的夹角进行探究：(1)如图(1)把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；(2)如图(2)把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；(3)如图(3)把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．【答案】(1)60°(2)50°(3)∠2-∠1=2∠C【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质．(1)根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求出答案；(2)连接DG，将∠ADG+∠AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；(3)将∠2看作180°-2∠CED，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理求解，即可解题．【详解】(1)解：由折叠性质可知：∠CDC =2∠CDE，∠CEC =2∠CED，∵∠C=30°，∴∠1+∠2=180°-2∠CDE+180°-2∠CED=360°-2∠CDE+∠CED=360°-2180°-∠C=2∠C=60°；(2)解：连接DG，∵∠A=80°，∴∠1+∠2=180°-∠C -∠ADG+∠AGD=180°-30°-180°-80°=50°；(3)解：∠2-∠1=180°【题型03：8字模型】【条件】AE、BD相交于点C【结论】∠A +∠B =∠D +∠E .8.(1)已知：如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A +∠B =∠C +∠D ．(2)如图(2)，AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，若∠ABC =36°，∠ADC =16°．求∠P 的度数．(3)如图(3)，直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是；(4)如图(4)，直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，猜想∠P 与∠B 、∠D 的数量关系是．【答案】(1)见解析；(2)26°；(3)∠P =90°+12∠B +∠D ；(4)∠P =180°-12∠B +∠D 【分析】(1)根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；(2)设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC 解方程即可得到答案；(3)根据直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，得到∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠PCD 从而可以得到180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B ，再根据∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D 得到∠P -∠B =∠P AD +∠PCB =∠P AB +∠PCB 即可求解；(4)连接PB ，PD ,求得∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°，∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°，再根据∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°，∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，即可求解．【详解】解：(1)如图.∵∠A +∠B +∠AOB =180°，∠C +∠D +∠COD =180°，∴∠A +∠B +∠AOB =∠C +∠D +∠COD ．∵∠AOB =∠COD ，∴∠A +∠B =∠C +∠D ；(2)如图.∵AP ，CP 分别平分∠BAD ，∠BCD ，设∠BAP =∠P AD =x ，∠BCP =∠PCD =y ，则有x +∠ABC =y +∠P x +∠P =y +∠ADC ，∴∠ABC -∠P =∠P -∠ADC ，∴∠P =12∠ABC +∠ADC =1236°+16° =26°(3)如图.∵直线AP 平分∠BAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠P AB =∠P AD =12∠BAD ，∠PCB =∠PCE =12∠BCE ，∴2∠P AB +∠B =180°-2∠PCB +∠D ，∴180°-2∠P AB +∠PCB +∠D =∠B∵∠P +∠P AD =∠PCD +∠D ，∠BAD +∠B =∠BCD +∠D∴∠P +∠P AD -∠BAD -∠B =∠PCD -∠BCD∴∠P -∠P AB -∠B =∠PCB ,∴∠P -∠B =∠P AB +∠PCB∴180°-2∠P -∠B +∠D =∠B ，即∠P =90°+12∠B +∠D ．(4)连接PB ，PD∵直线AP 平分∠BAD 的外角∠FAD ，CP 平分∠BCD 的外角∠BCE ，∴∠FAP =∠P AO ，∠PCE =∠PCB ，∵∠APB +∠PBA +∠P AB =180°，∠PCB +∠PBC +∠BPC =180°∴∠APC +∠ABC +∠PCB +∠P AB =360°同理得到：∠APC +∠ADC +∠PCD +∠P AD =360°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCB +∠P AB +∠PCD +∠P AD =720°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC +∠PCE +∠P AB +∠PCD +∠P AF =720°∵∠PCE +∠PCD =180°，∠P AB +∠P AF =180°∴2∠APC +∠ABC +∠ADC =360°，∴∠APC =180°-12∠ABC +∠ADC 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9.如图，∠1=60°，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =()A.240°B.280°C.360°D.540°【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B 与∠C 的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A +∠E ，∠2=∠F +∠D ，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．10.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图∵6边形ABCDEFK的内角和=(6-2)×180°=720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°-(∠1+∠2)，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+(∠1+∠2)=720°，∵∠1+∠2=∠3+∠4，∠5+∠6+∠H=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F∠H+(∠3+∠4)=900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F(∠3+∠4)+∠5+∠6+∠H=720°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3的整数)．11.如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．(1)求证：AD∥BC；(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．【答案】(1)见解析；(2)115°．【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算：(1)AB∥CD，得到∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，即可得证；(2)平行线的性质求出∠BAD的度数，角平分线求出∠DAE=65°，再利用三角形的外角求解即可．【详解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，(2)∵AD∥BC，∴∠BAD=180°-∠B=180°-50°=130°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=65°，∵∠D=∠B=50°，∴∠DFE=∠D+∠EAD=50°+65°=115°．12.已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且∠1=∠A．(1)求证：AB∥DC；(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．【答案】(1)见解析(2)95°【分析】本题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质的应用：(1)根据平行线的性质和已知得出∠A=∠C，根据平行线的判定推出即可；(2)根据平行线的性质求出∠D，根据三角形的外角性质推出即可．【详解】(1)证明：∵FE∥OC，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A，∴∠A=∠C，∴AB∥DC；(2)解：∵AB∥DC，∴∠D=∠B，∵∠B=30°，∴∠D=30°，∵∠OFE是△DEF的外角，∴∠OFE=∠D+∠2，∵∠1=65°，∴∠OFE=30°+65°=95°．13.如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°．(1)若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；(2)若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】(1)72°；(2)40°．【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=12∠ADC，然后利用三角形外角的性质即可得解；(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：(1)∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12(38°+42°)=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【题型04：飞镖模型】图1图2图3【条件】四边形ABPC如图1所示【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.14.探究与发现：如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图(1)观察“规形图(1)”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=40°，则∠ABX+∠ACX=50°．②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图(1)，∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC=∠DAC+∠C，∠BDF=∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF=∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；(2)①如图(2)，∵∠X=90°，由(1)知：∠A+∠ABX+∠ACX=∠X=90°，∵∠A=40°，∴∠ABX+∠ACX=50°，故答案为：50；②如图(3)，∵∠A=40°，∠DBE=130°，∴∠ADE+∠AEB=130°-40°=90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC=12∠ADB，∠AEC=12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC=12∠ADB+∠AEB=45°，∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=40°+45°=85°．15.一个零件的形状如图，按要求∠A=90°，∠B=32°，∠C=21°，检验工人量得∠CDB=148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠A=90°，∠C=21°，∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°，∵∠B=32°，∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°．又∵∠BDC=148°，∴这个零件不合格．16.附加题：如图，试说明：①∠BDC>∠A；②∠BDC=∠B+∠C+∠A．如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？【答案】见试题解答内容【解答】解：①延长BD交AC于E，则∠BDC>∠DEC，而∠DEC>∠A，所以∠BDC>∠A；②由∠BDC=∠C+∠DEC，而∠DEC=∠A+∠B，所以∠BDC=∠A+∠B+∠C．如果点D在线段BC的另一侧，如图所示：结论：①∠BDC与∠A无法比较大小；②∠BDC=360°-(∠A+∠B+∠C)，17.如图，△ABC中，∠A=30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D=40°，则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠D=40°，∴∠ABD=180°-∠D-∠DEB=50°，∵∠ABD=∠A+∠C，∠A=30°，∴∠C=∠ABD-∠A=50°-30°=20°．故选：A．18.如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D=30°，∠C=20°，则∠B的度数是()A.20°B.30°C.40°D.50°【答案】C【解答】解：∵ED⊥AC，∠D=30°，∠C=20°，又∵∠DEC=∠B+∠D，∴∠C+∠DEC=∠C+∠D+∠B=90°，∴∠B=40°．故选：C．19.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )．A.90°B.60°C.50°D.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴∠ABD+∠ACD=40°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．20.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【题型05：风筝模型】21.如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．(1)如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为③(只填序号)，并说明理由；①∠DAE=∠1②∠DAE=2∠1③∠1=2∠DAE(2)如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【答案】(1)③，理由详见解答过程．(2)∠1+∠2=2∠DAE．【解答】解：(1)由题意得：∠DAE=∠DA′E．∵∠1=∠EAD+∠EA′D=2∠DAE．故答案为：③．(2)∠1+∠2=2∠DAE，理由如下：如图2，连接AA′．由题意知：∠EAD=∠EA′D．∵∠1=∠A′AE+∠AA′E，∠2=∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D=∠EAD+∠EA′D=2∠EAD．22.如图，在△ABC中，∠C=40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是()A.40°B.80°C.90°D.140°【答案】B【解答】解：由折叠的性质得：∠D=∠C=40°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+80°，则∠1-∠2=80°．故选：B．23.将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．(1)如果A′落在四边形BCDE的内部(如图1)，∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．(2)如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是2∠A=∠2．(3)如果A′落在四边形BCDE的外部(如图2)，这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)图1中，2∠A=∠1+∠2，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠1+∠2=180°+180°-2(∠AED+∠ADE)，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A；(2)2∠A=∠2，如图∠2=∠A+∠EA′D=2∠A，故答案为：2∠A=∠2；(3)如图2，2∠A=∠2-∠1，理由是：∵延DE折叠A和A′重合，∴∠A=∠A′，∵∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，∴∠2=∠A+∠A′+∠1，即2∠A=∠2-∠1．【题型06：两内角角平分线模型】双内角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACB 的角平分线.【结论】∠P =90°+12∠A .24.如图1，点A 、B 分别在射线OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，BC 延长线交OM 于点G ．(1)若∠MON =60°，则∠ACG =；(直接写出答案)(2)若∠MON =n °，求出∠ACG 的度数；(用含n 的代数式表示)(3)如图2，若∠MON =80°，过点C 作CF ∥OA 交AB 于点F ，求∠BGO 与∠ACF 的数量关系．【答案】(1)60°；(2)90°-12n °；(3)∠BGO -∠ACF =50°【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAO +∠ABO ，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案；(2)仿照(1)的解法解答；(3)根据平行线的性质得到∠ACF =∠CAG ，根据(2)的结论解答．【详解】解：(1)∵∠MON =60°，∴∠BAO +∠ABO =120°，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA +∠CAB =12(∠ABO +∠BAO )=60°，∴∠ACG =∠CBA +∠CAB =60°，故答案为：60°；(2)∵∠MON =n °，∴∠BAO +∠ABO =180°-n °，∵AC 、BC 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线，∴∠CBA =12∠ABO ，∠CAB =12∠BAO ，∴∠CBA+∠CAB=12(∠ABO+∠BAO)=90°-12n°，∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-12n°；(3)∵CF∥OA，∴∠ACF=∠CAG，∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG，由(2)得：∠ACG=90°-12×80°=50°．∴∠BGO-∠ACF=50°．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．25.如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=()A.80°B.75°C.60°D.45°【答案】C【分析】连接BC,先求解∠DBC+∠DCB,再求解∠GBC+∠GCB,可得∠GBD+∠GCD,再利用角平分线的定义可得：∠ABD+∠ACD,从而可得：∠ABC+∠ACB,再利用三角形的内角和定理可得∠A的大小.【详解】解：连接BC,∵∠BDC=140°,∴∠DBC+∠DCB=180°-140°=40°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°-100°=80°,∴∠GBD+∠GCD=∠GBC+∠GCB-∠DBC-∠DCB=40°,∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=2(∠GBD+∠GCD)=80°,∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB=80°+40°=120°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.故选：C.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键.26.如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于点O，则∠BOC的度数为．【答案】125°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】在△ABC 中,∠ABC +∠ACB =180°-∠A =180°-70°=110°，∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO ,CO 相交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =12∠ABC +∠ACB =12×110°=55°，在△BOC 中,∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-55°=125°，故答案为:125°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键.27.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ．(1)若∠ABC +∠ACB =130°，求∠BPC 的度数．(2)当∠A 为多少度时，∠BPC =3∠A ？【答案】(1)115°；(2)∠A =36°【分析】(1)根据角平分线的定义，求得∠PBC ，∠PCB ，再根据三角形内角和定理即可求得∠BPC ；(2)根据(1)的方法求得∠BPC ，再结合条件∠BPC =3∠A ，解方程即可求得∠A ．【详解】(1)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB =130°，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )=65°，∴∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-65°=115°，(2)∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACB ，∴∠PBC =12∠ABC ,∠PCB =12∠ACB ，∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)，∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠PBC+∠PCB=90°-12∠A，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A∵∠BPC=3∠A∴3∠A=90°+12∠A，∴∠A=36°．【点睛】本题考查了与角平分线有关的角度计算，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．【题型07：两外角角平分线模型】双外角平分线模型【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.【结论】∠P=90°-12∠A.28.如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．(1)如果∠A=70°，求∠BPC的度数；(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【答案】(1)125°(2)∠Q=90°-12∠A(3)∠A的度数是45°或60°或120°或135°【分析】(1)在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据三角形外角性质得出∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，求出∠QBC+∠QCB=90°+12∠A，根据三角形内角和定理求出即可；(3)根据角平分线的定义得出∠ACF=2∠BCF，∠ABC=2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF=∠EBC+∠E，求出∠A=2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，②∠EBQ=3∠Q，③∠Q=3∠E，④∠E=3∠Q，再求出答案即可【详解】(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=55°，∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=125°；(2)∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB，∴∠QBC+∠QCB=12(∠MBC+∠NCB)=12(180°+∠A)=90°+12∠A，∴∠Q=180°-(∠QBC+∠QCB)=180°-90°+12∠A=90°-12∠A；(3)∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF=2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠EBC，∵∠ECF=∠EBC+∠E，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，即∠ACF=∠BC+2∠E，∵∠ACF=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠E，即∠E=12∠A，∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12(∠ABC+∠A+∠ACB) =90°，如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：①∠EBQ=3∠E=90°，则∠E=30°，∠A=2∠E=60°；②∠EBQ=3∠Q，则∠Q=30°，∠E=60°，∠A=2∠E=120°；③∠Q=3∠E，则∠E=22.5°，∠A=2∠E=45°；④∠E=3∠Q，则∠E=67.5°，∠A=2∠E=135°，综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．29.如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．30.如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∴∠OBC=12(∠A+∠ACB)，∠OCB=12(∠A+∠ABC)，∴∠OBC +∠OCB =12(∠A +∠ACB +∠ABC +∠A )，∵∠A +∠ACB +∠ABC =180°，∴∠OBC +∠OCB =90°+12∠A ，在△OBC 中，∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-(90°+12∠A )=90°-12∠A ，∵∠A =40°，∴∠BOC =90°-12×40°=90°-20°=70°．【题型08：内外角平分线模型】内外角平分线模型【条件】BP 、CP 分别为∠ABC 、∠ACE 的角平分线【结论】∠P =12∠A 【典例8】(1)如图1，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求证：∠P =90°+12∠A ；(2)如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分外角∠ACE ，猜想∠P 和∠A 有何数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)证明过程见解答；(2)∠P =12∠A ．【解答】(1)证明：∵A +∠ABC +∠ACB =180°，∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A ，∵BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∴∠PCB =12∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P =180°-(∠PCB +∠PBC )=180°-12(∠ACB +∠ABC )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A ；(2)猜想：∠P=12∠A证明：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∵∠PCE=∠P+∠PBC，∴∠P=∠PCE-∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCE=12∠ACE，∴∠P=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．31.如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①③/③①【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+12∠1，∠BOC=90°+∠2，即可得出答案．【详解】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2=∠DCE-∠DBE=12∠ACD-∠ABC=12∠1，即∠1=2∠2，故①正确；∵BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-∠OBC+∠OCB=180°-12∠ABC+∠ACB=180°-12180°-∠1=90°+12∠1，故④错误；∵CO平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE =12∠ACB +∠ACD =12×180°=90°，∵∠BOC 是△COE 的外角，∴∠BOC =∠OCE +∠2=90°+∠2，故②错误、③正确；综上，正确的有①③．故答案为：①③．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．32.如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．33.【初步认识】(1)如图1，BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，若∠A =80°，则∠M =°．【变式探究】(2)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图2，∠ADC =110°，∠BCD =120°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，则∠F =°．【继续探索】(3)已知ABCD 为四边形，E 为边AB 延长线上一点，如图3，∠ADC =α，∠BCD =β，且α+β>180°，∠DAB 和∠CBE 的平分线交于点F ，求∠F 与α、β之间的数量关系，并说明理由；【终极挑战】(4)如果将(3)中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB 和∠CBE 的平分线，且两平分线所在的直线交于点F ，那么∠F 与α、β又有怎样的数量关系？请直接写出结论．(不用说明理由)【答案】(1)40；(2)25；(3)∠F =12α+12β-90°，理由见解析；(4)∠F =90°-12α-12β【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是：(1)利用角平分线定义和三角形外交的性质可探究出∠M =12∠A ，即可求解；(2)延长AD 、BC 相交于G ，先求出∠G 的度数，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解；(3)类似(2)探究即可；(4)延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，先求出∠G =180°-α-β，再判断AF 平分∠NAG ，FB 平分∠ABG ，然后同(1)得出∠F =12∠G ，即可求解．【详解】解：∵BM 平分∠ABC ，CM 平分外角∠ACD ，∴∠MBC =12∠ABC ，∠MCD =12∠ACD ，∵∠A =∠ACD -∠ABC ，∠M =∠MCD -∠MBD ，∴∠M =12∠ACD -12∠ABC =12∠A ，∵∠A =80°，∴∠M =40°，故答案为：40；(2)延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =110°，∠BCD =120°，∴∠GDC =70°，∠GCD =60°，∴∠G =50°，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =25°，故答案为：25；(3)∠F =12α+12β-90°理由：延长AD 、BC 相交于G ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，∴∠GDC =180°-α，∠GCD =180°-β，∴∠G =α+β-180°，由(2)知∠F =12∠G ，∴∠F =12α+12β-90°；(4)∠F =90°-12α-12β理由：延长DA ，CB 相交于G ，延长BA ，∵∠ADC =α，∠BCD =β，α+β<180°，∴∠G =180°-α-β，∵AM 平分∠DAB ，∴∠DAM =∠BAM ，∵∠NAF =∠MAB ，∠GAF =∠DAM ，∴∠NAF =∠GAF ，∴AF 平分∠NAG ，同理FB 平分∠ABG ，同(1)可证∠F =12∠G ，∴∠F =12∠G =90°-12α-12β．。
小学数学《角度的计算》练习题(含答案)
小学数学《角度的计算》练习题(含答案) 知识要点：角的分类：小于9°的角叫做锐角。
直角等于90°。
大于90°而小于180°的角叫钝角。
平角等于180°。
三角形的特点：三角形内角和是180°。
一个三角形中最多有一个钝角，最多有一个直角，可以有三个锐角。
直角三角形的两个锐角的度数和是90°。
四边形的特点：平行四边形、梯形、正方形、长方形的内角和都是360°。
角的关系：解题指导1：例1】求下图中∠a的度数。
思路点拨】三角形的内角和是180°，根据图形可以看出，180°-（∠a+57°）=180°-142°，也就是∠a+57°=142°，就可以求出∠a的度数。
解题过程】180°-57°-142°=38°答：∠a是38°。
解题指导2：例2】在下面的图中，∠1=∠2=∠3，在这个图中所有锐角的和是15°。
∠AOB是多少度？思路点拨】图中所有锐角的和是15°，图中一共有几个锐角呢，观察图形可知，除了∠1，∠2，∠3外，还有∠1+∠2，∠2+∠3，和∠AOB三个锐角。
因此有∠1+∠2+∠3+（∠1+∠2）+（∠2+∠3）+∠AOB=15°，根据∠1=∠2=∠3，就可以求出∠AOB的度数。
解题过程】___∠1+∠2+∠3，∠1=∠2=∠3AOB=15°×3=45°答：∠AOB=45°。
解题指导3：例3】六边形有六个内角，它们的和是多少度？五边形的内角和是多少度？解答：五边形可以分成三个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和是3个三角形的内角和，即180°×3=540°。
基础巩固】1、求下图中∠2的度数。
部编数学七年级上册专题27和三角板有关的角度计算(解析版)含答案
专题27 和三角板有关的角度计算1．如图，直线EF与MN相交于点O，30MOEÐ=°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在NOEÐ内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为()t s．（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分NOEÐ？此时OA是否平分MOEÐ？请说明理由；（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．①当t为何值时，EF平分AOBÐ？②EF能否平分NOBÐ？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）Q当直角边OB恰好平分NOEÐ时，11(18030)7522NOB NOEÐ=Ð=°-°=°，90375t\°-°=°，解得：5t=．此时135152MOA MOE Ð=°´=°=Ð，\此时OA平分MOEÐ．（2）①OE平分AOBÐ，依题意有3093902t t°+°-°=°¸，解得 2.5t=；OF平分AOBÐ，依题意有3093180902t t°+°-°=°+°¸，解得32.5t=．故当t为2.5s或32.5s时，EF平分AOBÐ②OB在MN上面，依题意有180309(903)2t t°-°-°=°-°¸，解得14t=；OB在MN下面，依题意有9(36030)(390)2t t-°-°=°-°¸，解得38t=．故EF能平分NOBÐ，t的值为14或38s．2．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使65BOCÐ=°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则MOCÐ= 25° ；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是MOBÐ的角平分线，求旋转角BONÐ和CONÐ的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，14NOC AOMÐ=Ð，求NOBÐ的度数．【解答】解：（1）90MONÐ=°Q，65BOCÐ=°，906525 MOC MON BOC\Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为：25°．（2）65BOCÐ=°Q，OC是MOBÐ的角平分线，2130MOB BOC\Ð=Ð=°．BON MOB MON\Ð=Ð-Ð13090=°-°40=°．CON COB BONÐ=Ð-Ð6540=°-°25=°．即40BONÐ=°，25CONÐ=°；（3）14NOC AOMÐ=ÐQ，4AOM NOC\Ð=Ð．65BOCÐ=°Q，AOC AOB BOC\Ð=Ð-Ð18065=°-115=°．90MON Ð=°Q ，AOM NOC AOC MON\Ð+Ð=Ð-Ð11590=°-°25=°．425NOC NOC \Ð+Ð=°．5NOC \Ð=°．70NOB NOC BOC \Ð=Ð+Ð=°．3．将一副三角板ABC 和三角板(90,60)BDE ACB DBE ABC Ð=Ð=°Ð=°按不同的位置摆放．（1）如图1，若边BD 、BA 在同一直线上，则EBC Ð= 150° ；（2）如图2，若165EBC Ð=°，那么ABD Ð= ；（3）如图3，若120EBC Ð=°，求ABD Ð的度数．【解答】解：（1）9060150EBC DBE ABC Ð=Ð+Ð=°+°=°；故答案为：150°；（2）165906015ABD CBE ABC DBE Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；故答案为：15°；（3）906012030ABD ABC DBE EBC Ð=Ð+Ð-Ð=°+°-°=°．ABD \Ð的度数为：30°．4．已知将一副三角板（直角三角板OAB 和直角板OCD ，90AOB Ð=°，45ABO Ð=°，90CDO Ð=°，30)COD Ð=°（1）如图1摆放，点O 、A 、C 在一条直线上，BOD Ð的度数是 60° ；（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板COD 绕点O 逆时针方向转动，若要OB 恰好平分COD Ð，则AOC Ð的度数是 ；（3）如图3，当三角板OCD 摆放在AOB Ð内部时，作射线OM 平分AOC Ð．射线ON 平分BOD Ð，如果三角板OCD 在AOB Ð内绕点O 任意转动，MON Ð的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【解答】解：（1）90AOB Ð=°Q ，30COD Ð=°，60BOD AOB COD \Ð=Ð-Ð=°，故答案为：60°；（2）OB Q 恰好平分COD Ð，11301522COB COD \Ð=Ð=´°=°，901575AOC AOB COB \Ð=Ð-Ð=°-°=°；故答案为：75°；（3）MON Ð的度数不发生变化，60MON Ð=°．理由如下：OM Q 平分AOC Ð，ON 平分BOD Ð，12DON BOD \Ð=Ð，12COM AOC Ð=Ð，11()()22DON COM BOD AOC AOB COD \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð-Ð，11()(9030)6022MON DON COM COD AOB COD \Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=´°+°=°．5．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:2AOC BOC ÐÐ=，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为 90 度；（2）继续将图2中的三角板绕点O 按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部．试探究AOMÐ之间满足什么等量关系，并说明理由；Ð与NOC（3）在上述直角三角板从图1开始绕点O按30°每秒的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在Ð中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋Ð和AOCOM所在直线平分BOC转时间t，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：旋转角为90Ð=°．MON故答案为90．（2）如图3:30Ð-Ð=°，理由如下：AOM NOCQ，Ð+Ð=°AOC BOC180ÐÐ=，AOC BOC:1:2AOC AOC\Ð+Ð=°，2180\Ð=°，AOC60\Ð+=°，①AON CON60Q，Ð=°MON90AOM AON\Ð+Ð=°，②90②-①，得30Ð-Ð=°．AOM CON（3）如图4，当OM平分BOCÐ，Ð时，ON所在直线平分AOC60Ð=°，BOM\三角板绕点O逆时针旋转60°，此时60302t=¸=（秒)；如图5，当ON 平分AOC Ð时，OM 所在直线平分BOC Ð，30CON Ð=°，\三角板绕点O 逆时针旋转240°，此时240308t =¸=（秒)．当OM 旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒．答：旋转时间为2秒或5秒或8秒．6．将一副三角板按图1摆放在直线MN 上，AF 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð．（1）BAD Ð= 105° ；FAG Ð= ；（2）如图2，若将三角板ABC 绕A 点以5/°秒的速度顺时针旋转t 秒(21)t <，求FAG Ð的度数；（3）如图3，三角板ABC 绕A 点以/m °秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE 绕A 点以/n °秒的速度逆时针旋转，当AD 与AB 边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t 秒时，有56MAD CAE Ð=Ð成立，试求此时m 与n 的关系．【解答】解：（1）如图1．1801804530105BAD BAC DAE Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，152.52BAF BAD \Ð=Ð=°，11(18045)67.522BAG BAE Ð=Ð=°-°=°，67.552.515FAG BAG BAF \Ð=Ð-Ð=°-°=°．故答案为105°；15°；（2）如图2，由题意可知：180180453051055BAD BAC DAE CAM t t Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-=°-；1801804551355BAE BAC CAM t t Ð=°-Ð-Ð=°-°-=°-；AF Q 平分BAD Ð，AG 平分BAE Ð，11(1055)22BAF BAD t \Ð=Ð=°-，11(1355)22BAG BAE t Ð=Ð=°-，11(1355)(1055)1522FAG BAG BAF t t \Ð=Ð-Ð=°--°-=°；（3）如图3．180********MAD DAE EAN nt nt Ð=-Ð-Ð=°-°-=°-，180180CAE MAC EAN mt nt Ð=°-Ð-Ð=°--．当56MAD CAE Ð=Ð时，有5150(180)6nt mt nt °-=°--，解得5n m =．即当5n m =时，有56MAD CAE Ð=Ð成立．7．如图，将一副三角尺的两个直角顶点O 重合在一起，在同一平面内旋转其中一个三角尺．（1）如图1，若70BOC Ð=°，则AOD Ð= 110° ．（2）如图2，若50BOC Ð=°，则AOD Ð= ．（3）如图1，请猜想BOC Ð与AOD Ð的关系，并写出理由．【解答】解：（1）90BOC BOD Ð+Ð=Q ，70BOC Ð=°，20BOD \Ð=°，110AOD AOB BOD \Ð=Ð+Ð=°．故答案为110°．（2）90AOB DOC Ð=Ð=°Q ，又360AOB AOD DOC BOC Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，180BOC AOD \Ð+Ð=°40BOD Ð=°Q ，180130AOD BOC \Ð=-Ð=°．故答案为130°．（3）结论：180BOC AODÐ+Ð=°．理由：90AOBÐ=°Q，90CODÐ=°，(90)(90)9090180BOC AOD AOC AOC AOC AOC\Ð+Ð=°-Ð+°+Ð=°-Ð+°+Ð=°，180BOC AOD\Ð+Ð=°．8．如图，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ；（3）如图，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/°秒，同时三角板PBD 的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/°秒，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t秒，则BPNÐ= 1802t- ，CPDÐ= （用含有t的代数式表示，并化简）；以下两个结论：①CPDBPNÐÐ为定值；②BPN CPDÐ+Ð为定值，正确的是 （填写你认为正确结论的对应序号）．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y\Ð=+=°（3）①正确．设运动时间为t秒，则2BPM tÐ=，1802BPN t\Ð=-，Q运动之前90CPDÐ=°，两个三角板运动的速度差为1/°秒90CPD t\Ð=-．\90118022 CPD tBPN tÐ-==Ð-．②1802902703BPN CPD t t tÐ+Ð=-+-=-，可以看出BPN CPDÐ+Ð随着时间在变化，不为定值，结论错误．故答案为：1802t-；90t-；①．9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：（1）若35DCEÐ=°，则ACBÐ的度数为 145° ；（2）若140ACBÐ=°，求DCEÐ的度数；（3）猜想ACBÐ与DCEÐ的大小关系，并说明理由；（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当(090)ACE ACEа<Ð<°等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出ACEÐ角度所有可能的值，不用说明理由．【解答】解：（1）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18035145ACB\Ð=°-°=°．（2）90ACD ECBÐ=Ð=°Q，18014040DCE\Ð=°-°=°．（3）180ACE ECD DCB ECDÐ+Ð+Ð+Ð=Q．ACE ECD DCB ACBQ，Ð+Ð+Ð=ÐÐ与DCE\Ð+Ð=°，即ACBÐ互补．ACB DCE180（4）30°、45°、60°、75°．10．将一副三角尺的两个直角顶点O重合在一起，如图那样摆放．（1）如果重叠在一起时，70BOCÐ= 110 度；Ð=°，则AOD（2）如果重叠在一起时，50Ð= 度；BOCÐ=°，则AOD（3）请猜想：不论旋转道何种位置，只要重叠在一起（重叠部分的角度大于0°且小于90)°，BOCÐ和AODÐ的和始终等于 度，并试说明理由．【解答】解：（1）因为BOCÐ和BODBOCÐ=°，Ð互余，且70故20AOD AOB BODÐ=Ð+Ð=°；Ð=°，所以110BOD（2）同（1），40Ð=Ð+Ð=°；AOD AOB BODBODÐ=°，130（3）180°；理由：90CODÐ=°，Q，90Ð=°AOB\Ð+Ð=°，AOB COD180Q，Ð=°-ÐAOD BOC180\Ð+Ð=°BOC AOD18011．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板Ð=°的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE AOB OAB(30)上方．将直角三角板绕着点O按每秒10?的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分CODÐ之间有Ð与BOEÐ，此时，BOC 何数量关系？并说明理由．（2）若射线OC的位置保持不变，且140Ð=°．COE①则当旋转时间t= 7或25 秒时，边AB所在的直线与OC平行？②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3)，求AOC BOEÐ-Ð的值．【解答】解：（1）BOC BOEÐ=Ð，Ð=°Q，AOB90AOD BOEÐ+Ð=°，BOC AOC\Ð+Ð=°，9090Ð，Q平分CODOA\Ð=Ð，AOD AOC\Ð=Ð；BOC BOE（2）①140COEQ，Ð=°\Ð=°，40COD如图1，当AB在直线DE上方时，Q，AB OC//\Ð=Ð=°，AOC A30t=；\Ð=Ð+Ð=°，即7AOD AOC COD70如图2，当AB在直线DE下方时，//AB OC Q ，60COB B \Ð=Ð=°，20BOD BOC COD \Ð=Ð-Ð=°，则9020110AOD Ð=°+°=°，3601102510t °-°\==，故答案为：7或25；②当OA 平分COD Ð时，AOD AOC Ð=Ð，即1020t =，解得2t =；当OC 平分AOD Ð时，AOC COD Ð=Ð，即104040t -=，解得8t =；当OD 平分AOC Ð时，AOD COD Ð=Ð，即3601040t -=，解得：32t =；综上，t 的值为2、8、32；③140AOC COE AOE AOE Ð=Ð-Ð=°-ÐQ ，90BOE AOE Ð=°-Ð，(140)(90)50AOC BOE AOE AOE \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°，AOC BOE \Ð-Ð的值为50°．12．如图1，点O 为直线AB 上一点，过O 点作射线OC ，使:1:3AOC BOC ÐÐ=，将一直角MON D 的直角顶点放在点O 处，边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方，绕点O 逆时针旋转MON D ，其中旋转的角度为(0360)a a <<°（1）将图1中的直角MON D 旋转至图2的位置，使得ON 落在射线OB 上，此时a 为 90 度．（2）将图1中的直角MON D 旋转至图3的位置，使得ON 在AOC Ð的内部，试探究AOM Ð与NOC Ð之间满足什么样的等量关系，并说明理由．（3）若直角MOND的直角边ON所在直线恰好D绕点O按每秒5°的速度顺时针旋转，当直角MON平分AOCD绕点O的运动时间t的值．Ð时，求此时直角MON【解答】解：:1:3Ð+Ð=°，AOC BOCAOC BOCQ，180ÐÐ=Ð=°\Ð=°，135BOC45AOC（1）由ON落在射线OB上，可知旋转角为：90Ð=°；NOB故答案为90．（2）90Ð+Ð=Ð=°，AON NOC AOCÐ+Ð=°Q，45AOM AON\Ð-Ð=°；AOM NOC45（3）ONÐ，Q所在直线恰好平分AOC\Ð=и=°¸=°，AON AOC245222.5此时旋转角为：9022.5112.5°+°=°¸=（秒)，112.5522.5+¸=（秒)或(112.5180)558.5所以直角MOND绕点O的运动时间是22.5秒或58.5秒．13．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1AOC BOCÐÐ=，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．（1）在图1中，AOCÐ= ．Ð= 120° ，BOC（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则CONÐ= ；（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在BOCÐ-Ð的度Ð的内部，求BON COM数．【解答】解：（1）Q点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使:2:1ÐÐ=，AOC BOCÐ+Ð=°，AOC BOC180120AOC\Ð=°，60BOCÐ=°故答案为：120°，60°；（2）Q由（1）可知：120AOCÐ=°，90MONÐ=°，AOC MON CONÐ=Ð+Ð，1209030CON AOC MON\Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：30°；（3）由图可知：60BOCÐ=°，90MONÐ=°，BON MON BOMÐ=Ð-Ð，COM BOC BOMÐ=Ð-Ð，则，90(60)30BON COM BOM BOMÐ-Ð=°-Ð-°-Ð=°，即BON COMÐ-Ð的度数是30°．14．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．（1）试说明：90DPCÐ=°；（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分APDÐ，PE平分CPDÐ，求EPFÐ．（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3/s°．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2/s°，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板都停止转运），问CPDBPNÐÐ的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．【解答】解：（1）180DPC CPA DPBÐ=°-Ð-ÐQ，60CPAÐ=°，30DPBÐ=°，180306090DPC\Ð=°-°-°=°；（2）设CPE DPE xÐ=Ð=，CPF yÐ=，则2APF DPF x yÐ=Ð=+，60CPAÐ=°Q，260y x y\++=°，30x y\+=°30EPF x y \Ð=+=°（3）不变．设运动时间为t 秒，则2BPM t Ð=，1802BPN t \Ð=-，3APN t Ð=．36090CPD DBP BPM CPA APN t \Ð=-Ð-Ð-Ð-Ð=-，\90118022CPD t BPN t Ð-==Ð-．15．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)D Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边OE 在射线OA 上，另一边OD 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OD 恰好平分BOC Ð．①此时t 的值为 3 ；（直接填空）②此时OE 是否平分AOC Ð？请说明理由；（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分DOE Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC 平分DOB Ð？请画图并说明理由．【解答】解：（1）①30AOC Ð=°Q ，180AOB Ð=°，150BOC AOB AOC \Ð=Ð-Ð=°，OD Q 平分BOC Ð，1752BOD BOC \Ð=Ð=°，907535t °-°\==．②是，理由如下：Q 转动3秒，15AOE \Ð=°，15COE AOC AOE \Ð=Ð-Ð=°，COE AOE \Ð=Ð，即OE 平分AOC Ð．（2）三角板旋转一周所需的时间为360725==（秒)，射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，设经过x 秒时，OC 平分DOE Ð，由题意：①854530x x -=-，解得：5x =，②853603045x x -=-+，解得：12545x =>，不合题意，③Q 射线OC 绕O 点旋转一周所需的时间为360458=（秒)，45秒后停止运动，\当OD 旋转到OC 的位置后再旋转45°时，OC 平分DOE Ð，此时OD 旋转了360(6045)345°-°-°=°，345695t \==（秒)，综上所述，5t =秒或69秒时，OC 平分DOE Ð．（3）如图3中，由题意可知，OD 旋转到与OB 重合时，需要90518¸=（秒)，OC 旋转到与OB 重合时，需要3(18030)8184-¸=（秒)，所以OD 比OC 早与OB 重合，设经过x 秒时，OC 平分DOB Ð，由题意：18(18030)(590)2x x --=-，解得：21011x =，所以经21011秒时，OC 平分DOB Ð．16．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使120Ð=°．将一直角三角板的直BOC角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在BOCÐ的内部，且恰好平分Ð？请说明理由．Ð．问：此时直线ON是否平分AOCBOC（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，求t的值．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在AOCÐ的内部，试探索：在旋转过程中，Ð的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．AOMÐ与NOC【解答】解：（1）直线ON平分AOCÐ．理由：如图所示，设ON的反向延长线为OD．Ð，Q平分BOCOM\Ð=Ð．MOC MOB又OM ONQ，^90\Ð=Ð=°．MOD MON\Ð=Ð．COD BON又AOD BONQ（对顶角相等），Ð=ÐCOD AOD \Ð=Ð．OD \平分AOC Ð，即直线ON 平分AOC Ð．（2）120BOC Ð=°Q ，60AOC \Ð=°．30BON COD \Ð=Ð=°．即旋转60°或240°时直线ON 平分AOC Ð．由题意得，660t =或240．解得：10t =或40；（3）AOM NOC Ð-Ð的差不变．90MON Ð=°Q ，60AOC Ð=°，90AOM AON \Ð=°-Ð、60NOC AON Ð=°-Ð．(90)(60)30AOM NOC AON AON \Ð-Ð=°-Ð-°-Ð=°．17．如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，30AOC Ð=°，将一直角三角板(30)M Ð=°的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．（1）将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t 秒后OM 恰好平分BOC Ð，则t = 5秒或115秒 （直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC 平分MON Ð？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒36MOC Ð=°？请说明理由．【解答】解：（1）90AON BOM Ð+Ð=°Q ，COM MOB Ð=Ð，30AOC Ð=°Q ，2150BOC COM \Ð=Ð=°，75COM \Ð=°，15CON \Ð=°，301515\Ð=Ð-Ð=°-°=°，AON AOC CON解得：1535t=°¸°=秒；（2）5秒或115秒时，OC平分角MON，理由如下：当OC运动时，Ð=Ð，Q，CON COMÐ+Ð=°90AON BOMÐ=°Q，MON90\Ð=Ð=°，CON COM45Q三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设AON°+，Ð为306tÐ为3t，AOCÐ-Ð=°Q，45AOC AON可得：6315t t-=°，解得：5t=秒；Ð，OC停止运动，OM运动345°时，此时，OC也平分MONt=¸=（秒)；3453115（3）当OC运动时，如上图：OC平分MOBÐOC可能在MOBÐ内侧也可能在外侧，由题意得：t t-=°-°=°，t t63543024-=°-°=°或631263096解得：8t=或32秒；当OC停止运动时，Ð=，MONMO运动到AO下方6°时，36t=-¸=（秒)，(2706)388Ð=°，MO运动到AO下方6°时，36MOCt=++¸=（秒)(2703036)3112答：经过8或32秒或112秒或88秒．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使135Ð=°，将一个含45°角的直角BOC三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时BOMÐ= 90° ；在图2中，Ð？请说明理由；OM是否平分CON（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在AOCÐ的内部，请探究：AOMÐ之间的数量关系，并说明理由；Ð与CON（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角AOCÐ，则t的值为 （直接写出结果）．【解答】解：（1）如图2，90BOMÐ=°，Ð．理由如下：OM平分CONÐ=°Q，BOC135MOC\Ð=°-°=°，1359045而45Ð=°，MON\Ð=Ð；MOC MON故答案为90°；Ð．OM平分CON理由如下：Q三角尺绕着点O逆时针旋转90°得到OMND（如图2)，\Ð=°，90BOM\Ð=Ð-Ð=°，COM BOC BOM45而45Ð=°，NOMÐ；\平分CONOM（2）AOM CONÐ=Ð．理由如下：如图3，Q，Ð=°45MON\Ð=°-Ð，45AOM AON45AOCÐ=°Q，45NOC AON\Ð=°-Ð，AOM CON\Ð=Ð；（3）1455 4.52T=´°¸°=（秒)或(18022.5)540.5t=°+°¸°=（秒)．故答案为4.5秒或40.5秒．。
四年级数学上册第八单元：角度计算问题专项练习(解析版)苏教版
2022-2023学年四年级数学上册典型例题系列之第八单元：角度计算问题专项练习（解析版）1．已知∠1＝90°，∠2＝45°，求∠3、∠4、∠5的度数。
【答案】∠3＝45°∠5＝45°∠4＝135°【分析】根据题图可知，∠1、∠2和∠3组成一个平角，则∠3＝180°－∠1－∠2。
∠1、∠2和∠5组成一个平角，则∠5＝180°－∠1－∠2。
∠4和∠5组成一个平角，则∠4＝180°－∠5。
【详解】∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－90°－45°＝45°∠5＝180°－∠1－∠2＝180°－90°－45°＝45°∠4＝180°－∠5＝180°－45°＝135°2．如下图，直线m与直线n互相垂直，∠1＝35°，求∠2的度数。
【答案】55°【分析】根据直线m与直线n互相垂直可得：∠1＋∠2＝90°，则用90°减去∠1的度数即可。
【详解】∠1＋∠2＝90°∠2＝90°－∠1∠2＝90°－35°∠2＝55°3．将一张长方形纸折成下图，求∠1＝？【答案】12°【分析】如下图，通过观察可知∠2＝84°，所以∠1等于180°减去∠2和84°，据此即可解答。
【详解】∠1＝180°－84°－∠2＝96°－84°＝12°4．如图∠ABC＝90°，∠2＝2∠1，∠3＝3∠1，求∠3＝？【答案】45°【分析】根据题图可知，∠1＋∠2＋∠3＝∠ABC＝90°。
∠2＝2∠1，∠3＝3∠1，则6∠1＝90°，∠1＝90°÷6。
专题09角度的计算(计算题专项训练)(沪科版)(原卷版+解析)
专题09 角度的计算1．（2022秋·七年级单元测试）计算：（1）20°27′+35°54′；（2）90°−43°18′36′′（3）25°14′28″−15°26′37″；（4）105°18′48″+35.285°．（5）180°−(35°54′+21°33′)（6）34°27′36′′÷2（7）58°32′21′′−20°42′44′′（8）62°24′17″×4；2．（2023秋·六年级单元测试）计算：（1）23°45′36″+66°14′24″；（2）180°−98°24′30″；（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5；（5）153°29′42″+26°40′32″；（6）62°24′17″×4．3．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）计算：（1）153∘29′42″+26∘40′32″（2）132∘25′−55∘43′20″4．（2022春·山东泰安·六年级校考期中）计算：（1）44°49′+37°28′；（2）24°14′24′′+55.48°；5．（2023·全国·九年级专题练习）计算：（1）20°27′+35°54′；（2）90°−43°18′36″．6．（2023秋·宁夏石嘴山·七年级统考期末）计算：153°29′42″+26°40′32″．7．（2022秋·全国·七年级期末）计算：119°57′+32°41′−70°25′13″．×(100°−71°20′)．8．（2023秋·陕西延安·七年级统考期末）计算：36°16′+129．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算216°55′18′′÷3−33°57′20′′．10．（2023·全国·九年级专题练习）计算：180°−182°36′÷4．11．（2023·全国·九年级专题练习）计算：216°55′18″÷3−33°57′20″．12．（2022秋·七年级单元测试）计算：（1）56°17′+22°16′×3；（2）62°25′−182°36′÷4．13．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期末）计算：（1）35°45′+23°29′−53°17′（2）67°31′+48°39′−21°17′×514．（2023·全国·九年级专题练习）计算：（1）47°17′34″−29°38′53″（2）23°35′×3−107°43′÷615．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算：（1）48°39′+67°31′−21°17′×5（2）90°−51°37′11″16．（2023春·山东聊城·七年级校考阶段练习）计算：（1）33°16′28″+24°46′37″；（2）24°31′×4−62°10′．17．（2023·全国·九年级专题练习）计算:（1）30°16′+20°56′−10°30′;（2）13°53′×3−32°5′31′′.18．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算（1）108°18′-56°23′（2）180°−(34°54′+21°33′)（3）182°36′÷4+22°16′×319．（2023秋·七年级单元测试）计算：（1）58°38′27′′+47°42′40′′（2）131°28′−51°32′15′′（3）34°25′×4+35°42′（4）21°36′20′′÷5+3.295°20．（2023·全国·九年级专题练习）计算下列各题：（1）77°42′+34°45′（2）108°54′－79°32′（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）专题09 角度的计算1．（2022秋·七年级单元测试）计算：（1）20°27′+35°54′；（2）90°−43°18′36′′（3）25°14′28″−15°26′37″；（4）105°18′48″+35.285°．（5）180°−(35°54′+21°33′)（6）34°27′36′′÷2（7）58°32′21′′−20°42′44′′（8）62°24′17″×4；【思路点拨】（1）把度、分分别相加，再满60进1即可求解；（2）把度、分分别相减即可求解；（3）把度、分、秒分别相减即可求解；（4）把度、分、秒分别相加，再满60进1即可求解；（5）先将括号里的度、分分别相加，满60进1，再计算括号外面的即可求解；（6）将度、分、秒分别除以2即可求解，（7）把度、分、秒分别相减即可求解；（8）把度、分、秒分别乘以4，再满60进1即可求解；【解题过程】（1）20°27′+35°54′=55°81′=56°21′；（2）90°−43°18′36′′=89°59′60′′−43°18′36′′=46°41′24′′；（3）25°34′48′′−15°26′37′′=10°8′11′′；（4）105°18′48′′+35.285°=105°18′48′′+35°17′6′′=140°35′54′′；（5）原式=179°60′−(35°54′+21°33′)=179°60′−57°27′=122°33′；（6）原式=34°26′96′′÷2=17°13′48′′；（7）原式=57°91′81′′−20°42′44′′=37°49′37′′；（8）原式=248°96′68′′=249°37′8′′．2．（2023秋·六年级单元测试）计算：（1）23°45′36″+66°14′24″；（2）180°−98°24′30″；（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5；（5）153°29′42″+26°40′32″；（6）62°24′17″×4．【思路点拨】（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可；（2）根据角度的减法运算法则进行计算即可；（3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可；（4）根据角度的除法运算法则进行计算即可；（5）根据角度的加法运算法则进行计算即可；（6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可．【解题过程】（1）解：23°45′36″+66°14′24″=89°59′60″=90°；（2）解：180°−98°24′30″=179°59′60″−98°24′30″=81°35′30″；（3）解：22°16′×5=110°80′=111°20′；（4）解：42°15′÷5=(42×60′+15′)÷5=2535′÷5=507′=8°27′；（5）解：153°29′42″+26°40′32″=179°69′74″=180°10′14″；（6）解：62°24′17″×4=248°96′68″=249°37′8″．3．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）计算：（1）153∘29′42″+26∘40′32″（2）132∘25′−55∘43′20″【思路点拨】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答；（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答；【解题过程】（1）解：153∘29′42″+26∘40′32″=179∘69′74″=180∘10′14″（2）解：原式=131∘84′60″−55∘43′20″=76∘41′40″4．（2022春·山东泰安·六年级校考期中）计算：（1）44°49′+37°28′；（2）24°14′24′′+55.48°；【思路点拨】根据度分秒，角度制进行计算求解即可．【解题过程】（1）解：44°49′+37°28′=81°77′=82°17′（2）24°14′24″+55.48°=24°14.4′+55.48°=24.24°+55.48°=79.72°5．（2023·全国·九年级专题练习）计算：（1）20°27′+35°54′；（2）90°−43°18′36″．【思路点拨】（1）根据角度的加法运算可进行求解；（2）根据角度的减法运算可进行求解．【解题过程】（1）解：原式=55°81′=56°21′；（2）解：原式=89°59′60″−43°18′36″=46°41′24″．6．（2023秋·宁夏石嘴山·七年级统考期末）计算：153°29′42″+26°40′32″．【思路点拨】根据角度的四则运算法则进行求解即可．【解题过程】解：153°29′42″+26°40′32″=179°69′74″=180°10′14″．7．（2022秋·全国·七年级期末）计算：119°57′+32°41′−70°25′13″．【思路点拨】根据度分秒的进制进行计算即可解答．【解题过程】解：119°57′+32°41′−70°25′13′′=152°38′−70°25′13′′=152°37′60′′−70°25′13′′=82°12′47′′．8．（2023秋·陕西延安·七年级统考期末）计算：36°16′+12×(100°−71°20′)．【思路点拨】根据度分秒的进制，进行计算即可解答．【解题过程】解：36°16′+12×(100°−71°20′)=36°16′+12×28°40′=36°16′+14°20′=50°36′．9．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算216°55′18′′÷3−33°57′20′′．【思路点拨】根据角度的四则运算方法及变换进率计算即可得．【解题过程】解：216°55′18′′÷3−33°57′20′′，=72°18′26′′−33°57′20′′，=38°21′6′′．10．（2023·全国·九年级专题练习）计算：180°−182°36′÷4．【思路点拨】先算度分秒的除法，再算度分秒的减法，可得答案．【解题过程】解：原式=180°−45°44′=179°60′−45°44′=134°16′．11．（2023·全国·九年级专题练习）计算：216°55′18″÷3−33°57′20″．【思路点拨】将216°55′18″改写成216°54′78″，再除以3，得出的商，再进行度分秒的减法即可．【解题过程】解：原式=216°54′78″÷3−33°57′20″=72°18′26″−33°57′20″=71°78′26″−33°57′20″=38°21′6″．12．（2022秋·七年级单元测试）计算：（1）56°17′+22°16′×3；（2）62°25′−182°36′÷4．【思路点拨】根据角的四则运算法则求解即可．【解题过程】（1）解：原式=56°17′+66°48′=123°5′；（2）解：原式=62°25′−180°156′÷4=62°25′−45°39′=16°46′．13．（2022秋·湖北孝感·七年级统考期末）计算：（1）35°45′+23°29′−53°17′（2）67°31′+48°39′−21°17′×5【思路点拨】（1）根据角度的单位换算从左往右计算，即可求解；（2）先计算乘法，再计算加减，即可求解．【解题过程】（1）解：35°45′+23°29′−53°17′=59°14′−53°17′=5°57′（2）解：67°31′+48°39′−21°17′×5解：原式=116°10′−106°25′=9°45′14．（2023·全国·九年级专题练习）计算：（1）47°17′34″−29°38′53″（2）23°35′×3−107°43′÷6【思路点拨】（1）根据度分秒的进制进行计算即可解答；（2）根据度分秒的进制进行计算即可解答．【解题过程】（1）解：47°17′34′′−29°38′53′′=46°76′94′′−29°38′53′′=17°38′41′′；（2）解：23°35′×3−107°43′÷6=70°45′−102°342′60′′÷6=70°45′−17°57′10′′=69°104′60′′−17°57′10′′=52°47′50′′．15．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算：（1）48°39′+67°31′−21°17′×5（2）90°−51°37′11″【思路点拨】（1）首先计算乘法，然后计算加减即可；（2）首先把90°化为89°59′60″，然后再利用度减度、分减分、秒减秒进行计算即可．【解题过程】（1）解：原式=48°39′+67°31′−106°25′=115°70′−106°25′（2）解：原式=89°59′60″−51°37′11″=38°22′49″．16．（2023春·山东聊城·七年级校考阶段练习）计算：（1）33°16′28″+24°46′37″；（2）24°31′×4−62°10′．【思路点拨】（1）根据度分秒的进制，进行计算即可解答；（2）根据度分秒的进制，进行计算即可解答．【解题过程】（1）解：33°16′28″+24°46′37″=57°62′65″=57°63′5″=58°3′5″（2）解：24°31′×4−62°10′=96°124′−62°10′=34°114′=35°54′17．（2023·全国·九年级专题练习）计算:（1）30°16′+20°56′−10°30′;（2）13°53′×3−32°5′31′′.【思路点拨】对于（1），先进行度、分、秒加减法计算，再进行度、分、秒间的单位换算；对于（2），先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法.【解题过程】解：（1）原式=40°42′（2）原式=13°53′×3-32°5′31″=39°159′-32°5′31″=41°38′60″-32°5′31″18．（2022秋·全国·七年级专题练习）计算（1）108°18′-56°23′（2）180°−(34°54′+21°33′)（3）182°36′÷4+22°16′×3【解题过程】（1）解：108°18′−56°23′=107°78′−56°23′=51°55′；（2）解：180°−(34°54′+21°33′)=180°−56°27′=123°33′；（3）解：182°36′÷4+22°16′×3=45°39′+66°48′=112°27′．19．（2023秋·七年级单元测试）计算：（1）58°38′27′′+47°42′40′′（2）131°28′−51°32′15′′（3）34°25′×4+35°42′（4）21°36′20′′÷5+3.295°【思路点拨】（1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；（2）根据度分秒的加法法则计算即可求解；（3）先算乘法，再算加法；（4）首先计算除法，再算加减即可．【解题过程】解：（1）58°38′27″+47°42′40″=106°21′7″；（2）131°28′−51°32′15″（3）34°25′×4+35°42′=137°40′+35°42′=173°22′；（4）21°36′20″÷5+3.295°=4°19′16″+3°17′42″=7°36′58″20．（2023·全国·九年级专题练习）计算下列各题：（1）77°42′+34°45′（2）108°54′－79°32′（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）【思路点拨】当进行减法计算时，按先秒再分最后度的运算顺序，当不够时向前一位借1；当进行加法和乘法时，度、分、秒分别计算即可；当进行除法时，按先度再分最后秒，每级有余数时，余数移到下一级. 运算最后都要化简，使分和秒小于60.【解题过程】解：（1）77°42′+34°45′=111°87′=112°27′；（2）108°54′－79°32′=29°22′；（3）175°16′39″－47°30′÷6+4°12′50″×3=175°16′39″－7°55′+12°38′30″=187°55′9″－7°55′=180°9″；（4）33°15′16″×5－（90°3′－57°11′44″）=165°75′80″-32°51′16″=133°24′64″=133°25′4″.。
小学奥数：角度计算.专项练习及答案解析
4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例 1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角．(5)三角形的三个内角可以都是锐角．(6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法． 【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
角度测量—角度测量原理(建筑工程测量)
水平角测量原理
水平角定义：地面上的两个方向投影到同一水
平面上所形成的夹角，通常用பைடு நூலகம்表示。
水平角的计算：
=b-a 当b>a ； =b-a+360° 当b<a 。
角度测量原理—竖直角测量原理
竖直角测量原理
竖直角：在同一竖直面内目标方向与水平方向
线之间的夹角，也称垂直角 ，通常用表示。
竖直角的计算： = n – m
仰角：n>m，视线在水平线之上，符号为正； 俯角：n<m，视线在水平线之下，符号为负。
角度测量原理
你能说出水平角与竖直角的区别吗？
所在平面不同
角值范围不同
观测方向不同
培优专题01 与三角形模型有关的角度计算-解析版
培优专题01 与三角形模型有关的角度计算◎模型一A字模型【条件】△ADE与△ABC.【结论】∠AED+∠ADE=∠B+C.【证明】根据三角形内角和可得，∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+C=180°-∠A，∠∠AED+∠ADE=∠B+C，得证.1．（2022·湖北咸宁·七年级期中）如图，已知l1∥l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（）A．50°B．55°C．45°D．60°【答案】B【分析】根据平角的定义得出∠ACB＝80°，根据三角形内角和得到∠ABC＝55°，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：∠∠2＝100°，∠∠ACB ＝180°−100°＝80°， ∠∠A ＝45°，∠∠ABC ＝180°−45°−80°＝55°， ∠l 1∥l 2，∠∠1＝∠ABC ＝55°， 故选：B ．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（ ）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可． 【详解】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒， 360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键． 3．（2022·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若1120∠=︒，那么32∠-∠的度数为_________．【答案】60︒【分析】根据平角的定义求出4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图14180∠+∠=︒，1120∠=︒， 460∴∠=︒，324，32460∴∠-∠=∠=︒，故答案为：60︒．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．4．（2020·湖南·常德市第二中学九年级期中）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6BC =，D ，E 分别在AB 、AC 上，将ADE ∆沿DE 折叠，使点A 落在点A '处，若A '为CE 的中点，则折痕DE 的长为__．DE BC ，故∆BC ．【详解】解：ABC ∆沿90DEA =∠'=︒，AED ∆∽，的中点，AE =∴=．ED2故答案为：2．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“A ”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 5．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，DAE ∠的两边上各有一点,B C ，连接BC ，求证180DBC ECB A +∠=︒∠+∠．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可． 【详解】解：DBC ∠和ECB ∠是ABC 的外角， ,DBC A ACB ECB A ABC ∴∠=∠+∠∠=∠+∠．又180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，180DBC ECB A ACB ABC A A ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠︒=+∠．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．◎模型二 8字模型【条件】AD 、BC 相交于点O.【结论】∠A +∠B =∠C +∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)【证明】在∠ABO 中，由内角和定理：∠A +∠B +∠BOA =180°，在∠CDO 中，∠C +∠D +∠COD =180°， ∠∠A +∠B +∠BOA =180°=∠C +∠D +∠COD ，由对顶角相等：∠BOA =∠COD ∠∠A +∠B =∠C +∠D ，得证.6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∠∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∠∠B＝∠D，∠∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∠∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240°B．280°C．360°D．540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∠∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∠∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∠∠B+∠C=120°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．8．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．【答案】900°【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【详解】解：连EF，GI，如图，∠6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∠∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案为：900°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，∠7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∠∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∠∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．故答案为：1080°．【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD 的度数为 °； （2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD 的度数；（3）如图3，当OCD 绕O 点任意旋转时，∠AMD 与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD ，并用图3进行证明；若不确定，说明理由． 【答案】（1）90；（2）120︒；（3）180α︒-【分析】（1）如图1，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKO AKM ∠=∠，可得90AMK BOK ∠=∠=︒；（2）如图2，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKO AKM ∠=∠，可得60AMK BOK ∠=∠=︒；（3）如图3，设OA 交BD 于K ，只要证明△≌△BOD AOC ，推出OBD OAC ∠=∠，由BKM AKO ∠=∠，可得BMK AOK α∠=∠=，可得180AMD α∠=︒-； 【详解】解：（1）如图1中，设OA 交BD 于K∠OA OB OC OD ==，，90AOB COD ∠=∠=︒ ∠BOD AOC ∠=∠ ∠△≌△()BOD AOC SAS ∠OBD OAC ∠=∠ ∠BKO AKM ∠=∠ ∠90AMK BOK ∠=∠=︒ ∠90AMD ∠=︒ 故答案为90︒（2）如图2，设OA 交BD 于K ，∠OA OB OC OD ==，，60AOB COD ∠=∠=︒ ∠BOD AOC ∠=∠ ∠△≌△()BOD AOC SAS ∠OBD OAC ∠=∠ ∠BKO AKM ∠=∠ ∠60AMK BOK ∠=∠=︒ ∠180120AMD AMK ∠=︒-∠=︒ 故答案为120︒（3）如图3，设OA 交BD 于K ，∠OA OB OC OD ==，，AOB COD α∠=∠= ∠BOD AOC ∠=∠ ∠△≌△()BOD AOC SAS ∠OBD OAC ∠=∠ ∠AKO BKM ∠=∠ ∠BMK AOK α∠=∠=∠180180AMD BMK α∠=︒-∠=︒- 故答案为180α︒-【点睛】本题考查了几何变换综合题，全等三角形的判定，三角形内角和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用“8字型”证明角相等．◎模型三 飞镖模型【条件】四边形ABDC 如上左图所示.【结论】∠D =∠A +∠B +∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和) 【证明】如上右图，连接AD 并延长到E ，则：∠BDC =∠BDE +∠CDE =(∠B +∠1)+(∠2+∠C )=∠B +∠BAC +∠C.本质为两个三角形外角和定理证明. 11．（2022·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（ ）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】A【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠，再根据四边形的内角和求出DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数． 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∠180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒∠180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠ 同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠ ∠360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒ ∠360BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠ 107,B C BAC =∠+∠+∠=︒ ∠72,BED ∠=︒∠180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒ ∠360DFO D DEO EOF ∠=︒-∠-∠-∠36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∠180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒, 故选：A ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒-．12．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知BE ，CF 分别为△ABC 的两条高，BE 和CF 相交于点H ，若△BAC=50°，则△BHC 为（ ）A ．115°B ．120°C ．125°D ．130°【答案】D【详解】∠BE 为∠ABC 的高，∠BAC=50°， ∠∠ABE=90°-50°=40°， ∠CF 为∠ABC 的高， ∠∠BFC=90°，∠∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故选D．13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，若115∠+∠+∠+∠+∠+∠=EOC∠=︒，则A B C D E F____________．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∠∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠∠E+∠D+∠C=115°，∠∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∠∠A+∠B+∠F=115°，∠∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．14．（2022·山东德州·七年级期末）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__．【答案】180°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．【详解】解：如图可知：∠∠4是三角形的外角，∠∠4＝∠A＋∠2，同理∠2也是三角形的外角，∠∠2＝∠D＋∠C，在∠BEG中，∠∠B＋∠E＋∠4＝180°，∠∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°．故答案为：180°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．15．（2022·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“BOC A B C 1BOC B A C B∠=∠+∠+∠”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：∠如图2，60,20,30A B C∠=︒∠=︒∠=︒，则BOC∠=__________︒；∠如图3，A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：∠如图4，ABO∠、ACO∠的2等分线（即角平分线）1BO、1CO交于点1O，已知120BOC∠=︒，50BAC∠=︒，则1BO C∠=__________︒；∠如图5，BO、CO分别为ABO∠、ACO∠的10等分线1,2,3,,(,)89i=⋯．它们的交点从上到下依次为1O、2O、3O、…、9O．已知120BOC∠=︒，50BAC∠=︒，则7BO C∠=__________︒；∠如图6，ABO∠、BAC∠的角平分线BD、AD交于点D，已知120,44BOC C∠=︒∠=︒，则ADB=∠__________︒；∠如图7，BAC∠、BOC∠的角平分线AD、OD交于点D，则B、C∠、D∠之同的数量关系为__________．【详解】解：（1）∠∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；◎模型四双垂直模型【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∠∠B=∠D=∠ACE=90°；∠∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∠∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE=90°，且∠CED+∠DCE=90°；∠∠ACB=∠CED，得证.16．（2021·青海海东·八年级期中）如图，已知∠ABC∠∠CDE，∠B＝90°，点C为线段BD上一点，则∠ACE的度数为（）A．94°B．92°C．90°D．88°【答案】C【分析】由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠CED，则可得出答案．【详解】解：∠∠ABC∠∠CDE，∠∠ACB＝∠CED，∠B＝∠D＝90°，∠∠CED+∠ECD＝90°，∠∠ACB+∠ECD＝90°，∠∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，∠∠ACE＝90°．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质；熟练掌握三角形全等的性质定理是解题的关键．17．（2020·河南·郑州市第八中学模拟预测）如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若16FGC ∠=︒，则AEF ∠等于（ ）A ．106︒B ．114︒C ．126︒D ．134︒【答案】D【分析】根据矩形的性质可得∠C=90°，AD∠BC ，利用直角三角形的两个锐角互余求出∠GFC ，从而求出∠EFB ，然后根据平行线的性质可得∠AEF ＋∠EFB=180°，从而求出结论． 【详解】解：∠四边形ABCD 为矩形 ∠∠C=90°，AD∠BC ∠16FGC ∠=︒∠∠GFC=90°－∠FGC=74° 由三角尺可知：∠EFG=60° ∠∠EFB=180°－∠GFC －∠EFG=46° ∠AD∠BC∠∠AEF ＋∠EFB=180° ∠∠AEF=180°－∠EFB=134° 故选D ．【点睛】此题考查的是矩形的性质、直角三角形的性质和平行线的性质，掌握矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质是解决此题的关键．18．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，小虎用10块高度都是4cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______．【答案】40 cm【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD∠DE，BE∠DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明∠ADC ∠∠CEB 即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ∠DE ，BE ∠DE ， ∠∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∠∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∠ACD ＋∠DAC ＝90°， ∠∠BCE ＝∠DAC ， 在∠ADC 和∠CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝12cm ，DC ＝BE ＝28cm ， ∠DE ＝DC ＋CE ＝40（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为40cm ， 故答案为：40 cm ．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，涉及到垂直的定义、直角三角形的性质和连个三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．19．（2021·江苏盐城·七年级期中）将含有30角的直角三角板（30A ∠=︒）和直尺按如图方式摆放，已知136∠=︒，则2∠=______︒．【答案】24【分析】过点B 作BC //MN ，由平行线传递性，可得BC //KL ，再由平行线的性质可得1=LBC ∠∠ ，2=ABC ∠∠ ，最后由在直角三角形中两锐角互余的关系，求出2=24∠︒ ．【详解】解：过点B 作BC //MN ，如图所示：MN //KH∴ BC //KL1LBC ∴∠=∠又1=36∠︒=36LBC ∴∠︒又 BC //MN2=ABC ∴∠∠又=30A ∠︒=60ABL ∴∠︒又=ABL LBC ABC ∠∠+∠603624ABC ∴∠=︒-︒=︒224∴∠=︒故答案为：24【点睛】本题考查了平行线的判定与性质(两直线平行，内错角相等)，平行线传递性(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，直角三角形中两锐角互余，角的和差计算等综合知识点．难点是作已知直线的平行线．20．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，且垂足分别为E ，D ．(1)猜想线段AD 、DE 、BE 三者之间的数量关系，并给予证明．(2)如图2，当过点C 的直线绕点C 旋转到ABC ∆的内部，其他条件不变，如图2所示，∠线段AD 、DE 、BE 三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；∠若 2.8AD =， 1.5DE =时，求BE 的长． 【答案】(1)DE AD BE =+，证明见解析 (2)∠发生改变，DE AD BE =-；∠1.3【分析】（1）证明ACD CBE ∆≅∆，可得AD CE =，CD ＝BE ， 即可求解；（2）∠证明ACD CBE ∆≅∆，可得AD CE =，CD ＝BE ， 即可求解；∠由∠可得DE AD BE =-，从而得到BE AD DE =-，即可求解．（1）解：DE AD BE =+， 理由如下： ∠BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直， ∠90BEC ADC ∠∠=︒＝， ∠90ACD CAD ∠∠+︒＝， ∠90ACB ∠=︒， ∠90ACD BCE ∠+∠=︒， ∠CAD BCE ∠=∠，在ACD ∆和CBE ∆中，ADC BECCAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，CD ＝BE ，∠ DE ＝EC ＋CD ，DE AD BE ∴=+；（2）解：∠发生改变．∠BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直，∠90BEC ADC ∠∠=︒＝，∠90ACD CAD ∠∠+︒＝， ∠90ACB ∠=︒， ∠90ACD BCE ∠+∠=︒， ∠CAD BCE ∠=∠，在ACD ∆和CBE ∆中，ADC BEC CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD CBE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，CD ＝BE ，∠ DE ＝CE -CD ， ∠DE AD BE=-； ∠由∠知：DE AD BE =-， ∠ 2.8 1.5 1.3BE AD DE =-=-=， ∠BE 的长为1.3.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．◎模型五 风筝模型【条件】四边形ABPC ，分别延长AB 、AC 于点D 、E ，如上左图所示. 【结论】∠PBD+∠PCE =∠A +∠P .【证明】如上右图，连接AP ，则：∠PBD =∠PAB +∠APB ，∠PCE =∠PAC +∠APC ，∴∠PBD+∠PCE=∠PAB +∠APB+∠PAC +∠APC=∠BAC +∠BPC ，得证.21．（2022·内蒙古赤峰·八年级期末）如图，将ABC 的一角折叠，若12130∠+∠=︒，则B C ∠+∠=（）A．50°B．65°C．115°D．130°【答案】C【分析】根据折叠性质证得∠3=∠4，∠5=∠6，再根据平角定义求得∠4+∠5=115°，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，由折叠性质得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠∠1+∠3+∠4=180°，∠5+∠6+∠2=180°，∠∠1+∠2+2∠4+2∠5=360°，∠∠1+∠2=130°，∠2∠4+2∠5=360°－130°=230°，∠∠4+∠5=115°，∠∠4+∠5+∠A=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∠∠B+∠C=∠4+∠5=115°，故选：C．【点睛】本题考查三角形折叠中的角度问题，熟练掌握折叠性质是解答的关键.22．（2022·海南海口·七年级期末）如图，把∠ABC纸片沿MN折叠，使点C落在∠ABC内部点C′处，若∠C=36°，则∠1+∠2等于（）A ．54°B ．62°C ．72°D ．76°【答案】C【分析】根据折叠可知∠C =∠'C ，四边形内角和为360°，即可求出'CMC ∠+'CNC ∠，用平角的定义即可求出∠1+∠2【详解】∠∠CMN 折叠得到'C MN ∠∠C =∠'C∠∠1=180°-'CMC ∠，∠2=180°-'CNC ∠∠∠1+∠2=180°-'CMC ∠+180°-'CNC ∠=360°-（'CMC ∠+'CNC ∠） ∠'CMC ∠+'CNC ∠=360°-∠C -'C ∠=360°-36°-36°=288° ∠∠1+∠2=360°-288°=72° 故选：C【点睛】本题主要考查了折叠问题，掌握三角形的内角和定理，四边形的内角和以及平角的定义是解题的关键．23．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，在三角形纸片ABC 中65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在∠ABC 内，若150∠=︒，则∠2的度数为_________.【答案】30°##30度【分析】根据题意，已知∠A =65°，∠B =75°，可结合三角形内角和定理和四边形内角和求解． 【详解】解：如图，设折痕为DE ；∠65A ∠=︒，75B ∠=︒，∠180180657540C A B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒（）（）， ∠180140CDE CED C ∠+∠=︒-∠=︒， 又∠150∠=︒，∠2360(1)36030030A B CED CDE ∠=︒-∠+∠+∠+∠+∠=︒-︒=︒， 故答案为：30°．【点睛】本题主要是考查了三角形、四边形内角和，即三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．24．（2022·湖北恩施·一模）图，把等边ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在'A 处，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】40︒【分析】先求出AED ∠的度数，再根据折叠得到AED A ED '∠=∠，即可求出2∠的度数． 【详解】∠等边ABC 沿直线DE 折叠 ∠60A ∠=︒，AED A ED '∠=∠ ∠150∠=︒∠180170AED A ∠=︒-∠-∠=︒ ∠70AED A ED '∠=∠=︒∠420180AED A ED ∠=︒-'∠-∠=︒ 故答案为：40︒【点睛】此题考查翻折问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．25．（2022·江苏·扬州市竹西中学七年级期末）如图∠，把∠ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A＝∠1+∠2．请你继续探索：(1)如果把∠ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图∠，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？为什么？请说明理由．(2)如果把四边形ABCD沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图∠，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）（1）解：如图所示，连接AA'，◎模型六 两内角角平分线模型【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I. 【结论】A I ∠+︒=∠2190 【证明】∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213 由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 26．（2022·山东东营·七年级期末）如图，在△ABC 中，BF 平分△ABC ，CF 平分△ACB ，△BFC =125°，则△A 的度数为（ ）A ．60°B ．80°C ．70°D ．45°【答案】C【分析】先根据三角形内角和定理得出CBF BCF ∠+∠的度数，再由角平分线的性质得出ABC ACB ∠+∠的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∠125BFC ∠=︒， ∠18012555BCF CBF ∠+∠=︒︒=︒﹣． ∠BF 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∠()2110ABC ACB BCF CBF ∠+∠=∠+∠=︒， ∠180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∠18011070﹣．A∠=︒︒=︒故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形角平分线的定义，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．27．（2022·福建·泉州五中七年级期末）如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D ＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P ＝（ ）A ．90°﹣12α B ．12αC ．90°+12α D ．360°﹣α28．（2022·河南鹤壁·七年级期末）已知ABC 中，A α∠=．在图1中B 、C ∠的平分线交于点1O ，则可计算得11902BO C α∠=︒+；在图2中，设B 、C ∠的两条三等分角线分别对应交于2O 、3O ，则3BO C ∠=_______________．【详解】解：Aα∠=，180ACB=︒-B∠、C∠的两条三等分角线分别对应交于332 ( 3CBO BCO ABC ∴∠+=∠3(BO C CBO∴∠=-∠+故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三等分角线求解．29．（2022·江苏常州·七年级期中）如图，在∠MBC中，∠ABC、∠ACB的角平分线OB、OC交于点O，若∠O=m°，则∠A的度数是______________________________°（用含m的代数式表示）．【答案】（2m-180）【分析】先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，再利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∠OB，OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠∠O+∠OBC+∠OCB=180°，∠∠OBC+∠OCB=180°-∠O=180°-m°，∠∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=360°-2m°，∠∠A=180°-∠ABC-∠ACB=2m°-180°，故答案为：（2m-180）．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．30．（2021·重庆·垫江第八中学校七年级阶段练习）在∠ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN∠BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．(1)如图1，若∠A=110°，∠BEC=130°，则∠2= °，∠3－∠1= °；(2)如图2，猜想∠3－∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；(3)若∠BEC=α，∠BDC=β，用含α和β的代数式表示∠3－∠1的度数．（直接写出结果即可）∠BD平分∠ABD，【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的像这种，角平分线的定义，垂直的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．◎模型七 两外角角平分线模型【条件】△ABC 中，BI 、CI 分别是△ABC 的外角的角平分线，且相交于点O. 【结论】A O ∠-︒=∠2190. 【证明】∵BO 是∠EBC 平分线，∴EBC ∠=∠212，∵CO 是∠FCB 平分线，∴FCB ∠=∠215 由△BCO 中内角和定理可知：∠O =180°-∠2 -∠5 =180°-EBC ∠21 -FCB ∠21 =180°-)180(21ABC ∠-︒ -)180(21ACB ∠-︒=)(21ACB ABC ∠+∠=)180(21A ∠-︒=A O ∠-︒=∠2190. 31．（2022·江苏·江阴市祝塘第二中学七年级阶段练习）如图，在△ABC 中，设∠A ＝x °，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A 2021BC 与∠A 2021CD 的平分线相交于点A 2022，得∠A 2022，则∠A 2022是（ ）度．A ．202012x B ．202112x C ．202212x D ．202312x∠∠A＝∠ACD−∠ABC，∠A1＝∠A1CD−∠A1BC，∠BA1和CA1分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，32．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，ABC 中，56A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACE ∠，BD 、CD 交于点D ，则D ∠的度数（ ）A ．28︒B ．56︒C ．30D ．26︒BD 平分平分ABC 的外角DBC ∴∠=12DCE ACE =∠根据外角性质：DBC D +∠28D DCE α∴∠=∠-=︒．故选：A ．33．（2022·陕西·西安博爱国际学校八年级期末）如图，在∠ABC中，∠ABC=75°，∠A=40°，∠ACD是∠ABC的外角，若∠ABC与∠ACD的平分线交于点P，则∠BPC的大小为_____．∠34．（2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级期末）如图，在ABC中，ABC的内角CAB∠和外角CBD 的角平分线交于点P，已知42∠=︒，则CAPB∠的度数为____________．【答案】84︒##84度为ABC外角CBD=∠C+∠以求出答案．【详解】解：如下图，。
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4-1-3.角度计算知识点拨一、角1、角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角2、表示角的符号：∠3、角的分类：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0角这10种（1）锐角：大于0°，小于90°的角叫做锐角。
（2）直角：等于90°的角叫做直角。
（3）钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
（4）平角：等于180°的角叫做平角。
（5）优角：大于180°小于360°叫优角。
（6）劣角：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
（7）周角：等于360°的角叫做周角。
（8）负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
（9）正角：逆时针旋转的角为正角。
（10）0角：等于零度的角。
4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
二、三角形1、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形2、内角和：三角形的内角和为180度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
3、三角形的分类（1）按角分：锐角三角形：三个角都小于90度。
直角三角形：有一个角等于90度。
钝角三角形：有一个角大于90度。
注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（2）按边分：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。
模块一、角度计算【例 1】有下列说法：(1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角．(3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角．(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角． (5)三角形的三个内角可以都是锐角． (6)直角三角形中可胄邕有钝角．(7)25︒的角用10倍的放大镜看就变成了250︒ 其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法．【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 下图是3×3的正方形方格，∠1与∠2相比，较大的是_____。
21【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 ∠1【答案】∠1【例 3】 如图，在直角AOB 内有一条射线OC ，并且AOC ∠比BOC ∠大20。
则BOC ∠是__________CABO【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 ()9020235-÷=【答案】35【例 4】 直线AB 、CD 相交，若∠1、∠2和∠3的关系如图所示。
则∠3-∠1=______ 。
D CBA l 321【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 ∠1+∠2=90，∠2+∠3=180，所以（∠2+∠3）-（∠1+∠2）=∠3-∠1=90【答案】90【例 5】 如图，共端点A 的线段a 与d ，b 与e ，c 与f 分别垂直，a 与b 的夹角是30°，e 与f 的夹角是45°，求c 与d 的夹角的度数。
da30°45°becfA【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】解答【解析】 a 与b 的夹角为30度，所以b 与d 的夹角为903060-=度，所以d 与e 的夹角是906030-=度，所以c 与d 的夹角为90304515--=度.【答案】15度【例 6】 如图，直角的顶点在直线l 上，则图中所有小于平角的角之和是 度。
l【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由一部分组成的角之和是180度，由两部分组成的角之和是180+90度，一共180+180+90=450度。
【答案】450度【例 7】 如图，∠AOB 的顶点0在直线l 上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB ＝________度。
B AlO【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 所有小于平角的角之和=∠1+∠2+∠3+∠1+∠2+∠2+∠3=400度，又∠1+∠2+∠3=180度，故∠2=40度。
321BAlO【答案】∠AOB =40度【例 8】 两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见下图）。
如果在平面上画L 条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：（1）L 的最大值是多少？（2）当L 取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？夹角【考点】角度计算 【难度】4星 【题型】解答【解析】 （1）固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。
否则，必有两条直线平行。
（2）根据题意，相交后的直线会产生15°、30°、45°、60°、75°的两条直线相交的情况均有12种；他们的角度和是（15+30+45+60+75）×12=2700°；产生90°角的有第1和第7条直线；第2和第8条直线；第3和第9条直线；第4和第10条直线；第5和第11条直线；第6和第12条直线共6个，他们的角度和是90×6=540°；所以所有夹角和是2700+540=3240°。
【答案】（1）12条；（2）3240°【例 9】 如图，点O 为直线AB 上一点，BOC ∠是直角，:4:1BOD COD ∠∠=则AOD ∠是______度.DCBA【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 :4:1BOD COD ∠∠=，所以:3:1BOC COD ∠∠=，所以30COD ∠=︒.所以AOD ∠是60度.【答案】60度模块二、三角形内的角度计算【例 10】 如图，将ABC △绕点C 按顺时针方向旋转30°，得到''B AC △，若''AC A B ⊥，则∠BAC 的度数是 。
B 'A 'CBA30°【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为''B AC △是ABC △绕着点C 旋转得到的，所以'A A ∠=∠,根据三角形的内角和定理知道'18090180903060A ACA =--=--=o o o o o o ∠∠【答案】∠BAC 度数是60o【例 11】 如图3，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130度，那么∠A = 度。
54321DBCA【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 ∠5=130度，那么∠2+∠4=180-130=50度，∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=100度，∠A =180-100=80度【答案】80度【例 12】 如图，在三角形ABC 中，点D 在BC 上，且∠ABC ＝∠ACB 、∠ADC ＝∠DAC ，∠DAB ＝21°，求∠ABC的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.DCBA 21°【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 ∵∠DAC ＋∠ADC ＋∠C ＝，而∠DAC ＝∠ADC ＝∠B ＋21，∠B ＝∠C ，∴3×∠B ＋21°＝180°, ∴∠B ＝46°∠DAC ＝46°＋21°＝67°，∠BAC ＝67°＋21°＝88° ∴△ABC 和△ADC 都是锐角三角形.【答案】△ABC 和△ADC 是锐角三角形【例 13】 如图，将四边形ABCD 的四条边分别延长一段，得∠CBE ,∠BAH ,∠ADG ,∠DCF ,那么，这四个角的和等于 。
H GFEDC BA【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 凸多边形的外角和等于360。
【答案】360模块三、角度在行程问题中的应用【例 14】 小明从家里出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A ，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B ，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C ，这时小明距离家 米。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 通过画图可知小明距离家是200米。
【答案】200米【例 15】 小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了350米到达点A ，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达点B ，然后又向西偏南30°的方向跑了350米到达点C ，这时小明距家 米。
【考点】角度计算 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 200米 【答案】200米。