高二数学等差数列基本公式讲解_公式总结
高二数学数列公式
高二数学数列公式高二数学的数列这部分，那公式可真是不少，也挺重要。
就拿等差数列和等比数列来说，这里面的公式就像是一把把解题的钥匙。
咱们先来说说等差数列。
等差数列的通项公式是$a_n = a_1 + (n -1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。
这个公式就像是一个神奇的密码，能让我们通过已知的首项、公差和项数，算出任意一项的值。
比如说，有一个等差数列，首项是 2，公差是 3，要算第 10 项，那就是$a_{10} = 2 + (10 - 1)×3 = 2 + 27 = 29$，是不是很简单？还有等差数列的前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，这也是个很实用的宝贝。
我记得有一次给学生讲这个公式的时候，有个学生一脸懵，怎么都理解不了。
我就给他举了个例子，说假如你每天存 1 块钱，第一天存 1 块，第二天存 2 块，第三天存 3 块，一直存到第 10 天，那你一共存了多少钱？我们就可以用这个公式来算，首项$a_1$是 1，第 10 项$a_{10}$是 10，项数$n$是 10，那一共存的钱就是$S_{10} = \frac{10×(1 + 10)}{2} = 55$块。
这孩子一下子就明白了，眼睛都亮了起来。
等比数列也有它的通项公式$a_n = a_1q^{n - 1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。
比如一个等比数列，首项是 3，公比是 2，要算第 5 项，那就是$a_{5} = 3×2^{5 - 1} = 3×2^4 = 48$。
等比数列的前$n$项和公式就稍微复杂点，当$q≠1$时，$S_n =\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$。
这个公式的理解和运用，对于一些同学来说可能有点难度。
但只要多做几道题，多琢磨琢磨，也能掌握。
在做题的时候，经常会遇到需要判断一个数列是等差数列还是等比数列的情况。
等差数列公式及记忆口诀
等差数列公式及记忆口诀等差数列，顾名思义，就是一个具有特定规律的数列。
它是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，如代数、几何等。
在解决实际问题时，利用等差数列公式可以帮助我们更快速地推导和计算。
下面我将介绍等差数列的公式以及一些记忆口诀。
在等差数列中，公差是一个非常关键的概念。
公差是指数列中相邻两项之间的差值，用d表示。
当公差d为正数时，数列呈递增趋势；当公差d为负数时，数列呈递减趋势。
等差数列中的每一项与它的前一项之间的差值都是相等的。
首先，我们先来了解等差数列的通项公式。
通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
对于等差数列而言，通项公式的形式为An=a1+(n-1)*d，其中An表示第n项的值，a1为首项的值，n表示项数，d为公差。
在解决实际问题时，有时候我们并不需要计算等差数列的每一项的值，而只是关心数列中某几项的和。
这时候，我们可以利用等差数列求和公式来简化计算过程。
等差数列求和公式的形式为Sn=n/2*(a1+an)，其中Sn表示数列的前n项和，n表示项数，a1为首项的值，an为第n项的值。
对于初学者而言，记忆等差数列的公式可能是一件有些困难的事情。
为了方便记忆，我们可以借助一些口诀来帮助我们记住这些公式。
一个简单的口诀是“首加末乘半，项数就得出”。
这个口诀就是用来记忆等差数列求和公式的。
其中，“首”表示首项的值，也就是a1，“末”表示最后一项的值，也就是an，“项数”表示数列的项数，也就是n。
这个口诀的意思是，首项与末项之和乘以项数的一半，就得到了等差数列的前n项和。
另一个常用的口诀是“首加末乘项，除以二要牢记”。
这个口诀就是用来记忆等差数列的通项公式的。
其中，“首”表示首项的值，也就是a1，“末”表示最后一项的值，也就是an，“项”表示项数，也就是n。
这个口诀的意思是，首项与末项之和乘以项数，再除以二，就得到了等差数列的第n项的值。
通过记忆这些口诀，我们可以更好地掌握等差数列的公式，从而更便捷地解决实际问题。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是数学里最基本的概念之一，是定义数轴上元素排列方式的基础。
一个等差数列是从第二项开始，后一项减去前一项的差都是固定值的数列，称为等差数列。
等差数列的特点是可以求出中间的项，预测后面的项，计算等差数列的和等。
第一，等差数列的定义。
等差数列，也称等差级数，是由一系列等差的数构成的数列，也就是前面两项的差相同，且为有限数，叫做等差数列。
第二，等差数列的特点。
等差数列的特点是，前一项与下一项的差是一个固定的值，也就是等差数列的公差，从而可以从其中推测出等差数列中的其他数。
第三，等差数列的公式。
等差数列的通用公式为：Sn = a1 + (n - 1) d,其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数，Sn表示等差数列中第n项的值。
第四，等差数列的求和计算。
等差数列的求和计算有两种方法，一种是利用求和公式，一种是利用构造法来求和。
求和公式是：Sn = a1 + a2 + a3 + + an = n(a1 + an) / 2。
构造法是把等差数列分成两半，把两半数列的首项和末项相乘，得到的积叫做构造法的和。
第五，等差数列的应用。
等差数列广泛应用于数学、计算机、统计学和其他学科，如时间序列分析、有限项计算、数列递推、方程定义等，这些都可以利用等差数列的特性加以计算。
综上所述，等差数列是数学里最基本的概念之一，包括定义、特
点、公式、求和计算、应用等。
它在数学、计算机、统计学和其他学科有着广泛的应用，是这些学科里重要的基础概念，也是几乎所有数学计算研究的基础。
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中最基础的一类数列，它的定义有以下几点：一个等差数列是一组有序的数字，且任意两项的差（即每项的前一项减其后一项）均相等。
而理解等差数列有助于更好地用数学方法研究数据，并能灵活应用处理实际问题。
首先，要了解等差数列的性质，就必须先理解其定义和特征。
等差数列是指任意一项减去它的前一项都相等的数列，可以称为等差公差。
因此，只要知道等差数列的第一项、最后一项和项数，就可以确定整个数列。
即：若数列中任意一项减去它的前一项都相等，则这个数列就是等差数列。
另外，由于在等差数列中，任意一项减去它的前一项可以重复得到，因此我们可以在等差数列中发现其他规律，如：等差数列的和、平均数、倍数之积等。
其次，对于等差数列，还有一些常用的公式可以用来计算等差数列的一些基本参数。
首先是求和公式，即等差数列的总和可以表示为：S＝a1＋a2＋a3＋…＋an，其中a1为数列的第一项，an为数列的最后一项，n为数列的项数。
另外，还有平均数的计算公式，可以表示为：S÷n，其中S为等差数列的总和，n为数列的项数。
此外，还有一些通用的公式可以用来求等差数列中某项的值，比如：给定某等差数列的第一项a1和最后一项an，便可以求出等差数列中任一项的值，即a1＋（n－1）d，其中d为等差数列的公差，n为给定项所在的序号（即从第一项开始，数到给定项之前的序数）。
此外，在等差数列中还有一些让人感兴趣的特点，它们是：等差数列的平均数 =（第一项+最后一项）/ 2；等差数列的公差d可以用第一项减去最后一项来计算，即d = a1 - an；第n项可以用等差数列的公差d来计算，即第n项 = a1 +（n - 1）d；任意一项加上等差数列的公差d，都会变成下一项。
最后，应用等差数列的知识可以帮助我们求解实际中的问题。
譬如，要计算某个等差数列中包含的任意一项的值，就可以直接使用等差数列中给出的公式；要计算某个等差数列的总和，可以采用等差数列的求和公式；求解某个等差数列的平均数，可以直接使用等差数列的平均数公式。
等差数列的公式总结
等差数列的公式总结什么是等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差是一个常数的数列。
在等差数列中，我们可以根据数列首项和公差来求得任意一项的值或者求得数列的前n项和。
等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差来表示第n项的公式。
通项公式的形式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。
等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是指通过数列的首项、公差和项数来表示前n项和的公式。
前n项和公式的形式如下：Sn = n/2 * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和的值，n表示项数，a1表示首项的值，an表示第n项的值。
等差数列的性质等差数列具有以下性质：- 任意项与其对称项的和等于数列的首项与末项的和。
- 任意项与其对称项的差等于公差的两倍。
- 等差数列的相邻两项的平均值等于数列的首项与末项的平均值。
等差数列的应用等差数列在数学和实际生活中有着广泛的应用，例如：- 在数学问题求解中，我们可以运用等差数列的公式来推导、证明和计算。
- 在商业经济学中，我们可以运用等差数列的概念来解决利润、成本、价格等相关问题。
- 在物理学中，等差数列的公式可以用来描述运动中的位移、速度等变化规律。
总结等差数列是一种常见的数列，可以通过首项和公差来得到数列的通项公式和前n项和公式。
掌握等差数列的性质和应用，有助于我们在数学和实际生活中更好地理解和解决问题。
以上是对等差数列的公式进行总结的文档。
希望对您有所帮助！。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
高二数列题型及解题方法
高二数学数列题型及解题方法
一、数列的概念和分类
数列是指按照一定规律排列的一组数，其中每一个数称为这个数列的项。
按照项之间的关系，数列可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
二、等差数列
等差数列是指每一项与它的前一项之差相等的数列。
等差数列的通项公式为 an=a1+(n-1)d，其中 a1 是首项，d 是公差，n 是项数。
解题方法：
1. 根据题意，确定等差数列的首项和公差。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
三、等比数列
等比数列是指每一项与它的前一项之比相等的数列。
等比数列的通项公式为 an=a1*r^(n-1),其中 a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
解题方法：
1. 根据题意，确定等比数列的首项和公比。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
四、斐波那契数列
斐波那契数列是指每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的通项公式为 an=a1+(n-1)*(a1+a2)/2，其中 a1 是首项，a2 是
第二项。
解题方法：
1. 根据题意，确定斐波那契数列的首项和第二项。
2. 利用通项公式求出第 n 项。
3. 根据题意，求出数列的前 n 项和。
五、解题技巧
1. 认真审题，确定数列类型和题目要求。
2. 利用通项公式和前 n 项和公式求解。
3. 注意数列的性质，如公比为 1 的等比数列就是等差数列。
4. 熟练运用数学公式和技巧，提高解题效率。
等差数列公式大全及解题方法
等差数列公式大全及解题方法等差数列是数学中一种重要的数列形式，其性质和求解方法在数学及相关领域具有广泛的应用。
本文将为您详细介绍等差数列的公式大全及解题方法。
一、等差数列的定义等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差都相等的数列。
通常表示为：a_n = a_1 + (n-1)d，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。
二、等差数列的基本公式1.通项公式：a_n = a_1 + (n-1)d2.求和公式：（1）前n项和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)（2）前n项和公式（首项与末项已知）：S_n = n/2 * (a_1 + a_n) = n/2 * (a_1 + a_1 + (n-1)d)（3）前n项和公式（项数与公差已知）：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)3.项数公式：n = (a_n - a_1) / d + 14.中项公式：a_{(n/2)} = (a_1 + a_n) / 2三、等差数列的解题方法1.求通项公式：根据已知的首项和公差，代入通项公式a_n = a_1 + (n-1)d，求解第n 项的值。
2.求前n项和：（1）已知首项和末项，代入前n项和公式S_n = n/2 * (a_1 + a_n)求解。
（2）已知首项和项数，代入前n项和公式S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)求解。
3.求项数：根据已知的末项和首项，代入项数公式n = (a_n - a_1) / d + 1求解。
4.求中项：根据已知的首项和末项，代入中项公式a_{(n/2)} = (a_1 + a_n) / 2求解。
四、等差数列的应用等差数列在现实生活中有广泛的应用，如：工资、人口增长、存款利息等。
掌握等差数列的公式和解题方法，有助于解决生活中的实际问题。
总结：本文详细介绍了等差数列的公式大全及解题方法，希望对您的学习和工作有所帮助。
等差数列所有公式大全
等差数列所有公式大全等差数列是数学中常见的一个概念，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。
在学习等差数列时，掌握其相关公式是非常重要的。
本文将为大家详细介绍等差数列的所有公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用等差数列的知识。
1. 等差数列的定义。
在介绍等差数列的公式之前，我们先来回顾一下等差数列的定义。
等差数列是指一个数列，其中相邻两项之间的差值都相等。
换句话说，如果一个数列满足每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式是等差数列中最为重要的公式之一。
通项公式可以用来表示等差数列中任意一项的值。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，an表示等差数列中第n项的值。
3. 等差数列的前n项和公式。
除了通项公式之外，等差数列还有一个重要的公式，那就是前n项和公式。
前n项和公式可以用来表示等差数列前n项的和。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示等差数列前n项的和。
4. 等差数列的性质。
除了上述的公式之外，等差数列还有一些重要的性质。
首先，等差数列中任意三项可以构成一个等差数列。
其次，等差数列中任意一项都可以表示为它前面的项与公差的和。
另外，等差数列中任意一项与它对称的项之和都相等。
5. 等差数列的应用。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
比如，等差数列可以用来表示物理学中的等加速度运动，经济学中的等差增长，以及工程学中的等差数列模型等。
掌握等差数列的公式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。
总结：通过本文的介绍，我们详细了解了等差数列的所有公式，包括通项公式、前n 项和公式以及等差数列的性质和应用。
希望本文能够帮助大家更好地掌握等差数列的知识，提高数学水平，同时也能够更好地应用等差数列的知识解决实际问题。
等差数列的基本性质与求和公式
等差数列的基本性质与求和公式等差数列是一种常见的数列，其中每个数与它的前一个数之间的差值是恒定的。
学习等差数列的基本性质以及求和公式对于数学的学习和应用都具有重要意义。
本文将介绍等差数列的基本概念、性质和求和公式，并通过例题来帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、等差数列的定义和特点等差数列是指数列中相邻两项之差恒为一个常数的数列。
该常数称为等差数列的公差，用字母d表示。
一般来说，等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，n为项数。
等差数列的基本特点有以下几个方面：1. 公差d确定了等差数列的增量。
2. 任意相邻两项之间的差值都是公差d。
3. 等差数列的首项a1和公差d唯一决定了整个数列。
二、等差数列的求和公式求等差数列的和是常见的数学问题，可以通过等差数列的求和公式来解决。
等差数列的求和公式如下：Sn = (a1 + an) × n / 2其中Sn表示前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
三、等差数列求和公式的推导等差数列的求和公式并不是凭空给出的，它可以通过数学推导得到。
以下是等差数列求和公式的推导过程：1. 设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
2. 可以将Sn分为两个部分：从a1开始的前n项和与从an开始的前n项和。
这两个部分的和恰好等于整个数列的和。
3. 根据等差数列的通项公式，可以写出an = a1 + (n - 1)d。
4. 将前n项和相加，并利用等差数列首项和末项之间的关系，得到Sn = (a1 + an) × n / 2。
四、例题解析为了更好地理解等差数列的基本性质和求和公式，我们来看几个例题。
1. 求等差数列2, 5, 8, 11, ...的前6项和。
首项a1 = 2，公差d = 3，项数n = 6。
代入求和公式Sn = (a1 + an) ×n / 2，得到Sn = (2 + 2 + (6 - 1) × 3) × 6 / 2 = 72。
高二等差数列公式知识点归纳
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高二等差数列公式知识点归纳
很多高二学生都觉得高二数学等差知识点不知道怎么去归纳，其实知识点离不开平时上课和课后的积累。
以下是初心范文材料网编辑整理的高二数学等差公式知识点归纳，希望能够分享给广大高二学生参考。
公式
Sn=(a1+an)n/2
Sn=na1+n(n-1)d/2;(d为公差)
Sn=An2+Bn;A=d/2,B=a1-(d/2)
和为Sn
首项a1
末项an
公差d
项数n
通项
首项=2×和÷项数-末项
末项=2×和÷项数-首项
末项=首项+(项数-1)×公差
项数=(末项-首项)(除以)/公差+1
公差=如:1+3+5+7+……99公差就是3-1
d=an-a
性质:
若m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
②若m+n=2q,则am+an=2aq
注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。
高二等差数列公式知识点归纳全文结束。
高二数学数列知识点总结
高二数学数列知识点总结1. 数列的定义和表示方式数列是一个按照一定规律排列的一串数，可以用数学公式表示。
常见的数列表示方式有：•通项公式：用数学公式表示数列中的第 n 项。
•递推公式：用数学公式表示数列中的第n 项和第n+1 项之间的关系。
•求和公式：用数学公式表示数列前 n 项的和。
2. 等差数列等差数列是指一个数列中的任意两个相邻项之间的差相等。
等差数列的性质和公式有：•通项公式：a_n = a_1 + (n - 1)d 其中，a_n 表示第 n 项，a_1 表示首项，d 表示公差。
•前 n 项和公式：S_n = (a_1 + a_n) * n / 2 其中，S_n 表示前 n 项的和。
•等差数列的性质：–公差相等。
–首项和末项和中间项之和相等。
3. 等比数列等比数列是指一个数列中的任意两个相邻项之间的比相等。
等比数列的性质和公式有：•通项公式：a_n = a_1 * q^(n - 1) 其中，a_n 表示第 n 项，a_1 表示首项，q 表示公比。
•前 n 项和公式（当 q 不等于 1 时）：S_n = a_1 * (q^n - 1) / (q - 1) 其中，S_n 表示前 n 项的和。
•等差数列的性质：–公比相等。
–任意两项的商相等。
4. 数列的应用数列在数学以及实际生活中都有广泛的应用。
以下列举几个常见的数列应用场景：•阶乘数列阶乘数列是指数列中的每一项都是前一项与当前项的位置下标的乘积。
阶乘数列在组合数学以及排列组合的计算中经常出现。
•斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。
斐波那契数列在自然界中的很多事物的生长模式中都能找到影子，如植物的分枝、螺旋植物、蜂窝等。
•等差数列的应用等差数列在日常生活中也有很多应用，如求解等差数列的前 n 项和可以用于计算工资、利息等。
•等比数列的应用等比数列也在实际生活中有很多应用，如复利的计算、指数增长的模型等都可以用等比数列来表示。
高二数学 专题 等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)
专题等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.2.等差中项由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A a b =+.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则递推公式为1n n a a d +-=，通项公式为()11n da a n =+-知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）()()*1n a dn a d n N =+-∈（2）()*(),n m a a n m d m n N=+-∈.（3）(* ,n ma a d m n N n m-=∈-,且)m n ≠.2.若{}{},n n a b 分别是公差为,d d '的等差数列,则有数列结论{}n c a +公差为d 的等差数列(c 为任一常数){}·n c a 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数){}n k an a ++公差为2d 的等差数列(k 为常数,*k N ∈){}n n pa qb +公差为pd qd +'的等差数列(p,q 为常数)3.下标性质在等差数列{}n a 中,若),(,,*m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.特别的,若)2,(,*m n p m n p N +=∈,则有2m n pa a a +=重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a =.【答案】12-【分析】先判断得{}n a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】因为12n n a a +=-，所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =-，又12a =，所以()82(81)212a =+-⨯-=-．故答案为：12-．2．已知数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】{}n a 一定是等差数列．【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列{}n a 中任意相邻两项n a 与()12n a n -≥，作差得()11n n a a pn q p n q p --=+--+=⎡⎤⎣⎦，它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n a 一定是等差数列．3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)1,3,5,7----．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为2-【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为371913251931256-=-=-=-=，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为422,743-=-=，所以4274-≠-，因此不是等差数列．（3）因为3(1)5(3)7(5)2---=---=---=-，所以是等差数列，且公差为2-4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n ；(2)an=n2-n .【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为1[32(1)](32)2n n a a n n +-=-+--=-，是常数，所以数列{a n }是以2-为公差的等差数列．（2）因为221[(1)(1)]()2n n a a n n n n n +-=+-+--=，不是常数，所以数列{a n }不是等差数列．5．已知在数列{}n a 中，11a =，11112n n a a +=+，则10a 等于．【答案】211【分析】根据题意可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为11112n n a a +=+，所以11112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，12为公差的等差数列，则()1111111222n n n a a =+-⨯=+，故101111110222a =⨯+=，所以10211a =．故答案为：211．6．（多选）若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A ．{}n aB ．{}1n n a a +-C ．{}n pa q +(,p q 为常数)D ．{}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列1,1,3-是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A 不符合题意；对于选项B ，若{}n a 为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列1{}n n a a +-为常数列，故1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；对于选项C ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=为常数列，故{}n pa q +为等差数列，故选项C 符合题意；对于选项D ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则121221n n a n a n d +++--=+为常数，故{2}n a n +为等差数列，故选项D 符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（）A ．85n a n =+B ．85n a n =-C ．85n a n =--D ．85n a n =-+【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差1138d =-=，所以通项公式为()()1138185n a a n d n n =+-=+-=-.故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），则n a =．【答案】n【分析】由题意得到{}n a 为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），故{}n a 为等差数列，公差为1，所以()111n a n n =+-⨯=.故答案为：n9．在数列{}n a 中，1a ==，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】23n a n=可得为等差数列，从而可求{}na 的通项公式.，故为等差数列，()()11n n =-=-=，故23n a n =，故答案为：23n a n=10．已知数列{}n a 中，1231,4,9a a a ===，且{}1n n a a +-是等差数列，则6a =（）A ．36B ．37C ．38D ．39【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出{}1n n a a +-的通项公式，再利用累加法求6a .【详解】因为21323,5a a a a -=-=，所以()()32212a a a a ---=，又{}1n n a a +-是等差数列，故首项为3，公差为2，所以132(1)21n n a a n n +-=+-=+，所以()()()665542112(54321)5136a a a a a a a a =-+-++-+=++++++= ．故选：A.11．在数列{}n a 中，11a =1=，则n a =（）A ．nB ．2nC ．2n +D【答案】B1=1=，再由等差数列的定义即可求出通项公式.1=1=，令n b =11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以11b ==为首项，1为公差的等差数列，所以()111n b n n =+-⨯=n =，所以2n a n =.故选：B12．已知数列(){}2log 1n a -（*N n ∈）为等差数列，且13a =，39a =，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】21nn a =+【分析】根据等差数列的概念可得数列(){}2log 1n a -的通项公式，进而可得n a .【详解】设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，由13a =，39a =，得()()2321log 1log 12a a d -=-+，解得1d =，所以()()2log 1111n a n n -=+-⨯=，即21nn a =+，故答案为：21nn a =+.重难点3等差数列基本量的计算13．已知递增数列{}n a 是等差数列，若48a =，()26263a a a a +=⋅，则2024a =（）A ．2024B ．2023C ．4048D ．4046【答案】C【分析】设数列{}n a 的公差为d （0d >），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求1,a d ，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以4a 为中心求d ，即可得结果.【详解】解法一：设数列{}n a 的公差为d （0d >），因为48a =，()26263a a a a +=⋅，则()()()1111132355a d a d a d a d a d +=⎧⎨+++=++⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以()202422202414048a =+⨯-=；解法二：设数列{}n a 的公差为d （0d >），由()26263a a a a +=⋅得()()4443222a a d a d ⨯=-+，又因为48a =，即()()488282=-+d d ，解得2d =，所以()202442202448220204048a a =+⨯-=+⨯=.故选：C ．14．已知等差数列{}n a 中，624a =-，3048a =-，则首项1a 与公差d 分别为（）A ．18,2--B ．18,1--C ．19,2--D ．19,1--【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题得115242948a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1191a d =-⎧⎨=-⎩.故选：D15．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是．【答案】()2,+∞【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出8a 即可求出其取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 单调递增，所以0d >，由11019442a d a a =++=⇒，所以1499222d da -==-，则18957272222a a d d d d =+=-+=+>，所以8a 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足30a >，340a a +<，则1a d的取值范围是.【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据已知判断等差数列{}n a 先正后负，是递减数列，即可得出0d <，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】30a > ，340a a +<，40a ∴<，则0d <，31341120230a a d a a a d a d =+>⎧⎨+=+++<⎩解得11252a da d >-⎧⎪⎨<-⎪⎩，0d < ，1522a d ∴-<<-，即1a d 的取值范围是5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.17．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则11a =．【答案】20【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，进而列出方程求得1a ，d ，进而求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =，则11110010220a a d =+=+⨯=.故答案为：20.18．已知等差数列{}n a 满足3681112a a a a +++=，则9112a a -的值为.【答案】3【分析】由等差数列通项公式得122441a d +=，即163a d +=，进而求出9111263a a a d -=+=【详解】由等差数列通项公式得11111225710d d d a a a d a ++++++=+，即122441a d +=，故163a d +=，()9111112281063a a a d a d a d -=+--=+=.故答案为：3重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a ，b ，c 成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c 为斜边，公差为d ，则a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，所以2221()12,2()(),b b d b d b b d ⎧-=⎪⎨⎪+=+-⎩解得b ＝，d，从而a ＝c ＝，a ＋b ＋c ＝.方法二：设c 为斜边，因为是直角三角形且三边长a ，b ，c 成等差数列，且面积为12，可得：2222,112,2,b a c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故三角形的周长为a ＋b ＋c ＝.故答案为：.20．已知等差数列{}n a 满足213544,1a a a a =+=+，则7a =.【答案】2-【分析】由等差数列的性质可得3542a a a +=，代入条件式，可求得4a ，再根据1742a a a +=，可得解.【详解】在等差数列{}n a 中，23541a a a +=+ ，又3542a a a +=，24421a a ∴=+，解得41a =，又14a =，而1742a a a +=，解得72a =-.故答案为：2-.21．记等差数列{}n a 的公差为()0d d ≥，若22a 是21a 与232a -的等差中项，则d 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，由22a 是21a 与232a -的等差中项，得22223122a a a =+-，即2221112()(2)2a d a a d ++=-+，整理得21d =，而0d ≥，解得1d =，所以d 的值为1.故选：C22．有穷等差数列{}n a 的各项均为正数，若20233a =，则20002046212a a +的最小值是.【答案】34/0.75【分析】利用等差中项易知200020466a a +=，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由20232000204626a a a +==，且0n a >，则204620002000204620002046200020462000204622112115=()()()262622a a a a a a a a a a ++=+++153(624≥+=，当且仅当200020464,2a a ==时等号成立且满足题设.故答案为：3423．已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件，得14a a +=()221a +，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.故答案为：2.24．已知数列{}n a 满足：11a =，()*2121211N 2n n n a n a a a ++==+∈，，则2015a =．【答案】12015【分析】由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可以求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出2015a 的值．【详解】解：由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又111a =，21111d a a =-=，∴1nn a =，∴1n a n =．∴201512015a =．故答案为12015．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25．已知数列{}n a 为等差数列，则“4m =”是“2953m a a a a ++=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当4m =时，根据等差数列的性质可得()24915951955523a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=，故充分性成立；当{}n a 为常数列时，有1n a a =，由1293m a a a a ++=，529133m a a a a a ==++，此时*N m ∈即可，故必要性不成立．因此“4m =”是“2953m a a a a ++=”的充分不必要条件，故选：A ．26．已知正项等差数列{}n a ，若222985a a +=，3811a a +=，则n a =()A ．1B ．2C ．nD ．21n -【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出2a 和9a ，进而求出公差d 即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，依题意，293811a a a a +=+=，故()22929292121285a a a a a a +-=-=，解得，2918a a =，故2a 和9a 是211180x x -+=的两根，解得，12x =，29x =，因为{}n a 为正项等差数列，故公差0d ≥，从而22a =，99a =，则9277a a d -==，即1d =，所以2(2)1n a a n n =+-⨯=.故选：C .27．若{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22223456a a a a +=+，则该数列的前8项和8S =（）A ．10-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，根据题意求得34560a a a a +++=，然后利用等差数列的基本性质得出450a a +=，利用等差数列求和公式可求得8S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，22223456a a a a +=+ ，()()222253640a a a a ∴-+-=，即()()()()535364640a a a a a a a a -++-+=，()345620d a a a a ∴+++=，0d ≠ ，所以，34560a a a a +++=，由等差数列的基本性质可得()4520a a +=，即450a a +=，所以，()()188458402a a S a a +==+=.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.29．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =．【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：530．在等差数列{}n a 中，若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210122022a a a ++=．【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，由韦达定理可得1202310a a +=，所以由等差数列的性质得:2202212023101210,210,a a a a a +=+==10122101220225,15a a a a ∴=∴++=．故答案为：15.重难点6等差数列的证明31．已知数列{an }满足1311n n n a a a +-=+，13a =，令11n n b a =-.(1)证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)21n a n=+【分析】（1）将递推关系代入1111n n n b b a ++-=-11n a --，利用定义证明{}n b 是等差数列；（2）由等差数列通项公式求n b ，进而得n a .【详解】（1）∵1111n n n b b a ++-=-11n a -=-1131111n n n a a a ----+11112131(1)12(1)2(1)2(1)2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-=--==--+----，∴112n n b b +-=，又111112b a ==-，∴{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列．（2）由（1）知()111222n n b n =+-=，21n a n ∴-=，∴21,n a n n*=+∈N .32．已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a +=-（*n ∈N ），令11n n b a =-.(1)求23,a a 的值；(2)求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)232a =，343a =(2)证明见解析，1n n a n+=【分析】（1）采用迭代法，可求2a ，3a ;（2）将112n n a a +=-转化为111111n n a a +=+--，即可证明数列{}n b 是等差数列，算出数列{}n b 的通项公式后即可计算数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）因为12a =，且112n na a +=-，当1n =时，211322a a =-=，当2n =时，321423a a =-=.（2）因为112n na a +=-，所以11111n n n na a a a +--=-=，两边同时取倒数有：1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，令11n n b a =-，有11111b a ==-，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n b n =，所以1n n a n+=.33．已知{}n a 满足11a =，且()21133n n na n a n n +-+=+.(1)求23,a a ；(2)证明数列{}na n是等差数列，并求{}n a 的通项公式.【答案】(1)238,21a a ==(2)证明详见解析，232n a n n=-【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得n a .【详解】（1）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以，()1131n n n a a n n++=++，所以213223328,332112a a a a =+⨯==+⨯=.（2）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以131n n a a n n +-=+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为3的等差数列，所以()232,3232nn a n a n n n n n=-=-=-.34．数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.(1)求34,a a 的值；(2)设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列.【答案】(1)345,10a a ==(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+所以3212222125a a a =-+=⨯-+=，43222252210a a a =-+=⨯-+=（2）∵()()21112122n n n n n n n n n a a a b a a a b a ++++++---=+-=-=∴{}n b 为等差数列.35．已知数列{}n a 满足11a =，1144n na a +=-.(1)证明：121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)设12nn n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)332n nn T +=-【分析】(1)将已知表达式变形为11422n na a +-=-，通过配凑的方法可以得到121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)由第一问可以求得数列{}n a 的通项公式，代入{}n b ，用错位相减法可以求得前n 项和n T .【详解】（1）由题可知1211422n n n na a a a +--=-=，所以114221n n n a a a +=--，所以1221111121212121n n n n n n a a a a a a +-+===+----.所以11112121n n a a +-=--.又11121a =-，所以121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得()111121n n n a =+-⨯=-，所以111122n n a n n+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以1122n n n n na n b -+==.所以12323412222n n n T +=++++ .所以234112341222222n n n n n T ++=+++++L .两式相减，得111423111*********22122222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 113113322222n n n n n ++++=--=-所以332n nn T +=-.36．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅>=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，111n n n S T S ---=．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以1111111n n n n S S S S --+==+-，即11111n n S S +-=-，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列．37．已知数列{}n a 的前n项和为11,1,1n n S a a +==+是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用n a 与n S 的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为11n n n a S S ++=-，11n a +=+，11n n S S +∴-=+)2111n n S S +=+=，1=1=，∴是1为首项，1为公差的等差数列．重难点7构造等差数列38．在数列{}n a 中，12211211,,23n n n n n n a a a a a a a a ++++===+，若135k a =，则k =（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】A【分析】由已知可得12211n n n a a a ++=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出1na ，进而可求得n a ，然后由135k a =可求得结果.【详解】由21122n n n n n n a a a a a a ++++=+且数列不存在为0的项，得12211n n na a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a =，公差为21112a a -=，所以()111221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-．由112135k a k ==-，得18k =，故选：A ．39．已知数列{}n a 满足()*123N n n a a n n ++=+∈，则12024a a +=（）A ．2023B ．2024C ．2027D ．4046【答案】C【分析】由123n n a a n ++=+可得2125n n a a n +++=+，进而可得22n n a a +-=，则有数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由123n n a a n ++=+①，得125a a +=，2125n n a a n +++=+②，由②-①得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，则20242220242120222a a a ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以1202412270220a a a a +=+=++=.故选：C.40．已知各项均不为0的数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，且112a =，则2023a =．【答案】12024/12024-【分析】将111n n n a a a +=+取倒数化简可得1111n na a +-=，即判断1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得{}n a 的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，即11n n n a a a +=+，即11111111,n n n na a a a ++=+∴-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是112a =，公差为1的等差数列，故112(1)11,1n n n n a n a =+-∴=⨯++=，故202312024a =，故答案为：1202441．已知数列{}n a 满足13a =，11n n a a +=+，则10a =.【答案】120【分析】根据11n n a a +=+，可得)2111n a ++=，从而可证得数列是等差数列，可求得数列{}n a 的通项，即可得解.【详解】因为11n n a a +=+，所以2111n a ++=+，即)2111n a ++=，1=1=，所以数列2=，公差为1的等差数列，()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+，所以2101020120a =+=.故答案为：120.42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11n n n S S a ++⋅=，则n a =．【答案】2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩【分析】题中所给式子无法直接根据1n n n a S S -=-进行转化，考虑使用11n n n a S S ++=-进行转化，先求出n S ，再求n a ．【详解】由11n n n S S a ++⋅=，得到11n n n n S S S S ++⋅=-，然后两边同除以1n n S S +⋅得到1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，于是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1-的等差数列．而12a =，于是()1132122n n n S -=--=，进而得到232n S n=-，所以当2n ≥时，有()()122432522325n n n a S S n n n n -=-=-=----（2n ≥）．综上所述，2,14,2(23)(25)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪--⎩．故答案为：2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩43．已知数列{}n a 满足14a =，()()1121n n na n a n n +-+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)222n a n n=+(2)()111212n n T n +=-+【分析】（1）利用构造法，先求得n a n ，进而求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T .【详解】（1）由()()1121n n na n a n n +-+=+得：121n n a a n n +-=+，∵141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列，所以()41222n a n n n =+-⨯=+，所以222n a n n =+；（2）()()112211221212n n n n n n n n b a n n n n ++++===-+⋅+，所以123n nT b b b b =++++ ()22334111111111122222323242212n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()111212n n +=-+.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{}n a （单位万元，n N *∈），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a 的3倍，已知221272a a +=．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A ．72万元B ．96万元C ．120万元D ．144万元【答案】C 【分析】本题可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据题意得出五年累计总投入资金为()1210a a +，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，五年累计总投入资金为：()12345111212532010101010a a a a a a a d a a a a +++++创=+=+=+，因为221272a a +=，所以()1210120a a +=£=，当且仅当12a a =时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n 苯结构简式……分子式108C H 1410C H 1812C H ……由此推断并十苯的分子式为.【答案】4224C H 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18 ，H 的下标分别是：8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：10(1)446n C n n =+-⋅=+，稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：8(1)226n H n n =+-⋅=+，所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈，因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H .故答案为：4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】14；27.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为{}n a ，显然大张在2021年第1,5,9, 天放假，所以有14(1)43n a n n =+-=-，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为{}n b ，则有17(1)76n b n n =+-=-，此时两数列的公共项为：1,29,57, ，首项为1，公差为28，末项为365，设共有m 项，所以有3651(1)2814m m =+-⋅⇒=；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为{}n c ，则有47(1)73n c n n =+-=-，此时两数列的公共项为：25,53,81, ，首项为1，公差为28，末项为361，设共有t 项，所以有36125(1)2813t t =+-⋅⇒=，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有141327+=天，故答案为：14；2747．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．【答案】1920.9<≤d 【分析】这台设备使用n 年后的价值构成一个数列{}n a ．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于2205%11⨯=万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{}n a 的通项公式列不等式求解．【详解】解：设使用n 年后，这台设备的价值为n a 万元，则可得数列{}n a ．由已知条件，得1(2)n n a a d n -=-≥．由于d 是与n 无关的常数，所以数列{}n a 是一个公差为d -的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以1220a d =-，于是1(1)()220n a a n d nd =+--=-．根据题意，得10112205%112205%11a a ≥⨯=⎧⎨<⨯=⎩，即22010112201111d d -≥⎧⎨-<⎩，解这个不等式组，得1920.9<≤d ．所以d 的取值范围为1920.9<≤d ．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A ．332尺B ．13尺C ．52尺D ．43尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，则由题意可得49.5a =，76a =，74736a a d -∴==-，则小满当日日影长11774464()63a a d =+=+⨯-=．故选：D ．49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A ．戊戌年B ．辛丑年C ．己亥年D ．庚子年【答案】D 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷= ，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为庚，由于1001284÷= ，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A ．6766升B ．176升C ．10933升D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解．【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=，即第5节竹子的容积为6766升．故选：A ．51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A ．乙分到37文，丁分到31文B ．乙分到40文，丁分到34文C ．乙分到31文，丁分到37文D ．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以乙分得237a d -=（文），丁分得31a =（文），故选：A.52．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.【答案】12【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83d =，首项为11740a =的等差数列，所以1(1)174083(1)831657n a a n d n n =+-=+-=+，令20233000n a ≤≤，即20238316573000n ≤+≤，解得36613438383n ≤≤，又*n ∈N ，所以5n =、6、L 、16，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为165112-+=次.故答案为：12.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则815(1)157n a n n =+-=-，令157200n -≤，解得13.8n ≤，则数列{}n a 的最大项为15137188⨯-=，所以该数列最大项和最小项之和为1888196+=．故答案为：196.。
等差数列的概念与等差数列的通项公式高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式一、等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2、符号语言：若()12n n a a d n --=≥，则数列{}n a 为等差数列（通常可称为AP 数列） 【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序； ②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式已知等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：()()11n a a n d n N *=+-∈等差数列通项公式的推导过程：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，根据等差数列的定义得到：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…所以21a a d =+，32112a a d a d d a d =+=++=+， 431123a a d a d d a d =+=++=+， ……由此归纳出等差数列的通项公式为()11n a a n d =+-． 2、等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：1n n a a d +-=（常数）()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；2、中项法：122n n n a a a ++=+()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；3、通项公式法：n a kn b =+（k ，b 为常数）{}n a ⇒是等差数列。
高中等差数列求和公式有哪几种
高中等差数列求和公式有哪几种等差数列求和公式有哪几种等差数列公式an=a1+(n-1)d前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2若公差d=1时：Sn=(a1+an)n/2若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数文字翻译第n项的值an=首项+(项数-1)×公差前n项的和Sn=首项+末项×项数(项数-1)公差/2公差d=(an-a1)÷(n-1)项数=(末项-首项)÷公差+1数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列等差数列相关公式第n项=首项+(项数-1)__公差项数=(末项-首项)/公差+1公差=(末项-首项)/(项数-1)通项公式推导：a2-a1=d;a3-a2=d;a4-a3=d……an-a(n-1)=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)__d→an=a1+(n-1)__d。
前n项和公式为：Sn=a1__n+[n__(n-1)__d]/2Sn=[n__(a1+an)]/2Sn=d/2__n?+(a1-d/2)__n注：以上n均属于正整数。
等差数列求和解题技巧一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的`和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2 解：Sn=a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1 ②①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
等差数列公式相关知识点
等差数列公式是高中数学中的重要概念之一，它描述了一系列数字之间的关系。
在本文中，我们将从基本定义开始，逐步讨论等差数列公式的相关知识点。
1. 定义等差数列是指数字序列中每个数字与它前一个数字的差相等的序列。
等差数列通常用字母表示，常见的表示形式为a，a+d，a+2d，a+3d…，其中a是首项，d是公差。
例如，2，5，8，11，14是一个等差数列，首项a=2，公差d=3。
2. 公式等差数列的第n项公式为：an = a + (n-1)d。
这个公式可以用来计算等差数列中任意一项的值。
其中，an表示第n项的值，a表示首项的值，d表示公差，n表示项数。
3. 性质等差数列有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来解决与等差数列相关的问题。
3.1. 公差性质等差数列中，任意两项之间的差等于公差。
例如，对于等差数列2，5，8，11，14，公差为d=3，而5-2=3，8-5=3，11-8=3，14-11=3。
3.2. 首项性质等差数列的首项可以通过已知条件计算得到。
例如，已知等差数列的第3项为10，公差为4，我们可以利用等差数列公式求解首项：a = an - (n-1)d = 10 - (3-1)4 = 2。
3.3. 项数性质已知等差数列的首项、公差和最后一项，我们可以通过等差数列公式计算出项数。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，最后一项为21，我们可以通过等差数列公式求解项数：n = (an - a)/d + 1 = (21 - 3)/2 + 1 = 10。
4. 求和我们经常会遇到需要求等差数列中一定范围内所有数字之和的问题。
等差数列的求和公式可以帮助我们解决这个问题。
4.1. 部分和公式等差数列的部分和公式为：Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项的和。
例如，对于等差数列2，5，8，11，14，前3项的和为S3 = (3/2)(2 + 8) = 15。
4.2. 等差数列和公式等差数列的和公式为：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中Sn表示前n项的和。
2024年高二数学知识点整理总结模板
2024年高二数学知识点整理总结模板一、数列与数列的运算1. 等差数列与等差数列的运算(1) 公差的概念与求解(2) 等差数列的通项公式与求和公式(3) 等差数列的性质与应用2. 等比数列与等比数列的运算(1) 公比的概念与求解(2) 等比数列的通项公式与求和公式(3) 等比数列的性质与应用3. 递推数列的概念与性质(1) 递推数列的递推公式与通项公式(2) 递推数列的求和公式(3) 递推数列的性质与应用二、函数与函数的运算1. 函数的定义与性质(1) 函数的定义与符号表示(2) 函数的定义域与值域(3) 函数的奇偶性与周期性2. 函数的图像与性质(1) 函数图像的基本性质(2) 函数图像的平移、伸缩与翻折(3) 函数图像与方程的关系3. 函数的运算与性质(1) 函数的和、差、积与商(2) 函数的复合与反函数(3) 函数的求极限与导数三、三角函数与三角恒等式1. 三角函数的定义与性质(1) 正弦函数、余弦函数与正切函数的定义(2) 三角函数的周期与对称性(3) 三角函数的图像与性质2. 三角函数的相关角与辅助角(1) 同角三角函数的关系与性质(2) 三角函数的辅助角公式与性质(3) 三角函数的和差化积公式与二倍角公式3. 三角恒等式的证明与应用(1) 三角恒等式的基本证明方法(2) 三角恒等式的应用与练习四、平面解析几何1. 坐标系与坐标表示(1) 直角坐标系与极坐标系的定义(2) 点的坐标表示与运算(3) 矢量的坐标表示与运算2. 点与直线的关系(1) 点到直线的距离与斜率(2) 直线的方程与性质(3) 直线与圆的交点与切线3. 图形的位置关系与性质(1) 点、直线与圆的位置关系(2) 直线与曲线的位置关系(3) 图形的对称性与旋转性五、概率与统计1. 概率的基本概念与性质(1) 随机事件与样本空间(2) 概率的定义与性质(3) 互斥事件与相互独立事件2. 概率计算与应用(1) 事件的概率计算(2) 复合事件的概率计算(3) 事件的条件概率与贝叶斯定理3. 统计的基本概念与方法(1) 数据的收集与整理(2) 统计量的计算与分析(3) 数据的图表表示与分析以上是2024年高二数学的知识点整理总结模板，希望能帮到你。
高中数学等差数列公式
高中数学等差数列公式
高中数学等差数列公式
等差数列是指如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。
这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
下面是小编为大家带来的高中数学等差数列公式，欢迎阅读。
等差数列公式an=a1+(n-1)d
a1为首项，an为第n项的通项公式，d为公差
前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则：am+an=2ap
以上n.m.p.q均为正整数
文字翻译
第n项的值an=首项+（项数-1）×公差
前n项的`和Sn=首项×n+项数(项数-1）公差/2
公差d=(an-a1)÷（n-1）
项数=（末项-首项）÷公差+1
数列为奇数项时，前n项的和=中间项×项数
数列为偶数项，求首尾项相加，用它的和除以2
等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列
通项公式
公差×项数+首项-公差。