数值分析函数逼近和曲线拟合

)
(n ,n )
根据定理3，0,,n线性无关 det(G) 0.
§2 正交多项式
一、正交函数族与正交多项式
定义5 若f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数, 且
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx 0，
(2.1)
则称f ( x)与g( x)在[a,b]上带权ρ(x)正交 .
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : (x, y) x1 y1 xn yn .
定义3 设X是数域K(R或C)上的线性空间，对u,v X， 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件：
(1) (u,v) (v,u), u,v X;
(2) (u,v) (u,v), R;
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1,, (2.4)
其中 p0( x) 1，p1( x) 0，
n ( xpn, pn ) /( pn, pn ), n ( pn , pn ) /( pn1, pn1)，n 1,2,,
( 三角不等式)
则称 || || 为线性空间S上的范数，S与 || || 一起称为赋范 线性空间，记为X .
例如，对Rn上的向量x ( x1,, xn )T，有 三种常用范数：
|| x || max | xi |， 称为 范数或最大范数，
1 i n n
|| x ||1 | xi ，| 称为1 范数,
正交化手续立得正交正交多项式序列 :
p0( x) 0,
pn( x)
xn
n1( xn,
j0 ( pj,
p p
j j
) )
p
j
,
n 1,2,.
(2.3)
性质：
(1) pn( x)的首项系数为1. (2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x),, pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
j1
j1
j1
n
( ju j ,uk ) 0, k 1,,n.
j1
G非奇异 u1, u2,, un线性无关(反证法)；反之亦然.
在内积空间X上可以由内积导出一种范数,即对u X ,记
|| u || (u,u)，
(1.10)
易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
Cauchy Schwarz不等式得出.
n
由（1.3）式给出的Bn f , x也是f x在0,1上的一个逼近多项式，
但它收敛太慢，实际中很少用。
更一般地，可用一组在Ca,
b上线性无关的函数集合i
x
i
n
0
来逼近f x Ca,b,元素x span0 x,,n x Ca,b,
表示为x 00 x nn x
函数逼近问题: 对f ( x) C[a,b], 求 * ( x) span{0,, n},使得误差f ( x) * ( x)在某种度量意义下最小. 其中 0,,n C[a,b]线性无关.
| (u,v) |2 (u,u)(v,v).
(1.6)
称为Cauchy Schwarz不等式.
定理3 设X为一个内积空间，u1, u2,, un X , 矩阵
(u1, u1) (u2, u1) (un , u1)
G
(u1, u2
)
(u2, u2 )
(un , u2 )
(u1, un ) (u2, un ) (un , un )
||
f ( x) ||2
ab( x)
f
2( x)dx
1/ 2
.
||
f
(x) ||2
ab
f
2
(
x)dx
1/
2
.
设0,,n C[a,b],则Gram矩阵为
G G(0 ,,n )
(0 ,0 ) (0 ,1 )
(1
,0
)
(1,1 )
(n ,0 ) (n ,1 )
(0 ,n )
(1
,
n
例1 考察Rn与Cn的内积和范数.
设x ( x1,, xn )T , y ( y1,, yn )T Rn，则定义
内积
( x,
y)
n
xi
i 1
yi；范数
||
x
||2
n
xi2
i 1
1/2
.
若给定i 0(i 1,, n)为权系数,则定义
内积
( x,
y)
n
i xi
i 1
yi；范数
||
x
||2
1, )2
T1( x) xTn( x)
x, Tn1(
x).
(2.11)
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.
代入 x cos , 即得递推关系式.
(2) 正交性
0, m n,
11
其首项系数an
2n
(2n 1)(n 2n n!
1)
(2n)! 2n ( n! )2
.
首项系数为1的勒让德多项式为
P~n (
x)
n! (2n)!
dn dxn
[(
x2
1)n
],
(n 0,1,2,)
(2.5)
(2.6)
勒让让德多项式性 :
(1) 正交性
11
Pm
(
x ) Pn (
x)dx
0, 2
2n
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
交多项式.
只要给定[a,b]上的权函数( x), 由{1, x, xn,}利用逐个
设在[a,b]给定函数族0 (x),1 (x),,n (x),, 且满足
(i
(
x), k
(
x))
Ak
0,
i k, 0, i
k,
(i, k 0,1,2,)
则称函数族{n (x)}为[a,b]上带 权 ρ (x)的 正 交 函数 族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标 准 正 交 函 数 族.
可得
P2( x)
1 (3 x2 2
1),
P3( x)
1 (5 x3 2
3 x ),
三、切比雪夫多项式
区间为[1,1],权函数为( x) 1 ，序列{1, x, xn,}
1 x2 正交化所得正交多项式称为n次切比雪夫多项式.
可表为
Tn( x) cos(narccos x), (1 x 1,n 0,1,2,) (2.10)
, 1
m n, m n.
(2.7)
(2) 奇偶性 Pn( x) (1)n Pn( x).
(2.8)
(3) Pn( x)在(1,1)内部有n个互异的实零点.
(4) 递推关系
Pn1(
P0( x) 1,
x)
2n 1 n1
xPn
(
P1( x) x,
x)
n
n
1
Pn1
(
x),
(n
1,2,)
(2.9)
( xpn, pn ) , ( pn , pn )
n
an1an1
a
2 n
(
( pn , pn 1 ,
pn ) . pn1 )
二、勒让德多项式
区间[1,1]上带权(x) 1的正交多项式
Pn
( x)
1 2n n!
dn dx n
[(x2
1)n ],
(n 0,1,2,)
称为n次 Legendre多项式 .
如果存在不全为零的数1,,n P,使得
1x1 n xn 0，
（1 .1）
则称x1,, xn线性相关. 否则,若(1.1)只对1 n 0成
立，则称x1,, xn线性无关.
定理1(Weierstrass) 如果f (x) C[a,b], 那么 0,
多项式p(x),使得
max | f (x) p(x) | , 在a, b上一致成立。
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
例2 设f ( x), g( x) C[a,b], ( x)为[a,b]上的权函数,则可
定义内积
( f , g) ab( x) f ( x)g( x)dx.
1,( f , g) ab f (x)g(x)dx.
容易验证内积定义中的四个性质，并导出范数
1
1
x 2 Tm
(
x
)Tn
(
x
)dx
/
2, ,
m n 0, m n 0.
n
i
i 1
xi2
1/2
.
若x, y Cn，则定义加权内积
n
( x, y) i xi yi .
i 1
可以有限或
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负无限函区数间, 如果满足条件
(1) ab xk ( x)dx存在, k 0,1,2,; (2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
i 1
2
，
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
ຫໍສະໝຸດ Baidu 1
|| f ||2 ab f 2( x)dx 2， 称为2 范数.
(3) (u v, w) (u,w) (v,w), u,v,w X; (4) (u,u) 0,当且仅当u 0时，(u,u) 0. 则称(u,v)为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间称 为内积空间. (v,u)为(u,v)的共轭，当K R时 (v,u) (u,v).
定理 2 设X为一个内积空间，对u,v X , 有
若令x cos，则Tn( x) cos(n ),0 .
T0( x) cos(0) 1, T1( x) cos(arccos x) x, T2( x) cos(2arccos x) 2x2 1, T3( x) 4x3 3x,
切比雪夫多项式的性质:
(1) 递推关系
TTn0(1x( x)
二、范数与赋范线性空间
定义2 设S是实数域上的线性空间，x S，如果存在唯一
实数 || ||，满足条件
(1) || x || 0, 当且仅当x 0时,|| x || 0;
(正定性)
(2) x || x ||, R;
( 齐次性)
(3) x y || x || || y ||, x, y S.
称为Gram矩阵，则G非奇异的充要条件是u1, u2,, un线性
无关.
证明：1) G非奇异 以G为系数矩阵的齐次线性方程组
n
n
( ju j , uk ) (u j , uk ) j 0,
j1
j1
只有零解。
k 1,,n.
n
n
n
2) juj 0 ( juj , juj ) 0
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
在数值计算中经常要计算函数值，当函数只 在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区 间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及 在区间[a,b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问 题，这就是函数逼近问题。本章讨论的函数逼近， 是指“对函数类A中给定的函数f(x),记作f(x)∈A， 要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函 数p(x)∈B,使p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下 最小。
函数类A通常是区间[a,b]上的连续函数，记作 C[a,b],成为连续函数空间,而函数类B通常为n次多项 式，有理函数或分段低次多项式等。
函数逼近是数值分析的基础，为了在数学上描 述更精确，现介绍代数和数分中的一些基本概念 及预备知识。
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素x1,, xn S,
伯恩斯坦(19a1x2)b给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
Bn (
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
( x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
xk
(1
x)nk
,使得
lim Bn( f , x) f ( x)，在[0,1]上一致成立；
n
若f ( x) C m[0,1]，则 lim Bn(m)( f , x) f (m)( x).
（5）设{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交多项式
序列. 则pn( x)(n 1)的n个根都是在(a,b)内的单重实根;并有
pn1( x) (n x n ) pn( x) n pn1( x), n 1,2，, (2.4)
其中
p1( x)
0，n
an1 an
,n
an1 an
(2.2)
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)