几何基础图形——三角形的认识

几何基础图形——三角形的认识定 义示例剖析三角形的定义：由三条不在．．同一条直线上的线段首尾顺次．．．．连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性．．．. 表示法及读法：三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ ABC △ ”，读作“三角形ABC ”．ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示．顶点A 的对边a （BC ） 顶点B 的对边b（AC ） 顶点C 的对边c （AB ） 三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.,,A B C ∠∠∠是三角形的内角c b aCBA 思路导航知识互联网题型一：三角形的边A BC三角形的分类：注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角. 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．三角形三条边的关系三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边.即a 、b 、c 三条线段可组成三角形⇔b c a b c -<<+⇔两条较小的线段之和大于最大的线段.注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．a cb +> ||ac b -<, a b c +>||a b c -<,b c a +> ||b c a -<【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值直角三角形钝角三角形不等边三角形等腰三角形等边三角形A BCab c例题精讲三角形（按角分类） 直角三角形：三角形中有一个内角是直角斜三角形 锐角三角形：三角形中三个内角都是锐角钝角三角形：三角形中有一个内角是钝角三角形（按边分类）不等边三角形：三条边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形：有两边相等的三角形等边三角形（正三角形）：三边都相等的三角形锐角三角形是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【例1】 ⑴下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1cm ，2cm ，5cmB ．4cm ，5cm ，9cmC ．5cm ，8cm ，15cmD ．6cm ，8cm ，9cm⑵下列线段能组成三角形的是 ．①123，， ②234，， ③222345，， ④222123(0)a a a a +++≠，，⑶已知三角形三边长分别为4,5,x ，则x 的取值范围是 。

⑷如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，10OB =米，A 、B 间的距离不可 能是（ ） A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米⑸已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm（人大附中期中考试）【例2】 ⑴若一个三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m 满足1022m <<，则这样的三角形有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．11个 （北京二中分校期中考试） ⑵如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A ．三角形的稳定性B ．两点之间线段最短C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短（北京八中期中考试）⑶a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-=_____. ⑷已知三角形三边长为a ，b ，c ，且||||10a b c a b c +-+--=，求b 的值.典题精练O A BC BA定 义示 例 剖 析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180︒.在ABC △中， 180A B C ∠+∠+∠=°三角形的外角：三角形的任意一边与另一边的反向延长线．．．．．所组成的角叫做三角形的外角.如图，,,BAD ACF CBE ∠∠∠是ABC △的外角.三角形内角和定理的三个推论:①推论1: 直角三角形的两个锐角互余.②推论2: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.③推论3: 三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.如：外角13ABF ∠=∠+∠12BCD ∠=∠+∠ 23CAE ∠=∠+∠ 1ABF ∠>∠，3ABF ∠>∠ 1BCD ∠>∠， 2BCD ∠>∠ 2CAE ∠>∠，3CAE ∠>∠三角形的外角和：每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和. 三角形的外角和等于360︒.注：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的. ∠1+∠2+∠3=360°CBA思路导航题型二：三角形有关的角321CB AFD E 321AB C FE DCBA【例3】 ⑴三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不属于哪一类（十一学校期中考试） ⑵ABC △中，若221A B C ∠∠∠=∶∶∶∶，则A ∠= °，C ∠= °.（27中期中考试） ⑶若一个三角形的三个外角的度数之比为342∶∶，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定（人大附中期中考试）⑷ 如图，BD 和CE 是ABC △的高，BD 和CE 交于H ，已知25DBC ∠=°，40ECB ∠=°， 则A ∠= ． (八十中期中考试）【例4】 如图，AD 是ABC △的角平分线，2BAC B ∠=∠，DE BA ∥．试探究B ∠与ADE ∠有何关系？并对你的结论加以说明．定 义示 例 剖 析思路导航典题精练题型三：三角形的角平分线、中线、高HEDC B AABCDEP DBECFA PD B EC F APDB ECFA（D 、F 、P ）B ECAPDBEC FA三角形中的重要线段①三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心．．，而且它一定在三角形内部.线段AD 为ABC △的角平分线②三角形的中线:在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. 注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心．．，而且它一定在三角形内部. 线段AD 为BC 边上的中线③三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心．．. 锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点.注: 老师可视学生情况自行补充另外两心.线段AD 为BC 边上的高【例5】 如图，在钝角ABC △中：⑴画ABC △的ABC 的角平分线，AB 边上的中线，AC 边上的高. ⑵画出此三角形的三条高线，并画出三角形的垂心。

【例6】 ⑴ 如果一个三角形的三条高的交点是三角形的一个顶点，则这个三角形是（ ）典题精练ABCDD CB ADCBAAC BA. 直角三角形 B ．锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断⑵如右图，AC BC ⊥于C 点，CD AB ⊥于D 点，DE BC ⊥于E 点，下列说法中不正确．．．的是（ ）． A ．AC 是ABE △的高 B ．DE 是BCD △的高 C ．DE 是ABE △的高 D ．AD 是ACD △的高（北京四中期中考试）⑶ 在ABC △中，AD 是BC 边上的高，若5BD =，3CD =，则BC 的长是 ． （北京八十中期中考试）⑷ 在ABC △中,D 是直线BC 边上的点,且:2:1BD DC =,ABC △的面积是36,则ABD △的面积是 .⑸ 在等腰ABC △中，AB AC =，一腰上中线BD 将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底长为 ．（人大附中期中考试）⑹在ABC △内有一点P ，且P 点到三角形三边距离相等，已知三角形周长15，面积为30，则P 到ABC △三边的距离是_________________.【例7】 如图，由图1的ABC △沿DE 折叠得到图2，图3，图4.⑴ 如图2，猜想BDA CEA ∠+∠与A ∠的关系，并说明理由；⑵ 如图3，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，并说明理由；⑶ 如图4，猜想BDA ∠和CEA ∠与A ∠的关系，无需说明理由．图3 图4 1ECBDA 图112AB CDE 图212E D C B AE D A CBED CB A真题赏析【例8】 如图，已知ABC △⑴ 将BC 边上一点P （点B 、C 除外）向上移动，使BP 平分B ∠，CP 平分C ∠，探究：A ∠与P ∠的关系．⑵ 将BC 边上一点P （点B 、C 除外）向下移动，使BP 平分B ∠ 的外角，CP 平分C ∠的外角．探究：A ∠与P ∠的关系．⑶ 将BC 边上一点P （点B 、C 除外）向左上方移动，使BP 平分B ∠的外角，CP 平分C ∠，探究：A ∠与P ∠的关系．题型一 三角形的边 巩固练习【练习1】 如图所示，具有稳定性的有（ ）⑴ ⑵ ⑶ ⑷A.只有⑴⑵B.只有⑶⑷C.只有⑵⑶D.⑴⑵⑶【练习2】 若一个三角形的两边长分别是3和11，则周长l的取值范围是 .（北京27中期中考试）【练习3】 已知等腰三角形的两边长分别为4cm 和7cm ，它的周长是 cm .（北京二中分校期中考试）复习巩固C BA题型二 三角形有关的角 巩固练习 【练习4】 如图，在ABC △中，ABC ∠的平分线与外角ACE ∠的平分线交于点D ，若20D ∠=°，则A ∠= ．题型三 三角形的角分线、中线、高 巩固练习 【练习5】 已知，在ABC △中，AB AC =，周长为16cm ，AC 边上的中线BD 把ABC △分成周长差为2cm 的两个三角形，则边AB 、BC 的长分别为EDC BA。