二维离散型随机变量及其分布

P{ X xi } P{ X xi , } P{ X xi , (Y y j )}
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1



Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
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联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
求（X,Y）的联合分布律。
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
二、 边缘分布律(Marginal distribution regularity) 1、定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量， 称分量X的分布律为（X，Y）关于X的边缘分布律； 分量Y的分布律为（X，Y）关于Y的边缘分布律。
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例3] 见例1，判断X,Y是否相互独立？
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
例4 已知随机变量(X,Y)的分布律为
2007年12月
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
三、随机变量的独立性(Independence of random
variable)
定理1 设（X,Y）是二维离散型随机变量，则 X，Y相互独立的充要条件是：对所有的i,j，均有 pij=pi..p.j
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
本节主要内容
A B C
联合分布律 边缘分布律
独立性
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
一、联合分布律（unity distribution regularity) 1、定义：如果二维随机变量(X,Y)的所有可能取 值为有限对或可列对，则称(X,Y)为二维离散型随 机变量。
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
例2.已知(X,Y)的分布律为 x\y 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 故关于X和Y的分布律分别为： X 0 1 Y 0 P 3/5 2/5 P 3/5
二维离散型随机变量及其分布
蚌埠学院理学系 赵玉梅
2007年12月
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
在实际问题中，有一些实验的结果需要同时 用两个或两个以上的随机变量来描述。 例如，炮弹击中点的位置要用其横坐标X 与纵坐标Y来确定。
且知X与Y独立，求(X,Y)的联合分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
2、已知（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y） 关于X或关于Y的边缘分布律?
设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律 为P{X=xi,Y=yj}=pij,(i,j=1,2,…), 则（X,Y）关于X的边缘分布律为：
(X,Y)
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在模特比赛中，要同时考虑到模特身高、胸 围、腰围、臀围等多个变量。
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Y X x1 x2
y1 p11 p21
y2
…
yj p1j p2j … pij
… … … … … … …
pi. p1. p2. …
p12 … p22 …
…
… xi … p.j
…
… pi1 … p.1
…
… pi2 … p.2
… … …
… …
… pi. …
… … … p.j
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
ij
p
1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例1] 1个口袋中装有大小形状相同的6个球， 其中2个红球、4个白球，现从袋中不放回地取两 次球，每次取一个。设随机变量
0, X 1, 表示第一次取红球 表示第screte Random Variable and Distribution
2、联合分布律 设二维离散型随机变量（X，Y） 所有可能取值为(xi,yj),(i=1,2,…;j=1,2,…) ，则称 P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…) 为（X，Y）的联合分 布律。 Y y1 y2 … yj … X
x 0 1 1 2 0.15 0.15 a b
且知X与Y独立，求a、b的值。
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
例5 已知随机变量X,Y的分布律分别为
X pi.
Y p.j
1 0.3
-1 0.6
2 0.3
0 0.1
3 0.4
1 0.3
x1 p11 p21 … … pi1 …
p12 … p1j …
p22 … … pi2 … … … … … … p2j … … … … … pij … … …
x2 … … xi …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
pij具有以下性质： （1）pij≥0 (i,j=1,2,…) （概率的非负性）； （2） i j （概率的归一性）
1.联合分布函数：F ( x, y) P( X x, Y y)
FX ( x) P{ X x} lim F ( x, y) 2.边缘分布函数： y
FY ( y ) P{Y y} lim F ( x, y )
x
3.独立性：
若F(x,y)=FX(x).F Y(y) 则称X,Y相互独立。