2020年山东省淄博市中考数学试卷含答案
2020年山东省淄博市中考数学试卷(含解析)
2020年山东省淄博市中考数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2 B．﹣2 C．D．02．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，64．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a56．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED8．化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36 B．48 C．49 D．6410．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2 B．3πC．D．+211．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．4812．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB ＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分13．计算：+＝．14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．三、解答题：本大题共7个小题，共52分18．（5分）解方程组：19．（5分）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯； B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济； E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y ＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．2．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．4．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．5．【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；故选：B．6．【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．7．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．8．【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．9．【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P（t，t），则PC＝t，∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，解得t＝6，∴P（6，6），把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．故选：A．10．【解答】解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，故选：C．11．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，故选：D．12．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．二、填空题13．【解答】解：+＝﹣2+4＝2．故答案为：214．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．15．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜，故答案为m＜．16．【解答】解：连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5．17．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1 n﹣12 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n 0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．三、解答题18．【解答】解：，①+②，得：5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，所以原方程组的解为．19．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．20．【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：25，36；（4）10000×30%＝3000（人），答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．21．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．22．【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝，经检验x＝是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建千米．23．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．24．【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得，故点R的坐标为（1+，4）或（1，4）或（1，﹣4）或（1﹣，﹣4）；（3）作△PEQ的外接圆R，∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，过点R作RH⊥ME于点H，设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD×RQ+×ED•y R+×ME•RH，∴4×3＝×5×m+×4×m×3×m，解得m＝60﹣84，故点P（1，120﹣168）。
淄博市2020年部编人教版中考数学试题及答案精析(word版)
山东省淄博市2020 年中考数学试卷一、选择题：本题共12 小题，在每题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．每题4分，错选、不选或选出的答案超出一个，均记零分．1．（ 4 分）（ 2020?淄博）比﹣ 2020 小 1 的数是（）A ．﹣2020B ． 2020C ．﹣ 2020D ． 2020考点：有理数的减法．剖析：依据题意列式即可求得结果． 解答：解：﹣ 2020﹣ 1=﹣2020 ．应选 C ．评论：本题考察了有理数的减法，熟记有理数的减法的法例是解题的重点．2．（ 4 分）（ 2020?淄博）以下式子中正确的选项是（ ）A ．（）﹣2=﹣9B ．（﹣ 2）3=﹣6 C ． =﹣2D ．（﹣3）0=1考点：二次根式的性质与化简；有理数的乘方；零指数幂；负整数指数幂．剖析：依据二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂逐个运算，判断即可．解答：解： A 、 =9，故本项错误；3B 、（﹣ 2） =﹣ 8，故本项错误；D 、（﹣ 3） =1，故本项正确，评论：本题考察了二次根式的性质与化简、有理数的乘方、零指数以及负整数指数幂，娴熟掌握运算法例是解题的重点．3．（ 4 分）（ 2020?淄博）将图1 围成图2 的正方体，则图1 中的红心 “”标记所在的正方形是正方体中的（ ）A ． 面 CDHEB ． 面 BCEFC ． 面 ABFGD ． 面 ADHG考点：睁开图折叠成几何体．剖析：由平面图形的折叠及正方体的睁开图解题．注意找准红心 “”标记所在的相邻面．解答：解：由图 1 中的红心 “”标记，可知它与等边三角形相邻，折叠成正方体是正方体中的面 CDHE ．应选 A ．评论：本题考察了正方体的睁开图形，解题重点是从相邻面下手进行剖析及解答问题． 4．（ 4 分）（ 2020?淄博）已知 x= ， y=，则 x 2+xy+y 2的值为（）A ．2B ．4C ． 5D ．7考点：二次根式的化简求值．剖析：先把 x、y 的值代入原式，再依据二次根式的性质把原式进行化简即可．解答：解：原式 =（ x+y ）2﹣ xy2=（ +）﹣×=5﹣ 1=4．应选 B．评论：本题考察的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混淆运算的法例是解答本题的重点．5．（ 4 分）（ 2020?淄博）已知是二元一次方程组的解，则A．±2 B． C．±2m﹣ n 的平方根为（D． 2）考点：二元一次方程组的解；平方根．剖析：由 x=2 ，y=1 是二元一次方程组的解，将x=2，y=1 代入方程组求出求出 2m﹣ n 的值，利用平方根的定义即可求出2m﹣ n 的平方根．解答：解：∵ 将代入中，得：，解得：m 与n 的值，从而∴2m﹣ n=6 ﹣2=4，则 2m﹣ n 的平方根为±2．应选： A．评论：本题考察了二元一次方程组的解，以及平方根的定义，解二元一次方程组的方法有两种：加减消元法；代入消元法．6．（ 4 分）（ 2020?淄博）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有 4 个同样的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本商场一次性花费满200 元，就能够在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）．某顾客恰好花费200 元，则该顾客所获取购物券的金额不低于30 元的概率（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．剖析：列表法或画树状图法能够不重复不遗漏地列出全部可能的结果，合适于两步达成的事件．解答：解：列表：第二次0102030第一次0﹣﹣1020301010﹣﹣3040202030﹣﹣5030304050﹣﹣从上表能够看出，共有12 种可能结果，此中大于或等于30 元共有所以 P（不低于 30 元） ==．应选： C．评论：本题主要考察用列表法或树状图求概率．解决本题的重点是弄清题意，满摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率8 种可能结果，200 元能够=所讨状况数与总状况数之比．7．（ 4 分）（ 2020?淄博）若锐角α知足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A ． 30°＜α＜45°B． 45°＜α＜ 60°C． 60°＜α＜ 90°D． 30°＜α＜ 60°考点：锐角三角函数的增减性．专题：应用题．剖析：先由特别角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出α＜ 60°．解答：解：∵ α是锐角，得出45°＜α＜90°；再由特0＜α＜ 60°；从而得出 45°＜∴cosα＞ 0，∵ cosα＜，∴0＜ cosα＜，又∵ cos90°=0 ，cos45°=，∴ 45°＜α＜ 90°；∵ α是锐角，∴tanα＞ 0，∵ tanα＜，∴0＜ tanα＜，又∵ tan0°=0， tan60°=，0＜α＜ 60°；故 45°＜α＜ 60°．应选 B．评论：本题主要考察了余弦函数、正切函数的增减性与特别角的余弦函数、正切函数值，熟记特别角的三角函数值和认识锐角三角函数的增减性是解题的重点．8．（4 分）（ 2020?淄博）如图，在四边形 ABCD 中， DC∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD 点 E、 F 分别为 AB 、 AD 的中点，则△ AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（，CD=AB），A ．B．C．D．考点：相像三角形的判断与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．专题：压轴题．剖析：依据三角形的中位线求出EF=BD ， EF∥BD ，推出△AEF ∽ △ ABD ，得出 =，求出 ==，即可求出△ AEF 与多边形BCDFE 的面积之比．解答：解：连结 BD ，∵ F、E 分别为 AD 、 AB 中点，∴EF=BD ， EF∥ BD ，∴△AEF∽ △ABD ，∴==，∴△ AEF 的面积：四边形 EFDB 的面积 =1： 3，∵ CD=AB ，CB ⊥DC， AB ∥CD ，∴==，∴ △ AEF 与多边形 BCDFE 的面积之比为 1：（ 3+2 ） =1：5，应选 C．评论：本题考察了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考察学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．9．（ 4 分）（ 2020?淄博）如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 P 是线段 DF 的中点，连结 PG，PC．若∠ ABC= ∠ BEF=60 °，则 =（A 、 B、 E 在同向来线上，）A ．B．C．D．考点：菱形的性质；全等三角形的判断与性质；等腰三角形的判断与性质．专题：计算题；压轴题．剖析：可经过建立全等三角形求解．延伸GP 交 DC 于 H，可证三角形DHP 和 PGF 全等，已知的有 DC∥ GF，依据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有 DP=PF，所以组成了全等三角形判断条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG ，可依据三角函数来得出PG、 CP 的比率关系．解答：解：如图，延伸 GP交 DC 于点 H，∵ P 是线段 DF 的中点，∴ FP=DP ，由题意可知DC ∥ GF，∴ ∠ GFP=∠HDP ，∵ ∠ GPF=∠HPD ，∴ △ GFP≌ △HDP ，∴ GP=HP ， GF=HD ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ CD=CB ，∴ CG=CH ，∴ △ CHG 是等腰三角形，∴ PG⊥ PC，（三线合一）又∵ ∠ ABC= ∠ BEF=60°，∴ ∠ GCP=60°，∴ =；应选 B．评论：本题主要考察了菱形的性质，以及全等三角形的判断等知识点，依据已知和所求的条件正确的建立出有关的全等三角形是解题的重点．10．（ 4 分）（ 2020?淄博）若对于A ． m＜ 6B． m＞ 6x 的方程+=2的解为正数，则C． m＜ 6 且 m≠0m 的取值范围是（D． m＞ 6 且m≠8）考点：分式方程的解．剖析：先得出分式方程的解，再得出对于m 的不等式，解答即可．解答：解：原方程化为整式方程得：2﹣ x﹣ m=2（ x﹣ 2），解得： x=2﹣，因为对于 x 的方程 +=2 的解为正数， 可得：，解得： m ＜ 6，因为 x=2 时原方程无解， 所以可得， 解得： m ≠0． 应选 C ．评论：本题考察分式方程，重点是依据分式方程的解法进行剖析．11．（ 4 分）（ 2020?淄博）如图是一块 △ABC 余料，已知 AB=20cm ， BC=7cm ，AC=15cm ，现将余料裁剪成一个圆形资料，则该圆的最大面积是（）A ． πcm 2B ． 2πcm 2C ． 4πcm 2D ． 8πcm 2考点：三角形的内切圆与心里．剖析：当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r ，则该三角形面积可表示为：=21r ，利用三角形的面积公式可表示为 ?BC?AD ，利用勾股定理可得AD ，易得三角形ABC 的面积，可得r ，求得圆的面积．解答：解：如图 1 所示，S △ABC =?r?（ AB+BC+AC ） ==21r ， 过点 A 作 AD ⊥ BC 交 BC 的延伸线于点 D ，如图 2，设 CD=x ，由勾股定理得：在 Rt △ ABD 中，AD 2=AB 2﹣ BD 2 =400﹣（ 7+x ） 2，2 2 2 2在 Rt △ ACD 中， AD =AC ﹣ x =225 ﹣ x ，22∴ 400﹣（ 7+x ） =225﹣ x ，∴ AD=12 ，∴ S △ABC == ×7×12=42， ∴ 21r=42 ，∴ r=2 ，该圆的最大面积为： S=πr 222）， =π?2 =4π（ cm 应选 C ．评论：本题主要考察了三角形的内切圆的有关知识及勾股定理的运用，运用三角形内切圆的半径表示三角形的面积是解答本题的重点．12．（ 4 分）（ 2020?淄博）如图， △ABC 中， ∠ ACB=90 °， ∠ A=30 °， AB=16 ．点 P 是斜边 AB 上一点．过点 P 作 PQ ⊥AB ，垂足为 P ，交边 AC （或边 CB ）于点 Q ．设 AP=x ， △APQ 的面积为 y ，则 y 与 x 之间的函数图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：动点问题的函数图象．剖析：第一过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ，由 △ ABC 中， ∠ ACB=90 °， ∠A=30 °，可求得 ∠ B的度数与 AD 的长，再分别从当 0≤AD ≤12 时与当 12＜ x ≤16 时，去剖析求解即可求得答案．解答：解：过点 C 作 CD ⊥AB 于点 D ，∵ ∠ ACB=90 °， ∠ A=30 °， AB=16 ， ∴ ∠ B=60 °， BC=AB=8 ， ∴ ∠ BCD=30 °，∴ BD=BC=4 ，∴ AD=AB ﹣BD=12 ．如图 1，当 0≤AD ≤12 时， AP=x ， PQ=AP?tan30°=x ，∴ y=x ?x=x 2；如图 2：当 12＜ x ≤16 时， BP=AB ﹣ AP=16 ﹣ x ，∴ PQ=BP?tan60°=（ 16﹣ x ），∴ y=x ?（ 16﹣ x ）=﹣ x 2+8x ， 应选 D ．评论：本题考察了动点问题， 注意掌握含 30°直角三角形的性质与二次函数的性质； 注意掌握分类议论思想的应用．二、填空题：本题共 5 小题，满分15 分．只需求填写最后结果，每题填对得 4 分．13．（ 3 分）（ 2020?淄博）计算： = 3 ．考点：二次根式的乘除法．剖析：依据二次根式的乘法法例计算． 解答：解：原式 == =3． 故填 3．评论：主要考察了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法例=．14．（ 3 分）（ 2020?淄博）如图，已知正五边形则 ∠ DFA= 36 度．ABCDE，AF ∥CD ，交DB的延伸线于点F ，考点：多边形内角与外角；平行线的性质．剖析：第一求得正五边形内角∠ C 的度数，而后依据 CD=CB 求得 ∠ CDB 的度数，而后利用平行线的性质求得∠ DFA的度数即可．解答：解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，∴ ∠ C=180°﹣ 72°=108 °，∵CD=CB ，∴∠ CDB=36 °，∵AF ∥ CD，∴ ∠ DFA= ∠ CDB=36 °，故答案为： 36．评论：本题考察了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的重点是求得正五边形的内角．15．（ 3 分）（ 2020?淄博）如图，经过点 B（﹣ 2，0）的直线 y=kx+b 与直线 y=4x+2 订交于点 A （﹣ 1，﹣ 2），则不等式 4x+2＜ kx+b ＜ 0 的解集为﹣ 2＜ x＜﹣ 1 ．考点：一次函数与一元一次不等式．剖析：由图象获取直线y=kx+b 与直线 y=4x+2 的交点 A 的坐标（﹣ 1，﹣ 2）及直线y=kx+b 与 x 轴的交点坐标，察看直线 y=4x+2 落在直线 y=kx+b 的下方且直线 y=kx+b 落在 x 轴下方的部分对应的 x 的取值即为所求．解答：解：∵经过点 B（﹣ 2，0）的直线y=kx+b 与直线 y=4x+2 订交于点 A （﹣ 1，﹣ 2），∴直线 y=kx+b 与直线 y=4x+2 的交点 A 的坐标为（﹣ 1，﹣ 2），直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标为 B（﹣ 2， 0），又∵当 x＜﹣ 1 时， 4x+2 ＜kx+b ，当 x＞﹣ 2 时， kx+b ＜ 0，∴不等式 4x+2 ＜ kx+b ＜ 0 的解集为﹣ 2＜ x＜﹣ 1．故答案为：﹣2＜ x＜﹣ 1．评论：本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是追求使一次函数 y=ax+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确立直线 y=kx+b 在 x 轴上（或下）方部分全部的点的横坐标所组成的会合．16．（ 3 分）（ 2020?淄博）现有一张圆心角为 108°，半径为角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为40cm的扇形纸片，小红剪去圆心10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为18° ．考点：圆锥的计算．剖析：已知扇形底面半径是10cm，就能够知道睁开图扇形的弧长是20πcm，依据弧长公式l=n πr ÷180 获取．解答：解： 20π=，解得： n=90 °，∵扇形彩纸片的圆心角是108°∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣ 90°=18 °．剪去的扇形纸片的圆心角为18°．故答案为： 18°．评论：本题综合考察有关扇形和圆锥的有关计算．解题思路：解决此类问题时重要紧抓住二者之间的两个对应关系：（ 1）圆锥的母线长等于侧面睁开图的扇形半径；（ 2）圆锥的底面周长等于侧面睁开图的扇形弧长． 正确对这两个关系的记忆是解题的重点．17．（ 3 分）（ 2020?淄博）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的关闭图形称为“果2圆 ”．已知点 A 、 B 、 C 、 D 分别是 “果圆 ”与坐标轴的交点，抛物线的分析式为 y=x ﹣ 2x ﹣3， AB 为半圆的直径，则这个“果圆 ”被 y 轴截得的弦CD 的长为 3+．考点：二次函数综合题．剖析：连结 AC ，BC ，有抛物线的分析式可求出A ，B ，C 的坐标，从而求出 AO ， BO ，DO的长，在直角三角形ACB 中，利用射影定理可求出CO 的长，从而可求出CD 的长．解答：解：连结 AC ， BC ，2∵ 抛物线的分析式为 y=x ﹣ 2x ﹣ 3，∴ OD 的长为 3，设 y=0 ，则 0=x 2﹣ 2x ﹣ 3， 解得： x= ﹣ 1 或 3，∴A （﹣ 1，0），B （3，0）∴ AO=1 ，BO=3 ， ∵ AB 为半圆的直径，∴ ∠ ACB=90 °， ∵ CO ⊥AB ，∴ CO 2=AO ?BO=3 ， ∴ CO= ，∴ CD=CO+OD=3+ ，故答案为： 3+．评论：本题是二次函数综合题型， 主要考察了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解 “果圆 ”的定义是解题的重点．三、解答题：本大题共7 小题，共52 分．解答要写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（ 4 分）（ 2020?淄博）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．剖析：先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 解答：解：∵ 解不等式 ① 得： x ＞﹣ 1， 解不等式 ② 得： x ≥3， ∴ 不等式组的解集是 x ≥3，在数轴上表示不等式组的解集为： ．评论：本题考察认识一元一次不等式（组） ，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解本题的重点是求出不等式组的解集．19．（ 4 分）（ 2020?淄博）如图，在△ ABC （ 1）作图：作 BC 边的垂直均分线分别交与中， AB=4cm ，AC=6cm ．AC ， BC 于点 D， E（用尺规作图法，保存作图印迹，不要求写作法）；（ 2）在（ 1）的条件下，连结BD ，求△ ABD 的周长．考点：作图—复杂作图．剖析：（ 1）运用作垂直均分线的方法作图，（2）运用垂直均分线的性质得出BD=DC ，利用△ ABD 的周长 =AB+BD+AD=AB+AC即可求解．解答：解：（ 1）如图 1，（ 2）如图 2，∵ DE 是 BC 边的垂直均分线，∴BD=DC ，∵AB=4cm ， AC=6cm ．∴ △ ABD 的周长 =AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm．评论：本题主要考察了作图﹣复杂作图及垂直均分线的性质，解题的重点是熟记作垂直均分线的方法．20．（ 9 分）（ 2020?淄博）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创立特点学校”的会议精神，信心打造“书香校园”，计划用不超出1900 本科技类书本和1620 自己文类书本，组建中、小型两类图书角共30 个．已知组建一此中型图书角需科技类书本80 本，人文类书本50 本；组建一个小型图书角需科技类书本30 本，人文类书本60 本．（ 1）切合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（ 2）若组建一此中型图书角的花费是860 元，组建一个小型图书角的花费是570 元，试说明（ 1）中哪一种方案花费最低，最低花费是多少元？考点：一元一次不等式组的应用．剖析：（ 1）设组建中型两类图书角x 个、小型两类图书角（30﹣ x）个，因为组建中、小型两类图书角共30 个，已知组建一此中型图书角需科技类书本80 本，人文类书本50 本；组建一个小型图书角需科技类书本30 本，人文类书本60 本．若组建一此中型图书角的花费是860 本，组建一个小型图书角的花费是570 本，所以能够列出不等式组，解不等式组而后去整数即可求解．（ 2）依据（ 1）求出的数，分别计算出每种方案的花费即可．解答：解：（ 1）设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角为（30﹣ x）个．由题意，得，化简得，解这个不等式组，得18≤x≤20．因为 x 只好取整数，∴ x 的取值是18， 19， 20．当 x=18 时， 30﹣ x=12；当 x=19 时， 30﹣ x=11；当 x=20 时， 30﹣ x=10．故有三种组建方案：方案一，中型图书角18 个，小型图书角12 个；方案二，中型图书角19 个，小型图书角11 个；方案三，中型图书角20 个，小型图书角10 个．（2）方案一的花费是：860×18+570 ×12=22320 （元）；方案二的花费是： 860×19+570 ×11=22610（元）；方案三的花费是： 860×20+570 ×10=22900（元）．故方案一花费最低，最低花费是22320 元．评论：本题主要考察了一元一次不等式组在实质生活中的应用，解题的重点是第一正确理解题意，而后依据题目的数目关系列出不等式组解决问题，同时也利用了一次函数．21．（ 10 分）（2020?淄博）某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分 10 分，学生得分均为整数，成绩达 6 分以上为合格，达到9 分以上（含9 分）为优异．此次比赛中甲、乙两组学生成绩散布的条形统计图以下．（ 1）增补达成以下的成绩统计剖析表：组别均匀分中位数方差合格率优异率甲 6.76 3.4190%20%乙7.17.5 1.6980%10%（2）小明同学说：“此次比赛我得了 7 分，在我们小组中排名属中游略偏上！”察看上表可知，小明是甲组学生；（填“甲”或“乙”）（3）甲组同学说他们组的合格率、优异率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不一样意甲组同学的说法，以为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的原因．考点：条形统计图；算术均匀数；中位数；方差．专题：计算题．剖析：（ 1）先依据条形统计图写出甲乙两组的成绩，而后分别计算甲的中位数，乙的均匀数和方差；（2）比较两组的中位数进行判断；（3）经过乙组的均匀数、中位数或方差进行说明．解答：解：（ 1）甲组： 3，6， 6，6， 6， 6，7， 8， 9，10，中位数为6；2乙组： 5，5， 6， 7， 7， 8，8， 8， 8，9，均匀数 =7.1， S 乙 =1.69；（2）因为甲组的中位数为 6，所以 7 分在甲组排名属中游略偏上；故答案为 6， 7.1，1.69；甲；（3）乙组的均匀数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．评论：本题考察了条形统计图：从条形图能够很简单看出数据的大小，便于比较．也考察了中位数和方差．22．（ 10 分）（ 2020?淄博）如图 1 是一把折叠椅子，图 2 是椅子完整翻开销稳后的侧面表示图，此中 AD 和 BC 表示两根较粗的钢管， EG 表示座板平面， EG 和 BC 订交于点 F，MN 表示地面所在的直线， EG∥MN ，EG 距 MN 的高度为 42cm，AB=43cm ，CF=42cm ，∠ DBA=60 °，∠DAB=80 °．求两根较粗钢管 AD 和 BC 的长．（结果精准到 0.1cm．参照数据： sin80°≈0.98，cos80°≈0.17， tan80°≈5.67， sin60°≈0.87， cos60°≈0.5， tan60°≈1.73）考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．剖析：作 FH ⊥ AB 于 H ，DQ ⊥ AB 于 Q，如图 2， FH=42cm ，先在 Rt△ BFH 中，利用∠ FBH 的正弦计算出 BF ≈48.28，则 BC=BF+CF= ≈90.3（ cm），再分别在 Rt△BDQ 和 Rt△ ADQ中，利用正切定义用 DQ 表示出 BQ 和 AQ ，得 BQ= ，AQ= ，则利用 BQ+AQ=AB=43 获取+=43 ，解得 DQ≈56.999，而后在 Rt△ ADQ 中，利用 sin∠ DAQ 的正弦可求出 AD的长．解答：解：作 FH⊥AB 于 H， DQ⊥ AB 于 Q，如图 2，FH=42cm ，在 Rt△ BFH 中，∵ sin∠ FBH= ，∴BF= ≈48.28，∴BC=BF+CF=48.28+42 ≈90.3（cm）；在 Rt△ BDQ 中，∵ tan∠ DBQ= ，∴BQ= ，在 Rt△ ADQ 中，∵ tan∠ DAQ= ，∴AQ= ，∵BQ+AQ=AB=43 ，∴+=43 ，解得 DQ ≈56.999，在 Rt△ ADQ 中，∵ sin∠ DAQ= ，∴AD= ≈58.2（ cm）．答：两根较粗钢管AD 和 BC 的长分别为58.2cm、 90.3cm ．评论：本题考察认识直角三角形的应用：将实质问题抽象为数学识题（画出平面图形，结构出直角三角形转变为解直角三角形问题）．依据题目已知特点采用合适锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，获取数学识题的答案，再转变获取实质问题的答案．23．（ 10 分）（ 2020?淄博）如图 1，在 Rt△ ACB 中，∠ACB=90 °， AC=3 ， BC=4 ，有一过点 C 的动圆⊙ O 与斜边 AB 相切于动点 P，连结 CP．（ 1）当⊙ O 与直角边AC 相切时，如图 2 所示，求此时⊙ O的半径r的长；（ 2）跟着切点P 的地点不一样，弦C P 的长也会发生变化，试求出弦CP 的长的取值范围．（ 3）当切点P 在哪处时，⊙ O 的半径 r 有最大值？试求出这个最大值．考点：圆的综合题．剖析：（ 1）先依据勾股定理求出AB 的长，再由切线的性质求出PB 的长，过P 作 PQ⊥ BC 于 Q，过 O 作 OR⊥ PC 于 R，依据 PQ∥AC 得出 PC 的长，再由△ COR∽ △ CPQ 即可得出 r 的值；（ 2）依据最短PC 为 AB 边上的高，最大PC=BC=4 即可得出结论；（ 3）当 P 与 B 重合时，圆最大．这时，O 在 BD 的垂直均分线上，过O 作 OD ⊥BC 于 D，由 BD=BC=2 ，因为 AB 是切线可知∠ ABO=90 °，∠ABD+ ∠ OBD= ∠ BOD+ ∠ OBD=90 °，故可得出∠ ABC= ∠ BOD ，依据锐角三角函数的定义即可得出结论．解答：（ 1）解：如图1，∵ 在 Rt△ACB 中，∠ ACB=90 °，AC=3 ， BC=4 ，∴AB===5 ．∵ AC 、 AP 都是圆的，圆心在BC 上， AP=AC=3 ，∴PB=2 ，过 P 作 PQ⊥BC 于 Q，过 O 作 OR⊥PC 于 R，∵PQ∥AC ，∴===，∴ PQ=， BQ= ，∴CQ=BC ﹣ BQ= ，∴PC== ，∵点 O 是 CE 的中点，∴CR=PC= ，∴∠ PCE=∠PCE，∠ CRO= ∠ CQP，∴△ COR ∽ △ CPQ，∴=，即 =，解得 r=；（ 2）解：∵最短 PC 为 AB 边上的高，即PC== ，最大 PC=BC=4 ，∴ ≤PC≤4；（ 3）解：如图 2，当 P 与 B 重合时，圆最大．O 在 BD 的垂直均分线上，过 O 作 OD ⊥ BC 于 D，由 BD=BC=2 ，∵AB 是切线，∴∠ ABO=90 °，∴ ∠ ABD+ ∠ OBD= ∠ BOD+∠OBD=90 °，∴∠ABC= ∠BOD ，∴ =sin∠ BOD=sin ∠ABC== ，∴ OB= ，即半径最大 ．点 ：本 考 的是 的 合 ，熟知切 的性 、勾股定理、相像三角形的判断与性 等知 是解答此 的关 ．24．（ 10 分）（ 2020?淄博）（ 1）抛物 1 1 1 2 1 11与自 量 x 之 的部 m ： y =a x +b x+c 中，函数 y 分 如表：x ⋯2 1 1 2 45 ⋯ y 1 ⋯5 0 4 3 512⋯抛物 m 1 的 点 P ，与 y 的交点 C ， 点 P 的坐（1，4） ，点 C 的坐（0， 3） ．（ 2）将 抛物 m 1222222212 ．沿 x 翻折，获取抛物 m ：y =a x +bx+c， 当 x= 3 ，y =（ 3）在（ 1）的条件下，将抛物 m 1 沿水平方向平移，获取抛物 m 3． 抛物 m 1与 x交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左 ），抛物 m 3 与 x 交于 M ， N 两点（点 M 在点 N 的左 ）． 点 C 作平行于 x 的直 ，交抛物 m 3 于点 K ． ：能否存在以 A ，C ，K ，M点的四 形是菱形的情况？若存在， 求出点 K 的坐 ；若不存在， 明原因．考点：二次函数 合 ．： 合 ．剖析：（ 1）先利用待定系数法求出抛物m 1 的分析式2y 1= x +2x+3 ，再配成 点式可得 到 P 点坐 ，而后 算自 量0 的函数 即可获取 C 点坐 ；（ 2）依据抛物 的几何 获取抛物m 1 与抛物 m 2 的二次 系数互 相反数，然后利用 点式写出抛物m 2 的分析式，再 算自 量 3 的函数 ；（ 3）先确立 A 点坐 ，再依据平移的性 获取四 形 AMKC 平行四 形，依据菱形的判断方法，当 CA=CK，四 形 AMKC 菱形，接着 算出 AC= ， CK= ，而后依据平移的方向不一样获取 K 点坐 ．2解答：解：（ 1）把（ 1，0），（ 1， 4），（ 2，3）分 代入得，y 1=a 1x +b 1x+c 1解得．所以抛物 m 1 的分析式 y 1= x 2+2x+3= （ x 1） 2+4， P （1， 4），当 x=0 ， y=3 ， C （ 0， 3）；（ 2）因 抛物 m 1 沿 x 翻折，获取抛物m 2，222所以 y 2 =（x1）4，当 x= 3 ， y 2=（ x+1 ） 4= （ 3 1） 4=12．（ 3）存在．当 y 1=0 ， x 2+2x+3=0 ，解得 x 1= 1，x 2=3， A （ 1， 0），B （ 0，3），∵ 抛物 m 1 沿水平方向平移，获取抛物 m 3 ， ∴CK ∥AM ，CK=AM ， ∴ 四 形 AMKC平行四 形，当 CA=CK ，四 形 AMKC 菱形，而 AC== ， CK= ，当抛物 m 1 沿水平方向向右平移个 位，此 K （， 3）；当抛物 m 1 沿水平方向向左平移个 位，此 K （ ， 3）．点 ：本 考 了二次函数的 合 ：熟 掌握二次函数的性 和菱形的判断；会利用待定系数法求二次函数分析式；会运用数形 合的数学思想方法解决 ．。
2020年山东省淄博市中考数学试卷及答案解析
2020年山东省淄博市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2B．﹣2C．D．02．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5B．5，4C．5，5D．5，64．（4分）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5 6．（4分）已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 8．（4分）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．9．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．6410．（4分）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2B．3πC．D．+211．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．4812．（4分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）计算：+＝．14．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．17．（4分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：19．（5分）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A →C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C 三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE ＝45°，求点P的坐标．2020年山东省淄博市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2B．﹣2C．D．0【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．（4分）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5B．5，4C．5，5D．5，6【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．4．（4分）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．5．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；故选：B．6．（4分）已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．7．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．8．（4分）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．9．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．64【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P（t，t），则PC＝t，∵S△P AE+S△P AB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，解得t＝6，∴P（6，6），把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．故选：A．10．（4分）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2B．3πC．D．+2【解答】解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，故选：C．11．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，故选：D．12．（4分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）计算：+＝2．【解答】解：+＝﹣2+4＝2．故答案为：214．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为1．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＜．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜，故答案为m＜．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝5cm．【解答】解：连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5．17．（4分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：【解答】解：，①+②，得：5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，所以原方程组的解为．19．（5分）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有200人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝25，话题D所在扇形的圆心角是36度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：25，36；（4）10000×30%＝3000（人），答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A →C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DP A（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C 三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE ＝45°，求点P的坐标．【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得，故点R的坐标为（1+，4）或（1，4）或（1，﹣4）或（1﹣，﹣4）；（3）作△PEQ的外接圆R，∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，过点R作RH⊥ME于点H，设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD×RQ+×ED•y R+×ME•RH，∴4×3＝×5×m+×4×m×3×m，解得m＝60﹣84，故点P（1，120﹣168）．。
2020年山东省淄博市中考数学试卷和答案
随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）： 4 ,
3, 4, 6, 5, 5, 6, 5, 4, 5. 则这组数据的中位数和众数分别是（
A. 4, 5
B. S, 4
C. 5, 5
D. 5, 6
4. (4分）如图， 在四边形ABCD 中， CD//AB, AC上BC, 若4仁50° , 则LIXA等于（
A 二B
A. 30°
B. 35°
5. (4分）下列运算正确的是（
C. 40°
D. 45°
A. a 2 +a 3 =a 5
B. a 2 矿=a s
C. a 3 +a 2 =a 5
D. (a千=a s
6. (4 分）已知sinA=0.9816 , 运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）， 按下的第一 个键是（
2020年山东省淄博市中考数学试卷及答案解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分． 在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求．
1. (4分）若实数a的相反数是—2, 则a等千（
A. 2
B. -2
c
1 -2
D. 0
2. (4分）下列图形中， 不是轴对称图形的是（
A.
B.
C. 3. (4分）李老师为了解学生家务劳动时间「青况，更好地弘扬 “ 热爱劳动 ”的民族传统美德，
B.
C.
D.
2020年山东省淄博市中考数学试卷解析版
．
1 求 y1，y2 对应的函数表达式； 2 求△AOB 的面积；
3 直接写出当 x＜0 时，不等式 ax+b＞ 的解集．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 44.0 分）
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19. 解方程组：
20. 已知：如图，E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点， 且 CE=BC．
∴AB=
=5，
∵△OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点 P， ∴PE=PC，PD=PC， ∴PE=PC=PD，
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设 P（t，t），则 PC=t， ∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB=S 矩形 PEOD， ∴ ×t×（t-4）+ ×5×t+ ×t×（t-3）+ ×3×4=t×t， 解得 t=6， ∴P（6，6）， 把 P（6，6）代入 y= 得 k=6×6=36． 故选：A． 过 P 分别作 AB、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 C、D、E，如图，利用勾股定理计算 出 AB=5，根据角平分线的性质得 PE=PC=PD，设 P（t，t），利用面积的和差得到 ×t×
6.【答案】D
【解析】解：∵已知 sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角 A 时（在开机状态下）的按键 顺序是：2ndF，sin，0， ∴按下的第一个键是 2ndF． 故选：D． 根据计算器求锐角的方法即可得结论． 本题考查了计算器-三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE．故 A，C，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B． 根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
2020年山东省淄博市中考数学试卷(含详细解析)
（2）求证：AB•AC＝2R•h；
（3）设∠BAC＝2α，求 的值（用含α的代数式表示）．
24．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+ （a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；
（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？
21．如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝ （k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝ ．
A．36B．48C．49D．64
10．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）
A．2π+2B．3πC． D． +2
11．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）
A． B． C． D．
7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
8．化简 的结果是（）
A．a+bB．a﹣bC． D．
9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（）
2020年山东省淄博市中考数学试卷
2020年山东省淄博市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若实数a 的相反数是2-，则a 等于( )A ．2B ．2-C ．12D ．02．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）:4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是( )A ．4，5B ．5，4C ．5，5D ．5，64．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//CD AB ，AC BC ⊥，若50B ∠=︒，则DCA ∠等于( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒5．（4分）下列运算正确的是( ) A ．235a a a += B ．235a a a = C ．325a a a ÷= D ．235()a a =6．（4分）已知sin 0.9816A =，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）如图，若ABC ADE ∆≅∆，则下列结论中一定成立的是( )A ．AC DE =B ．BAD CAE ∠=∠C ．AB AE =D ．ABC AED ∠=∠8．（4分）化简222a b ab a b b a++--的结果是( ) A ．a b + B ．a b - C ．2()a b a b +- D ．2()a b a b-+ 9．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点(0,0)O ，(0,4)A ，(3,0)B 为顶点的Rt AOB ∆，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为( )A ．36B ．48C ．49D ．6410．（4分）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径2OA =，45AOB ∠=︒，则点O 所经过的最短路径的长是( )A ．22π+B ．3πC ．52πD ．522π+ 11．（4分）如图1，点P 从ABC ∆的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则ABC ∆的面积是( )A ．12B ．24C ．36D ．4812．（4分）如图，在ABC ∆中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD BE ⊥，垂足为点F ，设BC a =，AC b =，AB c =，则下列关系式中成立的是( )A ．2225a b c +=B ．2224a b c +=C ．2223a b c +=D ．2222a b c +=二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）计算：3816-+= ．14．（4分）如图，将ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆处．若22EC BE ==，则CF 的长为 ．15．（4分）已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD ，6AB cm =，8BC cm =，E 为边CD 上一点．将BCE ∆沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM BE ⊥，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN = cm ．17．（4分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：1 38,21222x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩19．（5分）已知：如图，E是ABCD的边BC延长线上的一点，且CE BC=．求证：ABC DCE∆≅∆．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a=，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线1y ax b =+与双曲线2(0)k y k x=≠分别相交于第二、四象限内的(,4)A m ，(6,)B n 两点，与x 轴相交于C 点．已知3OC =，2tan 3ACO ∠=． （1）求1y ，2y 对应的函数表达式；（2）求AOB ∆的面积；（3）直接写出当0x <时，不等式k ax b x +>的解集．22．（8分）如图，著名旅游景区B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A C B →→方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合45A ∠=︒，30B ∠=︒，100BC =千米，2 1.4≈，3 1.7≈等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？23．（9分）如图，ABC ∆内接于O ，AD 平分BAC ∠交BC 边于点E ，交O 于点D ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，设O 的半径为R ，AF h =．（1）过点D 作直线//MN BC ，求证：MN 是O 的切线；（2）求证：2AB AC R h =；（3）设2BACα∠=，求AB ACAD+的值（用含α的代数式表示）．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过(2,0)A-，B，C三点的抛物线28 (0) 3y ax bx a=++<与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得ADR∆的面积是OABC的面积的34，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得45PQE∠=︒，求点P的坐标．2020年山东省淄博市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若实数a 的相反数是2-，则a 等于( )A ．2B ．2-C ．12D ．0【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a 的值．【解答】解：2的相反数是2-，2a ∴=．故选：A ．2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．3．（4分）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）:4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是( )A ．4，5B ．5，4C ．5，5D ．5，6【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C ．4．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//CD AB ，AC BC ⊥，若50B ∠=︒，则DCA ∠等于( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【分析】由AC BC ⊥可得90ACB ∠=︒，又50B ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余可得40CAB ∠=︒，再根据平行线的性质可得40DCA CAB ∠=∠=︒．【解答】解：AC BC ⊥，90ACB ∴∠=︒，又50B ∠=︒，9040CAB B ∴∠=︒-∠=︒，//CD AB ，40DCA CAB ∴∠=∠=︒．故选：C ．5．（4分）下列运算正确的是( )A ．235a a a +=B ．235a a a =C ．325a a a ÷=D ．235()a a =【分析】A ．根据合并同类项的定义即可判断；B ．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；C ．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；D ．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．【解答】解：A ．235a a a +≠，所以A 选项错误；B ．235a a a =，所以B 选项正确；C ．32a a a ÷=，所以C 选项错误；D ．236()a a =，所以D 选项错误；故选：B ．6．（4分）已知sin 0.9816A =，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．【解答】解：已知sin 0.9816A =，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF ，sin ，0，∴按下的第一个键是2ndF ．故选：D ．7．（4分）如图，若ABC ADE ∆≅∆，则下列结论中一定成立的是( )A ．AC DE =B ．BAD CAE ∠=∠C ．AB AE =D ．ABC AED ∠=∠【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：ABC ADE ∆≅∆，AC AE ∴=，AB AD =，ABC ADE ∠=∠，BAC DAE ∠=∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．8．（4分）化简222a b ab a b b a++--的结果是( ) A ．a b + B ．a b - C ．2()a b a b +- D ．2()a b a b-+ 【分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【解答】解：原式222a b ab a b a b+=--- 222a b ab a b+-=-2()a b a b-=- a b =-．故选：B ．9．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点(0,0)O ，(0,4)A ，(3,0)B 为顶点的Rt AOB ∆，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为( )A ．36B ．48C ．49D ．64【分析】过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，利用勾股定理计算出5AB =，根据角平分线的性质得PE PC PD ==，设(,)P t t ，利用面积的和差得到1111(4)5(3)342222t t t t t t t ⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯=⨯，求出t 得到P 点坐标，然后把P 点坐标代入k y x=中求出k 的值． 【解答】解：过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图， (0,4)A ，(3,0)B ，4OA ∴=，3OB =，22345AB ∴=+， OAB ∆的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，PE PC ∴=，PD PC =，PE PC PD ∴==，设(,)P t t ，则PC t =，PAE PAB PBD OAB PEOD S S S S S ∆∆∆∆+++=矩形，∴1111(4)5(3)342222t t t t t t t ⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯=⨯，解得6t =，(6,6)P ∴，把(6,6)P 代入k y x =得6636k =⨯=． 故选：A ．10．（4分）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径2OA =，45AOB ∠=︒，则点O 所经过的最短路径的长是( )A ．22π+B ．3πC ．52πD ．522π+ 【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，点O 的运动路径的长1OO =的长1223O O O O ++的长902452902180180180πππ=++ 52π=， 故选：C ．11．（4分）如图1，点P 从ABC ∆的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则ABC ∆的面积是( )A ．12B ．24C ．36D ．48【分析】由图2知，10AB BC ==，当BP AC ⊥时，y 的值最小，即ABC ∆中，BC 边上的高为8（即此时8)BP =，即可求解．【解答】解：由图2知，10AB BC ==，当BP AC ⊥时，y 的值最小，即ABC ∆中，BC 边上的高为8（即此时8)BP =，当8y =时，22221086PC BC BP =-=-=，ABC ∆的面积118124822AC BP =⨯⨯=⨯⨯=， 故选：D ．12．（4分）如图，在ABC ∆中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD BE ⊥，垂足为点F ，设BC a =，AC b =，AB c =，则下列关系式中成立的是( )A ．2225a b c +=B ．2224a b c +=C ．2223a b c +=D ．2222a b c +=【分析】设EF x =，DF y =，根据三角形重心的性质得2AF y =，22BF EF x ==，利用勾股定理得到22244x y c +=，222144x y b +=，222144x y a +=，然后利用加减消元法消去x 、y 得到a 、b 、c 的关系．【解答】解：设EF x =，DF y =，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为ABC ∆的重心，1122AF AC b ==，12BD a =， 22AF DF y ∴==，22BF EF x ==，AD BE ⊥，90AFB AFE BFD ∴∠=∠=∠=︒，在Rt AFB ∆中，22244x y c +=，①在Rt AEF ∆中，222144x y b +=，② 在Rt BFD ∆中，222144x y a +=，③ ②+③得2222155()4x y a b +=+， 2222144()5x y a b ∴+=+，④ ①-④得2221()05c a b -+=， 即2225a b c +=．故选：A ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）计算：3816-+= 2 ．【分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．【解答】解：3816242-+=-+=．故答案为：214．（4分）如图，将ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆处．若22EC BE ==，则CF 的长为 1 ．【分析】利用平移的性质得到BE CF =，然后利用22EC BE ==得到BE 的长，从而得到CF 的长．【解答】解：ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆处．BE CF ∴=，22EC BE ==，1BE ∴=，1CF ∴=．故答案为1．15．（4分）已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 18m < ． 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△240b ac =->，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【解答】解：方程有两个不相等的实数根，1a =，1b =-，2c m =∴△224(1)4120b ac m =-=--⨯⨯>，解得18m <， 故答案为18m <． 16．（4分）如图，矩形纸片ABCD ，6AB cm =，8BC cm =，E 为边CD 上一点．将BCE ∆沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM BE ⊥，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN = 5 cm ．【分析】连接AC ，FC ，求出AC ，利用三角形的中位线定理解决问题即可．【解答】解：连接AC ，FC ．由翻折的性质可知，BE 垂直平分线段CF ，FM BE ∴⊥，F ∴．M ，C 共线，FM MC =，AN FN =，12MN AC ∴=， 四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，10()AC cm ∴==，15()2MN AC cm ∴==， 故答案为5．17．（4分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 210 个．【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的(1)x -个服务驿站发给该站的货包共(1)x -个，还要装上下面行程中要停靠的()n x -个服务驿站的货包共()n x -个．根据题意，完成下表：由上表可得()y x n x =-．当29n =时，22(29)29(14.5)210.25y x x x x x =-=-+=--+，当14x =或15时，y 取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：138,21222x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 【分析】利用加减消元法解答即可．【解答】解：13821222x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②， ①+②，得：510x =，解得2x =，把2x =代入①，得：1682y +=， 解得4y =，所以原方程组的解为24x y =⎧⎨=⎩． 19．（5分）已知：如图，E 是ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE BC =．求证：ABC DCE ∆≅∆．【分析】由平行四边形的性质得出//AB CD ，AB CD =，由平行线的性质得出B DCE ∠=∠，由SAS 即可得出结论．【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，AB CD =，B DCE ∴∠=∠，在ABC∆和DCE∆中，AB DCB DCE BC CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABC DCE SAS∴∆≅∆．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有200人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a=，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？【分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．【解答】解：（1）调查的居民共有：6030%200÷=（人)，故答案为：200；（2）选择C的居民有：20015%30⨯=（人)，选择A的有：2006030204050----=（人)，补全的条形统计图如右图所示；（3）%50200100%25%a =÷⨯=，话题D 所在扇形的圆心角是：2036036200︒⨯=︒， 故答案为：25，36； （4）1000030%3000⨯=（人)，答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线1y ax b =+与双曲线2(0)k y k x=≠分别相交于第二、四象限内的(,4)A m ，(6,)B n 两点，与x 轴相交于C 点．已知3OC =，2tan 3ACO ∠=． （1）求1y ，2y 对应的函数表达式；（2）求AOB ∆的面积；（3）直接写出当0x <时，不等式k ax b x +>的解集．【分析】（1）根据3OC =，2tan 3ACO ∠=，可求直线与y 轴的交点坐标，进而求出点A 、B 的坐标，确定两个函数的关系式；（2）由AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+，进行计算即可；（3）由函数的图象直接可以得出，当0x <时，不等式k ax b x+>的解集． 【解答】解：（1）设直线1y ax b =+与y 轴交于点D ，在Rt OCD ∆中，3OC =，2tan 3ACO ∠=． 2OD ∴=， 即点(0,2)D ，把点(0,2)D ，(0,3)C 代入直线1y ax b =+得，2b =，30a b +=，解得，23a =-， ∴直线的关系式为1223y x =-+； 把(,4)A m ，(6,)B n 代入1223y x =-+得， 3m =-，2n =-，(3,4)A ∴-，(6,2)B -，3412k ∴=-⨯=-，∴反比例函数的关系式为212y x=-， 因此1223y x =-+，212y x=-； （2）由AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+，11343222=⨯⨯+⨯⨯， 9=．（3）由图象可知，当0x <时，不等式k ax b x+>的解集为3x <-．22．（8分）如图，著名旅游景区B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A C B →→方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合45A ∠=︒，30B ∠=︒，100BC =千米，2 1.4≈，3 1.7≈等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【分析】（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角BCD ∆中，解直角三角形求出CD 的长度和BD 的长度，在直角ACD ∆中，解直角三角形求出AD 的长度和AC 的长度，再求出AB 的长度，进而求出从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间-实际的工作时间50=，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【解答】解：（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角BCD ∆中，AB CD ⊥，sin30CD BC ︒=，1000BC =千米， 1sin30100502CD BC ∴=︒=⨯=（千米）， 3cos30100503BD BC =︒==（千米）， 在直角ACD ∆中，50AD CD ==（千米），502sin 45CD AC ==︒， 50503AB ∴=+（千米），∴从A 地到景区B 旅游可以少走：502100(503)502335AC BC AB +-=-+=+≈（千米）．答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x 千米，依题意有，353550(125%)x x-=+， 解得0.14x =，经检验0.14x =是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．23．（9分）如图，ABC ∆内接于O ，AD 平分BAC ∠交BC 边于点E ，交O 于点D ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，设O 的半径为R ，AF h =．（1）过点D 作直线//MN BC ，求证：MN 是O 的切线；（2）求证：2AB AC R h =；（3）设2BAC α∠=，求AB AC AD +的值（用含α的代数式表示）．【分析】（1）连接OD ，由角平分线的性质可得BAD CAD ∠=∠，可得BD CD =，由垂径定理可得OD BC ⊥，可证OD MN ⊥，可得结论；（2）连接AO 并延长交O 于H ，通过证明ACF AHB ∆∆∽，可得AC AF AH AB=，可得结论； （3）由“HL ”可证Rt DQB Rt DPC ∆≅∆，Rt DQA Rt DPA ∆≅∆，可得BQ CP =，AQ AP =，可得2AB AC AQ +=，由锐角三角函数可得cos AQ AD α=，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，连接OD ，AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，又OD是半径，OD BC∴⊥，//MN BC，OD MN∴⊥，又OD是半径，MN∴是O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交O于H，AH是直径，90ABH AFC∴∠=︒=∠，又AHB ACF∠=∠，ACF AHB∴∆∆∽，∴AC AFAH AB=，2 AB AC AF AH R h∴==；（3）如图3，过点D作DQ AB⊥于Q，DP AC⊥，交AC延长线于P，连接CD，2BACα∠=，AD平分BAC∠，BAD CADα∴∠=∠=，BD CD ∴=，BAD CAD ∠=∠，DQ AB ⊥，DP AC ⊥，DQ DP ∴=，Rt DQB Rt DPC(HL)∴∆≅∆，BQ CP ∴=，DQ DP =，AD AD =，Rt DQA Rt DPA(HL)∴∆≅∆，AQ AP ∴=，2AB AC AQ BQ AC AQ ∴+=++=，cos AQ BAD AD ∠=， cos AQ AD α∴=， ∴22cos cos AB AC AQ AQ ADαα+==． 24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过(2,0)A -，B ，C 三点的抛物线28(0)3y ax bx a =++<与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R 是抛物线上的点，使得ADR ∆的面积是OABC 的面积的34，求点R 的坐标； （3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得45PQE ∠=︒，求点P 的坐标．【分析】（1）2OA BC ==，故函数的对称轴为1x =，则12b x a=-=①，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：80423a b =-+②，联立①②即可求解； （2）ADR ∆的面积是OABC 的面积的34，则13||24R AD y OA OB ⨯⨯=⨯⨯，则1386||2243R y ⨯⨯=⨯⨯，即可求解； （3）45PQE ∠=︒，故90PRE ∠=︒，则PRE ∆为等腰直角三角形，当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ MD ⊥，即可求解．【解答】解：（1）2OA BC ==，故函数的对称轴为1x =，则12b x a=-=①， 将点A 的坐标代入抛物线表达式得：80423a b =-+②， 联立①②并解得1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为：2128333y x x =-++③；（2）由抛物线的表达式得，点(1,3)M 、点(4,0)D ；ADR ∆的面积是OABC 的面积的34， ∴13||24R AD y OA OB ⨯⨯=⨯⨯，则1386||2243R y ⨯⨯=⨯⨯，解得：43R y =±④， 联立④③并解得1131544x x y y ⎧⎧=±=±⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩， 故点R 的坐标为(113+4)或(1134)或(15+4)-或(15-4)-；（3）作PEQ ∆的外接圆R ，45PQE ∠=︒，故90PRE ∠=︒，则PRE ∆为等腰直角三角形， 当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ MD ⊥， 点M 、D 的坐标分别为(1,4)、(4,0)， 则4ME =，413ED =-=，则5MD =， 过点R 作RH ME ⊥于点H ，设点(1,2)P m ，则PH HE HR m ===， 则圆R 2m ，则点(1,)R m m +， MED MRD MRE DRE S S S S ∆∆∆∆=++， 即11112222R EM ED MD RQ ED y ME RH ⨯=⨯⨯+⨯+⨯， ∴11114352432222m m m ⨯⨯=⨯+⨯⨯+⨯⨯，解得60284m =， 故点(1P ，1202168)．。
2020年山东省淄博中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年山东省淄博市初中学业水平考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器。
4.保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。
5.评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效。
选择题共48分一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数a的相反数是2-，则a等于（）A.2B.2-C.12D.02.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A B C D3.李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5.则这组数据的中位数和众数分别是（）A.4，5B.5，4C.5，5D.5，64.如图，在四边形ABCD中，CD AB∥，AC BC⊥，若50B∠=︒，则DCA∠等于（）A.30︒B.35︒C.40︒D.45︒5.下列运算正确的是（）A.235a a a+=B.235a a a=C.325a a a÷=D.()325a a=6.已知sin0.9816A=，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A B C D7.如图，若ABC ADE△≌△，则下列结论中一定成立的是（）A.AC DE=B.BAD CAE∠=∠C.AB AE=D.ABC AED∠=∠8.化简222a b aba b b a++--的结果是（）A.a b+B.a b-C.()2a ba b+-D.()2a ba b-+9.如图，在直角坐标系中，以坐标原点()0,0O，()0,4A，()3,0B为顶点的Rt AOB△，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数kyx=的图象上，则k的值为（）A.36B.48C.49D.64毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第1页（共22页）数学试卷第2页（共22页）数学试卷 第3页（共22页） 数学试卷 第4页（共22页）10.如图，放置在直线l 上的扇形OAB .由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③。
(中考数学)山东省淄博市中考数学试卷解析版
淄博市2020年初中学业水平考试数学试题本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（A）2（B）﹣2（C）12（D）02．下列图形中，不是轴对称图形的是（A）（B）（C）（D）3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（A）4，5（B）5，4（C）5，5（D）5，64．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（A ）30° （B ）35° （C ）40° （D ）45°5．下列运算正确的是（A ）a 2+a 3＝a 5 （B ）a 2•a 3＝a 5 （C ）a 3÷a 2＝a 5（D ）（a 2）3＝a 56．已知sin A ＝0.9816，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是（A ）（B ）（C ）（D ）7．如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（A ）AC ＝DE （B ）∠BAD ＝∠CAE （C ）AB ＝AE （D ）∠ABC ＝∠AED8．化简+的结果是 （A ）a +b（B ）a ﹣b（C ）（D ）9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O （0，0），A （0，4），B （3，0）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数y ＝的图象上，则k 的值为 （A ）36（B ）48 （C ）49（D ）6410．如图，放置在直线l上的扇形OA（B）由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（A）2π+2（B）3π（C）（D）+211．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（A）12（B）24（C）36（D）4812．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD ⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（A）a2+b2＝5c2（B）a2+b2＝4c2（C）a2+b2＝3c2（D）a2+b2＝2c2二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
2020年山东省淄博市中考数学试卷解析版
2020年山东省淄博市中考数学试卷解析版一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2B．﹣2C．D．0【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．3．（4分）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5B．5，4C．5，5D．5，6【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．4．（4分）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．5．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；故选：B．6．（4分）已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．7．（4分）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．8．（4分）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．9．（4分）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36B．48C．49D．64【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P（t，t），则PC＝t，∵S△P AE+S△P AB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，解得t＝6，∴P（6，6），把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．故选：A．10．（4分）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2B．3πC．D．+2【解答】解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，故选：C．11．（4分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，故选：D．12．（4分）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）计算：+＝2．【解答】解：+＝﹣2+4＝2．故答案为：214．（4分）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为1．【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＜．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜，故答案为m＜．16．（4分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝5cm．【解答】解：连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∴FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5．17．（4分）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：【解答】解：，①+②，得：5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，所以原方程组的解为．19．（5分）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有200人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝25，话题D所在扇形的圆心角是36度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：25，36；（4）10000×30%＝3000（人），答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．【解答】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×3×4+×3×2，＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A →C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【解答】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝0.14，经检验x＝0.14是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DP A（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C 三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE ＝45°，求点P的坐标．【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得，故点R的坐标为（1+，4）或（1，4）或（1，﹣4）或（1﹣，﹣4）；（3）作△PEQ的外接圆R，∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，过点R作RH⊥ME于点H，设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD×RQ+×ED•y R+×ME•RH，∴4×3＝×5×m+×4×m×3×m，解得m＝60﹣84，故点P（1，120﹣168）．。
山东省淄博市2020届中考数学试卷
山东省淄博市2020届数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1.若实数a 的相反数是2-,则a 等于( ) A.2B.2-C.12D.02.下列图形中，不是轴对称图形的是( )A. B.C. D.3.李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）:4346556545，，，，，，，，，．则这组数据的中位数和众数分别是( ) A ．45，B ．54，C ．55，D ．56，4.如图，在四边形ABCD 中，//CD AB ，AC BC ⊥，若50B ∠=︒，则DCA ∠等于( )A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒5.下列运算正确的是( ) A.235a a a +=B.235a a a ⋅=C.325a a a ÷=D.()325a a =6.已知sin =0.9816A ，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是( ) A.B.C.D.7.如图，若ABC ADE ≅△△，则下列结论中一定成立的是( )A ．AC DE =B ．BAD CAE ∠=∠C ．AB AE =D ．ABC AED ∠=∠8.化简222a b ab a b b a++--的结果是( ) A ．a b + B ．a b -C ．()2a b a b+-D ．()2a b a b-+9.如图，在直角坐标系中，以坐标原点()()()0,00,43,0O A B ，，为顶点的Rt AOB △，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为( )A ．36B ．48C ．49D ．6410.如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径2,45OA AOB =∠=︒，则点O 所经过的最短路径的长是( )A. 2π2+B ．3πC ．5π2D.5π22+ 11.如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则ABC △的面积是( )A ．12B ．24C ．36D ．4812.如图，在ABC △中，AD BE ，分别是BC AC ，边上的中线，且AD BE ⊥，垂足为点F ，设BC a AC b AB c===，，，则下列关系式中成立的是( )A ．2225a b c +=B ．2224a b c +=C ．2223a b c +=D ．2222a b c +=二、填空题 13.计算：816-=______________.14.如图，将ABC △沿BC 方向平移至DEF △处．若22EC BE ==，则CF 的长为____________．15.已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____________．16.如图，矩形纸片ABCD ，6cm 8cm AB BC ==，，E 为边CD 上一点．将BCE △沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM BE ⊥，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =________cm ．17.某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____________个．三、解答题13.解方程组：13821222x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩14.已知：如图，E 是ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE BC =. 求证：ABC DCE ≅△△15.某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题:“A.5G 通讯;B.民法典;C.北斗导航;D.数字经济;E.小康社会”,对某小区居民进行了随机抽样调查,每人只能从中选择一个本人最关注的话题,根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图. 请结合统计图中的信息,解决下列问题:(1)数学实践小组在这次活动中,调查的居民共有_________人; (2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整;(3)最关注话题扇形统计图中的a=_________,话题D 所在扇形的圆心角是_________度;(4)假设这个小区居民共有10000人,请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少?16.如图，在直角坐标系中，直线1y ax b =+与双曲线()20ky k x=≠分别相交于第二、四象限内的()(),46,A m B n ，两点，与x 轴相交于C 点．已知23tan 3OC ACO =∠=，．（1）求12,y y 对应的函数表达式； （2）求AOB △的面积；（3）直接写出当0x <时，不等式kax b x+>的解集． 17.如图，著名旅游景区B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A C B →→方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合4530A B ∠=︒∠=︒，,100BC = 1.4≈ 1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？ 18.如图，ABC △内接于O ，AD 平分BAC ∠交BC 边于点E ，交O 于点D ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，设O 的半径为R ，AF h =．（1）过点D 作直线//MN BC ，求证：MN 是O 的切线；（2）求证：2AB AC R h ⋅=⋅； （3）设2BAC α∠=,求AB ACAD+的值（用含α的代数式表示）19.如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过()2,0A -，B C ，三点的抛物线()2803y ax bx a =++<与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R 是抛物线上的点，使得ADR △的面积是OABC 的面积的34，求点R 的坐标； （3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得45PQE ∠=︒，求点P 的坐标．参考答案1.答案：A解析：∵2的相反数是2-，∴2a =-． 故选：A 2.答案：D解析：A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D ． 3.答案：C解析：这组数据4346556545，，，，，，，，，中，出现次数最多的是5，因此众数是5， 将这组数据从小到大排列后，处在第56、位的两个数都是5，因此中位数是5． 故选：C ． 4.答案：C解析：∵ AC BC ⊥, ∴90ACB ∠=︒， 又∵50B ∠=︒∴9040CAB B ∠=︒-∠=︒，∵ //CD AB∴40DCA CAB ∠=∠=︒． 故选：C ． 5.答案：B解析：A ．235a a a +≠，所以A 选项错误； B ．235a a a ⋅=，所以B 选项正确； C ．32a a a ÷=，所以C 选项错误； D ．()326a a =，所以D 选项错误； 故选：B ．6.答案：D解析：∵已知sin =0.9816A ，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下）的按键顺序是：2sin 0ndF ，，，∴按下的第一个键是2ndF ． 故选：D ．7.答案：B解析：∵ABC ADE ≅△△，∴AC AE =，AB AD =，ABC ADE ∠=∠，BAC DAE ∠=∠， ∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠， 即BAD CAE ∠=∠．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B ．8.答案：B解析：原式222a b aba b a b +=--- 222a b ab a b +-=- ()2a b a b-=-a b =-故选：B ． 9.答案：A解析：过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C D E 、、，如图，()()()0,00,43,0O A B ，，， ∴ 43OA OB ==，，∴5AB =，∵AOB △的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P , ∴,PE PC PD PC ==, ∴PE PC PD == 设(),P t t ，则PC t =，∵PAE PAB PBD OAB PEOD S S S S S +++=△△△△矩形∴()()1114533422122t t t t t t t ⨯-+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯=⨯， 解得6t =， ∴()6,6P 把()6,6P 代入ky x=得6636k =⨯=． 故选：A10.答案：C解析：如图，点O 的运动路径的长1OO =的长1223O O O O ++的长 90π245π290π2180180180⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++5π2=， 故选：C ． 11.答案：D解析：由图2知，10AB BC ==， 当BP AC ⊥时，y 的值最小，即ABC △中，BC 边上的高为8（即此时8BP =)， 当8y =时，22221086PC BC BP =-=-=， ABC △的面积118124822AC BP ⨯⨯=⨯⨯=，故选：D ． 12.答案：A解析：设EF x DF y ==，，∵AD BE ，分别是BC AC ，边上的中线， ∴点F 为ABC △的重心，1122AF AC b ==，12BD a =， ∴2222AF DF y BF EF x ====，， ∵AD BE ⊥，∴90AFB AFE BFD ∠=∠=∠=︒， 在Rt AFB △中，22244x y c +=，① 在Rt AEF △中，222144x y b +=，②在Rt BFD △中，222144x y a +=，③②+③得()22221554x y a b +=+，∴()22221445x y a b +=+④ ①-④得()222105c a b -+=， 即2225a b c +=． 故选：A ． 13.答案：2 解析：3816242-+=-+=． 故答案为：214.答案：1解析：∵ABC △沿BC 方向平移至DEF △处． ∴BE CF =， ∵22EC BE ==，∴1BE =， ∴1CF =． 故答案为1． 15.答案：18m <解析：方程有两个不相等的实数根，1,1,2a b c m ==-=,∴()22414120b ac m ∆=-=--⨯⨯>, 解得18m <，故答案为18m <．16.答案：5解析：连接AC FC ，．由翻折的性质可知，BE 垂直平分线段CF ， ∴ FM BE ⊥，∴F M C 、、共线，=FM MC ， ∵=AN FN ， ∴12MN AC =∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ABC ∠=︒，∴()10cm AC ==，∴()15cm 2MN AC ==, 故答案为5．17.答案：210解析：当一辆快递货车停靠在第x 个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的()1x -个服务驿站发给该站的货包共()1x -个， 还要装上下面行程中要停靠的()n x -个服务驿站的货包共()n x -个．根据题意，完成下表：当29n =时，()()22292914.5210.25y x x x x x =-=-+=--+，当14x =或15时，y 取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．18.答案：13821222x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②, ①+②，得：510x =，解得2x =，把2x =代入①，得：1682y +=， 解得4y =，所以原方程组的解为24x y =⎧⎨=⎩． 解析：19.答案：证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，∴B DCE∠=∠ 在ABC △和DCE △中，AB DC B DCE BC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC DCE SAS ≅△△解析：20.答案：（1）调查的居民共有：6030%200÷=（人)， 故答案为：200；（2）选择C 的居民有：20015%30⨯=（人)，选择A 的有：2006030204050----=（人)，补全的条形统计图如下图所示；（3）%50200100%25%a =÷⨯=，话题D 所在扇形的圆心角是：2036036200︒⨯=︒， 故答案为：25，36（4）1000030%3000⨯=（人)，答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．解析：21.答案：（1）设直线1y ax b =+与y 轴交于点D ，在Rt OCD △中，23tan 3OC ACO =∠=，， ∴2OD =即点()0,2D ， 把点()()0,20,3D C ，代入直线1y ax b =+得，230b a b =+=，，解得23a =-， ∴直线的关系式为1223y x =-+； 把()(),46,A m B n ，代入1223y x =-+得， 32m n =-=-，，∴()()3,46,2A B --，，∴3412k =-⨯=-， 反比例函数的关系式为212y x=-， 因此2122,312y y x x=-=-+； （2）由AOB AOC BOC S S S =+△△△，11343222=⨯⨯+⨯⨯ 9=．（3）由图象可知，当0x <时，不等式k ax b x+>的解集为3x <-．解析：22.答案：（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角BCD △中，AB CD ⊥，sin30CD BC ︒=，100BC =千米， ∴1sin30100502CD BC =⋅︒=⨯=（千米），cos30100BD BC =︒==（千米），在直角ACD △中，50AD CD ==（千米）， 502sin 45CD AC ==︒（千米）， ∴50503AB =+（千米），从A 地到景区B 旅游可以少走：()502100505035050250335AC BC AB +-=+-+=+-≈（千米）．答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x 千米，依题意有，()353550125%x x -=+， 解得0.14x =，经检验0.14x =是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．解析：23.答案：（1）如图1，连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴=BAD CAD ∠∠，∴=BD CD ，又∵OD 是半径，∵//MN BC ，∴OD MN ⊥，又∵OD 是半径，∴MN 是O 的切线；（2）如图2，连接AO 并延长交O 于H ，∴AH 是直径，∴=90=ABH AFC ∠︒∠，又∵=AHB ACF ∠∠，∴ACF AHB △∽△， ∴AC AF AH AB =， ∴2AB AC AF AH R h ⋅=⋅=⋅；（3）如图3，过点D 作DQ AB ⊥于Q ，DP AC ⊥，交AC 延长线于P ，连接CD ，∵2BAC α∠=,AD 平分BAC ∠∴==BAD CAD α∠∠∴BD CD =，∵=BAD CAD ∠∠，DQ AB ⊥，DP AC ⊥，∴()Rt DQB Rt DPC HL ≅△△，∴BQ CP =，∵DQ DP AD AD ==，，∴()Rt DQA Rt DPA HL ≅△△，∴AQ AP =，∴2AB AC AQ BQ AC AQ +=++=， ∵cos AQ BAD AD ∠=, ∴cos AQ AD α=， ∴22cos cos AB AC AQ AQ AD αα+==解析：24.答案：（1）2OA BC ==，故函数的对称轴为1x =，则12b x a=-=①， 将点A 的坐标代入抛物线表达式得：80423a b =-+②， 联立①②并解得1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故抛物线的表达式为：2128333y x x =-++③； （2）由抛物线的表达式得，点()1,3M 、点()4,0D ；∵ADR △的面积是OABC 的面积的34， ∴1324R AD y OA OB ⨯⨯=⨯⨯，则36223481R y ⨯⨯=⨯⨯，解得：43R y =±④， 联立④③,并解得1134x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩154x y ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩故点R 的坐标为()113,4+或()113,4或()15,4-或()15,4-； （3）作PEQ △的外接圆R ，∵45PQE ∠=︒，故90PRE ∠=︒，则PRE △为等腰直角三角形， 当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ MD ⊥，点M D 、的坐标分别为()()1,44,0、， 则4413ME ED ==-=，，则5MD =， 过点R 作RH ME ⊥于点H ，设点()1,2P m ，则PH HE HR m ===， 则圆R 的半径为2m ，则点()1,R m m +，∴MED MRD MRE DRE S S S S =++△△△△，即11112222R EM ED MD RQ ED y ME RH ⨯⋅=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ∴11114352432222m m m ⨯⨯=⨯+⨯⨯+⨯⨯ ，解得60284m =， 故点11208(26)1P ，． 解析：。
2020年山东省淄博市中考数学试卷-解析版
2020年山东省淄博市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.若实数a的相反数是−2，则a等于()A. 2B. −2C. 12D. 02.下列图形中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据(单位：小时)：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5.则这组数据的中位数和众数分别是()A. 4，5B. 5，4C. 5，5D. 5，64.如图，在四边形ABCD中，CD//AB，AC⊥BC，若∠B=50°，则∠DCA等于()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°5.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a5C. a3÷a2=a5D. (a2)3=a56.已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)，按下的第一个键是()A. B. C. D.7.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是()A. AC=DEB. ∠BAD=∠CAEC. AB=AED. ∠ABC=∠AED8.化简a2+b2a−b +2abb−a的结果是()A. a+bB. a−bC. (a+b)2a−b D. (a−b)2a+b9.如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0)，A(0,4)，B(3,0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A. 36B. 48C. 49D. 6410.如图，放置在直线l上的扇形OAB.由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=2，∠AOB=45°，则点O所经过的最短路径的长是()A. 2π+2B. 3πC. 5π2D. 5π2+211.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是()A. 12B. 24C. 36D. 4812.如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是()A. a2+b2=5c2B. a2+b2=4c2C. a2+b2=3c2D. a2+b2=2c2二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13.计算：√−83+√16=______．14.如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC=2BE=2，则CF的长为______．15. 已知关于x 的一元二次方程x 2−x +2m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．16. 如图，矩形纸片ABCD ，AB =6cm ，BC =8cm ，E 为边CD 上一点．将△BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM ⊥BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =______cm ． 17. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站(包括甲站、乙站)，一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是______个．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）18. 如图，在直角坐标系中，直线y 1=ax +b 与双曲线y 2=kx (k ≠0)分别相交于第二、四象限内的A(m,4)，B(6,n)两点，与x 轴相交于C 点．已知OC =3，tan∠ACO =23． (1)求y 1，y 2对应的函数表达式；(2)求△AOB 的面积；(3)直接写出当x <0时，不等式ax +b >kx 的解集．四、解答题（本大题共6小题，共44.0分） 19. 解方程组：{3x +12y =8,2x −12y =2．20.已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=BC．求证：△ABC≌△DCE．21.某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航；D.数字经济；E.小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：(1)数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有______人；(2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整；(3)最关注话题扇形统计图中的a=______，话题D所在扇形的圆心角是______度；(4)假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？22.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A=45°，∠B=30°，BC=100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？23.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A(1)过点D作直线MN//BC，求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：AB⋅AC=2R⋅ℎ；(3)设∠BAC=2α，求AB+AC的值(用含α的代数式表示)．AD24.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(−2,0)，B，C三点的(a<0)与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与抛物线y=ax2+bx+83x轴交于点E．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的3，求点R的坐标；4(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE=45°，求点P的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵2的相反数是−2，∴a=2．故选：A．根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．2.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】C【解析】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵∠B=50°，∴∠CAB=90°−∠B=40°，∵CD//AB，∴∠DCA=∠CAB=40°．故选：C．由AC⊥BC可得∠ACB=90°，又∠B=50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB= 40°，再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°．本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．5.【答案】B【解析】解：A.a2+a3≠a5，所以A选项错误；B.a2⋅a3=a5，所以B选项正确；C.a3÷a2=a，所以C选项错误；D.(a2)3=a6，所以D选项错误；故选：B．A.根据合并同类项的定义即可判断；B.根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；C.根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；D.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是综合掌握以上知识．6.【答案】D【解析】解：∵已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．根据计算器求锐角的方法即可得结论．本题考查了计算器−三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．7.【答案】B【解析】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE.故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：原式=a2+b2a−b −2aba−b=a2+b2−2aba−b=(a−b)2a−b=a−b．故选：B．根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．9.【答案】A【解析】解：过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图， ∵A(0,4)，B(3,0)， ∴OA =4，OB =3， ∴AB =√32+42=5，∵△OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ， ∴PE =PC ，PD =PC ， ∴PE =PC =PD ， 设P(t,t)，则PC =t ，∵S △PAE +S △PAB +S △PBD +S △OAB =S 矩形PEOD ，∴12×t ×(t −4)+12×5×t +12×t ×(t −3)+12×3×4=t ×t ，解得t =6， ∴P(6,6)，把P(6,6)代入y =kx 得k =6×6=36．故选：A ．过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，利用勾股定理计算出AB =5，根据角平分线的性质得PE =PC =PD ，设P(t,t)，利用面积的和差得到12×t ×(t −4)+12×5×t +12×t ×(t −3)+12×3×4=t ×t ，求出t 得到P 点坐标，然后把P 点坐标代入y =kx 中求出k 的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．10.【答案】C【解析】解：如图，点O 的运动路径的长=OO ⏜1的长+O 1O 2+O 2O 3⏜ 的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180=5π2，故选：C ．利用弧长公式计算即可． 本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】D【解析】解：由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，当y=8时，PC=2−BP2=√102−82=6，△ABC的面积=12×AC×BP=12×8×12=48，故选：D．由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8(即此时BP=8)，即可求解．本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．12.【答案】A【解析】解：设EF=x，DF=y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF=12AC=12b，BD=12a，∴AF=2DF=2y，BF=2EF=2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=∠BFD=90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2=c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2=14b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2=14a2，③②+③得5x2+5y2=14(a2+b2)，∴4x2+4y2=15(a2+b2)，④①−④得c2−15(a2+b2)=0，即a2+b2=5c2．故选：A．设EF=x，DF=y，根据三角形重心的性质得AF=2y，BF=2EF=2x，利用勾股定理得到4x2+4y2=c2，4x2+y2=14b2，x2+4y2=14a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了勾股定理．13.【答案】2【解析】解：√−83+√16=−2+4=2．故答案为：2分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．14.【答案】1【解析】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE=CF，∵EC=2BE=2，∴BE=1，∴CF=1．故答案为1．利用平移的性质得到BE=CF，然后利用EC=2BE=2得到BE的长，从而得到CF的长．本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．15.【答案】m<18【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−1，c=2m∴△=b2−4ac=(−1)2−4×1×2m>0，解得m<1，8．故答案为m<18若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．16.【答案】5【解析】解：连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∴FM⊥BE，∴F.M，C共线，FM=MC，∵AN=FN，∴MN=1AC，2∵四边形ABCD是矩形，∴MN=1AC=5(cm)，2故答案为5．连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】210【解析】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的(x−1)个服务驿站发给该站的货包共(x−1)个，还要装上下面行程中要停靠的(n−x)个服务驿站的货包共(n−x)个．服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n−12(n−1)−1+(n−2)=2(n−2)32(n−2)−2+(n−3)=3(n−3)43(n−3)−3+(n−4)=4(n−4)54(n−4)−4+(n−5)=5(n−5)……n0由上表可得y=x(n−x)．当n=29时，y=x(29−x)=−x2+29x=−(x−14.5)2+210.25，当x=14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的时取得．最值在x=−b2a18.【答案】解：(1)设直线y1=ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC=3，tan∠ACO=2．3∴OD=2，即点D(0,2)，把点D(0,2)，C(0,3)代入直线y1=ax+b得，b=2，3a+b=0，解得，a=−2，3x+2；∴直线的关系式为y1=−23x+2得，把A(m,4)，B(6,n)代入y1=−23m=−3，n=−2，∴A(−3,4)，B(6,−2)，∴k =−3×4=−12，∴反比例函数的关系式为y 2=−12x ，因此y 1=−23x +2，y 2=−12x ；(2)由S △AOB =S △AOC +S △BOC ，=12×3×4+12×3×2， =9．(3)由图象可知，当x <0时，不等式ax +b >k x 的解集为x <−3．【解析】(1)根据OC =3，tan∠ACO =23，可求直线与y 轴的交点坐标，进而求出点A 、B 的坐标，确定两个函数的关系式；(2)由S △AOB =S △AOC +S △BOC ，进行计算即可；(3)由函数的图象直接可以得出，当x <0时，不等式ax +b >k x 的解集．本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．19.【答案】解：{3x +12y =8①2x −12y =2②， ①+②，得：5x =10，解得x =2，把x =2代入①，得：6+12y =8，解得y =4，所以原方程组的解为{x =2y =4．【解析】利用加减消元法解答即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB =CD ，∴∠B =∠DCE ，在△ABC 和△DCE 中，{AB =DC∠B =∠DCE BC =CE∴△ABC≌△DCE(SAS)．【解析】由平行四边形的性质得出AB//CD ，AB =CD ，由平行线的性质得出∠B =∠DCE ，由SAS 即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．21.【答案】200 25 36【解析】解：(1)调查的居民共有：60÷30%=200(人)，故答案为：200；(2)选择C的居民有：200×15%=30(人)，选择A的有：200−60−30−20−40=50(人)，补全的条形统计图如右图所示；(3)a%=50÷200×100%=25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×20200=36°，故答案为：25，36；(4)10000×30%=3000(人)，答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．(1)根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；(4)根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°=CDBC，BC=1000千米，∴CD=BC⋅sin30°=100×12=50(千米)，BD=BC⋅cos30°=100×√32=50√3(千米)，在直角△ACD中，AD=CD=50(千米)，AC=CDsin45∘=50√2(千米)，∴AB=50+50√3(千米)，∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC−AB=50√2+100−(50+50√3)=50+ 50√2−50√3≈35(千米)．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，35 x −35(1+25%)x=50，解得x=0.14，经检验x=0.14是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．【解析】(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间−实际的工作时间=50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．23.【答案】解：(1)如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⏜=CD⏜，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN//BC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；(2)如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH=90°=∠AFC，又∵∠AHB=∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴ACAH =AFAB，∴AB ⋅AC =AF ⋅AH =2R ⋅ℎ；(3)如图3，过点D 作DQ ⊥AB 于Q ，DP ⊥AC ，交AC 延长线于P ，连接CD ，∵∠BAC =2α，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD =α，∴BD⏜=CD ⏜， ∴BD =CD ，∵∠BAD =∠CAD ，DQ ⊥AB ，DP ⊥AC ，∴DQ =DP ，∴Rt △DQB≌Rt △DPC(HL)，∴BQ =CP ，∵DQ =DP ，AD =AD ，∴Rt △DQA≌Rt △DPA(HL)，∴AQ =AP ，∴AB +AC =AQ +BQ +AC =2AQ ，∵cos∠BAD =AQ AD ，∴AD =AQ cosα， ∴AB+AC AD =2AQAQ cosα=2cosα．【解析】(1)连接OD ，由角平分线的性质可得∠BAD =∠CAD ，可得BD⏜=CD ⏜，由垂径定理可得OD ⊥BC ，可证OD ⊥MN ，可得结论；(2)连接AO 并延长交⊙O 于H ，通过证明△ACF∽△AHB ，可得AC AH =AF AB ，可得结论；(3)由“HL ”可证Rt △DQB≌Rt △DPC ，Rt △DQA≌Rt △DPA ，可得BQ =CP ，AQ =AP ，可得AB +AC =2AQ ，由锐角三角函数可得AD =AQ cosα，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键． 24.【答案】解：(1)OA =2=BC ，故函数的对称轴为x =1，则x =−b 2a =1①， 将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0=4a −2b +83②，联立①②并解得{a =−13b =23，故抛物线的表达式为：y =−13x 2+23x +83③；(2)由抛物线的表达式得，点M(1,3)、点D(4,0)；∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，∴12×AD ×|y R |=34×OA ×OB ，则12×6×|y R |=34×2×83，解得：y R =±43④， 联立④③并解得{x =1±√13y =4或{x =1±√5y =−4， 故点R 的坐标为(1+√13,4)或(1−√13,4)或(1+√5,−4)或(1−√5,−4)； (3)作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE =45°，故∠PRE =90°，则△PRE 为等腰直角三角形，当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ ⊥MD ，点M 、D 的坐标分别为(1,4)、(4,0)，则ME =4，ED =4−1=3，则MD =5，过点R 作RH ⊥ME 于点H ，设点P(1,2m)，则PH =HE =HR =m ，则圆R 的半径为√2m ，则点R(1+m,m)，S △MED =S △MRD +S △MRE +S △DRE ，即12×EM ⋅ED =12×MD ×RQ +12×ED ⋅y R +12×ME ⋅RH ，∴12×4×3=12×5×√2m +12×4×m +12×3×m ，解得m =60√2−84， 故点P(1,120√2−168)．【解析】(1)OA =2=BC ，故函数的对称轴为x =1，则x =−b 2a =1①，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0=4a −2b +83②，联立①②即可求解；(2)△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，则12×AD ×|y R |=34×OA ×OB ，则12×6×|y R |=34×2×83，即可求解； (3)∠PQE =45°，故∠PRE =90°，则△PRE 为等腰直角三角形，当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ ⊥MD ，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．。
2020年山东省淄博市中考数学试题及参考答案(word解析版)
淄博市2020年初中学业水平考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）选择题（共48分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2 B．﹣2 C．D．02．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，64．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°5．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED8．化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36 B．48 C．49 D．6410．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2 B．3πC．D．+2（第9题图）（第10题图）11．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．4812．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC ＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2（第11题图）（第12题图）非选择题（共72分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．计算：+＝．14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：19．（5分）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B 的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．答案与解析选择题（共48分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若实数a的相反数是﹣2，则a等于（）A．2 B．﹣2 C．D．0【知识考点】相反数；实数的性质．【思路分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．【解答过程】解：∵2的相反数是﹣2，∴a＝2．故选：A．【总结归纳】本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答过程】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A．4，5 B．5，4 C．5，5 D．5，6【知识考点】中位数；众数．【思路分析】根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．【解答过程】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．【总结归纳】本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【知识考点】平行线的性质；多边形内角与外角．【思路分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．【解答过程】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．5．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】A．根据合并同类项的定义即可判断；B．根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；C．根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；D．根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．【解答过程】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；故选：B．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是综合掌握以上知识．6．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．【知识考点】计算器—三角函数．【思路分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．【解答过程】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．【总结归纳】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．7．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【知识考点】全等三角形的性质．【思路分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答过程】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．【总结归纳】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．8．化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【知识考点】分式的加减法．【思路分析】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【解答过程】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．9．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．36 B．48 C．49 D．64【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【思路分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t ×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．【解答过程】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A（0，4），B（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE＝PC，PD＝PC，∴PE＝PC＝PD，设P（t，t），则PC＝t，∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，解得t＝6，∴P（6，6），把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．故选：A．【总结归纳】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．10．如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2 B．3πC．D．+2【知识考点】轨迹．【思路分析】利用弧长公式计算即可．【解答过程】解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，故选：C．【总结归纳】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．48【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答过程】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝8×12＝48，故选：D．【总结归纳】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．12．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC ＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【知识考点】三角形的重心；勾股定理．【思路分析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c 的关系．【解答过程】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AE＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．【总结归纳】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．非选择题（共72分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．计算：+＝．【知识考点】实数的运算．【思路分析】分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．【解答过程】解：+＝﹣2+4＝2．故答案为：2【总结归纳】本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．14．如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为．【知识考点】平移的性质．【思路分析】利用平移的性质得到BE＝CF，然后利用EC＝2BE＝2得到BE的长，从而得到CF 的长．【解答过程】解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE＝CF，∵EC＝2BE＝2，∴BE＝1，∴CF＝1．故答案为1．【总结归纳】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答过程】解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝1，b＝﹣1，c＝2m∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜，故答案为m＜．【总结归纳】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．16．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．【解答过程】解：连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN＝AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝10（cm），∴MN＝AC＝5（cm），故答案为5．【总结归纳】本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．17．某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个．【知识考点】规律型：数字的变化类．【思路分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．【解答过程】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1 n﹣12 （n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）3 2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）4 3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）5 4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n 0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．【总结归纳】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程组：【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】利用加减消元法解答即可．【解答过程】解：，①+②，得：5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入①，得：6+y＝8，解得y＝4，所以原方程组的解为．【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19．（5分）已知：如图，E是▱ABCD的边BC延长线上的一点，且CE＝BC．求证：△ABC≌△DCE．【知识考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质．【思路分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠B＝∠DCE，由SAS即可得出结论．【解答过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠B＝∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS）．【总结归纳】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【思路分析】（1）根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；（2）根据（1）中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；（4）根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．【解答过程】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：25，36；（4）10000×30%＝3000（人），答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．【总结归纳】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B 的坐标，确定两个函数的关系式；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可；（3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集．【解答过程】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝．∴OD＝2，即点D（0，2），把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1＝ax+b得，b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣，∴直线的关系式为y1＝﹣x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2，∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9．（3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．22．（8分）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B 的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈1.4，≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【知识考点】分式方程的应用；解直角三角形的应用．【思路分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【解答过程】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝＝0.54，经检验x＝0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.54千米．【总结归纳】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．23．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AB•AC＝2R•h；（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝，即可求解．【解答过程】解：（1）如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝α，∴＝，∴BD＝CD，∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ＝DP，∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），∴BQ＝CP，∵DQ＝DP，AD＝AD，∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），∴AQ＝AP，∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，∵cos∠BAD＝，∴AD＝，∴＝＝2cosα．【总结归纳】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．24．（9分）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②即可求解；（2）△ADR的面积是▱OABC的面积的，则×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，即可求解；（3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，即可求解．【解答过程】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得或，故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；（3）①当点P与M重合时，存在唯一的点Q（4，0）与D重合，此时符合题意，P（1，3）．②根据对称性可知．P（1，﹣3），Q与D重合时，也符合题意．③当点P是EM的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P（1，）综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，）．【总结归纳】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．21。
2020年山东省淄博市中考数学试卷
2020年山东省淄博市中考数学试卷得分1.若实数a的相反数是−2，则a等于()A. 2B. −2C. 12D. 02.下列图形中，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据(单位：小时)：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5.则这组数据的中位数和众数分别是()A. 4，5B. 5，4C. 5，5D. 5，64.如图，在四边形ABCD中，CD//AB，AC⊥BC，若∠B=50°，则∠DCA等于()A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°5.下列运算正确的是()A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a5C. a3÷a2=a5D. (a2)3=a56.已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)，按下的第一个键是()A. B. C. D.7.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是()A. AC=DEB. ∠BAD=∠CAEC. AB=AED. ∠ABC=∠AED8.化简a2+b2a−b +2abb−a的结果是()A. a+bB. a−bC. (a+b)2a−b D. (a−b)2a+b9.如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0)，A(0,4)，B(3,0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A. 36B. 48C. 49D. 6410.如图，放置在直线l上的扇形OAB.由图①滚动(无滑动)到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=2，∠AOB=45°，则点O所经过的最短路径的长是()A. 2π+2B. 3πC. 5π2D. 5π2+211.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是()A. 12B. 24C. 36D. 4812.如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC=a，AC=b，AB=c，则下列关系式中成立的是( )A. a 2+b 2=5c 2B. a 2+b 2=4c 2C. a 2+b 2=3c 2D. a 2+b 2=2c 213. 计算：√−83+√16=______．14. 如图，将△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 处．若EC =2BE =2，则CF 的长为______．15. 已知关于x 的一元二次方程x 2−x +2m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．16. 如图，矩形纸片ABCD ，AB =6cm ，BC =8cm ，E 为边CD 上一点．将△BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM ⊥BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =______cm ．17. 某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站(包括甲站、乙站)，一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是______个． 18. 解方程组：{3x +12y =8,2x −12y =2．19. 已知：如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE =BC ．求证：△ABC≌△DCE ．20.某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A.5G通讯；B.民法典；C.北斗导航；D.数字经济；E.小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：(1)数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有______人；(2)将上面的最关注话题条形统计图补充完整；(3)最关注话题扇形统计图中的a=______，话题D所在扇形的圆心角是______度；(4)假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？(k≠0)分别相交于第二、21.如图，在直角坐标系中，直线y1=ax+b与双曲线y2=kx．四象限内的A(m,4)，B(6,n)两点，与x轴相交于C点．已知OC=3，tan∠ACO=23(1)求y1，y2对应的函数表达式；(2)求△AOB的面积；(3)直接写出当x<0时，不等式ax+b>k的解集．x22.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A=45°，∠B=30°，BC=100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？23.如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF=ℎ．(1)过点D作直线MN//BC，求证：MN是⊙O的切线；(2)求证：AB⋅AC=2R⋅ℎ；(3)设∠BAC=2α，求AB+AC的值(用含α的代数式表示)．AD24.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A(−2,0)，B，C三点的(a<0)与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与抛物线y=ax2+bx+83x轴交于点E．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的3，求点R的坐标；4(3)已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE=45°，求点P的坐标．2020年山东省淄博市中考数学试卷答案和解析【答案】1. A2. D3. C4. C5. B6. D7. B8. B9. A10. C11. D12. A13. 214. 115. m<1816. 517. 21018. 解：{3x +12y =8①2x −12y =2②， ①+②，得：5x =10， 解得x =2，把x =2代入①，得：6+12y =8， 解得y =4，所以原方程组的解为{x =2y =4．19. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB =CD ， ∴∠B =∠DCE ，在△ABC 和△DCE 中，{AB =DC∠B =∠DCE BC =CE∴△ABC≌△DCE(SAS)．20. 200 25 3621. 解：(1)设直线y 1=ax +b 与y 轴交于点D ，在Rt △OCD 中，OC =3，tan∠ACO =23． ∴OD =2， 即点D(0,2)，把点D(0,2)，C(0,3)代入直线y 1=ax +b 得，b =2，3a +b =0，解得，a =−23， ∴直线的关系式为y 1=−23x +2； 把A(m,4)，B(6,n)代入y 1=−23x +2得， m =−3，n =−2， ∴A(−3,4)，B(6,−2)， ∴k =−3×4=−12，∴反比例函数的关系式为y 2=−12x ， 因此y 1=−23x +2，y 2=−12x ； (2)由S △AOB =S △AOC +S △BOC ，=12×3×4+12×3×2，=9．(3)由图象可知，当x<0时，不等式ax+b>kx的解集为x<−3．22. 解：(1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°=CDBC，BC=1000千米，∴CD=BC⋅sin30°=100×12=50(千米)，BD=BC⋅cos30°=100×√32=50√3(千米)，在直角△ACD中，AD=CD=50(千米)，AC=CDsin45∘=50√2(千米)，∴AB=50+50√3(千米)，∴从A地到景区B旅游可以少走：AC+BC−AB=50√2+100−(50+50√3)=50+ 50√2−50√3≈35(千米)．答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；(2)设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，35 x −35(1+25%)x=50，解得x=0.14，经检验x=0.14是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.14千米．23. 解：(1)如图1，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⏜=CD⏜，又∵OD是半径，∴OD⊥BC，∵MN//BC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；(2)如图2，连接AO并延长交⊙O于H，∵AH是直径，∴∠ABH=90°=∠AFC，又∵∠AHB=∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴ACAH =AFAB，∴AB⋅AC=AF⋅AH=2R⋅ℎ；(3)如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，∵∠BAC=2α，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=α，∴BD⏜=CD⏜，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，∴DQ =DP ，∴Rt △DQB≌Rt △DPC(HL)，∴BQ =CP ，∵DQ =DP ，AD =AD ，∴Rt △DQA≌Rt △DPA(HL)，∴AQ =AP ，∴AB +AC =AQ +BQ +AC =2AQ ，∵cos∠BAD =AQ AD ，∴AD =AQ cosα，∴AB+AC AD =2AQAQ cosα=2cosα．24. 解：(1)OA =2=BC ，故函数的对称轴为x =1，则x =−b 2a =1①，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0=4a −2b +83②，联立①②并解得{a =−13b =23， 故抛物线的表达式为：y =−13x 2+23x +83③；(2)由抛物线的表达式得，点M(1,3)、点D(4,0)；∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，∴12×AD ×|y R |=34×OA ×OB ，则12×6×|y R |=34×2×83，解得：y R =±43④，联立④③并解得{x =1±√13y =4或{x =1±√5y =−4， 故点R 的坐标为(1+√13,4)或(1−√13,4)或(1+√5,−4)或(1−√5,−4)；(3)作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE=45°，故∠PRE=90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，点M、D的坐标分别为(1,4)、(4,0)，则ME=4，ED=4−1=3，则MD=5，过点R作RH⊥ME于点H，设点P(1,2m)，则PH=HE=HR=m，则圆R的半径为√2m，则点R(1+m,m)，S△MED=S△MRD+S△MRE+S△DRE，即12×EM⋅ED=12×MD×RQ+12×ED⋅y R+12×ME⋅RH，∴12×4×3=12×5×√2m+12×4×m+12×3×m，解得m=60√2−84，故点P(1,120√2−168)．【解析】1. 解：∵2的相反数是−2，∴a=2．故选：A．根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求出a的值．本题考查了实数的性质、相反数，解决本题的关键是掌握相反数的概念．2. 解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3. 解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可．本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提，掌握计算方法是解决问题的关键．4. 解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵∠B=50°，∴∠CAB=90°−∠B=40°，∵CD//AB，∴∠DCA=∠CAB=40°．故选：C．由AC⊥BC可得∠ACB=90°，又∠B=50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB= 40°，再根据平行线的性质可得∠DCA=∠CAB=40°．本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．5. 解：A.a2+a3≠a5，所以A选项错误；B.a2⋅a3=a5，所以B选项正确；C.a3÷a2=a，所以C选项错误；D.(a2)3=a6，所以D选项错误；故选：B．A.根据合并同类项的定义即可判断；B.根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断；C.根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断；D.根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可判断．本题考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是综合掌握以上知识．6. 解：∵已知sinA=0.9816，运用科学计算器求锐角A时(在开机状态下)的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．根据计算器求锐角的方法即可得结论．本题考查了计算器−三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．7. 解：∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE.故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．8. 解：原式=a2+b2a−b −2aba−b=a2+b2−2aba−b=(a−b)2a−b=a−b．故选：B．根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．本题主要考查了分式的加减，熟记运算法则是解答本题的关键．9. 解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，∵A(0,4)，B(3,0)，∴OA=4，OB=3，∴AB=√32+42=5，∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，∴PE=PC，PD=PC，∴PE=PC=PD，设P(t,t)，则PC=t，∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB=S矩形PEOD，∴12×t ×(t −4)+12×5×t +12×t ×(t −3)+12×3×4=t ×t ，解得t =6，∴P(6,6)，把P(6,6)代入y =k x 得k =6×6=36．故选：A ．过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，利用勾股定理计算出AB =5，根据角平分线的性质得PE =PC =PD ，设P(t,t)，利用面积的和差得到12×t ×(t −4)+12×5×t +12×t ×(t −3)+12×3×4=t ×t ，求出t 得到P 点坐标，然后把P 点坐标代入y =k x 中求出k 的值．本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 10. 解：如图，点O 的运动路径的长=OO ⏜1的长+O 1O 2+O 2O 3⏜ 的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2，故选：C ．利用弧长公式计算即可．本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11. 解：由图2知，AB =BC =10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8(即此时BP =8)， 当y =8时，PC =2−BP 2=√102−82=6，△ABC 的面积=12×AC ×BP =12×8×12=48，故选：D ．由图2知，AB =BC =10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8(即此时BP =8)，即可求解．本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．12. 解：设EF=x，DF=y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF=12AC=12b，BD=12a，∴AF=2DF=2y，BF=2EF=2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=∠BFD=90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2=c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2=14b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2=14a2，③②+③得5x2+5y2=14(a2+b2)，∴4x2+4y2=15(a2+b2)，④①−④得c2−15(a2+b2)=0，即a2+b2=5c2．故选：A．设EF=x，DF=y，根据三角形重心的性质得AF=2y，BF=2EF=2x，利用勾股定理得到4x2+4y2=c2，4x2+y2=14b2，x2+4y2=14a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了勾股定理．13. 解：√−83+√16=−2+4=2．故答案为：2分别根据立方根的定义与算术平方根的定义解答即可．本题主要考查了立方根与算术平方根，熟记立方根与二次根式的性质是解答本题的关键．14. 解：∵△ABC沿BC方向平移至△DEF处．∴BE=CF，∵EC=2BE=2，∴BE=1，故答案为1．利用平移的性质得到BE=CF，然后利用EC=2BE=2得到BE的长，从而得到CF的长．本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．15. 解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=−1，c=2m∴△=b2−4ac=(−1)2−4×1×2m>0，，解得m<18．故答案为m<18若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2−4ac>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．16. 解：连接AC，FC．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∴FM⊥BE，∴F.M，C共线，FM=MC，∵AN=FN，AC，∴MN=12∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10(cm)，∴MN=1AC=5(cm)，2连接AC，FC，求出AC，利用三角形的中位线定理解决问题即可．本题考查翻折变换，矩形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．17. 解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的(x−1)个服务驿站发给该站的货包共(x−1)个，还要装上下面行程中要停靠的(n−x)个服务驿站的货包共(n−x)个．根据题意，完成下表：由上表可得y=x(n−x)．当n=29时，y=x(29−x)=−x2+29x=−(x−14.5)2+210.25，当x=14或15时，y取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的时取得．最值在x=−b2a18. 利用加减消元法解答即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19. 由平行四边形的性质得出AB//CD，AB=CD，由平行线的性质得出∠B=∠DCE，由SAS即可得出结论．本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．20. 解：(1)调查的居民共有：60÷30%=200(人)，故答案为：200；(2)选择C的居民有：200×15%=30(人)，选择A的有：200−60−30−20−40=50(人)，补全的条形统计图如右图所示；(3)a%=50÷200×100%=25%，=36°，话题D所在扇形的圆心角是：360°×20200故答案为：25，36；(4)10000×30%=3000(人)，答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．(1)根据选择B的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的居民人数；(2)根据(1)中的结果和统计图中的数据，可以计算出选择A和C的人数，从而可以将条形统计图补充完整；(3)根据统计图中的数据，可以得到a和话题D所在扇形的圆心角的度数；(4)根据题意和统计图中的数据，可以计算出计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21. (1)根据OC=3，tan∠ACO=2，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的3坐标，确定两个函数的关系式；(2)由S△AOB=S△AOC+S△BOC，进行计算即可；(3)由函数的图象直接可以得出，当x<0时，不等式ax+b>k的解集．x本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键．22. (1)过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB 的长度，进而求出从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米；(2)本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间−实际的工作时间=50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形的知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．同时考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系，②列出方程，③解出分式方程，④检验，⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．23. (1)连接OD ，由角平分线的性质可得∠BAD =∠CAD ，可得BD⏜=CD ⏜，由垂径定理可得OD ⊥BC ，可证OD ⊥MN ，可得结论；(2)连接AO 并延长交⊙O 于H ，通过证明△ACF∽△AHB ，可得AC AH =AF AB ，可得结论；(3)由“HL ”可证Rt △DQB≌Rt △DPC ，Rt △DQA≌Rt △DPA ，可得BQ =CP ，AQ =AP ，可得AB +AC =2AQ ，由锐角三角函数可得AD =AQ cosα，即可求解．本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键． 24. (1)OA =2=BC ，故函数的对称轴为x =1，则x =−b 2a =1①，将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0=4a −2b +83②，联立①②即可求解；(2)△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，则12×AD ×|y R |=34×OA ×OB ，则12×6×|y R |=34×2×83，即可求解； (3)∠PQE =45°，故∠PRE =90°，则△PRE 为等腰直角三角形，当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ ⊥MD ，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．。
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第1页（共24页）QQ 群学习11316493752020年山东省淄博市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2020•淄博）若实数a 的相反数是﹣2，则a 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．02．（4分）（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2020•淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．4，5B ．5，4C ．5，5D ．5，64．（4分）（2020•淄博）如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BC ，若∠B ＝50°，则∠DCA 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°5．（4分）（2020•淄博）下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．a 2•a 3＝a 5C ．a 3÷a 2＝a 5D ．（a 2）3＝a 56．（4分）（2020•淄博）已知sin A ＝0.9816，运用科学计算器求锐角A 时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）A ．B ．C ．D ．第2页（共24页）QQ 群学习11316493757．（4分）（2020•淄博）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．AC ＝DEB ．∠BAD ＝∠CAEC ．AB ＝AED ．∠ABC ＝∠AED 8．（4分）（2020•淄博）化简a 2+b 2a−b +2ab b−a 的结果是（ ） A ．a +b B ．a ﹣b C ．(a+b)2a−b D ．(a−b)2a+b9．（4分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O （0，0），A （0，4），B （3，0）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数y =k x 的图象上，则k 的值为（ ）A ．36B ．48C ．49D ．6410．（4分）（2020•淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+211．（4分）（2020•淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M是曲线部分第3页（共24页）QQ 群学习1131649375的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．4812．（4分）（2020•淄博）如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）（2020•淄博）计算：√−83+√16= ．14．（4分）（2020•淄博）如图，将△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 处．若EC ＝2BE ＝2，则CF 的长为 ．15．（4分）（2020•淄博）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +2m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．16．（4分）（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，E 为边CD 上一点．将△BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM ⊥BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN ＝ cm ．第4页（共24页）QQ 群学习113164937517．（4分）（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是 个．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）（2020•淄博）解方程组：{3x +12y =8，2x −12y =2．19．（5分）（2020•淄博）已知：如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ．求证：△ABC ≌△DCE ．20．（8分）（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A ．5G 通讯；B ．民法典；C ．北斗导航；D ．数字经济；E ．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝，话题D所在扇形的圆心角是度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？21．（8分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2=kx（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO=2 3．（1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞kx的解集．22．（8分）（2020•淄博）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？第5页（共24页）QQ群学习1131649375第6页（共24页）QQ 群学习113164937523．（9分）（2020•淄博）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC 交BC 边于点E ，交⊙O于点D ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，设⊙O 的半径为R ，AF ＝h ．（1）过点D 作直线MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：AB •AC ＝2R •h ；（3）设∠BAC ＝2α，求AB+AC AD 的值（用含α的代数式表示）．24．（9分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A （﹣2，0），B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2+bx +83（a ＜0）与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R 是抛物线上的点，使得△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标； （3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE ＝45°，求点P 的坐标．第7页（共24页）QQ群学习1131649375第8页（共24页）QQ 群学习1131649375参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）（2020•淄博）若实数a 的相反数是﹣2，则a 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．0【解答】解：∵2的相反数是﹣2，∴a ＝2．故选：A ．2．（4分）（2020•淄博）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D ．3．（4分）（2020•淄博）李老师为了解学生家务劳动时间情况，更好地弘扬“热爱劳动”的民族传统美德，随机调查了本校10名学生在上周参加家务劳动的时间，收集到如下数据（单位：小时）：4，3，4，6，5，5，6，5，4，5．则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．4，5B ．5，4C ．5，5D ．5，6【解答】解：这组数据4，3，4，6，5，5，6，5，4，5中，出现次数最多的是5，因此众数是5，将这组数据从小到大排列后，处在第5、6位的两个数都是5，因此中位数是5．故选：C．4．（4分）（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．5．（4分）（2020•淄博）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a5C．a3÷a2＝a5D．（a2）3＝a5【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；故选：B．6．（4分）（2020•淄博）已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知sin A＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．故选：D．7．（4分）（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）第9页（共24页）QQ群学习1131649375第10页（共24页）QQ 群学习1131649375A ．AC ＝DEB ．∠BAD ＝∠CAEC ．AB ＝AED ．∠ABC ＝∠AED【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AC ＝AE ，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．8．（4分）（2020•淄博）化简a 2+b 2a−b +2ab b−a 的结果是（ ） A ．a +b B ．a ﹣bC ．(a+b)2a−bD ．(a−b)2a+b 【解答】解：原式=a 2+b 2a−b −2ab a−b=a 2+b 2−2ab a−b=(a−b)2a−b ＝a ﹣b ．故选：B ．9．（4分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O （0，0），A （0，4），B （3，0）为顶点的Rt △AOB ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，且点P 恰好在反比例函数y =k x的图象上，则k 的值为（ ）A ．36B ．48C ．49D ．64第11页（共24页）QQ 群学习1131649375【解答】解：过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E ，如图，∵A （0，4），B （3，0），∴OA ＝4，OB ＝3，∴AB =√32+42=5，∵△OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ，∴PE ＝PC ，PD ＝PC ，∴PE ＝PC ＝PD ，设P （t ，t ），则PC ＝t ，∵S △P AE +S △P AB +S △PBD +S △OAB ＝S 矩形PEOD ，∴12×t ×（t ﹣4）+12×5×t +12×t ×（t ﹣3）+12×3×4＝t ×t ， 解得t ＝6，∴P （6，6），把P （6，6）代入y =k x 得k ＝6×6＝36．故选：A ．10．（4分）（2020•淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2第12页（共24页）QQ 群学习1131649375【解答】解：如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2， 故选：C ．11．（4分）（2020•淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【解答】解：由图2知，AB ＝BC ＝10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8（即此时BP ＝8），当y ＝8时，PC =√BC 2−BP 2=√102−82=6，△ABC 的面积=12×AC ×BP =12×8×12＝48， 故选：D ．12．（4分）（2020•淄博）如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（ ）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AF=12AC=12b，BD=12a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2=14b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2=14a2，③②+③得5x2+5y2=14（a2+b2），∴4x2+4y2=15（a2+b2），④①﹣④得c2−15（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果．13．（4分）（2020•淄博）计算：√−83+√16=2．【解答】解：√−83+√16=−2+4＝2．故答案为：214．（4分）（2020•淄博）如图，将△ABC沿BC方向平移至△DEF处．若EC＝2BE＝2，则CF的长为1．第13页（共24页）QQ群学习1131649375第14页（共24页）QQ 群学习1131649375【解答】解：∵△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 处．∴BE ＝CF ，∵EC ＝2BE ＝2，∴BE ＝1，∴CF ＝1．故答案为1．15．（4分）（2020•淄博）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +2m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 m ＜18．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，a ＝1，b ＝﹣1，c ＝2m∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×2m ＞0，解得m ＜18，故答案为m ＜18．16．（4分）（2020•淄博）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，E 为边CD 上一点．将△BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM ⊥BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN ＝ 5 cm ．【解答】解：连接AC ，FC ．由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF，∵FM⊥BE，∴F．M，C共线，FM＝MC，∵AN＝FN，∴MN=12AC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC=√AB2+BC2=√62+82=10（cm），∴MN=12AC＝5（cm），故答案为5．17．（4分）（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．第15页（共24页）QQ群学习1131649375第16页（共24页）QQ 群学习1131649375当n ＝29时，y ＝x （29﹣x ）＝﹣x 2+29x ＝﹣（x ﹣14.5）2+210.25，当x ＝14或15时，y 取得最大值210．答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．故答案为：210．三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）（2020•淄博）解方程组：{3x +12y =8，2x −12y =2． 【解答】解：{3x +12y =8①2x −12y =2②， ①+②，得：5x ＝10，解得x ＝2，把x ＝2代入①，得：6+12y ＝8，解得y ＝4，所以原方程组的解为{x =2y =4． 19．（5分）（2020•淄博）已知：如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE ＝BC ．求证：△ABC ≌△DCE ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠B ＝∠DCE ，在△ABC 和△DCE 中，{AB =DC∠B =∠DCE BC =CE∴△ABC ≌△DCE （SAS ）．20．（8分）（2020•淄博）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A ．5G 通讯；B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有200人；（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；（3）最关注话题扇形统计图中的a＝25，话题D所在扇形的圆心角是36度；（4）假设这个小区居民共有10000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有多少？【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）a%＝50÷200×100%＝25%，话题D所在扇形的圆心角是：360°×20200=36°，故答案为：25，36；（4）10000×30%＝3000（人），答：该小区居民中最关注的话题是“民法典”的人数大约有3000人．第17页（共24页）QQ群学习1131649375第18页（共24页）QQ 群学习113164937521．（8分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，直线y 1＝ax +b 与双曲线y 2=k x（k ≠0）分别相交于第二、四象限内的A （m ，4），B （6，n ）两点，与x 轴相交于C 点．已知OC ＝3，tan ∠ACO =23．（1）求y 1，y 2对应的函数表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）直接写出当x ＜0时，不等式ax +b ＞k x 的解集．【解答】解：（1）设直线y 1＝ax +b 与y 轴交于点D ，在Rt △OCD 中，OC ＝3，tan ∠ACO =23．∴OD ＝2，即点D （0，2），把点D （0，2），C （3，0）代入直线y 1＝ax +b 得，b ＝2，3a +b ＝0，解得，a =−23， ∴直线的关系式为y 1=−23x +2；把A （m ，4），B （6，n ）代入y 1=−23x +2得，m ＝﹣3，n ＝﹣2，第19页（共24页）QQ 群学习1131649375∴A （﹣3，4），B （6，﹣2），∴k ＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的关系式为y 2=−12x ，因此y 1=−23x +2，y 2=−12x ； （2）由S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ，=12×3×4+12×3×2， ＝9．（3）由图象可知，当x ＜0时，不等式ax +b ＞k x的解集为x ＜﹣3．22．（8分）（2020•淄博）如图，著名旅游景区B 位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A →C →B 方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合∠A ＝45°，∠B ＝30°，BC ＝100千米，√2≈1.4，√3≈1.7等数据信息，解答下列问题：（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可以少走多少千米？（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【解答】解：（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，第20页（共24页）QQ 群学习1131649375在直角△BCD 中，AB ⊥CD ，sin30°=CD BC ，BC ＝1000千米， ∴CD ＝BC •sin30°＝100×12=50（千米）， BD ＝BC •cos30°＝100×√32=50√3（千米），在直角△ACD 中，AD ＝CD ＝50（千米），AC =CD sin45°=50√2（千米）， ∴AB ＝50+50√3（千米），∴从A 地到景区B 旅游可以少走：AC +BC ﹣AB ＝50√2+100﹣（50+50√3）＝50+50√2−50√3≈35（千米）．答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米；（2）设施工队原计划每天修建x 千米，依题意有，50+50√3x −50+50√3(1+25%)x=50， 解得x =2750=0.54， 经检验x ＝0.54是原分式方程的解．答：施工队原计划每天修建0.54千米．23．（9分）（2020•淄博）如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 平分∠BAC 交BC 边于点E ，交⊙O于点D ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，设⊙O 的半径为R ，AF ＝h ．（1）过点D 作直线MN ∥BC ，求证：MN 是⊙O 的切线；（2）求证：AB •AC ＝2R •h ；（3）设∠BAC ＝2α，求AB+AC AD 的值（用含α的代数式表示）．第21页（共24页）QQ 群学习1131649375【解答】解：（1）如图1，连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴BD̂=CD ̂， 又∵OD 是半径，∴OD ⊥BC ，∵MN ∥BC ，∴OD ⊥MN ，∴MN 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接AO 并延长交⊙O 于H ，∵AH 是直径，第22页（共24页）QQ 群学习1131649375∴∠ABH ＝90°＝∠AFC ，又∵∠AHB ＝∠ACF ，∴△ACF ∽△AHB ，∴AC AH =AF AB ，∴AB •AC ＝AF •AH ＝2R •h ；（3）如图3，过点D 作DQ ⊥AB 于Q ，DP ⊥AC ，交AC 延长线于P ，连接CD ，∵∠BAC ＝2α，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝α，∴BD̂=CD ̂， ∴BD ＝CD ，∵∠BAD ＝∠CAD ，DQ ⊥AB ，DP ⊥AC ，∴DQ ＝DP ，∴Rt △DQB ≌Rt △DPC （HL ），∴BQ ＝CP ，∵DQ ＝DP ，AD ＝AD ，∴Rt △DQA ≌Rt △DP A （HL ），∴AQ ＝AP ，∴AB +AC ＝AQ +BQ +AC ＝2AQ ，∵cos ∠BAD =AQ AD ，∴AD =AQ cosα，∴AB+AC AD =2AQAQ cosα=2cos α．第23页（共24页）QQ 群学习113164937524．（9分）（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，经过A （﹣2，0），B ，C 三点的抛物线y ＝ax 2+bx +83（a ＜0）与x 轴的另一个交点为D ，其顶点为M ，对称轴与x 轴交于点E ．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R 是抛物线上的点，使得△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34，求点R 的坐标； （3）已知P 是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD 上存在唯一的点Q ，使得∠PQE ＝45°，求点P 的坐标．【解答】解：（1）OA ＝2＝BC ，故函数的对称轴为x ＝1，则x =−b 2a=1①， 将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a ﹣2b +83②，联立①②并解得{a =−13b =23， 故抛物线的表达式为：y =−13x 2+23x +83③；（2）由抛物线的表达式得，点M （1，3）、点D （4，0）；∵△ADR 的面积是▱OABC 的面积的34， ∴12×AD ×|y R |=34×OA ×OB ，则12×6×|y R |=34×2×83，解得：y R ＝±43④， 联立④③并解得{x =1±√13y =4或{x =1±√5y =−4， 故点R 的坐标为（1+√13，4）或（1−√13，4）或（1+√5，﹣4）或（1−√5，﹣4）；第24页（共24页）QQ 群学习1131649375（3）作△PEQ 的外接圆R ，∵∠PQE ＝45°，故∠PRE ＝90°，则△PRE 为等腰直角三角形， 当直线MD 上存在唯一的点Q ，则RQ ⊥MD ， 点M 、D 的坐标分别为（1，4）、（4，0）， 则ME ＝4，ED ＝4﹣1＝3，则MD ＝5， 过点R 作RH ⊥ME 于点H ，设点P （1，2m ），则PH ＝HE ＝HR ＝m ， 则圆R 的半径为√2m ，则点R （1+m ，m ）， S △MED ＝S △MRD +S △MRE +S △DRE ，即12×EM •ED =12×MD ×RQ +12×ED •y R +12×ME •RH ， ∴12×4×3=12×5×√2m +12×4×m +12×3×m ，解得m ＝60√2−84， 故点P （1，120√2−168）．。