振动理论讲义第6章 非线性系统

如果忽略质量的变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为
,, 0
(6.2)
带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应。
叠加原理不适用于非线性系统。一般来讲，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变。
非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例。
6-1
图 6.1 非线性弹性静态荷载-位移曲线
,
(l)
则有
或 根据椭圆积分表，有
/
(m)
/
,
(n)
其中， , 是第一类椭圆积分，
, sin
.
对比方程(m)和(n)， 可知
2 1,
因此，
因而方程(m)重新写为
21
,
sin 1 2
,
√
(6.13)
如果弹性性质偏离线性很小，可设 0. 由方程(6.13)可得方程(h), 对应于线性恢
复力的情况。
如果 及 很大，方程(j)的第一项可以忽略，在方程(6.13)中，1 → , 因此 的表
自由振动频率也将随振幅增加。实际上，该问题的非线性是由于大位移引起的几何非线 性，不是弦的非线性性质。
图 6.3
另一个几何非线性的例子是图 6.3 所示的单摆，重 ，长度 。单摆离开竖直位置的
夹角为 , 单摆关于轴 的回复力矩为 sinϕ，绕轴的转动方程为
sin 0
(d)
把质量的惯性矩
/ 代入，有
sin 0
运动方程为
其中,
sin 0 / . 与方程(6.9)和(6.10)对应的旋转振动的相应方程为
T
m
m
U
(6.15)
m m
(6.16)
对于单摆，相应的方程为：
m
2 1 cos m
以及
m
(u)
m
m/
/
引入记号 sin /2 ，以及新的变量 , 使得
sin /2
sin sin /2 sin
式中， 为正整数，荷载-位移曲线关于原点对称。代入方程(6.9)，积分后可得
例如， 1时，有 (6.10)后积分，
m
√
； 2时，有
√
0.707 ，等等。方程 代入 (6.11)
对于 1的线性恢复力情况，积分后为
,
/
(h)
√
2时，恢复力正比于 , 积分方程(6.11)，有
√
√
(i)
nm
√
后一个积分需要进行数值求解，其值为1.8541/√2 . 因此其周期为
第6章 具有非线性特征的系统
非线性系统的举例
在前面几章所处理的问题中，在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶
常微分方程，
(6.1)
这个方程在线性振动理论中起到了核心作用，能表征很多实际问题。但是实际上，还有
很多物理系统不能用常系数的线性微分方程来描述，对这类问题的分析需要讨论非线性
微分方程。
图 6.8
图 6.8(a)是一个带有摩擦抗力的单自由度系统，其滞后回线示于图 6.8(b). 注意到， 如果图 6.7(d)中的倾斜线段（○1 、○3 ）的斜率趋于无穷, 图 6.8(b)中倾斜线段(○2 、○4 ) 的斜率为零，这两个问题在数学上是相同的。前者是属于刚．塑．形．恢复力的情况，弹簧的 变形处于弹性范围且与材料的塑形范围相比很小；后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻
对应的荷载 -位移 曲线直到 为线性(○1 段)，然后材料发生屈服，响应曲线会类 似于弹簧软化一样发生弯曲(○2 段)。一旦卸载，材料会弹性恢复（○3 段）；继续反向加载， 如图中的○4 和○5 ，然后再卸载，即图中○6 段。实验表明，最大的正力 和最大的负力
在数值上是相等的。滞后回线关于原点对称。 图 6.7(b)中的曲线部分常常用直线代替（图 6.7(c)），称为双线性非弹性恢复力。如 果○2 和○4 的斜率为零，称为理想弹塑性恢复力（图 6.7(d)）。 滞后回线表示的能量耗散被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量 守恒。这种能量耗散机制称为滞后阻尼。
(6.10)
m
6-7
如果知道恢复力的解析表达式，可以通过计算上述积分求得系统的固有周期。 方程(6.9)还给出了最大速度 和最大位移 之间的关系，可用于确定非线性系统自
由振动中初始位移引起的最大速度，或者初速度导致的最大位移。 初始速度可以通过脉冲的方式传递给质量。 以下考虑几种特殊情况。 首先讨论恢复力为 的奇次幂的情况：
6-5
图 6.7 二维钢框架及其非线性响应
目前在抗震设计中一个广泛的共识是采用“强柱弱梁”原则，这是为了在地震发生 时，框架结构塑性铰将出现在梁端，通过局部梁的断裂来缓冲地震能量，但柱不会断， 尽可能保证楼房不会整体倒塌，从而最大限度减少伤亡。图 6.7(a)为一建筑的矩形二维 钢框架，横向力 作用于屋顶。如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增 加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。
达式为
.
(o)
√
任何属于这两种极端之间的情况，必须数值计算 /2 1 , 并进一步查表确定响
应椭圆积分的值。 以上讨论的是硬化弹簧的情况，下面讨论软化弹簧的情况。取如下形式的恢复力表
达式：
6-9
(p) 与前面的讨论类似，对应的速度和周期表达式为
以及
1
/2
(q)
查表可知，
(r)
/
,
(s)
式中，sin 1/ 。对比方程(r)和(s), 可知
因此，方程(r)为
2
1,
,
2
,
(6.14)
同样的，对于任意的 和 ,需要使用椭圆积分表对方程(6.14)进行计算。 在方程(j)和(p)中，选择适当的比例常数 可以近似不同的硬化和软化弹簧。对于更 一般的情况，可以用多项式
来表征恢复力，仍然可以用椭圆积分来处理。
另一个例子有对称恢复力的例子是图 6.3 所示的单摆问题，并有严格的解析解。其
目录
第 6 章 具有非线性特征的系统....................................................................................... 6-1 非线性系统的举例 ............................................................................................. 6-1 速度和周期的直接积分法 .................................................................................. 6-7 自由振动的近似方法-Ritz 平均法 .................................................................... 6-11 非线性受迫振动 ................................................................................................ 6-12 6.4.1 无阻尼情况 ............................................................................................. 6-12 6.4.2 非线性系统的跳跃现象 .......................................................................... 6-15 6.4.3 有粘性阻尼的情况， .............................................................................. 6-16 非线性系统的数值求解..................................................................................... 6-18 6.5.1 平均加速度法.......................................................................................... 6-19 6.5.2 线性加速度法.......................................................................................... 6-22 参考书................................................................................................................ 6-23 习题.................................................................................................................... 6-23
如图 6.1(a)为非线性弹性硬化弹簧的静态荷载-位移曲线，曲线斜率随荷载增长。虚 线为原点切线，代表其初始刚度。图 6.1(b)描述的是非线性软化弹簧的荷载位移曲线， 曲线的斜率随荷载的增加而减小。注意到上面两个图中，曲线均关于原点对称，这样的 弹簧具有对称恢复力，否则为非对称恢复力。
图 6.2 对称硬化弹簧的例子
图 6.2 给出了一个具有对称硬化弹簧的例子。质量 附在长度为2 的拉直的弦 AB 的中部，弦的初始张力用 表示。令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为 ，弦中产 生的弹性恢复力如图 6.2(b)所示。系统进行自由振动, 其运动方程为
2
sin 0