第四章信息率失真函数-总结与习题
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ch04 信息率失真函数
P (Y X )
⎧0 xi = y j d ( xi , y j ) = ⎨ ⎩a xi ≠ y j
3
⎡ p ( y1 x1 ) p ( y2 x1 ) ... p ( ym x1 ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ p ( y1 x2 ) p ( y2 x2 ) ... p ( ym x2 ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ p ( y1 xn ) p ( y2 xn ) ... p ( ym xn ) ⎦ ⎥ ⎣
⎡ d ( x1, y1 ) d ( x1, y2 ) ⎢d ( x , y ) d ( x , y ) 2 1 2 2 D= ⎢ ⎢ ⎢ ⎣d ( xn , y1 ) d ( xn , y2 )
d ( x1, ym ) ⎤ d ( x2 , ym )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ d ( xn , ym )⎦
4
4.1 基本概念
i =1 j n
(
)
离散信源 连续信源
Dmin = ∑ p(xi )min d(xi , y j )
i=1 j
n
仅当失真矩阵每行均 有零元素时, Dmin= 0
R(Dmin ) = R(0) = H ( X )
R(Dmin ) = R(0) = H(x) =∞
12
4.1 基本概念
西华师范大学 物理与电子信息学院
失真函数d(αi,βj)
d(αi , β j ) = d(xi1 xi2
N k =1
xiN , yj1 yj2
= ∑d(xik , yjk )
D ≤ D ，D——允许失真的上界
7
平均失真度—— 单符号时的N倍
D( N ) = ND
8
4.1 基本概念
西华师范大学 物理与电子信息学院
《信号处理原理》 第4章 信息失真率
d(0,2)=d(1,2)=0.5
则得失真矩阵
d
0 1
1 0
0.5 0.5
4.1 平均失真和信息率失真函数
说明：失真函数d (xi, yj) 的数值是依据实际应 用情况，用 yj代替xi, 所导致的失真大小是人为决 定的。比如上例中，用y=2代替x=0和x=1所导致 的失真程度相同，用0.5表示；而用y=0代替x=1 所导致的失真程度要大，用1表示。失真函数d (xi, yj) 的函数形式可以根据需要任意选取，例如平方 代价函数、绝对代价函数、均匀代价函数等。
信源编码器的目的是使编码后所需的信 息传输率R尽量小，然而R越小，引起的平 均失真就越大。给出一个失真的限制值D，
在满足平均失真 D D的条件下，选择一种
编码方法使信息率R尽可能小。信息率R就 是所需输出的有关信源X的信息量。
16
4.1 平均失真和信息率失真函数
将此问题对应到信道，即为接收端Y需要 获得的有关X的信息量，也就是互信息 I(X;Y)。这样，选择信源编码方法的问题就 变成了选择假想信道的问题，符号转移概 率p(yj/xi)就对应信道转移概率。
输入符号集 X:{a1, a2, …, an}中有n种不同的符 号xi (i =1, 2, …, n) ；输出符号集Y:{b1, b2, …, bm}中有m种不同的符号yj (j =1, 2, …, m)；对于 图所示的系统，对应于每一对(xi, yj)(i = 1, 2, …,n；j=1, 2, …, m)，定义一个非负实值函数
平均失真D是对给定信源分布p(ai)经过某一种 转移概率分布为p(bj|ai)的有失真信源编码器后产 生失真的总体量度。
13
4.1 平均失真和信息率失真函数
第四章信道率失真函数后续习题课
真传送要求信息率R为无穷大； •实际信道带宽是有限的，所以信道容量受限制。要 想无失真传输，所需的信息率大大超过信道容量 R>>C。
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第四章 信息 率失真函数
• 实际中允许一定程度的失真
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第四章 信息 率失真函数
• 问题：在允许一定程度的失真条件下，信
4.1.1 失真函数
源信息能够压缩到何种程度？至少需要多 少比特的信息率才能描述信源？
•香农信息率失真理论指出：
• 这样就将选择信源编码方法的问题转化为选择假想信道的问题，
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第四章 信息 率失真函数
• 试验信道
4.1.3 信息率失真函数R(D)
平均失真 是信源统计特性p(xi) 、信道统计特性p(yj/xi ) 和失真度d(xi,yj)的函数 。当p(xi)和d(xi,yj)给定后，则可以 求出满足保真度准则 下的所有转移概率分布 pij，构 成一个信道集合PD，
i=n i=n i=n 2n 2n 2n
a1 a2 an
a n+1
an
n 1 2n
a 2n
输出熵H(Y)为: 1 1 1+n n+1 H(Y)=H( ,... , ) log 2n log(n 1) 2n 2n 2n 2n
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第四章 信息 率失真函数
• 实际中允许一定程度的失真
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第四章 信息 率失真函数
• 问题：在允许一定程度的失真条件下，信
4.1.1 失真函数
源信息能够压缩到何种程度？至少需要多 少比特的信息率才能描述信源？
•香农信息率失真理论指出：
• 这样就将选择信源编码方法的问题转化为选择假想信道的问题，
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第四章 信息 率失真函数
• 试验信道
4.1.3 信息率失真函数R(D)
平均失真 是信源统计特性p(xi) 、信道统计特性p(yj/xi ) 和失真度d(xi,yj)的函数 。当p(xi)和d(xi,yj)给定后，则可以 求出满足保真度准则 下的所有转移概率分布 pij，构 成一个信道集合PD，
i=n i=n i=n 2n 2n 2n
a1 a2 an
a n+1
an
n 1 2n
a 2n
输出熵H(Y)为: 1 1 1+n n+1 H(Y)=H( ,... , ) log 2n log(n 1) 2n 2n 2n 2n
信息率失真函数 第4章— 1
② 均方失真: d(ai ,bj ) (ai bj )2
③ 绝对失真: d (ai ,bj ) | ai bj |
④ 相对失真: d (ai ,bj ) | ai bj | / | ai |
⑤
误码失真:
d
(ai
,bj
)
(ai
bj
)
0, 1,
ai bj 其他
9
4.1.2 平均失真
• xi和yj都是随机变量,所以失真函数d(xi,yj)也是随 机变量,限失真时的失真值只能用数学期望表示
11
4.1.3 信息率失真函数R(D)
• 若平均失真度 D 不大于我们所允许的失真，即
DD
• 则称此为保真度准则
• 当信源p(xi)给定，单个符号失真度d(xi,yj) 给定时, 选择不同的试验信道p(yj|xi)，相当于不同的编码 方法，其所得的平均失真度不同。
• 试验信道
D D 满足保真度准则
D
＞D
12
4.1.3 信息率失真函数R(D)
• 满足 D D 条件的所有转移概率分布pij ，构成 了一个信道集合
PD {p(bj | a）i ：D D} • D失真允许的试验信道：
– 满足保真度准则的试验信道。
• PD：
– 所有D失真允许的试验信道组成的一个集合。
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4.1.3 信息率失真函数R(D)
信道容量
• 信道容量：
– 假定信道固定的前提下，选择一种试验信源 使信息传输率最大。
– 它所反映的是信道传输信息的能力，是信道 可靠传送的最大信息传输率。
• 一旦找到了信道容量，它就与信源不再有关, 而是信道特性的参量，随信道特性的变化而变 化。
信息论基础与编码课件第四章 信息率失真函数
同样，可得Pij时的平均互信息为 I''(X;Y)0.37b9i/t符号
从此例我们可以看到，若固定P(x)不变时，平均互信息量随信
道的转移概率的变化而变化。这是因为信道受到干扰的作用 不同，传递的信息量也不同。可以证明这样一个结论：P(x)一 定时，平均互信息量I(X;Y)是关于信道的转移概率的下凸函数， 即存在一极小值。
m × n个 p i j 的值，代入平均失真的公式中，可解出随S参数值变
化的D值，即
D (S ) p ip j id ij p ip ij ie S d ijd ij （4-16）
ij
ij
25
离散信源的R(D)函数及其计算(续)
信源的信息率失真函数R(D)为
R (S ) i
j
pi p j i e Sdij
源输出符号序列 X (X 1 ,X 2 , ,X L ) ，其中L长符号序列样
值 Y(Y 1,Y 2, ,Y L) ，经信源编码后，输出符号序
列 x i (x i1 ,x i2 , ,x iL )
，其中L长符号序列样
值 y i (y i1 ,y i2 , ,y iL )，则失真函数定义为：
1L
dL(xi,yj)Ll1d(xil,yjl)
其中d(xil，yjl)是信源输出L长符号样值 x i 中的第l个符号xil时，
编码输出L长符号样值 中的y i 第l个符号yjl的失真函数。
7
平均失真
定义平均失真度为失真函数的数学期望，即 d ( xi , yj ) 在 X 和 Y的 联合概率空间 P(XY ) 中的统计平均值
nm
D E [d (x i,y j)] p (x i)p (y j|x i)d (x i,y j) （4-4） i 1j 1
陈运 信息论与编码 第四章 信息率失真函数
失真度 （函数）
d (a1 , b1 ) d (a1 , b2 ) d (a , b ) d (a , b ) 2 1 2 2 [ D] ... ... d (an , b1 ) d (an , b2 )
... d (a1 , bm ) ... d (a2 , bm ) ... ... ... d (an , bm )
D p(ai ) p(b j / ai )d (ai , b j )
i 1 j 1 n m
D1 (1 ) D2 D (1 ) D D
' ''
满足保真 度准则
' ''
I ( X ; Y ) R( D) R[D (1 ) D ]
k 1 N
由信源和信道的无记忆性
p (ai ) p ( x jk )
k 1 N N
p (b j / ai ) p ( y jk / x jk )
k 1
D( N ) p(ai ) p(b j / ai )d (ai , b j )
i 1 j 1
nN mN
D1 D N
第1章：概述 第2章：信源熵 第3章：信道容量
第4章：信息率失真函数
第5章：信源编码 第6章：信道编码 第7章：密码体制的安全性测度
§4.1 信息率失真函数
§4.2 离散信源的信息率失真函数 §4.3 连续信息的率失真函数
§4.4 保真度准则下的信源编码定理
§4.1 信息率失真函数
§4.1.1 失真函数和平均失真度
n m
'
D 2 p(ai ) p 2 (b j / ai )d (ai , b j ) D
d (a1 , b1 ) d (a1 , b2 ) d (a , b ) d (a , b ) 2 1 2 2 [ D] ... ... d (an , b1 ) d (an , b2 )
... d (a1 , bm ) ... d (a2 , bm ) ... ... ... d (an , bm )
D p(ai ) p(b j / ai )d (ai , b j )
i 1 j 1 n m
D1 (1 ) D2 D (1 ) D D
' ''
满足保真 度准则
' ''
I ( X ; Y ) R( D) R[D (1 ) D ]
k 1 N
由信源和信道的无记忆性
p (ai ) p ( x jk )
k 1 N N
p (b j / ai ) p ( y jk / x jk )
k 1
D( N ) p(ai ) p(b j / ai )d (ai , b j )
i 1 j 1
nN mN
D1 D N
第1章：概述 第2章：信源熵 第3章：信道容量
第4章：信息率失真函数
第5章：信源编码 第6章：信道编码 第7章：密码体制的安全性测度
§4.1 信息率失真函数
§4.2 离散信源的信息率失真函数 §4.3 连续信息的率失真函数
§4.4 保真度准则下的信源编码定理
§4.1 信息率失真函数
§4.1.1 失真函数和平均失真度
n m
'
D 2 p(ai ) p 2 (b j / ai )d (ai , b j ) D
离散信源的信息率失真函数
= exp{
p (u i )
}
µ
i
p (u i )
j
}
3.计算 利用关系
p (v j
s
p(v j )、 i 和p(v j λ
j i
u ) = λ p(v ) exp{Sd (u , v )}
i i i j
u)
i
r j i =1 i j i
∑ p(v u ) = 1和p(v ) = ∑ p(u )p(v u )
解得
λi =
r 1 + ( r − 1) exp( S )
(i = 1,2,L, r)
(3)计算
p(v j ) ( j = 1,2, L, r )
1+ (r −1) exp(S) p(v1) + p(v2) exp(S) +L+ p(vr) exp(S) = r p(v1) exp(S) + p(v2) +L+ p(vr) exp(S) = 1+ (r −1) exp(S) r M 1+ (r −1) exp(S) p(v1) exp(S) + p(v2) exp(S) +L+ p(vr) = r
u)
p (v j )
∂ ∂p(v j
u)
i
[SD] = Sp(ui)d (ui , v j )
∂ ∂p(v j
u)
i
[µ
i
∑ p(v u )] = µ
s j =1 j i
i
将三个偏导结果代入得
p (v j
u i) = p(v j ) exp{Sd (u i , v j )} exp{
λ
p (u i )
}
µ
i
p (u i )
j
}
3.计算 利用关系
p (v j
s
p(v j )、 i 和p(v j λ
j i
u ) = λ p(v ) exp{Sd (u , v )}
i i i j
u)
i
r j i =1 i j i
∑ p(v u ) = 1和p(v ) = ∑ p(u )p(v u )
解得
λi =
r 1 + ( r − 1) exp( S )
(i = 1,2,L, r)
(3)计算
p(v j ) ( j = 1,2, L, r )
1+ (r −1) exp(S) p(v1) + p(v2) exp(S) +L+ p(vr) exp(S) = r p(v1) exp(S) + p(v2) +L+ p(vr) exp(S) = 1+ (r −1) exp(S) r M 1+ (r −1) exp(S) p(v1) exp(S) + p(v2) exp(S) +L+ p(vr) = r
u)
p (v j )
∂ ∂p(v j
u)
i
[SD] = Sp(ui)d (ui , v j )
∂ ∂p(v j
u)
i
[µ
i
∑ p(v u )] = µ
s j =1 j i
i
将三个偏导结果代入得
p (v j
u i) = p(v j ) exp{Sd (u i , v j )} exp{
λ
《信息论与编码》习题解答第四章(新)new
《信息论与编码》习题解答第四章 信息率失真函数-习题答案4.1解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=εεεε11)|(i j a b p 平均失真：εεεεε=⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯==∑∑==0)1(2/112/112/10)1(2/1),()|()(2121j i i j i j i b a d a b p a p D4.2解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0210d ， 0min =D ,∑=⨯+⨯=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )102/122/1(2/112/102/1),()(min min max 舍去当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001P当2/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第二列的max D 值，所以输出符号概率:,1)(,0)(21==b p b p ,,2221b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1010P 4.3解：0min =D0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =⨯+⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 当0min =D ，bit X H R D R 24log )()0()(min ==== 因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010000100001P 当4/3max =D ，0)(max =D R因为任何一列的max D 值均为3/4，所以取输出符号概率:0)(,0)(,0)(,1)(4321====b p b p b p b p ，即14131211,,,b a b a b a b a →→→→因此编码器的转移概率为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001000100010001P 4.4解： 依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4/1014/110d ， 0min =D∑=⨯+⨯===ij i i j j y x d x p D D )2/12(4/1)4/12/14/12/1min(),()(min min max 个均为其它当0min =D ，bit X H R D R 12log )()0()(min ====因为没有失真，此时的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010001P 当4/1max =D ，0)(max =D R因为取的是第三列的max D 值为1/4，所以取输出符号概率:1)(,0)(,0)(321===b p b p b p ，即3231,b a b a →→因此编码器的转移概率为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100100P 4.5解：(1)依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110d ，转移概率为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=q q P 101 )1(0)1()1(1)1(1001),()|()(11p q q p q p p p y x d x y p x p D n i mj j i i j i -⨯=⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯==∑∑==(2) 0min =D因为)(D R 是D 的递减函数，所以)1log()1(log )()()())(m ax (min min p p p p D H p H D R D R ----=-==当0=q 时可达到))(max(D R ，此时0=D(3) ∑-=⨯+⨯===iji i j j ，p p p p y x d x p D D )1(10),()(min min max 舍去更大另一个 因为)(D R 是D 的递减函数，所以0)()()())(m in(max max =-==D H p H D R D R当1=q 时可达到))(min(D R ，此时p D -=1(图略，见课堂展示)4.6解：依题意可知：失真矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞∞=1010d ，信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110)(u p u 0min =D ，∑⨯+⨯⨯+∞⨯∞⨯+⨯===iji i j j y x d x p D D )12/112/1,02/12/1,2/102/1min(),()(min min max )(1]1,,m in[舍去另二个，∞=∞∞=10≤≤D因为二元等概信源率失真函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a D H n D R ln )( 其中1,2==a n ，所以率失真函数为：D D R -=1)(4.7解：失真矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110d ，按照P81页方法求解。
第四章信息率失真函数-习题答案
4.1 一个四元对称信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。
解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =⨯+⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯+⨯===∑∑ij i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=a D a D n a Da D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为：()()D D D D D R --++=1ln 13ln4ln )( 函数曲线：D 其中：sym bol nat D R D sym bol nat D R D sym bol nat D R D sym bolnat R D /0)(,43/12ln 214ln )(,21/316ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3/113/13/101)(X P X ，接收符号⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21,21Y ，其失真矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。
4.3 某二元信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2/12/110)(X P X 其失真矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a a D 00求这信源的D max 和D min 和R(D)函数。
解：0021021),(min )(202121),()(min min min max =⨯+⨯===⨯+⨯===∑∑ij i j i i j i i j j y x d x p D a a y x d x p D D 因为二元等概信源率失真函数：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a D H n D R ln )( 其中n = 2, 所以率失真函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=a D a D a D a D D R 1ln 1ln 2ln )( 4.4 已知信源X = {0, 1}，信宿Y = {0, 1, 2}。
第4章 信息率失真理论
R[D1 (1 )D2 ] R(D1 ) (1 )R(D2 )
③对D具有单调递减性
由R(D)对D具有的非负性、严格下凸性及R(Dmax) =0说明
信息率失真理论
当Dmin=0时，信息率失真函数R(D)的大致曲线 R(D) H(X)
Dmin
Dmax D
信息率失真理论
3、信息率失真函数的表达式
ˆ P( x j / x i ) i ˆ ln Sd( x i , x j ) 0 ˆ P( x j ) P( x i ) i 1,2,, n j 1,2,, n
i 令 ln i P( x i ) ˆ P( x j / x i ) ˆ Sd ( x i , x j ) ln ln i e ˆ P( x j )
信息率失真理论
第2个实验信道满足D2条件下R(D)的定义 ˆ ˆ P (X / X) {P(X / X) : D D }
D2 2
ˆ ˆ R (D 2 ) min I(X; X) I 2 (X; X) ˆ
PD2 ( X / X )
取一个新的实验信道
ˆ ˆ PD1 (X / X) (1 )PD2 (X / X) ˆ {P(X / X) : D D1 (1 )D 2 }
ˆ ... d( x1 , x n ) ˆ ... d( x 2 , x n ) ... ... ˆ ... d( x n , x n )
汉明失真矩阵
0 1 [ D] ... 1 1 0 ... 1 ... ... ... ... 1 1 ... 0
R[D1 (1 )D2 ] R(D1 ) (1 )R(D2 )
设第1个实验信道满足D1条件下R(D)的定义
信息论第四章失真率函数
【例4.8】 信源含两个消息{x1=0，x2=1},其概率分布为 失真测度 p为(XX汉)明 （x1Ha1mx2min,gδ）<失0.真5，测信度道，输求出率符失号真Y函=数{yR1=(D0，)。y2=1}，
(1) 根据式(4-14)和(4-18)可求出R(D)的定义域 Dmin = 0·δ+0·(1-δ) = 0 D max = min {1-δ, δ}=δ (2) 求R(D)的值域
ij
式中D是预先给定的失真度，上式称为保真度准则。
根据[定理2.2]，当信源q (x)一定时，平均互信息量I (X ; Y) 是信道转移概率函数p(y∣x)的∪型凸函数，这意味着可以 关于p(y∣x)对平均互信息量I (X ; Y)求得极小值，定义这个
极小值为率失真函数R(D)，即：
RD min I X ;Y : D D p(y x)
xi )
( xi
y j )( y j )
q(xi )
。
1-δ = D （y1）+（1-D） (y2)
由上面方程组解出，
(
y1
)
D
1 2D
(
y
2
)
1
1
D 2D
② 再算出
p( y1
x1 )
(x1 y1 ) ( y1 )
q(x1 )
(1
D)
D 1 2 D
(1 D)( D) (1 2D)
d d 21 d 22
d1J
d
2
J
(4-1)
d I 1 d I 2 d I J
【例4.1】 汉明（Hamming）失真测度
信源输出符号X = {x1, x2, …, xK}，信道输出符号Y = {y1, y2, …,
(1) 根据式(4-14)和(4-18)可求出R(D)的定义域 Dmin = 0·δ+0·(1-δ) = 0 D max = min {1-δ, δ}=δ (2) 求R(D)的值域
ij
式中D是预先给定的失真度，上式称为保真度准则。
根据[定理2.2]，当信源q (x)一定时，平均互信息量I (X ; Y) 是信道转移概率函数p(y∣x)的∪型凸函数，这意味着可以 关于p(y∣x)对平均互信息量I (X ; Y)求得极小值，定义这个
极小值为率失真函数R(D)，即：
RD min I X ;Y : D D p(y x)
xi )
( xi
y j )( y j )
q(xi )
。
1-δ = D （y1）+（1-D） (y2)
由上面方程组解出，
(
y1
)
D
1 2D
(
y
2
)
1
1
D 2D
② 再算出
p( y1
x1 )
(x1 y1 ) ( y1 )
q(x1 )
(1
D)
D 1 2 D
(1 D)( D) (1 2D)
d d 21 d 22
d1J
d
2
J
(4-1)
d I 1 d I 2 d I J
【例4.1】 汉明（Hamming）失真测度
信源输出符号X = {x1, x2, …, xK}，信道输出符号Y = {y1, y2, …,
第四章信息率失真函数
其失真程度要比再现为其他接收符号的失真程度少一半。
若二元删除信源s ＝2，r＝3， U＝{0,1}，V＝{0,1 ,2} 。 失真度为：
d(0,0)=d(1,2)=0
d(0,2)=d(1,0)=1 则
d(0,1)=d(1,1)=1/2
0 D
1
1
2 1
1
0
2
[例3] 对称信源(s = r) 。信源变量U＝{u1,u2,…ur} ，接收变量 V＝ {v1,v2,…vs} 。失真度定义为：
[例5]有一个二元等概平稳无记忆信X源 X0,1，0接,1收符号集为
Y 0,1,2
且失真矩阵为
[d
]
0
0
1 1
求率失真函数R(D)
。
解：由
Dmin
x
p(x) mind(x, y) 0 y
Dmax
min y
x
p(x)d(x, y) 1
由于信源等概分布，失真函数具有对称，因此，存在 着与失真矩阵具有同样对称性的转移概率分布达到率失 真R(D) ，该转移概率矩阵可写为：
P(v j / ui )
i1 j1
其约束条件为:
P(ui )P(v j / ui )
i1
P(v j / ui ) 0
s
P(v j / ui ) 1
j 1
rs
P(ui )P(v j / ui )d(ui , v j ) D
i1 j1
一、等概率、对称失真信源的计算
对于等概、对称失真的信源，存在一个与失真矩阵具有 同样对称性的转移概率分布达到率失真R(D)。
p(x)d(x, y)
x
• 允许失真度D的下限可以是零，即不允许任何失真的情况。
若二元删除信源s ＝2，r＝3， U＝{0,1}，V＝{0,1 ,2} 。 失真度为：
d(0,0)=d(1,2)=0
d(0,2)=d(1,0)=1 则
d(0,1)=d(1,1)=1/2
0 D
1
1
2 1
1
0
2
[例3] 对称信源(s = r) 。信源变量U＝{u1,u2,…ur} ，接收变量 V＝ {v1,v2,…vs} 。失真度定义为：
[例5]有一个二元等概平稳无记忆信X源 X0,1，0接,1收符号集为
Y 0,1,2
且失真矩阵为
[d
]
0
0
1 1
求率失真函数R(D)
。
解：由
Dmin
x
p(x) mind(x, y) 0 y
Dmax
min y
x
p(x)d(x, y) 1
由于信源等概分布，失真函数具有对称，因此，存在 着与失真矩阵具有同样对称性的转移概率分布达到率失 真R(D) ，该转移概率矩阵可写为：
P(v j / ui )
i1 j1
其约束条件为:
P(ui )P(v j / ui )
i1
P(v j / ui ) 0
s
P(v j / ui ) 1
j 1
rs
P(ui )P(v j / ui )d(ui , v j ) D
i1 j1
一、等概率、对称失真信源的计算
对于等概、对称失真的信源，存在一个与失真矩阵具有 同样对称性的转移概率分布达到率失真R(D)。
p(x)d(x, y)
x
• 允许失真度D的下限可以是零，即不允许任何失真的情况。
4信息率失真函数-2
p( y j ) i j
12
R(D)的定义域例子
x2 x1 α 0 例 二元信源 ,[ D] = 0.4 0.6 0 α 求R( D )的定义域和值域。 解： 由定义：Dmin = 0 D1 = 0.4α D2 = 0.6α = = Dmax min( D1 , D2 ) 0.4α = 当D=Dmin 0= 时，R( D ) H ( X ， ) 无失真 当D ≥ Dmax时，R( D ) = 0
基础信息论
电子信息与通信学院 涂来 email: tulai@ 南一楼 东南角5楼
第4章 信息率失真函数
第4章 信息率失真函数
• 4.1 基本概念 • 4.2 离散信源的信息率失真函数 • 4.3 连续信源的信息率失真函数 • 4.4 保真度准则下的信源编码定理
3
第4章 信息率失真函数
∑
d12 d 22 dn2
d1 m d 2m = [ D] d ij d nm
11
D max
= min ∑ p( y j )∑ p( x i )d ( x i , y j ) min ∑ p( y j ) D j
p( y j ) j i p( y j ) j
D max = min E d ( x, y ) p ( y | x )∈ P0
由于，X和Y相互独立，故有：
D max = min ∑
p( y j ) j
p( xx n )
= min ∑
p( y j ) j
d11 p( y j ) p( x i )d ( x i , y j ) d 21 i p( y j ) D j d n1
信源分布 失真函数 已经给定 上式是用不同的概率分布 p( y j ) 对 Dj 求数学期望， 取数学期望当中最小的一个作为Dmax
12
R(D)的定义域例子
x2 x1 α 0 例 二元信源 ,[ D] = 0.4 0.6 0 α 求R( D )的定义域和值域。 解： 由定义：Dmin = 0 D1 = 0.4α D2 = 0.6α = = Dmax min( D1 , D2 ) 0.4α = 当D=Dmin 0= 时，R( D ) H ( X ， ) 无失真 当D ≥ Dmax时，R( D ) = 0
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第4章 信息率失真函数
第4章 信息率失真函数
• 4.1 基本概念 • 4.2 离散信源的信息率失真函数 • 4.3 连续信源的信息率失真函数 • 4.4 保真度准则下的信源编码定理
3
第4章 信息率失真函数
∑
d12 d 22 dn2
d1 m d 2m = [ D] d ij d nm
11
D max
= min ∑ p( y j )∑ p( x i )d ( x i , y j ) min ∑ p( y j ) D j
p( y j ) j i p( y j ) j
D max = min E d ( x, y ) p ( y | x )∈ P0
由于，X和Y相互独立，故有：
D max = min ∑
p( y j ) j
p( xx n )
= min ∑
p( y j ) j
d11 p( y j ) p( x i )d ( x i , y j ) d 21 i p( y j ) D j d n1
信源分布 失真函数 已经给定 上式是用不同的概率分布 p( y j ) 对 Dj 求数学期望， 取数学期望当中最小的一个作为Dmax
第四章总结习题
U 0 1
P(u)
1 4
1 4
2 3
1 4
1 4
接收符号为V={0,1,2,3},其失真矩阵为 0 1 1 1
D 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
求Dmax,Dmin及信源的R(D)函数，并作出其曲线（取4到5 个点）
2024/7/16
13
习题1
第四章 信息率失真函数
解答：四元对称信源在汉明失真矩阵下，它的平均失真度
信息率失真函数也是一个界限。只要信息率大于这个界限， 译码失真就可限制在给定的范围内。即通信的过程中虽然有 失真，但仍能满足要求，否则就不能满足要求。
2024/7/16
11
第四章 信息率失真函数
研究信道编码和率失真函数的意义
研究信道容量的意义：在实际应用中，研究信道容量是为 了解决在已知信道中传送最大信息率问题。目的是充分利 用已给信道，使传输的信息量最大而发生错误的概率任意 小，以提高通信的可靠性。这就是信道编码问题。
第四步：求D(S)，将上述结果代入式(4.2.14)有
nm
D(S)
p(xi ) p( y j )d (xi , y j )ieSd (xi ,y j )
i1 j1
D(S)
p(x1) p( y1)d (x1,
y ) eSd (x1, y1 ) 11
p(x2 ) p( y1)d (x2 ,
y ) eSd (x2 , y1 ) 11
(4.2.10)
p( y1 / x1) p( y1 / x2 ) p( y2 / x1)
p( y1)1eSd (x1, y1) p( y1)2eSd (x2 , y1) p( y2 )1eSd (x1, y2 )
第四章 信道失真率函数
D( N ) E[d (ai , b j )] p(ai ) p(b j | ai )d (ai , b j )
n n
N p(ai ) k 1 p( xik ) N p(b j | ai ) k 1 p( y jk | xik )
nN m N
i1 1 m
i N 1 j1 1
6
常用的失真函数
失真函数是根据人们的实际需要和失真引起的损失、风险、 主观感觉上的差别等因素人为规定的，可以有多种形式 平方误差失真函数 d ( xi , y j ) ( y j xi )2 适用于 d ( x , y ) | y x | 绝对误差失真函数 i j j i 连续信源 相对误差失真函数 d ( xi , y j ) | y j xi | | xi |
率失真函数的定义域 (D 的下界)
允许失真度 D 是平均失真度的上限，而 D 是非负函数 d ( xi , y j ) 的数学期望，因此 D 的下界至多为 0，对应于无失真的情况， 此时信息传输率应等于信源输出的信息熵，即 Dmin 0 时： 离散信源：R( Dmin ) R(0) H ( X ) 连续信源：R( Dmin ) lim R( D )
N
由于 N 次扩展信源和 N 次扩展信道都是无记忆的，因此：
p(ai ) p( xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( xik )
p(b j | ai ) p( y j1 y j2
y jN | xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( y jk | xik )
9
符号序列的 平均失真度
i 1, 2, j 1, 2,
,n ,m
上述非负的失真函数共有 n m 个，可以整体表示成失真矩阵 d ( x1 , ym ) d ( x1 , y1 ) d ( x1 , y2 ) d ( x , y ) d ( x , y ) d ( x , y ) 2 1 2 2 2 m D d ( x n , ym ) d ( xn , y1 ) d ( xn , y2 ) 由于信源发出的符号 X 和信宿收到(再现)的符号 Y 均是随机 变量，因此单个符号的失真函数 d ( xi, yj ) 也是随机变量(的一 次实现)
n n
N p(ai ) k 1 p( xik ) N p(b j | ai ) k 1 p( y jk | xik )
nN m N
i1 1 m
i N 1 j1 1
6
常用的失真函数
失真函数是根据人们的实际需要和失真引起的损失、风险、 主观感觉上的差别等因素人为规定的，可以有多种形式 平方误差失真函数 d ( xi , y j ) ( y j xi )2 适用于 d ( x , y ) | y x | 绝对误差失真函数 i j j i 连续信源 相对误差失真函数 d ( xi , y j ) | y j xi | | xi |
率失真函数的定义域 (D 的下界)
允许失真度 D 是平均失真度的上限，而 D 是非负函数 d ( xi , y j ) 的数学期望，因此 D 的下界至多为 0，对应于无失真的情况， 此时信息传输率应等于信源输出的信息熵，即 Dmin 0 时： 离散信源：R( Dmin ) R(0) H ( X ) 连续信源：R( Dmin ) lim R( D )
N
由于 N 次扩展信源和 N 次扩展信道都是无记忆的，因此：
p(ai ) p( xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( xik )
p(b j | ai ) p( y j1 y j2
y jN | xi1 xi2
N xiN ) k 1 p( y jk | xik )
9
符号序列的 平均失真度
i 1, 2, j 1, 2,
,n ,m
上述非负的失真函数共有 n m 个，可以整体表示成失真矩阵 d ( x1 , ym ) d ( x1 , y1 ) d ( x1 , y2 ) d ( x , y ) d ( x , y ) d ( x , y ) 2 1 2 2 2 m D d ( x n , ym ) d ( xn , y1 ) d ( xn , y2 ) 由于信源发出的符号 X 和信宿收到(再现)的符号 Y 均是随机 变量，因此单个符号的失真函数 d ( xi, yj ) 也是随机变量(的一 次实现)
第四章 信息率失真函数
为什么要讨论信息率失真函数R(D) ？
失真在传输中是不可避免的。
连续信源输出的信息量为无穷大,不可能实现无失真信源编码. 接收者(信宿)无论是人还是机器设备，都有一定的分辨能力与 即使信宿能分辨、能判别，但对通信质量的影响不大，也可以
灵敏度，超过分辨能力与灵敏度的信息传送过程是毫无意义的。
因此 D 取决于以下几个因素：
) i=1,2, ,n) 1）信源的统计特性，即 p(ai（
2）信道的统计特性，即 p(b j / ai ) 3）失真函数，即 d (ai , b j ) 一般情况下，人们所允许的失真指的都是平均意义 上的失真。如果规定其平均失真度 D不能超过某一限 定的值D，即D就是允许失真的上界。
称它为允许范围内的失真。
如果R>C，就必须对信源压缩，使得压缩后的R*<C，但同时要 求引入的失真不能超过规定的限度。 对于给定的信源，在允许失真的条件下信源熵所能压缩的理论 极限值就是率失真函数R(D) 。
综上所述，一般可以对信源输出的信息进行限失真
处理，降低信息率，提高传输效率。
在允许一定程度的失真条件下，能够把信息压缩到 什么程度？需要多少比特的信息率才能描述信源？ 本章主要讨论一定程度的失真情况下所需的最少的 信息率，即信息率失真函数R(D) 。 思路：从分析失真函数、平均失真出发求出信息率 失真函数R(D)。
失真函数的数值是依据实际应用情况，用bj代替ai所导致的失 真大小是人为决定的。上例中用b=2代替a=0和a=1所导致的失 真程度相同，均为0.5；而用b=0代替a=1所导致的失真程度要大 些，为1。
二、平均失真度
1. 离散随机变量平均失真度定义
失真函数的数学期望称为平均失真度。
n m n m
失真在传输中是不可避免的。
连续信源输出的信息量为无穷大,不可能实现无失真信源编码. 接收者(信宿)无论是人还是机器设备，都有一定的分辨能力与 即使信宿能分辨、能判别，但对通信质量的影响不大，也可以
灵敏度，超过分辨能力与灵敏度的信息传送过程是毫无意义的。
因此 D 取决于以下几个因素：
) i=1,2, ,n) 1）信源的统计特性，即 p(ai（
2）信道的统计特性，即 p(b j / ai ) 3）失真函数，即 d (ai , b j ) 一般情况下，人们所允许的失真指的都是平均意义 上的失真。如果规定其平均失真度 D不能超过某一限 定的值D，即D就是允许失真的上界。
称它为允许范围内的失真。
如果R>C，就必须对信源压缩，使得压缩后的R*<C，但同时要 求引入的失真不能超过规定的限度。 对于给定的信源，在允许失真的条件下信源熵所能压缩的理论 极限值就是率失真函数R(D) 。
综上所述，一般可以对信源输出的信息进行限失真
处理，降低信息率，提高传输效率。
在允许一定程度的失真条件下，能够把信息压缩到 什么程度？需要多少比特的信息率才能描述信源？ 本章主要讨论一定程度的失真情况下所需的最少的 信息率，即信息率失真函数R(D) 。 思路：从分析失真函数、平均失真出发求出信息率 失真函数R(D)。
失真函数的数值是依据实际应用情况，用bj代替ai所导致的失 真大小是人为决定的。上例中用b=2代替a=0和a=1所导致的失 真程度相同，均为0.5；而用b=0代替a=1所导致的失真程度要大 些，为1。
二、平均失真度
1. 离散随机变量平均失真度定义
失真函数的数学期望称为平均失真度。
n m n m
信息论与编码---第4章信息率失真函数
6
[D]称为信道 {X-P(Y/X)-Y} 的失真矩阵. 称为信道 失真矩阵.
长江大学电信学院
X
4.1 基本概念
常用的失真函数有 (1)
d ( xi , y j ) = a 0, i= j a > 0, i ≠ j
7
当i = j时,x和y的消息符号都是 i,说明收发 的消息符号都是x 时 和 的消息符号都是 之间没有失真,所以失真函数 之间没有失真,所以失真函数dij = 0;反之, ;反之, 当i ≠ j时,信宿收到的消息不是信源发出的符 时 而是y 出现了失真,所以失真函数d 号xi,而是 j,出现了失真,所以失真函数 ij 值的大小可以表示这种失真的程度. ≠0,而dij值的大小可以表示这种失真的程度. ,
长江大学电信学院
X
4.1 基本概念
d (a i , b j ) = d ( x i1 x i2 L x i N , y j1 y j2 L y j N ) = d ( x i1 , y j1 ) + d ( x i2 , y j2 ) + L + d ( x i N , y j N ) = ∑ d ( x i k , y jk )
长江大学电信学院
X
4.1 基本概念
2. 平均失真度的定义 若信源和信宿的消息集合分别为X:{x1, 若信源和信宿的消息集合分别为 x2, …, xn}和Y:{y1, y2, …, ym},其概率分别为 和 , p(xi)和p(yj) (i=1, 2, …, n ; j=1, 2, …, n ),信道 和 , 的转移概率为p(y ,失真函数为d 的转移概率为 j|xi),失真函数为 (xi,yj),则 , 称随机变量X和 的联合概率 的联合概率p(x 称随机变量 和Y的联合概率 i yj )对失真函数 对失真函数 的统计平均值为该通信系统的平均失真 d (xi, yj)的统计平均值为该通信系统的平均失真 的统计平均值为该通信系统的 度.
第四章总结习题.
信息率失真函数也是一个界限。只要信息率大于这个界限， 译码失真就可限制在给定的范围内。即通信的过程中虽然有 失真，但仍能满足要求，否则就不能满足要求。
2018/8/6
11
第四章 信息率失真函数
研究信道编码和率失真函数的意义
对偶问题：信道容量和信息率失真函数的问题，都是求平均 互信息极值问题。分三个方面说明：
求极值问题
平均互信息I(X;Y)是信源概率分布p(xi)(i=1,2,…,n) 的上凸函数， 信道容量就是在固定信道情况下，求平均互信息极大值的问题， 即 I(X;Y) 又是信道转移概率分布 p(yj /xi)(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m) 的下 凸函数，信息率失真函数就是在试验信道（满足保真度准则的信 道）中寻找平均互信息极小值的问题，即
4
2018/8/6
第四章 信息率失真函数
允许平均失真度：率失真函数中的自变量 D，也就 是人们规定的平均失真度 D 的上限值。 率失真函数的定义域问题就是在信源和失真函数已 知的情况下，讨论允许平均失真度 D 的最小和最大 值问题。 D 的选取必须根据固定信源 X 的统计特性 P(X) 和选 定的失真函数 d(xi , yj)，在平均失真度 D 的可能取 值范围内。
这个最小值 R(D) 称为信息率失真函数，简称率失真函数。
在信源给定以后，总希望在允许一定失真的情况下，传送信源所 必须的信息率越小越好。从接收端来看，就是在满足保真度准则 的条件下，寻找再现信源消息必须的最低平均信息量，即平均互 信息的最小值。
2018/8/6
7
第四章 信息率失真函数
求信息率失真函数的方法
信息率失真函数 R(D) 是假定信源给定的情况下，在用户 可以容忍的失真度内再现信源消息所必须获得的最小平 均信息量。它反映的是信源可压缩程度。率失真函数一 旦找到，就与求极值过程中选择的试验信道不再有关， 而只是信源特性的参量。不同的信源，其 R(D)是不同的。
信息论与编码(清华出版社)第4章信息率失真函数-Qtech
{
i = 1,2, L , n; j = 1,2, L , m
}
14
信息率失真函数R(D) 信息率失真函数
由于互信息取决于信源分布和信道转移概率分布， 根据2-2 由于互信息取决于信源分布和信道转移概率分布 ， 根据 节所述， 一定时， 是关于p(y 型凸函数， 节所述，当p(xi)一定时，互信息 是关于 j/xi) 的U型凸函数， 一定时 互信息I是关于 型凸函数 存在极小值。因而在上述允许信道P 存在极小值。因而在上述允许信道 D中，可以寻找一种信道 pij，使给定的信源 i)经过此信道传输后，互信息 ；Y)达 使给定的信源p(x 经过此信道传输后 互信息I(X； 达 经过此信道传输后， 到最小。该最小的互信息就称为信息率失真函数R(D)，即 到最小。该最小的互信息就称为信息率失真函数 ，
3
4.1 平均失真和信息率失真函数
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 失真函数 平均失真 信息率失真函数R(D) 信息率失真函数 信息率失真函数的性质
4
4.1 平均失真和信息率失真函数
在实际问题中， 在实际问题中，信号有一定的失真是可以容 忍的。但是当失真大于某一限度后， 忍的。但是当失真大于某一限度后，信息质量将 被严重损伤，甚至丧失其实用价值。要规定失真 被严重损伤，甚至丧失其实用价值。 限度，必须先有一个定量的失真测度。 限度，必须先有一个定量的失真测度。为此可引 入失真函数。 入失真函数。
如何减小失真，允许失真到什么程度； 如何减小失真，允许失真到什么程度； 在允许一定程度的失真条件下， 在允许一定程度的失真条件下，把信源信息压 缩到什么程度。 缩到什么程度。
2
第4章 在信源允许一定失真情况下 所需的最少信息率， 从分析失真函数、 所需的最少信息率 ， 从分析失真函数 、 平 均失真出发，求出信息率失真函数R（D） 。 均失真出发，求出信息率失真函数 4.1 平均失真和信息率失真函数 4.2 离散信源的R（D）计算 离散信源的 （ ）
信息论与纠错编码(电子工业出版社)第四章率失真编码 参考答案
4.1 当率失真函数R （D ）取什么值的时候，表示不允许有任何失真。
解：当D=0时，表示不允许有任何失真，此时R （D ）= H （X ）， 即R max （（D ）= H （X ）4.2 说明信源在不允许失真时，其信息率所能压缩到的极限值是什么？当允许信源存在一定的失真时，其信息率所能压缩到的极限值又是什么？解：不允许失真时，信息率压缩极限值R （D ）= H （X ）；不允许失真时，信息率压缩极限值 R （D ）= 04.3 在例4.8中，当允许D= 0.5δ时，请问每个信源符号至少需要几个二进制符号来对其编码？解：因为二元信源率失真函数：⎪⎭⎫⎝⎛-=a D H p H D R )()(其中a = 1（汉明失真）, 所以二元信源率失真函数为：)()()(D H p H D R -=当D= 2P 时[]symbol nat p p p p p p p p p H p H p R /21ln 212ln 2)1ln()1(ln 2)(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛4.4 给定信源分布⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(q X X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡25.025.05.0x 321x x ，失真测度矩阵[d]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011302120，求率失真函数R （D ）。
解：定义域：D min =0×0.5+0×0.25+0×0.25=0D max =min{2×0.25+1×0.25,2×0.5+1×0.25,1×0.5+3×0.25}=0.75值域：R （D min ）= －0.5log0.5－0.25log0.25－0.25log0.25=0.45 R （D max ）= 04.5 给定二元信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(q X X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.05.0x x 21, 失真测度矩阵为[d]=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00αα,求率失真函数R(D)。
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第四章 信息率失真函数
当一个人感到有一种力 量推动他去翱翔时， 他 是决不应该爬行的。
－（美）海伦· 凯勒
2014-6-20 1
第四章总结
第四章 信息率失真函数
失真度 设离散无记忆信源为
X x1 , p( x ) p( x ), i 1
x2 , , p( x2 ), ,
信息率失真函数 R(D) 是假定信源给定的情况下，在用户 可以容忍的失真度内再现信源消息所必须获得的最小平 均信息量。它反映的是信源可压缩程度。率失真函数一 旦找到，就与求极值过程中选择的试验信道不再有关， 而只是信源特性的参量。不同的信源，其 R(D)是不同的。
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第四章 信息率失真函数
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p( ym / x1 ) p ( y 2 / x 2 ) p ( y m / x2 ) p ( y 2 / x n ) p ( y m / xn ) p( y2 / x1 )
2
第四章 信息率失真函数
对每一对 (xi,yj)，指定一个非负函数 d(xi,yj)≥0 i=1,2,…,n j=1,2,…,m
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第四章 信息率失真函数
第一步：求λi，由式(4.2.12)有
i p( xi )e
i 1
n
Sd ( xi , y j )
1, ( p( y j ) 0, j 1,2,, m)
(4.2.12)
1 p( x1 )e Sd ( x1 , y1 ) 2 p ( x2 )e Sd ( x2 , y1 ) 1 Sd ( x1 , y2 ) Sd ( x2 , y2 ) p ( x ) e p ( x ) e 1 1 1 2 2 0.51 0.52 e S 1 2S 0.5 e 0.52 1 1 2(e S 1) 2(e 2 S 1) 1 3S 2 3S e 1 e 1
i 1 j n
根据最大允许失真度的定义： D max min p( y j ) D j
p( y j ) j 1 m 3 3 3 D j p( x j )d ( xi , y j ) { 3 4 , 4 , 4 , 4} i 1 3 4 n
Dmax min( D1 , D2 ,
接收符号为V={-1/2,+1/2},其失真矩阵为
1 2 D 1 1 2 1
求Dmax,Dmin及达到它们的信道？
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习题2
解答： 根据最小允许失真度的定义： D min p (ui ) min d (ui , v j ) 1 3 (1 1 1) 1
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习题1
7.1.设一个四元对称信源
第四章 信息率失真函数
U 0 1 2 3 P(u ) 1 1 1 1 4 4 4 4
接收符号为V={0,1,2,3},其失真矩阵为 0 1 1 1 1 0 1 1 D 1 1 0 1 1 1 1 0 求Dmax,Dmin及信源的R(D)函数，并作出其曲线（取4到 5个点）
Dmax min( D1 , D2 ,
, Dm )
4 3
I (U ,V ) 0
达到Dmax的信道为 1 达到Dmin的信道为 0 0
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1 1 0 1 ， 1 0 1 0 1 0 1 0 或 1 1 1 , 2 2 1 0 1 0 1
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第四章 信息率失真函数
特 性
信道容量 C一旦求出后，就只与信道转移概率 p(yj /xi) 有
关，反映信道特性，与信源特性无关；
信息率失真函数 R(D)一旦求出后，就只与信源概率分布
p(xi) 有关，反映信源特性，与信道特性无关。
解决的问题
信道容量是为了解决通信的可靠性问题，是信息传输的理
xn p( xn )
信源符号通过信道传送到接收端Y Y y1 , p( y ) j p( y1 ), y2 , , p( y2 ), , ym p ( ym )
信道的传递概率矩阵 p( y1 / x1 ) p( y / x ) p(Y / X ) 1 2 p( y1 / xn )
i 1 j n
第四章 信息率失真函数
I (U ,V ) H (U )
n m
根据最大允许失真度的定义：
4 D j p (ui )d (ui , v j ) { 4 3 , 3} i 1 n
D p( xi ) p( y j / xi )d ( xi , y j )
i 1 j 1
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习题1
D p(ui ) p(v j / ui )d (ui , v j )
i 1 j 1 n m
第四章 信息率失真函数
解答：四元对称信源在汉明失真矩阵下，它的平均失真度
根据最小允许失真度的定义： D min p(ui ) min d (ui , v j ) 0
信息率失真函数也是一个界限。只要信息率大于这个界限， 译码失真就可限制在给定的范围内。即通信的过程中虽然有 失真，但仍能满足要求，否则就不能满足要求。
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12
第四章 信息率失真函数
研究信道编码和率失真函数的意义
研究信道容量的意义：在实际应用中，研究信道容量是为 了解决在已知信道中传送最大信息率问题。目的是充分利 用已给信道，使传输的信息量最大而发生错误的概率任意 小，以提高通信的可靠性。这就是信道编码问题。 研究信息率失真函数的意义：研究信息率失真函数是为了 解决在已知信源和允许失真度D 的条件下，使信源必须传送 给信宿的信息率最小。即用尽可能少的码符号尽快地传送 尽可能多的信源消息，以提高通信的有效性。这是信源编 码问题。
称 d(xi,yj) 为单个符号的失真度/失真函数。表示信 源发出一个符号 xi，在接收端再现 yj 所引起的误差 或失真。
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3
第四章 信息率失真函数
平均失真度定义
d(xi,yj) 只能表示两个特定的具体符号 xi 和 yj 之间的失真。 平均失真度：平均失真度为失真度的数学期望，
论基础，通过信道编码增加信息的冗余度来实现；
信息率失真函数是为了解决通信的有效性问题，是信源压
缩的理论基础，通过信源编码减少信息的冗余度来实现。
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第四章 信息率失真函数
限失真信源编码定理：设一离散平稳无记忆信源的输出
随机变量序列为 X=(X1,X2,…,XL)，若该信源的信息率失真函 数是 R(D)，并选定有限的失真函数。对于任意允许平均失真 度 D≥0，和任意小的ε>0，当信息率 R>R(D) ，只要信源序 列长度 L 足够长，一定存在一种编码方式 C，使译码后的平 均失真度 D(C) D ；反之，若 R<R(D)，则无论用什 么编码方式，必有 D(C) D ，即译码平均失真必大于允 许失真。
0 2 解答：二元对称信源，其失真矩阵为 ， 1 0 可计算得： Dmin 0, Dmax 1/ 2 根据参量表达式进行求解 p( x1 ) p( x2 ) 1/ 2 d ( x1 , y1 ) 0, d ( x1 , y2 ) 2, d ( x2 , y1 ) 1, d ( x2 , y2 ) 0
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5
第四章 信息率失真函数
允许平均失真度：率失真函数中的自变量 D，也就 是人们规定的平均失真度 D 的上限值。 率失真函数的定义域问题就是在信源和失真函数已 知的情况下，讨论允许平均失真度 D 的最小和最大 值问题。 D 的选取必须根据固定信源 X 的统计特性 P(X) 和选 定的失真函数 d(xi , yj)，在平均失真度 D 的可能 取值范围内。
对偶问题：信道容量和信息率失真函数的问题，都是求平均 互信息极值问题。分三个方面说明：
求极值问题
平均互信息I(X;Y)是信源概率分布p(xi)(i=1,2,…,n) 的上凸函数， 信道容量就是在固定信道情况下，求平均互信息极大值的问题， 即 I(X;Y) 又是信道转移概率分布 p(yj /xi)(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m) 的 下凸函数，信息率失真函数就是在试验信道（满足保真度准则的 信道）中寻找平均互信息极小值的问题，即
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习题4
7.6.某二元信源
第四章 信息率失真函数
1 X 0 P( X ) 1/ 2 1/ 2
其失真矩阵为
0 2 D 1 0 求该信源的Dmax,Dmin和R(D)函数。
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习题4
第四章 信息率失真函数
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4
第四章 信息率失真函数
平均失真度意义 D 是在平均意义上，从总体上对整个系统失真 情况的描述。它是信源统计特性 p(xi) 、信道统计 特性 p(yj/xi ) 和失真度 d(xi,yj) 的函数 。当 p(xi)， p(yj/xi)和 d(xi,yj) 给定后，平均失真度就不是一个 随机变量了，而是一个确定的量。 如果信源和失真度一定， D 就只是信道统计特 性的函数。信道传递概率不同，平均失真度随之 改变。
, Dm )
由r元离散对称信源可得： log 2 4 D log 2 3 H ( D) R( D) D3 0 4
当一个人感到有一种力 量推动他去翱翔时， 他 是决不应该爬行的。
－（美）海伦· 凯勒
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第四章总结
第四章 信息率失真函数
失真度 设离散无记忆信源为
X x1 , p( x ) p( x ), i 1
x2 , , p( x2 ), ,
信息率失真函数 R(D) 是假定信源给定的情况下，在用户 可以容忍的失真度内再现信源消息所必须获得的最小平 均信息量。它反映的是信源可压缩程度。率失真函数一 旦找到，就与求极值过程中选择的试验信道不再有关， 而只是信源特性的参量。不同的信源，其 R(D)是不同的。
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第四章 信息率失真函数
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p( ym / x1 ) p ( y 2 / x 2 ) p ( y m / x2 ) p ( y 2 / x n ) p ( y m / xn ) p( y2 / x1 )
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第四章 信息率失真函数
对每一对 (xi,yj)，指定一个非负函数 d(xi,yj)≥0 i=1,2,…,n j=1,2,…,m
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第四章 信息率失真函数
第一步：求λi，由式(4.2.12)有
i p( xi )e
i 1
n
Sd ( xi , y j )
1, ( p( y j ) 0, j 1,2,, m)
(4.2.12)
1 p( x1 )e Sd ( x1 , y1 ) 2 p ( x2 )e Sd ( x2 , y1 ) 1 Sd ( x1 , y2 ) Sd ( x2 , y2 ) p ( x ) e p ( x ) e 1 1 1 2 2 0.51 0.52 e S 1 2S 0.5 e 0.52 1 1 2(e S 1) 2(e 2 S 1) 1 3S 2 3S e 1 e 1
i 1 j n
根据最大允许失真度的定义： D max min p( y j ) D j
p( y j ) j 1 m 3 3 3 D j p( x j )d ( xi , y j ) { 3 4 , 4 , 4 , 4} i 1 3 4 n
Dmax min( D1 , D2 ,
接收符号为V={-1/2,+1/2},其失真矩阵为
1 2 D 1 1 2 1
求Dmax,Dmin及达到它们的信道？
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习题2
解答： 根据最小允许失真度的定义： D min p (ui ) min d (ui , v j ) 1 3 (1 1 1) 1
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习题1
7.1.设一个四元对称信源
第四章 信息率失真函数
U 0 1 2 3 P(u ) 1 1 1 1 4 4 4 4
接收符号为V={0,1,2,3},其失真矩阵为 0 1 1 1 1 0 1 1 D 1 1 0 1 1 1 1 0 求Dmax,Dmin及信源的R(D)函数，并作出其曲线（取4到 5个点）
Dmax min( D1 , D2 ,
, Dm )
4 3
I (U ,V ) 0
达到Dmax的信道为 1 达到Dmin的信道为 0 0
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1 1 0 1 ， 1 0 1 0 1 0 1 0 或 1 1 1 , 2 2 1 0 1 0 1
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第四章 信息率失真函数
特 性
信道容量 C一旦求出后，就只与信道转移概率 p(yj /xi) 有
关，反映信道特性，与信源特性无关；
信息率失真函数 R(D)一旦求出后，就只与信源概率分布
p(xi) 有关，反映信源特性，与信道特性无关。
解决的问题
信道容量是为了解决通信的可靠性问题，是信息传输的理
xn p( xn )
信源符号通过信道传送到接收端Y Y y1 , p( y ) j p( y1 ), y2 , , p( y2 ), , ym p ( ym )
信道的传递概率矩阵 p( y1 / x1 ) p( y / x ) p(Y / X ) 1 2 p( y1 / xn )
i 1 j n
第四章 信息率失真函数
I (U ,V ) H (U )
n m
根据最大允许失真度的定义：
4 D j p (ui )d (ui , v j ) { 4 3 , 3} i 1 n
D p( xi ) p( y j / xi )d ( xi , y j )
i 1 j 1
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习题1
D p(ui ) p(v j / ui )d (ui , v j )
i 1 j 1 n m
第四章 信息率失真函数
解答：四元对称信源在汉明失真矩阵下，它的平均失真度
根据最小允许失真度的定义： D min p(ui ) min d (ui , v j ) 0
信息率失真函数也是一个界限。只要信息率大于这个界限， 译码失真就可限制在给定的范围内。即通信的过程中虽然有 失真，但仍能满足要求，否则就不能满足要求。
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第四章 信息率失真函数
研究信道编码和率失真函数的意义
研究信道容量的意义：在实际应用中，研究信道容量是为 了解决在已知信道中传送最大信息率问题。目的是充分利 用已给信道，使传输的信息量最大而发生错误的概率任意 小，以提高通信的可靠性。这就是信道编码问题。 研究信息率失真函数的意义：研究信息率失真函数是为了 解决在已知信源和允许失真度D 的条件下，使信源必须传送 给信宿的信息率最小。即用尽可能少的码符号尽快地传送 尽可能多的信源消息，以提高通信的有效性。这是信源编 码问题。
称 d(xi,yj) 为单个符号的失真度/失真函数。表示信 源发出一个符号 xi，在接收端再现 yj 所引起的误差 或失真。
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第四章 信息率失真函数
平均失真度定义
d(xi,yj) 只能表示两个特定的具体符号 xi 和 yj 之间的失真。 平均失真度：平均失真度为失真度的数学期望，
论基础，通过信道编码增加信息的冗余度来实现；
信息率失真函数是为了解决通信的有效性问题，是信源压
缩的理论基础，通过信源编码减少信息的冗余度来实现。
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第四章 信息率失真函数
限失真信源编码定理：设一离散平稳无记忆信源的输出
随机变量序列为 X=(X1,X2,…,XL)，若该信源的信息率失真函 数是 R(D)，并选定有限的失真函数。对于任意允许平均失真 度 D≥0，和任意小的ε>0，当信息率 R>R(D) ，只要信源序 列长度 L 足够长，一定存在一种编码方式 C，使译码后的平 均失真度 D(C) D ；反之，若 R<R(D)，则无论用什 么编码方式，必有 D(C) D ，即译码平均失真必大于允 许失真。
0 2 解答：二元对称信源，其失真矩阵为 ， 1 0 可计算得： Dmin 0, Dmax 1/ 2 根据参量表达式进行求解 p( x1 ) p( x2 ) 1/ 2 d ( x1 , y1 ) 0, d ( x1 , y2 ) 2, d ( x2 , y1 ) 1, d ( x2 , y2 ) 0
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第四章 信息率失真函数
允许平均失真度：率失真函数中的自变量 D，也就 是人们规定的平均失真度 D 的上限值。 率失真函数的定义域问题就是在信源和失真函数已 知的情况下，讨论允许平均失真度 D 的最小和最大 值问题。 D 的选取必须根据固定信源 X 的统计特性 P(X) 和选 定的失真函数 d(xi , yj)，在平均失真度 D 的可能 取值范围内。
对偶问题：信道容量和信息率失真函数的问题，都是求平均 互信息极值问题。分三个方面说明：
求极值问题
平均互信息I(X;Y)是信源概率分布p(xi)(i=1,2,…,n) 的上凸函数， 信道容量就是在固定信道情况下，求平均互信息极大值的问题， 即 I(X;Y) 又是信道转移概率分布 p(yj /xi)(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m) 的 下凸函数，信息率失真函数就是在试验信道（满足保真度准则的 信道）中寻找平均互信息极小值的问题，即
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7.6.某二元信源
第四章 信息率失真函数
1 X 0 P( X ) 1/ 2 1/ 2
其失真矩阵为
0 2 D 1 0 求该信源的Dmax,Dmin和R(D)函数。
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第四章 信息率失真函数
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第四章 信息率失真函数
平均失真度意义 D 是在平均意义上，从总体上对整个系统失真 情况的描述。它是信源统计特性 p(xi) 、信道统计 特性 p(yj/xi ) 和失真度 d(xi,yj) 的函数 。当 p(xi)， p(yj/xi)和 d(xi,yj) 给定后，平均失真度就不是一个 随机变量了，而是一个确定的量。 如果信源和失真度一定， D 就只是信道统计特 性的函数。信道传递概率不同，平均失真度随之 改变。
, Dm )
由r元离散对称信源可得： log 2 4 D log 2 3 H ( D) R( D) D3 0 4