第4章 点的合成运动

研究点的合成运动必须要选定一个动点、两个参考坐标 系，三种运动，即一点、两系三运动。一点即所研究的 动点（运动物体上的点）；两系即动系（与动点有相对 运动）和定系；三运动即绝对运动、相对运动和牵连运 动。下面说明一下这三个运动：
绝对运动即动点相对于定参考坐标系的运动； 相对运动即动点相对于动参考坐标系的运动； 牵连运动即动系相对于定系的运动。
r x x cos ω t r sin ω t cos ω t sin 2 ω t 2 y x sinω t r sin 2 ω t r (1 cos 2 ω t ) 2
削去时间 t，得动点相对运动轨迹方程为 r 2 r2 2 x ( y ) 2 4
z
M
rM
r'
z' k'
O'
j'
y'
r O'
O x
x'
y
图4.6 三种运动中矢径的关系
i'
oxy 如图图4.6所示，设 oxy 为定系 ， 为动系，M为动点。动系的坐 标原点 O 在定系中的矢径为 ro ，动点 M在定系上的矢径为 rM ，动 点M在动系上的矢径为 ，动系坐标的三个单位矢量为 i ，j ， k ，牵 rM ，有如 连点为 M（动系上与动点重合的点）在定系上的矢径为 下关系： rM ro r （4-5） r xi yj zk （4-6） rM rM （4-7） 动点M的绝对速度为 dr v a M ro （4-8） dt 动点M的相对速度为 d r vr xi yj zk （4-9） dt 将式（4-6）和（4-7）代入（4-5）中，因牵连点 M 是动系上的 z 是常量，得牵连速度 y ， 一个确定点，因此 M 的三个坐标 x，
（ 2）
由式（2）知点M的相对运动轨迹为圆。 牵连运动为动系 C xy 相对于定系oxy的运动，其牵连运动方程为
xc vc t yc r 0
（ 3）
其中，由于动系作平移，因此动系坐标轴 x 与定系坐标轴 x 的夹 角 0 。
由式(4-4)得点M绝对运动方程为
例题4-1半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动，如图4.4所示， 已知轮心C的速度为 vc ，试求轮缘上的点M绝对运动方程和相对轮 心C的运动方程和牵连运动方程。
y y'
C vc M
O Mo
φ1
x' x
H
图4.4 解：沿轮子滚动的方向建立定系oxy，初始时设轮缘上的点M位于 y轴上Mo处。在图示瞬时，点M和轮心C的连线与CH所的夹角为
y y'
M O
O'
v
x' x
图4.1 点的合成运动实例
图4.2 点的合成运动实例
从上面的两个例子看出物体相对于不同参考系的运动 是不同的，它们之间存在运动的合成和分解的关系。一 般情况下，将研究的物体看成是动点，动点相对于两个 坐标系运动，其中建立在不动物体上的坐标系称为定参 考坐标系（简称定系），如建立在地面上的坐标系。另 一个坐标系是相对定参考坐标系的运动坐标系，称为动 参考坐标系（简称动系）。动点相对于定系运动可以看 成是动点相对于动系的运动和动系相对定系的运动的合 成。上面的例子中，定系建立在地面上，动点 的运动轨 迹是旋轮线，动系建立在车厢上，点 相对于动系的运动 轨迹是一个圆，而车厢是作平移的运动。即动点 的旋轮 线可以看成圆的运动和车厢平移运动的合成。
vT 200sin 30o 100cm/s vT 200sin 60o 173.2cm/s vT 200sin 90o 200cm/s
例题4-5曲柄OA以匀角速度 ω 绕O轴转动，其上套有小环M，而 小环M又在固定的大圆环上运动，大圆环的半径为R，如图4.9所 示。试求当曲柄与水平线成的角 ω t 时，小环M的绝对速度和相 对曲柄OA的相对速度。 解： （1）选择动点、动系 动点：小环M。 动系：曲柄OA。 （2） 分析三种运动及速度，小环M的绝对运动是在大圆上的运 动，因此小环M绝对速度垂直于大圆的半径R；小环M的相对运动 是在曲柄OA上的直线运动，因此小环M相对速度沿曲柄OA并指向 O点，牵连运动为曲柄OA的定轴转动，小环M的牵连速度垂直于 曲柄OA，如图4.9所示，作速度的平行四边形。即
在工程和实际生活中物体相对于不同参考系运动的例子很多，例如 沿直线滚动的车轮，在地面上观察轮边缘上点M的运动轨迹是旋轮 线，但车厢上观察是一个圆，如图4.1所示，又如在雨天观察雨滴 的运动，如果在地面上观察（不计自然风的干扰）雨滴铅锤下落， 而行驶的汽车上，雨滴在车窗上留下倾斜的痕迹，如图4.2所示。
y y
x'
y'
M
' φ y
x'
y' O O
φ
O' xO ' x
x
图4.3 坐标变换关系
M点绝对运动方程为
x x(t )
y y(t )
（4-1）
M点相对运动方程为
（4-2） x x(t ) y y(t ) oxy 的运动，其运动方 牵连运动是动系 oxy相对于定系
ve va
φ
A M
ω
vr R
O
φ
图4.9
小环M的牵连速度为 ve OM ω 2R ω cos 小环M的绝对速度为 ve
va 2R ω
cos 小环M的相对速度为 vr ve tan 2R ω sin 2R ω sinω t
例题4-6如图7.10a所示，半径为R，偏心距为e的凸轮，以匀角 速度 ω 绕O轴转动，并使滑槽内的直杆AB上下移动，设OAB在一 条直线上，轮心C与O轴在水平位置，试求在图示位置时，杆AB的 B B 速度。
第一篇 理论力学
第4章 点的合成运动
第4章 点的合成运动
前面我们研究点的运动是相对于惯性参考坐标系，当所 研究的点相对于不同参考坐标系运动时（即它们之间存 在相对运动），就形成了点的合成运动。本节主要学习 动点相对于不同参考坐标系运动时的运动方程、速度、 加速度之间的几何关系。
4.1点的运动合成
设雨滴相对于汽车速度 vr 与铅垂线的夹角为 v tan 1
v2
arctan
v1 v2
例题4-4如图4.8所示曲柄滑道机构，T字形杆BC部分处于水平位 置，DE部分处于铅直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以匀角速 度 ω 20rad/s 绕O轴转动，OA=r=10cm，试求当曲柄OA与水平 o 30 o 、 90 o 时，T形杆的速度 vT 。 60 o 、 线的夹角 0 、
ve
d rM ro xi yj zk dt
例题4-3汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴以速度 v2 铅直下 落，如图4.7所示，试求雨滴相对于汽车的速度。
v1
ve va
M
vr
图4.7

解：（1）选择动点、动系 动点：淋在车上的雨滴M； 定系: 建立在地面上 (以后不特殊说明定系都建立在地面上) ； 动系: 建立在汽车上。
B C D vr A va
ve
φ
ω
O
E
图4.8 解：（1）选择动点、动系 动点：套筒A； 动系：T字形杆；
（2）运动及速度分析 绝对运动：圆周运动，即套筒A的运动。绝对速度大小为 va r ω 10 20 200cm/s 绝对速度的方向垂直于曲柄OA沿角速度


（2）分析三种运动及速度 绝对运动：直线运动，即雨滴的运动。其绝对速度为 va v2 牵连运动：平动，即汽车的运动。牵连速度 ve v1 相对运动：雨滴相对于汽车的运动，这是未知的，也是要求的。 （3）作速度的平行四边形 由于绝对速度 va 和牵连速度 ve 的大小和方向都是已知的，如图4-7 所示，只需将速度 va和 ve 矢量的端点连线便可确定雨滴相对于汽车 的速度 vr 。故 2 2 vr va ve2 v2 v12
点M的绝对运动轨迹为式（4）表示的旋轮线。 例题4-2用车刀切削工件直径的端面时，车刀沿水平轴z作往复的 运动，如图4.5所示。设定系为oxyz，刀尖在oxy面上的运动方 程为 x r sinω t ，工件以匀角速度 ω绕z轴转动，动系建立在工件上 为 o xy z ，试求刀尖在工件上画出的痕迹。
1
MH vc t r r
Baidu Nhomakorabea
在轮心C建立动系C xy ，点M的相对运动方程为
vc t x r sin r sin 1 r y r cos r cos vc t 1 r
（ 1）
点M相对运动轨迹方程为
x2 y2 r 2
vc t x v t r sin v t r sin c 1 c r y r r cos r r cos vc t 1 r
（ 4）
y
M
O
x
图4.5
解：由题意知，刀尖为动点，刀尖在工件上画出的痕迹为动点相对 运动轨迹。由图4.5得动点相对运动方程为
（4-10） 从而得相对速度、牵连速度的绝对速度三者之间的关系： v a ve v r （4-11） 式（4-11）即为点的速度合成定理的公式表述。 点的速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对速度等于在同一瞬时 的相对速度和牵连速度的矢量和。或者说，点的相对速度、牵连速 度、绝对速度三者之间满足平行四边形合成法则，即绝对速度由相 对速度和牵连速度所构成平行四边形对角线所确定。 应当注意： （1）三种速度有三个大小和三个方向共六个要素，必须已知其中四 个要素，才能求出剩余的两个要素。因此只要正确地画出上面三种 速度的平行四边形，即可求出剩余的两个要素。 （2）动点和动系的选择是关键，一般不能将动点和动系选在同一个 参考体上。 （3）动系的运动是任意的运动，可以是平动、转动或者是较为复杂 运动。
则刀尖在工件上画出的痕迹为圆。
注意：若求三种运动的速度之间的关系，最直接的方法 是式（4-4）对时间求导，即可求出点的相对速度、牵 连速度的绝对速度三者之间的关系。

在了解上述三个运动的基础上，下面研究点的三个速度。 动点的绝对速度即绝对运动所对应的速度，用 va 表示； 动点的相对速度即相对运动所对应的速度，用 vr 表示； 动点的牵连速度即牵连点的速度，用 ve 表示。所谓牵连点即动系上 与动点重合的点。 下面分析点的绝对速度、相对速度和牵连速度三者之间的关系。
程为
xo xo (t )
yo yo (t )
(t )
（4-3）
由图4-3得坐标变换
x xo x cos y sin y yo x sin y cos
（4-4）
由此可见，绝对运动是由相对运动和牵连运动合成的。
vr
θ
va A ve C
θ O
ω
ve
θ A θ O
va
C
vr
(b) 图4-10a 图4-10b
解：由于杆AB作平移，所以研究杆AB的运动只需研究其上A点的 运动即可。因此选杆AB上的A点为动点，凸轮为动系，地面为定 系。
一般来讲，绝对运动看成是运动的合成，相对运动和牵 连运动看成是运动的分解，合成与分解是研究点的合成 运动的两个方面，切不可孤立看待，必须用联系的观点 去学习。
动点的绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系可以 通过动点在定参考坐标系和动参考坐标系中的坐标变换 oxy 为动系，M 得到。以平面运动为例，设 oxy 为定系， 为动点，如图4.3所示，
ω 的方向。 牵连运动：直线运动，即T字形杆的运动。牵连速度为 ve 。 相对速度：直线运动，即套筒A相对T字形杆的运动，vT vr 。 （3）作速度的平行四边形 速度关系如图（4.8）所示，即 vr ve va sin
vT 200sin 0 0
将已知条件代入得 0o ： 30o： 60o： 90o：