函数的概念与关系式

主 题
函数的概念与关系式
教学内容
1. 加深理解函数的概念；
2. 掌握求解函数定义域的基本方法.
（以提问的形式回顾）
1. 初中阶段我们学过哪些函数？请分别画出他们的图像。

我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数。

也会有学生说，常值函数也是可以的。

2. 对于二次函数2y x =当x 值确定了，y 值是否也唯一确定？，如果y 值确定了（y >0），是否x 值也唯一确定？
当x 值确定了，y 值就唯一确定。

但y 值确定了，x 值并没有唯一确定。

探究一：
一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是：
2
1305h t t =-
思考1：这里的变量t 的变化范围是什么？变量h 的变化范围是什么？试用集合表示？
答：{|026},{|0845}A t t B h h =≤≤=≤≤
思考2：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？
答：从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系h ，在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.所以它们的对应关系是函数。

其中t 是自变量。

答：自变量的取值范围A 叫做函数的定义域；函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域.
思考4:在从集合A 到集合B 的一个函数f ：A →B 中，集合A 是函数的定义域，集合B 是函数的值域吗？怎样理解f (x )=1，x ∈R ？ 答：值域是集合B 的子集.
思考5:一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？
答：一个函数由定义域、对应关系、值域三个部分组成，称为函数的“三要素”；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；两个函数相等的条件是定义域相同，对应关系完全一致.
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 求下列函数的定义域：
2
2)1(+-=
x x y ； 1
231)2(2
--=
x x y ； x
x x y 4323)3(--=
；
解：（1）函数的定义域由不等式组20
20
x x -≥⎧⎨
+>⎩所确定，解不等式组，得：22x -<≤
所以函数的定义域为(2,2]-
（2）函数的定义域由不等式2
3210x x -->所确定，解不等式，得：
1
12
x << 所以函数的定义域为1(,1)2
（3）函数的定义域由不等式组2340
340
x x x ⎧--≠⎪⎨-≥⎪⎩确定，
由340x -≥，得：34x ≤
，由2340x x --≠得：1
2
x ≠， 所以函数的定义域为113(,)
(,]2
24
-∞。

总结： 求函数的定义域时要注意以下几点：
①分母不能为零
+∞。

[2,)
()()()2
224322
232233441612(23)f f x f x x x x x x x x x x =--=----=--++⎡⎤--⎣⎦
（2）不是同一函数，因为对应法则不同.
试一试：已知34)13(+=+x x f ，求)(x f . 解：45(31)43(31)33
f x x x +=+=
++， ∴45
()33
f x x =+.
例4. 设函数()4f x x =
-,()4g x x =-，求和函数()()f x g x +.
解：对于()f x 的定义域，由40x -≥，得到4x ≥，
对于(),g x 可得4x ≤， ∴()()f x g x +的定义域为{}4. ∴()()0.(4)f x g x x +==.
（求函数的和或者积时，要注意函数的定义域是取交集所得.）
试一试：设函数()1
2x f x x -=
-, ()21
x g x x -=- 求()()f x g x ⋅. 解：对于()f x 的定义域，由20x -≠，得到2x ≠，
对于(),g x 由10
10x x -≥⎧⎨
-≠⎩
，可得1x >，
∴()()f x g x +的定义域为()()1,22,⋃+∞. ∴()()12
1,21
x x f x g x x x x --⋅=
⋅=---()()1,22,x ∈⋃+∞. （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1}
答案：D
2. 函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上
答案：C
3. 函数f (x )＝1
ax 2＋4ax ＋3
的定义域为R ，则实数a 的取值范围是
分析：定义域为R ，说明x 取任意实数，分母都不为零，也就是说2
43y ax ax =++的函数图像与x 轴没有交点，且过（0，3）点。

注意讨论a =0的情况。

答案：3[0,)4
4. 已知3
()32f x x x =+，求证：()()0f a f a +-=，()a R ∈.
解：()332f a a a =+，()3
332()32()f a a a a a -=+-=---，
∴()()3332320f a f a a a a a +-=+--=，即证.
5. 求一次函数f (x )，使f [f (x )]＝9x ＋1.
设f (x )＝ax ＋b ，则f [f (x )]＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋1，比较对应项系数得，
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝9
ab ＋b ＝1⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝3
b ＝
14或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3
b ＝－12
， ∴f (x )＝3x ＋14或f (x )＝－3x －1
2.
本节课主要知识点：函数的三要素，定义域求解方法。

【巩固练习】
1. 设函数()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,22x x x x x x x f ,若()3=x f ,则x = .。