计量经济学：联立方程部分习题以及解析

第六章 经典联立方程计量经济学模型：理论与方法一、内容提要联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的，旨在在讨论多个经济变量相互影响的错综复杂的运行规律，或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题。

本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基本概念，包括内生变量、外生变量、前定变量的概念；结构式模型、简化式模型的概念；随机方程、恒等方程的概念；行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方程等相关概念。

本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。

需掌握模型识别的基本概念、模型识别的类型（不可识别、恰好识别、过渡识别）、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别条件以及实际应用中的经验识别方法。

本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。

首先明确联立模型估计时会遇到的三个方面的问题。

一是随机解释变量问题，即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关的随机解释变量；二是损失变量信息的问题，即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变量所提供的信息；三是损失方程之间的相关性信息问题，即以单方程方法估计模型时会损失不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。

其次，需要掌握联立模型两大类估计方法中的主要估计方法，如单方程估计方法中的狭义工具变量法（IV ）、间接最小二乘法（ILS ）、二阶段最小二乘法（2SLS ），系统估计方法中的三阶段最小二乘法（3SLS ）等。

本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较，以及联立方程模型的检验问题。

前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性；后者包括拟合效果检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。

二、典型例题分析1、如果我们将“供给”1Y 与“需求”2Y 写成如下的联立方程的形式：222221111211u Z Y Y u Z Y Y ++=++=βαβα其中，1Z 、2Z 为外生变量。

（1）若01=α或02=α，解释为什么存在1Y 的简化式？若01≠α、02=α，写出2Y 的简化式。

（2）若01≠α、02≠α，且21αα≠，求1Y 的简化式。

这时，2Y 有简化式吗？（3）在“供给-需求”的模型中，21αα≠的条件有可能满足吗？请解释。

解答：（1）若01=α，则由第1个方程得：1111u Z Y +=β，这就是一个1Y 的简化式； 若02=α，则由第2个方程得：2221u Z Y +=β，这也是一个1Y 的简化式。

若01≠α、02=α，则将2221u Z Y +=β代入第1个方程得：11121222u Z Y u Z ++=+βαβ整理得： 1121112122ααβαβu u Z Z Y -+-= （2）由第二个方程得：222212/)(αβu Z Y Y --=代入第一个方程得：()1112222111/u Z u Z Y Y ++--=βαβα整理得2121112221221112121u u Z Z Y ααααααααβαααβα---+---= 这就是1Y 的简化式。

2Y 也有简化式，由两个方程易得：1112122222u Z Y u Z Y ++=++βαβα整理得)(12112212211212u u Z Z Y --+---=ααααβααβ （3）在“供给-需求”模型中，21αα≠的条件可以满足。

例如，如果第一个方程是供给方程，而第二个方程是需求方程，则这里的1Y 就代表供给量或需求量，而2Y 就代表这市场价格。

于是，应有01>α，02<α。

2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略t-下标）t t t t t u A S N P ++++=3210ααααt t t t v M P N +++=210βββ（1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。

（2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？（3） 有与μ相关的解释变量吗？有与υ相关的解释变量吗？（4）如果使用OLS 方法估计α，β会发生什么情况？（5）可以使用ILS 方法估计α吗？如果可以，推导出估计值。

对β回答同样的问题。

（6）逐步解释如何在第2个方程中使用2SLS 方法。

解答：（1）内生变量：P 、N ；外生变量：A 、S 、M（2）容易写出联立模型的结构参数矩阵P N 常量 S A M()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=Γ201320100101βββααααβ 对第1个方程，()()200ββ-=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。

进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于该方程内生变量个数减1，即4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。

对第二个方程，()()3200ααβ--=Γ，因此，()100=Γβ秩，即等于内生变量个数减1，模型可以识别。

进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大于该方程内生变量个数减1，即4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。

该模型对应于13.3届中的模型4。

我们注意到该模型为过渡识别的。

综合两个方程的识别状况，该联立模型是过渡识别的。

（3）S,A,M 为外生变量，所以他们与μ，υ都不相关。

而P,N 为内生的，所以他们与μ，υ都相关。

具体说来，N 与P 同期相关，而P 与μ同期相关，所以N 与μ同期相关。

另一方面，N 与v 同期相关，所以P 与v 同期相关。

（4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α与β的OLS 估计量有偏且是不一致的。

（5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS ）进行估计。

对第二个方程，由于是过渡识别的，因此ILS 法在这里并不适用。

（6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下：第1阶段，让P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值tP ˆ；同理，让N 对常量，S,A,M 回归并保存预测值tN ˆ。

第2阶段，让t N 对常量、tP ˆ、t M 作回归求第2个方程的2SLS 估计值。

三、习题6-1．解释下列概念：1)联立问题2)行为方程3)间接最小二乘法4)识别问题5)二阶段最小二乘法6)三阶段最小二乘法7)简化式模型8)不可识别9)恰度识别10)过度识别11)结构式模型12)递归系统模型13)先决变量14)参数关系体系6-2．为什么要建立联立方程模型，联立方程模型适用于什么样的经济现象？6-3．联立方程模型中的变量可以分为几类？其含义各是什么？6-4．联立方程模型中的方程可以分为几类？其含义各是什么？6-5．联立方程模型可以分为几类？其含义各是什么？6-6．联立方程模型的识别状况可以分为几类？其含义各是什么？6-7．结构方程可识别和不可识别的等价定义是什么？6-8．简述结构方程识别的阶条件和秩条件的步骤。

6-9．联立方程模型的估计有哪些方法？其适用条件、统计性质各是什么？6-10．联立方程计量经济模型中结构方程的结构参数为什么不能直接应用OLS估计？6-11．已知一个联立方程计量经济学模型的完备的结构式模型，如何确定其中的内生变量、先决变量、外生变量？6-12．如何对不可识别的方程进行简单的修改使之可以识别？6-13．为什么说ILS、IV、2SLS方法都可以认为是工具变量方法？它们在工具变量的选取上有什么区别？6-14．证明对于恰好识别的结构方程ILS、IV、2SLS的参数估计量是等价的。

6-15．3SLS的方法步骤是什么？为什么3SLS的参数估计量比2SLS的参数估计量更有效？6-16．理解联立方程计量经济学模型单方程估计方法与系统估计方法的概念。

6-17．写出结构模型的一般形式和结构参数矩阵。

6-18．写出简化模型的一般形式和参数关系式的表达式。

6-19．已知简单的Keynesian 收入决定模型如下：t t t u Y a a C ++=10 （消费方程）t t t t v Y Y I +++=-1210βββ （投资方程）t t t t G I C Y ++= （定义方程）要求：（1）导出简化型方程；（2）试证明：简化型参数是用来测定外生变量变化对内生变量所起的直接与间接的总影响（以投资方程的简化型为例来加以说明）。

（3）试用阶条件与秩条件确定每个结构方程的识别状态；整个模型的识别状态如何？ 6-20．为什么间接最小二乘法（ILS ）只适用于恰好识别的结构模型？6-21．简述二阶段最小二乘法（2SLS ）的两个阶段6-22．在联立方程计量经济学模型Y Β+X Γ=U 中，每个结构方程的随机误差项具有0均值、同方差且存在一阶序列相关，每个结构方程的随机误差项之间具有同期相关。

要求：写出该联立方程计量经济学模型随机误差项的方差—协方差矩阵。

6-23．某联立方程计量经济学模型有3个方程、3个内生变量（1y ，2y ，3y ）、3个外生变量（1x ，2x ，3x ）和样本观测值始终为1的虚变量C ，样本容量为n 。

其中第2个方程：233321102u x y x y ++++=αααα为恰好识别的结构方程。

要求：（1）写出用IV 法估计该方程参数的正规方程组；（2）用ILS 方法估计该方程参数，也可以看成一种工具变量方法，指出工具变量是如何选取的，并写出参数估计量的矩阵表达式；（3）用2SLS 方法估计该方程参数，也也可以看成一种工具变量方法，指出3y 的工具变量是什么，并写出参数估计量的矩阵表达式；6-24．下列为一完备的联立方程计量经济学模型：t t t t u P Y M 1210+++=αααt t t u M Y 210++=ββ其中：M为货币供给量，Y为国内生产总值，P为价格总指数。

要求：（1）指出模型的内生变量、外生变量、先决变量；（2）写出简化式模型，并导出结构式参数与简化式参数之间的关系；（3）用结构式条件确定模型的识别状态；（4）从方程之间的关系出发确定模型的识别状态；（5）如果模型不可识别，试作简单的修改使之可以识别；（6）指出ILS、IV、2SLS中哪些可用于原模型第1、2个方程的参数估计。

6-25．独立建立一个包含3~4个方程的中国宏观经济模型，并完成模型的识别和估计（可以采取本章中第五节的例子，将样本观测值扩大到2000年之后，自己独立完成）。

四、习题解答6-11)联立问题：经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多情况下，不是单一方程所能描述的那种简单的单向因果关系，而是相互依存，互为因果的，这时，就必须用联立的计量经济学方程才能描述清楚。

联立方程计量经济学模型以经济系统为研究对象，揭示经济系统中各部分、各因素之间的数量关系和系统的数量特征。

2)行为方程：行为方程描述经济系统中变量之间的行为关系，主要是因果关系，例如用收入作为消费的解释变量建立的方程。