人教版初中数学第十五章分式知识点汇总

第十五章 分式

15.1 分式

15.1.1 从分式到分式

1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

2、与分式有关的条件

（1）分式有意义：分母不为0（0B ≠）

（2）分式无意义：分母为0（0B =）

（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0

0B A ）

（4）分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩

⎨⎧<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0

0B A ）

（6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

例1．若24

x -有意义，则x 的取值围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C．x≥4 D ．x ＜4

【答案】B ．

【解析】

试题解析：由题意得，x-4≠0，

解得，x≠4，

故选B ．

考点：分式有意义的条件．

考点：分式的基本性质．

例2．要使分式1(1)(2)

x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C．x≠±1 D．x≠-1且x≠2

【答案】D ．

【解析】

试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．

考点：分式有意义的条件．

例3．下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，b a b a -+，)(1y x m

-中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

【答案】C ．

【解析】 试题分析：x x 3+，b a b a -+，)(1y x m

-中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义．

例4．当x=时，分式211

x x -+的值为0． 【答案】1

【解析】

试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．

考点：分式的值为零的条件．

15.1.2 分式的基本性质

1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：A A B C B C ⋅=⋅，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B

B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意

C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

例1．如果把分式y

x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍

B ．扩大10倍

C ．不变

D ．缩小到原来的

101 【答案】C ．

【解析】 试题分析：把分式

y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，可得y x x 10101010+⨯=y

x x +10， 故选C ．

考点：分式的基本性质．

例2．把分式2ab a b

+中的a 、b 都扩大6倍，则分式的值（ ） A.扩大12倍 B.不变 C.扩大6倍 D.缩小6倍

【答案】C ．

【解析】

试题分析：分别用6a 和6b 去代换原分式中的a 和b ，

原式=26612266a b ab ab a b a b a b

⨯⨯==+++， 可见新分式的值是原分式的6倍．

故选C ．

考点：分式的基本性质．

例3．写出等式中括号未知的式子：

717)(2+=+c c c ，括号应填． 【答案】c

【解析】 先把c

c 7)(2+的分母提取公因式c ，得到71)7()(+=+c c c ，然后根据约分的定义求出括号应填的数为c ． 解：

71)7()(7)(2+=+=+c c c c c ， ∴7

1)7()(+=+c c c ， ∴括号应填c ，

故答案为c ．

2、分式的约分

（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。分子分母公因式的确定方法：

①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.

②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式

例1．下列各式计算正确的是( )

A.222a ab b a b b a -+=--;

B.22

32()

x xy y x y x y ++=++ C.2

35

46x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭; D.11x y x y -=-+- 【答案】D

【解析】本题考查的是分式的约分

根据分式的基本性质对各选项分析即可。 A 、b a b a b a b a a b b ab a +-=--=---=-+-)()

()(22

22，故本选项错误； B 、y

x y x y x y x y xy x +=++=+++1)()()(232322，故本选项错误； C 、86

243

)(y

x y x =，故本选项错误； D 、11x y x y

-=-+-，正确， 故选D 。

例2．把一个分式的分子与分母的约去，叫做分式的约分;在分式22

2x y xy xy

+中，分子与分母的公因式是. 【答案】公因式；xy

【解析】本题考查的是分式的约分

根据分式的约分的定义即可得到结果。 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式22

2x y xy xy

+中，分子与分母的公因式是.xy 例3．将下列分式约分：(1)258x x =; (2)22357mn n m -= ;(3)22

)

()(a b b a --=. 【答案】(1)83x (2)－n

m 5 (3)1 【解析】本题考查的是分式的约分

根据分式的基本性质即可得到结果。

（1）258x x =83x ；（2）22357mn

n m -=n m 5-； （3）22)()(a b b a --=.1 例4．约分：3263n

m mn -=．