图论与网络最优化算法PPT
《图与网络优化》PPT课件
• “充分性”：设图 G 中任两个点之间恰有一条链， 那么易见 G 是连通的。如果 G 中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设相矛盾， 故 G 不含圈，于是 G 是树。
• 由这个定理，很容易推出如下结论：
• （1）从一个树中去掉任意一条边，则余下的图是不 连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树 是含边数最少的连通图。
么 G 本身就是一个树，从而 G 是它自身的一个支撑
树。现假设 G 含圈，任取一个圈，从圈中任意地去
掉一条边，得到图 G 的一个支撑子图 G1 。如果 G1 不含圈，那么 G1 就是 G 的一个支撑树（因为 G1 的 顶点数与 G 相同，且连通）；如果 G1 仍然含圈，那 么从 G1 中任取一个圈，从圈中再任意去掉一条边， 得到图 G 的一个支撑子图 G2 ，如此重复，最终可以 得到 G 的一个支撑子图 Gk ，它不含圈，于是 Gk 是 G 的一个支撑树。
• 以点 v 为端点的边的个数称为 v 的次。记为 dG(v) 或 d(v) 。称次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为
悬挂边，次为零的点称为孤立点。
• 定理1：图 G=(V , E) 中，所有点的次之和是边数的
两倍，即有： dv2q vV
• 次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
• 定理2：任一个图中，奇点的个数为偶数。
精选ppt
4
• 如果一个图 G 是由点及边所构成的，则称之为无向 图，简记为 G=(V , E)，其中， V , E 分别是图 G 的点 集合和边集合。一条连接点 vi ，vj V 的边记为[vi ,vj ] （或 [vj , vi]）。
• 如果一个图 D 是由点及弧所构成的，则称之为有向 图，简记为D =(V , A)，其中， V , A 分别是图 G 的点 集合和弧集合。一条方向是从 vi 指向 vj 的弧记为 (vi ,vj)。
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
9
u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
图论与网络最优化算法
第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。
图G 称为加权图。
（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。
证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。
设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。
设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。
令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。
证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。
证明与定理2·10类似，略。
第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。
证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。
图论与网络流理论ppt课件
2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi,vj )
组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数
目|E(G)|用 来表示.
用G (V (G )E ,(G )表)示图，简记 G(V,E).
算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是
Dijkstra算法
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3、Dijkstra算法
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定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v， 其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。
定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O(υ 2 )。
9 图的同构
我们已经知道，同一个图可以有不同形状的图示。反 过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：
易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关
系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的 两个图称为是同构的(isomorphic)。
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定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G))与H = (V (H),E(H))，
事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的 顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。
证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。 18 假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将
图论和网络优化
v4
2
4 5
v7
3
v6
2
v5
最小树，权为13
17
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
(2)破圈法：
① 在图中寻找一种圈。
若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最 大旳边； ③ 反复反复 ① ② 两
权数，记为：
w Tk w e e Ek
若 T T ，使
w T min Tk T
w Tk
则称 T * 为图G旳一棵最小支撑树。
14
b4
2 a
2
4
3
f5
c 5
2d 6
e
最小 树
例如，城市间交 通线旳建造等，能够 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知旳几种城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用至少，此类问 题旳处理都能够归结为最小树问题。
24
如下图所示旳单行线交通网，每个弧旁边旳
数字表达这条单行线旳长度。目前有一种人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要谋求总旅程最短
旳线路。
v2
6
v4
3
v1
14
5
1 v3
3
2
v6
6
v5
25
v2
6
v4
3
3
v1
14
5
2 6
v6
1
v3
从v1到v6旳路线是诸多旳。例如:
图论与网络最优化算法
第二章 5 生成树算法定义2·13 （1）图G 的每条边e 赋与一个实数)(e ω，称为e 的权。
图G 称为加权图。
（2）设1G 是G 的子图，则1G 的权定义为： ∑∈=)(11)()(G E e e G ωω定理2·10 Kruskal 算法选得的边的导出子图是最小生成树。
证：K r u s k a l 算法所得子图0T 显然是生成树，下证它的最优性。
设{}[]1210,,,-=υe e e G T 不是最小生成树，1T 是G 的任给定的一个生成树，)(T f 是{}121,,,-υe e e 中不在1T 又{}1210,,,)(-=υe e e T E ，故121,,,-υe e e 中必有不在)(T E 中的边。
设k T f =)(，即121,,,-k e e e 在T 与0T 上，而k e 不在T 上，于是k e T +中有一个圈C ，C 上定存在ke '，使k e '在T 上而不是在0T 上。
令k k e e T T '-+=')（，显然也是生成树，又)()()()(kk e e T T '-+='ωωωω，由算法知，k e 是使{}[]k e e e G ,,,21 无圈的权最小的边，又{}[]kk e e e e G ',,,,1-21 是T 之子图，也无圈，则有)()(k k e e ωω≥'，于是)()(T T ωω≤'，即T '也是最小生成树，但)()(T f k T f =>'与)(T f 之最大性矛盾。
证毕定理2·11 im Pr 算法产生的图)(0T G 是最小生成树。
证明与定理2·10类似，略。
第三章2 割边、割集、割点定理3·4 设G 是连通图，)(G E e ∈则e 是G 的割边的充要条件是e 不含在圈中。
证明 必要性 设e 是G 的割边，若e 在G 的一圈C 上，则e G -仍连通，这不可能。
图与网络优化ppt
( u2 , v2 ) ∈ E2 ，且 ( u1 , v1 ) ∈ E1 的重数和 ( u2 , v2 ) ∈ E2 的重数相同，这种对应叫做同构。易知
同构关系是图之间的一个等价关系，故通常将同构的图看成是相同的。
′ ′ ′ ′ 顶点： v1 ↔ v1 , v2 ↔ v2 , v3 ↔ v3 , v4 ↔ v4 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 边： e1 ↔ e1 , e2 ↔ e2 , e3 ↔ e3 , e4 ↔ e4 , e5 ↔ e5 , e6 ↔ e6
∀el ∈ E , el = ( vi , v j ) ; vi , v j ∈V
称 vi , v j 为边 el 的端点，称边 el 为 vi 和 v j 的关联边。例如选取图中的某些顶点和边可以 表示为： e1 = ( v1 , v2 ) = ( v2 , v1 ) ; e2 = ( v2 , v3 ) = ( v3 , v2 ) 若V 中某顶点和 E 中的任何边均不关联，则称该顶点为孤立点。若V 重某顶点仅 与 E 中的一条边相关联，则称该点为悬挂点。 相邻点和相邻边 同一条边 el 的两个端点 vi 和 v j 称为相邻点，简称邻点；有公共端点的两条边称为 相邻边，简称邻边。
图的基本概念
图的同构 设有两个图 G1 = (V1 , E1 ) 和 G2 = (V2 , E2 ) ，它们的顶点集间有一一对应的关系，且使 得边之间有如下的 关系：设 u1 ↔ u2 , v1 ↔ v2 ; u1 , v1 ∈V1 ; u2 , v2 ∈V2 ，若 ( u1 , v1 ) ∈ E1 ，则
子图在描述图的性质和局部结构中有着重要的作用。例如在图 9-6 中，(b)和(c) 都是(a)的子图，且(c)为(a)的生成子图
v1 v1 v1
运筹学图论与网络优化
例：Hamilton图
游戏：用正十二面体上20个顶点表示20个城市， 要求参加游戏者沿着各边行走，走遍每一个城市且 仅走一次，最后回到出发城市。
公元1859年，哈密尔顿 (Hamilton)在给朋友格拉 伍斯（Grares）的信中提 出了这个游戏。
问题：如何判断一个图是 否具有这样的性质。如果 有，这样的行走路线如何 确定。
第十章 图论与网络优化
1 图的基本概念 2 最小树问题 3 最短路问题 4 网络最大流问题 5 最小费用最大流问题
一些问题
A
例：七桥问题
C
D
B
图问论题中：著 一名 个问 散题 步者. 能17否36走年过，七图座论桥的，创且始每人座Eu桥le只r巧走 妙地将过此一问次题，化最为后图回的到不出重发复点一。笔画问题，并证明
点：研究对象（陆地、路口、国家、球队）； 点间连线：对象之间的特定关系（陆地间有桥、路
口之间道路、两国边界、两球队比赛及 结果)。 对称关系：桥、道路、边界；
用不带箭头的连线表示，称为边。
非对称关系：甲队胜乙队，用带箭头的连线表示， 称为弧。
图：点及边（或弧）组成。
对所要研究的问题确定具体对象及这些对象间的 性质关系，并用图的形式表示出来，这就是对所 研究原问题建立的模型。图是反映对象之间关系 的一种工具。
例：中国邮路问题
一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道 分送信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽 可能少的行程完成送信任务。如何走路线最短。
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
1962年，由我国数学家管梅谷提出，国际上称为中 国邮递员问题。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈的长度 最 短。
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
图论与网络最优化算法PPT
• •
• •
500 条边的图，则需近 50 K 的内存，而其 中很多元素是零。 1.4.3 二数组法 定义两个一维数组 P1(m) 和 P2(m) 分别存放 边的起点和终点。若第 i 条边 ei=(vj ， vk) ， 则P1(i)=j，P2(i)=k。 1.4.4 邻接表 邻接表也是图的一种常用表达方法，在这 种存储结构中，对图的每个顶点建立一个 链表。第i个链表中的顶点是与vi相邻的顶
• •
• •
会很高兴。 1.5.1 什么是算法 一个算法就是解决一特定问题的方法，是 一系列确定步骤，它必须在有限的时间内 终止。 1.5.2 算法的时间复杂性 对一个特定的问题，可能有不同的算法。 算法不同，效率也不同，因此，如何比较 它们？通常，对一个算法，人们常用计算 复杂性去衡量它的效率或计算的难度。
• 定义1.12 若存在正数C，使一个算法的执 行时间≤Ct(n)，其中n为实例的输入长，则 称这个算法花了t(n)阶的时间，记为O(t(n))， 并称O(t(n))为这个算法的时间复杂度。
• 定义1.13 设有两函数t1(n)与t2(n)，令
• ①若L为有限正常量，称t1(n)与t2(n)同量级。图1.1Fra bibliotek图1.2
图1.3
• 例1.3 化学药品存放问题。 • 1.2 一些基本概念
图1.5
图1.4 图1.6
• 1.2.1 图的概念 • 定义1.1 有序三元组G=(V，E，ψ)称为一 个图，其中： • ①V={v1 ， v2 ， … ， vn} 是有穷非空集，称 为顶点集。 • ②E称为边集，其中的元素叫做边。 • ③ψ 是从边集 E ，到 V 中的有序的或无序的 元素偶对的集合的映射，称为关联函数。 • 下面列出一些术语：
《图论与网络流》课件
最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流最小割定理
总结词
最大流最小割定理是图论中一个重要的定理，它指出在一个有向图中，从源点到汇点的 最大流等于最小割的容量。
详细描述
最大流最小割定理是解决网络流问题的重要理论依据，它提供了一种将最大流问题转化 为最小割问题的思路。通过求解最小割问题，可以找到一个割点集合，使得从源点到汇 点的流量等于该割的容量，从而得到最大流。在实际应用中，最大流最小割定理可以应
感谢您的观看
THANKS
02
图论中的基本问题
欧拉路径与欧拉回路
欧拉路径
一个路径是图中的一条边序列， 使得每条边只经过一次，起点和
终点是同一点。
欧拉回路
一个路径是图中的一条边序列，使 得每条边只经过一次，起点和终点 是同一点，且所有节点均不重复。
总结
欧拉路径和回路是图论中的基本概 念，它们在计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛应用。
最小割算法
01
最小割算法是图论中求解最小割问题的算法，旨在将图划分为两个不 相交的子集，使得两个子集之间的边权值之和最小。
02
最小割问题与最大流问题是互补的，一个问题的解可以通过另一个问 题的解得到。
03
最小割算法的实现通常基于最大流算法，通过求解一系列最大流问题 来逼近最小割问题的解。
04
最小割算法的时间复杂度也取决于所选的算法和图的具体结构，一般 在多项式时间内可求解。
最小费用流算法
最小费用流问题考虑了流的代价 ，即每条边的容量和代价，要求 在满足流量限制的前提下，总代 价最小。
最小费用流算法的基本思想是通 过不断优化流的路径和代价来逼 近最小费用流的解。
最小费用流算法是图论中求解最 小费用流问题的算法，旨在找到 从源点到汇点具有最小费用的流 。
图与网络分析-(共34张PPT)
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
网络最优化
A 第一章 图与网络1 简单图：没有环也没有平行边的图2 关联矩阵：设边),(Vj Vi Ek =，则在矩阵的第k 列中我们令Aik=Ajk=1,第k 列的其他元素都为0.用公式表示即⎩⎨⎧=01Aik 不关联与边顶点关联与边顶点Ek Vi Ek Vi 这样得到的0-1矩阵A=(Aij)称为图G 的关联矩阵。
3 邻接矩阵：如果不重视边集E 中边的次序，我们可以用对称的n 阶0-1方阵来记录一个图，方阵的每一行和每一列都对应一个顶点。
元素@@@@这样的矩阵称为图G 的邻接矩阵。
4 支撑图：设G ’=(V ’,E ’)是G=(V ,E)的子图，如果V ’=V 则称G ’为G 的支撑子图5 点导出图：设V 是图G 的顶点集合，V ’是V 的子集，令E ’是E 中所有两个端点都在V ’的边集合，则G 的子图G ’=(V ’,E ’)称为由顶点子集V ’生成的点导出图，记为G ’=G （V ’）6 途径：设G=（V ,E ）是一个无向图，考虑由G 的顶点和边交替组成的有限序列：w=v0e1v1e2….ekvk.如果Vi-1,Vi 恰好是e i 的端点（1k i ≤≤）我们称w 是一条从V0到Vk 的途径。
7 路：序列中不重复出现的途径称为路8 联通：考虑G 中任意一对顶点（u,v ），如果G 中存在一条连接u v 的路我们就说u v 两点是联通的。
9 割边：设e 是G 的一条边，假如G 是联通的，但去掉e 后，G-e 是不联通的，我们称e 是G 的割边。
10 边割：设E ’是E 的子集，如果G 联通而G-E ’不联通，E ’就称为G 的一个边割。
11 k 正则图：G 的顶点的最大度数和最小度数通常分别记为)()(u MAXdG G =∆和)()(v MINdG G =δ，显然，对于n 阶的简单图来说,1)(-≤∆n G 满足k G G ==∆)()(δ的图称为k 正则图。
12 三个握手定理： 1 图的顶点度数与边数满足下面的等式2 有向图握手定理 在有向图中3二分图的顶点的度数与边数的关系有第三章最小树与Greedy 算法1 树：联通的不包含圈的简单图称为树2 定理3.13：设图G=(V ,E)是树，!V!=n,则!E!=n-13 定理3.14：设图G=(V ,E)是树，则G 至少有两个顶点的度数为14 定理3.15：任何联通图必有支撑树。
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• 定义1.8(有向图的邻接矩阵) 设D=(V，E) 是一个有向图，V={v1，v2，…，vn}，则D 的邻接矩阵A=(aij)n×n，其中aij=m(若vi指向 vj的孤有m条，m可为0)。 • 定义1.9(加权有向图的带权邻接矩阵) 若为 有向图D=(V，E)的每条边赋予一个数，则 称D为加权有向图；设 D=(V，E)是一简单
的子图，称为 G 的由顶点集 V1 导出的子图， 记为G［V1］。 • 定义1.5 设E1E，且E1为边集，E1的端点
图1.7
集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E1 边集导出的子图，记为G［E1］。 • 1.2.2 顶点的次数
• 定理1.1
• 推论1.1 偶数。
任何图中，奇次顶点的总数必为
次数。邻接矩阵可用二维数组来表示，如 果是无向图，由于对称性，仅需存入上三 角矩阵。 • 1.4.2 关联矩阵 • 用关联矩阵表示图，能迅速指出与某一顶 点 v 关联的是哪些边，而且还可指出某条 边关联的是哪两个顶点，对于有风吹草动 图还能区分出入次和出次。关联矩阵一般 是用一个二维数组Mnm来表示，这需要很 大的存储空间，如存入一个 100 个顶点、
• 定义1.11(有向图的关联矩阵) 设D=(V，E) 是一有向无环图， V={v1 ， v2 ， … ， vn} ， E={e1 ， e2 ， … ， em} ， 则 D 的 关 联 矩 阵 M=(mij)n×m，其中
• 1.4 图在计算机中的存储 • 利用图论的方法解决实际问题时，通常要 借助于计算机。怎样把图的数据存储到计 算机里是一个首先要解决的问题，一般是 根据具体的图以及将要做的运算来选择适 当的存储结构，下面介绍几种常用的存储 结构。 • 1.4.1 邻接矩阵 • 用邻接矩阵表示图，较容易判定两个顶点 之间是否有边相连，也容易求出各顶点的
加权有向图，V={v1，v2，…，vn}，则D的 邻接矩阵A=(aij)n×n，其中
• 1.3.2 关联矩阵 • 定义1.10(无向图的关联矩阵) 设G=(V，E) 是 一 个 无 向 图 ， V={v1 ， v2 ， … ， vn} ， E={e1 ， e2 ， … ， em} ， 则 G 的 关 联 矩 阵 M=(mij)n×m，其中：
第1章 图与网络的基本概念
• 1.1 绪论 • 自然界与人类社会有许多问题，如果用图 形的方式来描述和分析，不仅形象直观， 而且清晰，效果很好。图论通过由点和边 组成的图形来描述具有某种二元关系的系 统，并根据图的性质进行分析，提供研究 各种系统的巧妙方法。
• 例1.1 七桥问题。 • 例1.2 人、狼、羊、菜渡河问题。
图1.8
• 1.2.3 同构 • 在1.1节所举的例子都是把实际问题用一个 图来描述，在这样的图中顶点可以代表任 意客体，两顶点间的连线表示这两客体具 有某种关系。图中顶点的位置，点对之间 连线的形状都无关紧要 ，重要的是连接 关系。
图1.9
• 定义1.6 设有两个无向图G和H，若顶点集 之间存在一一对应关系，且对应顶点之间 的边也有一一对应的关系，则称图 G 与 H 同构，记为 G≌H ，对于有向图的同构， 对应边的方向要求相同。
图1.18
图1.19
点(如果是有向图，则是从vi引出弧的终止 顶点)。
图1.20
• 1.4.5 邻接数组 • 定义一个二维数组 Nn×d，n是顶点数，d是 最大次数，对有向图是最大出次。Nn×d的 第i行是与 vi相邻的顶点的编号，如是有向 图，则是从 vi 引出弧的终止点的编号。若 与vi相邻的顶点不足d，就在后面添零。 • 1.4.6 邻接顺序表 • 邻接数组表示法有一个缺点，其中有些零 元素，特别当图中顶点的次数相差很大时， 要浪费许多存储空间。邻接顺序表方
相邻，Y中任二顶点不相邻，称G为二部图； 若X中的每一顶点皆与Y中一切顶点相邻时， G 称为完备二部图，记为 Km,n 。其中 m ， n 分别为X与Y的顶点数目。 • 定义1.3 设图G=(V，E，ψ)和G1=(V1，E1， ψ1) ， 若 V1 V ， E1 E ， 且 当 e∈E1 时 ， ψ1(e)=ψ(e)，则称G1是G的子图。特别地， 若V1=V，则称G1为G的生成子图。 • 定义1.4 设V1V，且V1≠ ，以V1为顶点 集，两个端点都在 V1 中的边为边集的 G
• • • • • • •
①若ψ(e)=uv，称e与顶点u，v相关联。 ②若ψ(e)=uv，称u与v相邻。 ③与同一顶点相关联的两边称为相邻边。 ④两端点重合的边称为环。 ⑤端点完全相同的两边称为重边。 ⑥既无环又无重边的图，称为简单图。 ⑦任二顶点相邻的简单图，称为完备图， 记为Kn，其中n为顶点的数目。 • ⑧若 V=X ∪ Y ， X ∩ Y= ， X 中任二顶点不
图1.10
图1.11
图1.12
• 1.3 图的矩阵表示 • 为了便于利用计算机进行计算和处理，常 要将图数字化，用矩阵来表示图。图的矩 阵表示形式很多，本节只介绍邻接矩阵与 关联矩阵。 • 1.3.1 邻接矩阵
• 定义1.7(无向图的邻接矩阵) 设G=(V，E) 是一个无Байду номын сангаас图，V={v1，v2，…，vn}，则G 的邻接矩阵A=(aij)n×n，其中：
图1.1
图1.2
图1.3
• 例1.3 化学药品存放问题。 • 1.2 一些基本概念
图1.5
图1.4 图1.6
• 1.2.1 图的概念 • 定义1.1 有序三元组G=(V，E，ψ)称为一 个图，其中： • ①V={v1 ， v2 ， … ， vn} 是有穷非空集，称 为顶点集。 • ②E称为边集，其中的元素叫做边。 • ③ψ 是从边集 E ，到 V 中的有序的或无序的 元素偶对的集合的映射，称为关联函数。 • 下面列出一些术语：
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500 条边的图，则需近 50 K 的内存，而其 中很多元素是零。 1.4.3 二数组法 定义两个一维数组 P1(m) 和 P2(m) 分别存放 边的起点和终点。若第 i 条边 ei=(vj ， vk) ， 则P1(i)=j，P2(i)=k。 1.4.4 邻接表 邻接表也是图的一种常用表达方法，在这 种存储结构中，对图的每个顶点建立一个 链表。第i个链表中的顶点是与vi相邻的顶