图论与网络最优化算法PPT

图1.18
图1.19
点(如果是有向图，则是从vi引出弧的终止 顶点)。
图1.20
• 1.4.5 邻接数组 • 定义一个二维数组 Nn×d，n是顶点数，d是 最大次数，对有向图是最大出次。Nn×d的 第i行是与 vi相邻的顶点的编号，如是有向 图，则是从 vi 引出弧的终止点的编号。若 与vi相邻的顶点不足d，就在后面添零。 • 1.4.6 邻接顺序表 • 邻接数组表示法有一个缺点，其中有些零 元素，特别当图中顶点的次数相差很大时， 要浪费许多存储空间。邻接顺序表方
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500 条边的图，则需近 50 K 的内存，而其 中很多元素是零。 1.4.3 二数组法 定义两个一维数组 P1(m) 和 P2(m) 分别存放 边的起点和终点。若第 i 条边 ei=(vj ， vk) ， 则P1(i)=j，P2(i)=k。 1.4.4 邻接表 邻接表也是图的一种常用表达方法，在这 种存储结构中，对图的每个顶点建立一个 链表。第i个链表中的顶点是与vi相邻的顶
第1章 图与网络的基本概念
• 1.1 绪论 • 自然界与人类社会有许多问题，如果用图 形的方式来描述和分析，不仅形象直观， 而且清晰，效果很好。图论通过由点和边 组成的图形来描述具有某种二元关系的系 统，并根据图的性质进行分析，提供研究 各种系统的巧妙方法。
• 例1.1 七桥问题。 • 例1.2 人、狼、羊、菜渡河问题。
加权有向图，V={v1，v2，…，vn}，则D的 邻接矩阵A=(aij)n×n，其中
• 1.3.2 关联矩阵 • 定义1.10(无向图的关联矩阵) 设G=(V，E) 是 一 个 无 向 图 ， V={v1 ， v2 ， … ， vn} ， E={e1 ， e2 ， … ， em} ， 则 G 的 关 联 矩 阵 M=(mij)n×m，其中：
图1.1
图1.2
图1.3
• 例1.3 化学药品存放问题。 • 1.2 一些基本概念
图1.5
图1.4 图1.6
• 1.2.1 图的概念 • 定义1.1 有序三元组G=(V，E，ψ)称为一 个图，其中： • ①V={v1 ， v2 ， … ， vn} 是有穷非空集，称 为顶点集。 • ②E称为边集，其中的元素叫做边。 • ③ψ 是从边集 E ，到 V 中的有序的或无序的 元素偶对的集合的映射，称为关联函数。 • 下面列出一些术语：
图1.8
• 1.2.3 同构 • 在1.1节所举的例子都是把实际问题用一个 图来描述，在这样的图中顶点可以代表任 意客体，两顶点间的连线表示这两客体具 有某种关系。图中顶点的位置，点对之间 连线的形状都无关紧要 ，重要的是连接 关系。
图1.9
• 定义1.6 设有两个无向图G和H，若顶点集 之间存在一一对应关系，且对应顶点之间 的边也有一一对应的关系，则称图 G 与 H 同构，记为 G≌H ，对于有向图的同构， 对应边的方向要求相同。
• 定义1.8(有向图的邻接矩阵) 设D=(V，E) 是一个有向图，V={v1，v2，…，vn}，则D 的邻接矩阵A=(aij)n×n，其中aij=m(若vi指向 vj的孤有m条，m可为0)。 • 定义1.9(加权有向图的带权邻接矩阵) 若为 有向图D=(V，E)的每条边赋予一个数，则 称D为加权有向图；设 D=(V，E)是一简单
• 定义1.11(有向图的关联矩阵) 设D=(V，E) 是一有向无环图， V={v1 ， v2 ， … ， vn} ， E={e1 ， e2 ， … ， em} ， 则 D 的 关 联 矩 阵 M=(mij)n×m，其中
• 1.4 图在计算机中的存储 • 利用图论的方法解决实际问题时，通常要 借助于计算机。怎样把图的数据存储到计 算机里是一个首先要解决的问题，一般是 根据具体的图以及将要做的运算来选择适 当的存储结构，下面介绍几种常用的存储 结构。 • 1.4.1 邻接矩阵 • 用邻接矩阵表示图，较容易判定两个顶点 之间是否有边相连，也容易求出各顶点的
次数。邻接矩阵可用二维数组来表示，如 果是无向图，由于对称性，仅需存入上三 角矩阵。 • 1.4.2 关联矩阵 • 用关联矩阵表示图，能迅速指出与某一顶 点 v 关联的是哪些边，而且还可指出某条 边关联的是哪两个顶点，对于有风吹草动 图还能区分出入次和出次。关联矩阵一般 是用一个二维数组Mnm来表示，这需要很 大的存储空间，如存入一个 100 个顶点、
图1.10
图1.11
图1.12
• 1.3 图的矩阵表示 • 为了便于利用计算机进行计算和处理，常 要将图数字化，用矩阵来表示图。图的矩 阵表示形式很多，本节只介绍邻接矩阵与 关联矩阵。 • 1.3.1 邻接矩阵
• 定义1.7(无向图的邻接矩阵) 设G=(V，E) 是一个无向图，V={v1，v2，…，vn}，则G 的邻接矩阵A=(aij)n×n，其中：
的子图，称为 G 的由顶点集 V1 导出的子图， 记为G［V1］。 • 定义1.5 设E1E，且E1为边集，E1的端点
图1.7
集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由 E1 边集导出的子图，记为G［E1］。 • 1.2.2 顶点的次数
• 定理1.1
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• 推论1.1 偶数。
任何图中，奇次顶点的总数必为
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①若ψ(e)=uv，称e与顶点u，v相关联。 ②若ψ(e)=uv，称u与v相邻。 ③与同一顶点相关联的两边称为相邻边。 ④两端点重合的边称为环。 ⑤端点完全相同的两边称为重边。 ⑥既无环又无重边的图，称为简单图。 ⑦任二顶点相邻的简单图，称为完备图， 记为Kn，其中n为顶点的数目。 • ⑧若 V=X ∪ Y ， X ∩ Y= ， X 中任二顶点不
相邻，Y中任二顶点不相邻，称G为二部图； 若X中的每一顶点皆与Y中一切顶点相邻时， G 称为完备二部图，记为 Km,n 。其中 m ， n 分别为X与Y的顶点数目。 • 定义1.3 设图G=(V，E，ψ)和G1=(V1，E1， ψ1) ， 若 V1 V ， E1 E ， 且 当 e∈E1 时 ， ψ1(e)=ψ(e)，则称G1是G的子图。特别地， 若V1=V，则称G1为G的生成子图。 • 定义1.4 设V1V，且V1≠ ，以V1为顶点 集，两个端点都在 V1 中的边为边集的 G