人教版初中数学因式分解经典测试题及答案
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人教版初中数学因式分解经典测试题及答案
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A、是整式的乘法，故 A 不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 不符合题意； 故选 C． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形 式．
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多
项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
14．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( ) A．x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6x B．10x2﹣5x=5x(2x﹣1) C．a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2 D．a(m+n)=am+an 【答案】B 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义逐个进行判断即可. 【详解】
11．若△ABC 三边分别是 a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3 ， 则△ABC 是
（）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题解析：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，
∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，
∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，
7．已知 248 1可以被在 60～70 之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63
B．61、65
C．61、67
D．63、65
【答案】D
【解析】
【分析】
由 248 1 224 1 224 1 224 1 212 1 26 1 26 1 ，多次利用平方差公式化简，可
解得. 【详解】
= x2 y(a b) xy(a b) y(a b)
= y(a b)(x2 x 1) ，
故提公因式后，另一个因式为： x2 x 1，
故选：B. 【点睛】 此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】 因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套 用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定. 【详解】 A 选项,从左到右变形错误,不符合题意, B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意, C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意, D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解, 属于分解不彻底,因此不符合题意, 故选 B. 【点睛】 本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
解：原式 224 1 224 1 ， 224 1 212 1 212 1 224 1212 126 126 1 63 65 224 1 212 1
∴这两个数是 63,65 .
选 D. 【点睛】 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.
8．多项式 ab bc a2 c2 分解因式的结果是（ ） A． (a c)(a b c) B． (a c)(a b c) C． (a c)(a b c) D． (a c)(a b c)
D．等腰三角形
【解析】
【分析】
首先将原式变形为 b ca ba b 0 ，可以得到 b c 0 或 a b 0或
a b 0，进而得到 b c 或 a b ．从而得出△ABC 的形状．
【详解】
∵ a2b a2c b2c b3 0 ，
∴ a2 b c b2 c b 0 ，
式，另一项是这两个数的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】
故选 D．
【点睛】
本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关
键．
17．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．16x2 1
【答案】D 【解析】
B． x2 2x 1
C． a2 2ab 4b2
D． x2 x 1 4
【分析】
根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形
15．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．1 a2
B． 0.04 0.09 y2 C． x2 y2
D． x2 y2
【答案】D 【解析】
【分析】
判断各个选项是否满足平方差的形式，即： a2 b2 的形式
【详解】
A、C 都是 a2 b2 的形式，不符；
B 中，变形为：－( 0.04+0.09 y2 )，括号内也是 a2 b2 的形式，不符；
9．多项式 x2 y(a b) xy(b a) y(a b) 提公因式后，另一个因式为（ ）
A． x2 x 1
B． x2 x 1
C． x2 x 1
【答案】B
【解析】
【分析】
各项都有因式 y（a-b），根据因式分解法则提公因式解答.
【详解】
D． x2 x 1
x2 y(a b) xy(b a) y(a b)
A．12xy2＝3xy•4y
B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
解：A、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； B、把多项式 10x2﹣5x 变形为 5x 与 2x﹣1 的积，是因式分解； C、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； D、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； 故选：B． 【点睛】 本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.
D、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
B．a（a+1）（a﹣1）＝﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3
D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1
6．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A．2(a﹣b)＝2a﹣2b
B． a2 b2 1 (a b)(a b) 1
C． x2 2x 4 (x 2)2
D． 2x2 8y2 2(x 2 y)(x 2 y)
【答案】D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可 得出. 【详解】 解：由因式分解的定义可知： A. 2(a﹣b)＝2a﹣2b，不是因式分解，故错误；
B. a2 b2 1 (a b)(a b) 1，不是因式分解，故错误；
C. x2 2x 4 (x 2)2 ，左右两边不相等，故错误；
D. 2x2 8y2 2(x 2 y)(x 2 y) 是因式分解；
故选：D 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.
B．x2＋x－5＝(x－2)(x＋3)＋1
C．a2b＋ab2＝ab(a＋b)
D．x2＋1＝x (x 1 ) x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
A、是整式的乘法，故 A 错误；
B、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 错误；
C、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故 C 正确；
∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0，
∴b=c 或 a2+b2=c2，
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
故选 D．
12．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． m2 n
B． m2 2m 1
C． m2 n
【答案】B
【解析】
D． m2 m 1
【分析】
完全平方公式的考察， a b2 a2 2ab b2
∴ b c a2 b2 0 ，
即bca ba b 0，
∴ b c 0 或 a b 0或 a b 0(舍去)， ∴bc或a b，
∴△ABC 是等腰三角形． 故选：D． 【点睛】 本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分 解的步骤，分解要彻底．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；
D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 不符合因式分解的定义，不合题意；
【答案】A 【解析】 【分析】 根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答. 【详解】
解： ab bc a2 c2 =b(a c) (a c)(a c) (a c)(b+a c) (a c)(a+b c) ；
故选：A. 【点睛】 本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
D 中，满足 a2 b2 的形式，符合
故选：D 【点睛】 本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形
式，我们才可利用乘法公式简化计算.
16．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2 y3＝2x2⋅4 y3
B．（ x+1）（ x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（ x﹣y）﹣1
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式
乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．
5．若三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ，满足 a2b a2c b2c b3 0 ，则这个三角形是
（）
A．直角三角形 【答案】D
B．等边三角形
C．锐角三角形
【详解】 A、C、D 都无法进行因式分解
B 中， m2 2m 1 m2 2 m112 m 12 ，可进行因式分解
故选：B 【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式： a2 b2 a ba b 完全平方公式： a b2 a2 2ab b2
13．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x+3）＝2x2+6x
B．24xy2＝3x•8y2
C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1
D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．x2﹣8x+16＝（ x﹣4）2
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
【详解】
①是单项式的变形，不是因式分解；
②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此 D 正确；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选 D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一
个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－9
一、选择题
1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A．m（a+b）＝ma+mb B．a2+4a﹣21＝a（a+4）﹣21 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x2+16﹣y2＝（x+y）（x﹣y）+16 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A、是整式的乘法，故 A 不符合题意； B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 不符合题意； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 C 符合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 不符合题意； 故选 C． 【点睛】 本题考查了因式分解的意义，判断因式分解的标准是把一个多项式转化成几个整式积的形 式．
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解题的关键，注意：把一个多
项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
14．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( ) A．x2﹣16+6x=(x+4)(x﹣4)+6x B．10x2﹣5x=5x(2x﹣1) C．a2﹣b2﹣c2=(a﹣b)(a+b)﹣c2 D．a(m+n)=am+an 【答案】B 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义逐个进行判断即可. 【详解】
11．若△ABC 三边分别是 a、b、c，且满足（b﹣c）（a2＋b2）＝bc2﹣c3 ， 则△ABC 是
（）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
试题解析：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，
∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，
∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，
7．已知 248 1可以被在 60～70 之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．61、63
B．61、65
C．61、67
D．63、65
【答案】D
【解析】
【分析】
由 248 1 224 1 224 1 224 1 212 1 26 1 26 1 ，多次利用平方差公式化简，可
解得. 【详解】
= x2 y(a b) xy(a b) y(a b)
= y(a b)(x2 x 1) ，
故提公因式后，另一个因式为： x2 x 1，
故选：B. 【点睛】 此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键.
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】 因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套 用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定. 【详解】 A 选项,从左到右变形错误,不符合题意, B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意, C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意, D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解, 属于分解不彻底,因此不符合题意, 故选 B. 【点睛】 本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
解：原式 224 1 224 1 ， 224 1 212 1 212 1 224 1212 126 126 1 63 65 224 1 212 1
∴这两个数是 63,65 .
选 D. 【点睛】 本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.
8．多项式 ab bc a2 c2 分解因式的结果是（ ） A． (a c)(a b c) B． (a c)(a b c) C． (a c)(a b c) D． (a c)(a b c)
D．等腰三角形
【解析】
【分析】
首先将原式变形为 b ca ba b 0 ，可以得到 b c 0 或 a b 0或
a b 0，进而得到 b c 或 a b ．从而得出△ABC 的形状．
【详解】
∵ a2b a2c b2c b3 0 ，
∴ a2 b c b2 c b 0 ，
式，另一项是这两个数的积的 2 倍，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】
故选 D．
【点睛】
本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关
键．
17．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．16x2 1
【答案】D 【解析】
B． x2 2x 1
C． a2 2ab 4b2
D． x2 x 1 4
【分析】
根据完全平方公式的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方和的形
15．下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．1 a2
B． 0.04 0.09 y2 C． x2 y2
D． x2 y2
【答案】D 【解析】
【分析】
判断各个选项是否满足平方差的形式，即： a2 b2 的形式
【详解】
A、C 都是 a2 b2 的形式，不符；
B 中，变形为：－( 0.04+0.09 y2 )，括号内也是 a2 b2 的形式，不符；
9．多项式 x2 y(a b) xy(b a) y(a b) 提公因式后，另一个因式为（ ）
A． x2 x 1
B． x2 x 1
C． x2 x 1
【答案】B
【解析】
【分析】
各项都有因式 y（a-b），根据因式分解法则提公因式解答.
【详解】
D． x2 x 1
x2 y(a b) xy(b a) y(a b)
A．12xy2＝3xy•4y
B．（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3
C．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
解：A、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； B、把多项式 10x2﹣5x 变形为 5x 与 2x﹣1 的积，是因式分解； C、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； D、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解； 故选：B． 【点睛】 本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.
D、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 D 错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
4．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
B．a（a+1）（a﹣1）＝﹣a
C．6x2y3＝2x2•3y3
D．mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1
6．下列从左到右的变形，是因式分解的是( )
A．2(a﹣b)＝2a﹣2b
B． a2 b2 1 (a b)(a b) 1
C． x2 2x 4 (x 2)2
D． 2x2 8y2 2(x 2 y)(x 2 y)
【答案】D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可 得出. 【详解】 解：由因式分解的定义可知： A. 2(a﹣b)＝2a﹣2b，不是因式分解，故错误；
B. a2 b2 1 (a b)(a b) 1，不是因式分解，故错误；
C. x2 2x 4 (x 2)2 ，左右两边不相等，故错误；
D. 2x2 8y2 2(x 2 y)(x 2 y) 是因式分解；
故选：D 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键.
B．x2＋x－5＝(x－2)(x＋3)＋1
C．a2b＋ab2＝ab(a＋b)
D．x2＋1＝x (x 1 ) x
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】
A、是整式的乘法，故 A 错误；
B、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故 B 错误；
C、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故 C 正确；
∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0，
∴b=c 或 a2+b2=c2，
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
故选 D．
12．下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． m2 n
B． m2 2m 1
C． m2 n
【答案】B
【解析】
D． m2 m 1
【分析】
完全平方公式的考察， a b2 a2 2ab b2
∴ b c a2 b2 0 ，
即bca ba b 0，
∴ b c 0 或 a b 0或 a b 0(舍去)， ∴bc或a b，
∴△ABC 是等腰三角形． 故选：D． 【点睛】 本题考查了因式分解－提公因式法、平方差公式法在实际问题中的运用，注意掌握因式分 解的步骤，分解要彻底．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：A、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，从左到右的变形是整式乘法，不合题意；
C、6x2y3＝2x2•3y3，不符合因式分解的定义，不合题意；
D、mx﹣my+1＝m（x﹣y）+1 不符合因式分解的定义，不合题意；
【答案】A 【解析】 【分析】 根据提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答. 【详解】
解： ab bc a2 c2 =b(a c) (a c)(a c) (a c)(b+a c) (a c)(a+b c) ；
故选：A. 【点睛】 本题考查了利用提取公因式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解题的关键.
D 中，满足 a2 b2 的形式，符合
故选：D 【点睛】 本题考查平方差公式，注意在利用乘法公式时，一定要先将式子变形成符合乘法公式的形
式，我们才可利用乘法公式简化计算.
16．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8x2 y3＝2x2⋅4 y3
B．（ x+1）（ x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（ x﹣y）﹣1
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式
乘积的形式，注意因式分解与整式的乘法的区别．
5．若三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ，满足 a2b a2c b2c b3 0 ，则这个三角形是
（）
A．直角三角形 【答案】D
B．等边三角形
C．锐角三角形
【详解】 A、C、D 都无法进行因式分解
B 中， m2 2m 1 m2 2 m112 m 12 ，可进行因式分解
故选：B 【点睛】
本题考查了公式法因式分解，常见的乘法公式有：平方差公式： a2 b2 a ba b 完全平方公式： a b2 a2 2ab b2
13．下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ）
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x+3）＝2x2+6x
B．24xy2＝3x•8y2
C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1
D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．x2﹣8x+16＝（ x﹣4）2
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
【详解】
①是单项式的变形，不是因式分解；
②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此 D 正确；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选 D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一
个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－9