高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习课 新人教A版选修1-1

【金版学案】2016-2017学年高中数学第一章常用逻辑用语章末复

习课新人教A版选修1-1

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1．命题及其关系的关注点

(1)命题的四种形式的转换，方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．

(2)命题真假的判断，依据是命题所包含的知识点，判断的正确与否反映了对这一知识点的掌握情况，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．

2．充分条件与必要条件的注意点

(1)在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．

(2)证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．

3．简单的逻辑联结词的两个关注点

(1)正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．

(2)有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．

4．否命题与命题的否定的注意点

否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．

专题一 命题及其关系

对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观推断，这也是最基本的数学逻辑思维方式．

[例1] (1)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：

p 1：数列{a n }是递增数列；

p 2：数列{na n }是递增数列；

p 3：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．

其中的真命题为( )

A ．p 1，p 2

B ．p 3，p 4

C ．p 2，p 3

D ．p 1，p 4

(2)已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )

A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真

B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假

C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真

D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真

解析：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，因为d ＞0，所以{a n }是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n ，此时{na n }不是递增数列，

所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n ，此时⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n n 是递减数列，所以p 3为假命题；因为a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，所以{a n ＋3nd }是递增数列，所以p 4为真命题．

(2)因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．

答案：(1)D (2)D 归纳升华

1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．

2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题(逆否命题)，再进行判断．

[变式训练] 给出下列四个命题：

①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；

④若sin α＋cos α＞1，则α必定是锐角．

其中是真命题的有________(请把所有真命题的序号都填上)．

解析：②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．

答案：①③

专题二充分条件与必要条件的判定

充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．

[例2] (1)若向量a＝(x，3)(x∈R)，则“|a|＝5”是“x＝4”的( )

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x≠－1或y≠－1，则p是q的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：(1)|a|＝x2＋32＝5得x＝4或x＝－4.反之当x＝4时，|a|＝42＋32＝5，故“|a|＝5”是“x＝4”的必要不充分条件．

(2)由逆否命题：若綈q，则綈p，则x＝－1＝y⇒x＋y＝－2正确，但x＋y＝－2 x ＝y＝－1，即綈q是綈p的充分不必要条件．

答案：(1)B (2)A

归纳升华

判断充分条件和必要条件的方法

1．定义法：根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中(1)．

2．集合法：运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是通过集合范围的大小判断．

3．等价命题法：利用原命题与它的逆否命题是等价命题的结论，有时可以很快地判断．如本例中(2)．

[变式训练] 已知p ：x 2－8x －33＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0(a ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．

解：解不等式x 2－8x －33＞0，得p ：A ＝{x |x ＞11或x ＜－3}；

解不等式x 2－2x ＋1－a 2＞0，得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}．

依题意p ⇒q 但q p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤11，1－a ＞－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ＜11，1－a ≥－3，

解得0＜

a ≤4，

所以正实数a 的取值范围是0＜a ≤4.

专题三 含逻辑联结词的命题

用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求．本内容在高考试题中，既可以以选择题、填空题的形式单独出现，又可以渗透到解答题中．掌握本