建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用

即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻 尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随 周期的增大而减小。
2
max
1
Tg
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设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
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一、多质点和多自由度体系
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T
（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值
1） 曲线由四部分组成，其值也由四部分构成。 2）结构自振周期
1、单自由度体系： T2 G/g
----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移
2、多质点体系：近似计算（P87：§3-9） 3）特征周期 4）地震影响系数最大值： 5）对应于阻尼比等于0.05和不等于0.05，抗震设计反应 谱的形状参数（ 、 、 ）不同：
上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性
力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由
该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的 等效荷载。
若考虑到 ，并取 k/m ，则得水平地震作用，即
F （ t） m 2 x （ t） m 0 t x （ g） e （ t ） si （ t n ） d
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（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）
max
Tg
T
1
----地震影响系数； ----地震影响系数最大值； ----结构自振周期； ----特征周期（？？）； ----直线下降段的下降斜率调整系数； ----阻尼调整系数； ----衰减指数
2
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在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质
量m与最大绝对加速度的乘积。
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计算水平地震作用最大值的基本公式
设F为水平地震作用最大值，则得 F m x （ g t ） x （ t ） m m a0 t x x （ g ） e （ t ） s （ i t n ） d max
动力系数是单质点m最大反应加速度Sa与地面运动最大加速度 x（ g t）max 之比，而 x（ g t）ma对x 于给定的地震是个定值，所以β~T曲线实质上是 一种加速度反应谱曲线。
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3、地震影响系数
地震影响系数： kSa/g
表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度g为单位 的最大反应加速度。 地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重 力荷载代表值之比（ FEKG ）。 《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的， 其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结 构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震 设计反应谱）确定：
设防烈度 6
7
8
9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大 小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。
但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间 和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一 度，k值大致增加一倍。
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抗震设计中，设计特征周期Tg的取值根据“设计地震
分组”确定。
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设计地震分组
GB50011—2019规范在附录A中规定了县级及县级以上城镇的 中心地区(如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和 所属的设计地震分组。
特 征 周 期 Tg 值
设计地
场地类别
震分组 Ⅰ
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二、两自由度弹性体系的自由振动
左图为一两自由度弹性体系在 水平地震作用下，在时刻t的变 形情况。Xg(t)为地震时地面运 动的水平位移，质点1和质点2 沿地面运动方向产生的相对于 地面的水平位移分别为x1(t)和 x和2(tx（2)，t），而相相对对加速速度度则为为x（1x（1t）t） 和 x（2 t），绝对加速度分别为 x（g t） + x（1 t）和 x（g t）+ x（2 t）。
由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用
组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物
的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的
“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确
定的，所以F按式G
计算得到的地震作用也是标
准值。
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组合值系数
可变荷载种类 雪荷载
算 动 由和 力 上统 系 式计数可。β知还，可动以力表系示数为与：地 面2 T 运•动 x （ g加t1 ） m 速a 度0 tx x （ 记g录） e x g2 T ( （ tt) 的） s特i2 T 征 n （ 、t 结） 构d m 的a 自x
振周期T及阻尼比ζ有关。当地面加速度记录 xg (t) 和阻尼比ζ给定时， 就可根据不同的T值算出动力系数β，从而得到一条β~T曲线。这条 曲线就称为动力系数反应谱曲线。
显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地 震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是 地震强烈程度的参数。
例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是 这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。
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设防烈度与地震系数的对应关系
地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与 地震烈度之间有一定的对应关系：
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地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系
抗震设防烈度
6
7
8
9
设计基本地震加速度 0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的 地震动峰值加速度相当。
m1——集中在质点1上的质量。
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2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
根动据方达程朗m 1 贝 x （ 1 尔t ） 原c 1 理x （ 1 ，t 1 ） Ic 11 +x （ 2 R2 t ） 1 +k S1 x 1（ 1 =t 1 ） 0 ，k 1 经x （ 2 2 t 整） 理 m 得1 x （ g 下t ） 列运 同理对于质点2: m 2 x （ 2 t ） c 2 x （ 1 t 1 ） c 2 x （ 2 2 t ） k 2 x （ 1 t 1 ） k 2 x （ 2 2 t ） m 2 x （ g t ） 上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运 动微分方程组。 上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动
xg
----地震动峰值加速度；β----动力系数； km a-x ---地震系数；
α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。
地震求系作数用k和在动质力点系上数的β水，平或地者震是作地用震F影EK响，系关数键α在。于求出
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二、建筑的重力荷载代表值
地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷 载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的 计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物 重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规 定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒 载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷 载的组合值系数按规范取值。
抗震设防烈度 6
设计基本地震 0.05g 加速度
7
8
9
0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数 区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。
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§3-4多自由度弹性体系的地震反应
一、多质点和多自由度体系 二、两自由度弹性体系的自由振动
或 FmSa ，这里，S a 0 t x （ g ） e （ t ） si（ n t ） dmax
令： Sa xg max xg，maxkg
代入公上式式：，F 并E 以 K Fm EK代g 替k Fk ，则G 得 计G 算水平地震作用的基本
式中： FEK--水平地震作用标准值； Sa--质点加速度最大值；