建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用
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在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
设防烈度与地震系数的对应关系
设防烈度 地震系数
6
7
0.05 0.10(0.15)
8
9
0.20(0.30) 0.40
地震系数
k
xg (t ) max g
地震动峰值加速度 xg max
地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重
力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速
度。
2021/3/7
屋面积灰荷载 屋面活荷载
按实际情况考虑的楼面活荷载
按等效均布活荷载考 虑的楼面活荷载
藏书库、档案库 其它民用建筑
吊车悬吊物重力
硬钩吊车
软钩吊车
组合值系数 0.5 0.5
不考虑
1.0 0.8 0.5 0.3 不考虑
2021/3/7
结构抗震设计
9
三、抗震设计反应谱
1、地震系数k 地震系数 kxg(t)max/g 是地震动峰值加速度（地面 运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就 是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
抗震设防烈度 6
设计基本地震 0.05g 加速度
7
8
9
0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数 区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。
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结构抗震设计
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§3-4多自由度弹性体系的地震反应
一、多质点和多自由度体系 二、两自由度弹性体系的自由振动
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
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结构抗震设计
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一、多质点和多自由度体系
由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用
组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物
的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的
“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确
定的，所以F按式G
计算得到的地震作用也是标
准值。
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结构抗震设计
8
组合值系数
可变荷载种类 雪荷载
抗震设计中，设计特征周期Tg的取值根据“设计地震
分组”确定。
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结构抗震设计
17
设计地震分组
GB50011—2019规范在附录A中规定了县级及县级以上城镇的 中心地区(如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和 所属的设计地震分组。
特 征 周 期 Tg 值
设计地
场地类别
震分组 Ⅰ
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结构抗震设计
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1、两自由度运动方程的建立
单自由度体系相似，取质点1作隔离体，则作用在其上的
惯性力为： I1 m 1 x （ gt） x （ 1t）
弹性恢复力为 ：S 1 k 1x （ 1 1t） k 1x （ 2t）
阻尼力为 ：R c 1x （ 1 1t） c 1x （ 2t）
结构抗震设计
11
地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系
抗震设防烈度
6
7
8
9
设计基本地震加速度 0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的 地震动峰值加速度相当。
即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻 尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随 周期的增大而减小。
2
max
1
Tg
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结构抗震设计
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设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
一、水平地震作用的计算公式
地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为
F （ t） m x （ gt） x （ t）
若考虑到cx(t)<<kx(t)而略去不计，则得
F （ t ） m x （ g t ） x （ t ） c x （ t ） k （ t ） x k （ t ） x
15
T
（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值
1） 曲线由四部分组成，其值也由四部分构成。 2）结构自振周期
1、单自由度体系： T2 G/g
----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移
2、多质点体系：近似计算（P87：§3-9） 3）特征周期 4）地震影响系数最大值： 5）对应于阻尼比等于0.05和不等于0.05，抗震设计反应 谱的形状参数（ 、 、 ）不同：
Ⅱ
Ⅲ
IV
第一组 0.25 0.35 0.45 0.65
第二组 0.30 0.40 0.55 0.75 第三组 0.35 0.45 0.65 0.90
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结构抗震设计
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水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）
地震
烈
度
影响 6
7
8
9
多遇地震 0.04 0.08（0.12） 0.16（0.24） 0.32
罕遇地震
0.50（0.72） 0.90（1.20） 1.40
注：括号数字分别对应于设计基本地震加速度0.15g 和0.30g地区的地震作用影响系数。
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结构抗震设计
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设计基本地震加速度
1．设计基本地震加速度
定义：50年设计基准期超越概率10％的地震加速度设 计取值。
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系
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二、两自由度弹性体系的自由振动
左图为一两自由度弹性体系在 水平地震作用下，在时刻t的变 形情况。Xg(t)为地震时地面运 动的水平位移，质点1和质点2 沿地面运动方向产生的相对于 地面的水平位移分别为x1(t)和 x和2(tx（2)，t），而相相对对加速速度度则为为x（1x（1t）t） 和 x（2 t），绝对加速度分别为 x（g t） + x（1 t）和 x（g t）+ x（2 t）。
xg
----地震动峰值加速度；β----动力系数； km a-x ---地震系数；
α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。
地震求系作数用k和在动质力点系上数的β水，平或地者震是作地用震F影EK响，系关数键α在。于求出
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结构抗震设计
7
二、建筑的重力荷载代表值
地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷 载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的 计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物 重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规 定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒 载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷 载的组合值系数按规范取值。
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结构抗震设计
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（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）
max
Tg
T
1
----地震影响系数； ----地震影响系数最大值； ----结构自振周期； ----特征周期（？？）； ----直线下降段的下降斜率调整系数； ----阻尼调整系数； ----衰减指数
2
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结构抗震设计
m1——集中在质点1上的质量。
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结构抗震设计
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2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
根动据方达程朗m 1 贝 x （ 1 尔t ） 原c 1 理x （ 1 ，t 1 ） Ic 11 +x （ 2 R2 t ） 1 +k S1 x 1（ 1 =t 1 ） 0 ，k 1 经x （ 2 2 t 整） 理 m 得1 x （ g 下t ） 列运 同理对于质点2: m 2 x （ 2 t ） c 2 x （ 1 t 1 ） c 2 x （ 2 2 t ） k 2 x （ 1 t 1 ） k 2 x （ 2 2 t ） m 2 x （ g t ） 上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运 动微分方程组。 上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动
结构抗震设计
12
2、动力系数
动力系数：Sa/ x（ gt） max
是单自由度弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面运动最大 加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面 运动最大加速度放大了多少倍。
β无量纲，其值与地震烈度无关，因为当 x（ g t）ma增x 大或减小时，Sa相 应随之增大或减小。这样就可利用所有不同烈度的地震记录进行计
算 动 由和 力 上统 系 式计数可。β知还，可动以力表系示数为与：地 面2 T 运•动 x （ g加t1 ） m 速a 度0 tx x （ 记g录） e x g2 T ( （ tt) 的） s特i2 T 征 n （ 、t 结） 构d m 的a 自x
振周期T及阻尼比ζ有关。当地面加速度记录 xg (t) 和阻尼比ζ给定时， 就可根据不同的T值算出动力系数β，从而得到一条β~T曲线。这条 曲线就称为动力系数反应谱曲线。
上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性
力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由
该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的 等效荷载。
若考虑到 ，并取 k/m ，则得水平地震作用，即
F （ t） m 2 x （ t） m 0 t x （ g） e （ t ） si （ t n ） d
或 FmSa ，这里，S a 0 t x （ g ） e （ t ） si（ n t ） dmax
令： Sa xg max xg，maxkg
代入公上式式：，F 并E 以 K Fm EK代g 替k Fk ，则G 得 计G 算水平地震作用的基本
式中： FEK--水平地震作用标准值； Sa--质点加速度最大值；
显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地 震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是 地震强烈程度的参数。
例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是 这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。
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结构抗震设计
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设防烈度与地震系数的对应关系
地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与 地震烈度之间有一定的对应关系：
设防烈度 6
7
8
9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大 小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。
但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间 和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一 度，k值大致增加一倍。
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在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质
量m与最大绝对加速度的乘积。
2021/3/7
结构抗震设计
6
计算水平地震作用最大值的基本公式
设F为水平地震作用最大值，则得 F m x （ g t ） x （ t ） m m a0 t x x （ g ） e （ t ） s （ i t n ） d max
动力系数是单质点m最大反应加速度Sa与地面运动最大加速度 x（ g t）max 之比，而 x（ g t）ma对x 于给定的地震是个定值，所以β~T曲线实质上是 一种加速度反应谱曲线。
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结Βιβλιοθήκη Baidu抗震设计
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3、地震影响系数
地震影响系数： kSa/g
表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度g为单位 的最大反应加速度。 地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重 力荷载代表值之比（ FEKG ）。 《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的， 其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结 构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震 设计反应谱）确定：
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
设防烈度与地震系数的对应关系
设防烈度 地震系数
6
7
0.05 0.10(0.15)
8
9
0.20(0.30) 0.40
地震系数
k
xg (t ) max g
地震动峰值加速度 xg max
地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重
力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速
度。
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屋面积灰荷载 屋面活荷载
按实际情况考虑的楼面活荷载
按等效均布活荷载考 虑的楼面活荷载
藏书库、档案库 其它民用建筑
吊车悬吊物重力
硬钩吊车
软钩吊车
组合值系数 0.5 0.5
不考虑
1.0 0.8 0.5 0.3 不考虑
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三、抗震设计反应谱
1、地震系数k 地震系数 kxg(t)max/g 是地震动峰值加速度（地面 运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就 是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
抗震设防烈度 6
设计基本地震 0.05g 加速度
7
8
9
0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数 区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。
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§3-4多自由度弹性体系的地震反应
一、多质点和多自由度体系 二、两自由度弹性体系的自由振动
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
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一、多质点和多自由度体系
由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用
组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物
的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的
“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确
定的，所以F按式G
计算得到的地震作用也是标
准值。
2021/3/7
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8
组合值系数
可变荷载种类 雪荷载
抗震设计中，设计特征周期Tg的取值根据“设计地震
分组”确定。
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设计地震分组
GB50011—2019规范在附录A中规定了县级及县级以上城镇的 中心地区(如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和 所属的设计地震分组。
特 征 周 期 Tg 值
设计地
场地类别
震分组 Ⅰ
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1、两自由度运动方程的建立
单自由度体系相似，取质点1作隔离体，则作用在其上的
惯性力为： I1 m 1 x （ gt） x （ 1t）
弹性恢复力为 ：S 1 k 1x （ 1 1t） k 1x （ 2t）
阻尼力为 ：R c 1x （ 1 1t） c 1x （ 2t）
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地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系
抗震设防烈度
6
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8
9
设计基本地震加速度 0.05g 0.10g 0.15g 0.20g 0.30g 0.40g
表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的 地震动峰值加速度相当。
即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻 尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随 周期的增大而减小。
2
max
1
Tg
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设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
一、水平地震作用的计算公式
地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为
F （ t） m x （ gt） x （ t）
若考虑到cx(t)<<kx(t)而略去不计，则得
F （ t ） m x （ g t ） x （ t ） c x （ t ） k （ t ） x k （ t ） x
15
T
（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值
1） 曲线由四部分组成，其值也由四部分构成。 2）结构自振周期
1、单自由度体系： T2 G/g
----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移
2、多质点体系：近似计算（P87：§3-9） 3）特征周期 4）地震影响系数最大值： 5）对应于阻尼比等于0.05和不等于0.05，抗震设计反应 谱的形状参数（ 、 、 ）不同：
Ⅱ
Ⅲ
IV
第一组 0.25 0.35 0.45 0.65
第二组 0.30 0.40 0.55 0.75 第三组 0.35 0.45 0.65 0.90
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水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）
地震
烈
度
影响 6
7
8
9
多遇地震 0.04 0.08（0.12） 0.16（0.24） 0.32
罕遇地震
0.50（0.72） 0.90（1.20） 1.40
注：括号数字分别对应于设计基本地震加速度0.15g 和0.30g地区的地震作用影响系数。
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设计基本地震加速度
1．设计基本地震加速度
定义：50年设计基准期超越概率10％的地震加速度设 计取值。
抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系
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二、两自由度弹性体系的自由振动
左图为一两自由度弹性体系在 水平地震作用下，在时刻t的变 形情况。Xg(t)为地震时地面运 动的水平位移，质点1和质点2 沿地面运动方向产生的相对于 地面的水平位移分别为x1(t)和 x和2(tx（2)，t），而相相对对加速速度度则为为x（1x（1t）t） 和 x（2 t），绝对加速度分别为 x（g t） + x（1 t）和 x（g t）+ x（2 t）。
xg
----地震动峰值加速度；β----动力系数； km a-x ---地震系数；
α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。
地震求系作数用k和在动质力点系上数的β水，平或地者震是作地用震F影EK响，系关数键α在。于求出
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二、建筑的重力荷载代表值
地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷 载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的 计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物 重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规 定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒 载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷 载的组合值系数按规范取值。
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（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）
max
Tg
T
1
----地震影响系数； ----地震影响系数最大值； ----结构自振周期； ----特征周期（？？）； ----直线下降段的下降斜率调整系数； ----阻尼调整系数； ----衰减指数
2
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m1——集中在质点1上的质量。
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2、两自由度弹性体系的运动微分方程组
根动据方达程朗m 1 贝 x （ 1 尔t ） 原c 1 理x （ 1 ，t 1 ） Ic 11 +x （ 2 R2 t ） 1 +k S1 x 1（ 1 =t 1 ） 0 ，k 1 经x （ 2 2 t 整） 理 m 得1 x （ g 下t ） 列运 同理对于质点2: m 2 x （ 2 t ） c 2 x （ 1 t 1 ） c 2 x （ 2 2 t ） k 2 x （ 1 t 1 ） k 2 x （ 2 2 t ） m 2 x （ g t ） 上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运 动微分方程组。 上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动
结构抗震设计
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2、动力系数
动力系数：Sa/ x（ gt） max
是单自由度弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面运动最大 加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面 运动最大加速度放大了多少倍。
β无量纲，其值与地震烈度无关，因为当 x（ g t）ma增x 大或减小时，Sa相 应随之增大或减小。这样就可利用所有不同烈度的地震记录进行计
算 动 由和 力 上统 系 式计数可。β知还，可动以力表系示数为与：地 面2 T 运•动 x （ g加t1 ） m 速a 度0 tx x （ 记g录） e x g2 T ( （ tt) 的） s特i2 T 征 n （ 、t 结） 构d m 的a 自x
振周期T及阻尼比ζ有关。当地面加速度记录 xg (t) 和阻尼比ζ给定时， 就可根据不同的T值算出动力系数β，从而得到一条β~T曲线。这条 曲线就称为动力系数反应谱曲线。
上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性
力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由
该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的 等效荷载。
若考虑到 ，并取 k/m ，则得水平地震作用，即
F （ t） m 2 x （ t） m 0 t x （ g） e （ t ） si （ t n ） d
或 FmSa ，这里，S a 0 t x （ g ） e （ t ） si（ n t ） dmax
令： Sa xg max xg，maxkg
代入公上式式：，F 并E 以 K Fm EK代g 替k Fk ，则G 得 计G 算水平地震作用的基本
式中： FEK--水平地震作用标准值； Sa--质点加速度最大值；
显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地 震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是 地震强烈程度的参数。
例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是 这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。
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设防烈度与地震系数的对应关系
地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与 地震烈度之间有一定的对应关系：
设防烈度 6
7
8
9
地震系数 0.05 0.10(0.15) 0.20(0.30) 0.40
从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大 小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。
但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间 和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一 度，k值大致增加一倍。
2021/3/7
在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质
量m与最大绝对加速度的乘积。
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计算水平地震作用最大值的基本公式
设F为水平地震作用最大值，则得 F m x （ g t ） x （ t ） m m a0 t x x （ g ） e （ t ） s （ i t n ） d max
动力系数是单质点m最大反应加速度Sa与地面运动最大加速度 x（ g t）max 之比，而 x（ g t）ma对x 于给定的地震是个定值，所以β~T曲线实质上是 一种加速度反应谱曲线。
2021/3/7
结Βιβλιοθήκη Baidu抗震设计
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3、地震影响系数
地震影响系数： kSa/g
表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度g为单位 的最大反应加速度。 地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重 力荷载代表值之比（ FEKG ）。 《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的， 其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结 构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震 设计反应谱）确定：