正弦和余弦_0
小学数学中的三角函数认识正弦余弦与正切
小学数学中的三角函数认识正弦余弦与正切小学数学中的三角函数认识正弦、余弦与正切三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在几何学、物理学以及工程学等领域具有重要地位。
在小学数学中，正弦、余弦和正切是最基础的三角函数，它们是帮助我们理解角度和比例关系的关键工具。
一、正弦（sin）正弦函数是一个周期函数，它将角度与比例关系联系起来。
在直角三角形中，我们常用正弦函数来计算一个角的正弦值，正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。
换句话说，正弦值表示了一个角与直角三角形斜边的相对关系。
二、余弦（cos）与正弦类似，余弦函数也是一个周期函数。
在直角三角形中，我们常用余弦函数来计算一个角的余弦值，余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。
余弦值可以理解为角度与直角三角形邻边的相对关系。
三、正切（tan）正切函数也是一个周期函数，它与正弦和余弦之间存在着简单的比例关系。
在直角三角形中，正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。
正切值可以帮助我们理解角度与直角三角形对边的相对关系。
通过正弦、余弦和正切函数，我们可以在直角三角形中求解未知边长或未知角度。
此外，在数学问题的解决中，三角函数还可以用于构建方程、解决几何问题以及描述周期性现象等。
除了直角三角形，我们还可以通过单位圆的方式理解三角函数。
单位圆是半径为1的圆，以圆心为原点建立直角坐标系。
在单位圆中，正弦函数的值等于角度对应的弧长在y轴上的投影，余弦函数的值等于角度对应的弧长在x轴上的投影，正切函数的值等于正弦值除以余弦值。
这种几何图形化的解释可以帮助学生更好地理解三角函数的意义。
总结起来，小学数学中的三角函数正弦、余弦和正切是描述角度与比例关系的重要工具。
通过在直角三角形中的应用以及单位圆的解释，我们能够更好地认识和理解三角函数。
对于小学生而言，掌握这些基本的三角函数概念，能够扎实地打下数学学科的基础，为未来的学习打下坚实的基础。
三角函数正弦与余弦的关系
三角函数正弦与余弦的关系嘿，朋友们，今天咱们聊聊三角函数里的正弦和余弦，简单说就是Sine 和Cosine，这两个家伙真是关系密切得不得了，像老搭档一样，形影不离。
你知道吗？它们就像那对无话不谈的好朋友，真是个妙不可言的组合。
要说正弦和余弦，最简单的就是把它们想象成一个坐标系里的小伙伴，一个在X 轴上，一个在Y 轴上，两个小家伙相互依赖，缺一不可。
咱们来聊聊正弦。
正弦，哦，那可是个大名鼎鼎的家伙，它负责的是Y 轴上的值，真是太重要了，没了它，图形就像失去了灵魂。
你想想，正弦的值，随着角度的变化而变化，像是在做快乐的舞蹈，随着角度的增加，它有时候高兴得翘起了头，有时候又低下了脑袋，真是变化多端，让人捉摸不透。
可你知道吗？正弦的值只会在 1 到 1 之间跳来跳去，这就像是那孩子，在游乐场里，虽然跑得欢，但永远不可能跳出围栏。
再说说余弦，这小子可不甘示弱，它负责的是 X 轴上的值。
余弦和正弦就像两口子，一个负责大气，一个照顾家务，默契得不行。
余弦也是随着角度而变化，感觉它有时候像个开朗的小太阳，咧嘴大笑，有时候又像个闷闷不乐的小雨点，真是情绪波动得厉害。
不过，余弦的值同样也是被限制在1 到1 之间，这可不是什么随心所欲的事儿，得在这两个极端之间打转。
有趣的是，正弦和余弦有一个特别的关系，它们总是成对出现，这就像是咱们生活中的好朋友，总是一起行动。
你看，正弦的值可以通过余弦的值轻松算出来，只需要找出对应的角度，简单吧？就像你在朋友那儿借书，总能借到想看的那一本。
再说了，如果把它们放在单位圆上，正弦就成了 Y 轴的坐标，而余弦就是 X 轴的坐标，像两个紧紧相拥的好伙伴，互相守护，互相照应。
说到这里，可能有人会问，这两个家伙有什么用呢？哦，别急，听我慢慢说。
它们可不仅仅是数学课本里的冷冰冰的数字，而是实际生活中无处不在的影子。
你想，音乐、物理、工程，甚至是你手机里的 GPS，都是在用到这些三角函数。
比如说，音乐里的音调变化，就是在正弦波和余弦波之间摇摆的。
直角三角形的正弦定理与余弦定理
直角三角形的正弦定理与余弦定理直角三角形是指一个角度为90度的三角形，其中包含一个直角。
在数学中，有两个关于直角三角形的定理：正弦定理和余弦定理。
它们是解决直角三角形问题的重要工具。
本文将详细介绍直角三角形的正弦定理与余弦定理的定义、公式以及应用。
正弦定理是指在一个任意三角形中，三个角的正弦比例等于对应边的长度比例。
对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为一个具有特殊形式的等式。
设直角三角形的两腰分别为a和b，斜边为c，直角所对的角为C，则正弦定理可以表示为以下公式：sin(C) = a/c, sin(C) = b/c由于直角三角形的直角角度为90度，所以sin(90度)等于1，从而可以得出以下等式：a/c = 1, b/c = 1根据等式，可以得出直角三角形的正弦定理为：sin(C) = a/c, sin(C) = b/c, sin(90度) = 1正弦定理的应用非常广泛，可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
例如，已知直角三角形的一条边和一个角度，可以利用正弦定理求解其他边的长度。
余弦定理是指在一个任意三角形中，任意两边的平方和与它们夹角的余弦的乘积之间存在一定的关系。
对于直角三角形来说，余弦定理可以化简为一个特殊形式的等式。
设直角三角形的两腰分别为a和b，斜边为c，直角所对的角为C，则余弦定理可以表示为以下公式：c^2 = a^2 + b^2由于直角三角形的直角角度为90度，所以cos(90度)等于0，从而可以得出以下等式：a^2 + b^2 = c^2根据等式，可以得出直角三角形的余弦定理为：c^2 = a^2 + b^2, cos(90度) = 0余弦定理的应用也非常广泛，可以用于解决各种与直角三角形相关的问题。
例如，已知直角三角形的两条边的长度，可以利用余弦定理求解斜边的长度。
总结起来，直角三角形的正弦定理和余弦定理是求解直角三角形问题的重要定理。
通过利用这两个定理，我们可以方便地计算直角三角形各边的长度或角度。
正弦定理和余弦定理
正弦定理和余弦定理一、基础知识1．正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C. 3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12ah a(h a为边a上的高)；(2)S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．二、常用结论汇总——规律多一点1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形[典例] (1)(优质试题·江西重点中学联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] (1)由正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin 30°3＝13，∵a ＝3>b ＝2，∴B <A ，即B 为锐角，∴cos B ＝1－sin 2B ＝223.(2)∵sin B ＝12且B ∈(0，π)，∴B ＝π6或B ＝5π6， 又∵C ＝π6，∴B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ， 即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1. [答案] (1)223 (2)1 考法(二) 余弦定理解三角形[典例] (1)(优质试题·山西五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)(优质试题·泰安二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________. [解析] (1)∵b cos A ＋a cos B ＝c 2，∴由余弦定理可得b ·b 2＋c 2－a22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2，整理可得2c 2＝2c 3，解得c ＝1，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝2＋2＋1＝5.(2)由正弦定理可得c －b 2c －a＝sin Asin B ＋sin C ＝ab ＋c，∴c 2－b 2＝2ac －a 2，∴c 2＋a 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，∵0<B <π，∴B ＝π4.[答案] (1)D (2)π4[专题训练]1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34D ．－34解析：选B 由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0， 所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以t a n A ＝－1， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4，由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝2×222＝12， 又0＜C ＜π4，所以C ＝π6.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 解：(1)由正弦定理可得b 2＋c 2＝a 2＋bc ， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由(1)可知sin A ＝32，因为cos B＝13，B为△ABC的内角，所以sin B＝223，故sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝32×13＋12×223＝3＋226.由正弦定理asin A＝csin C得c＝a sin Csin A＝3×(3＋22)32×6＝1＋263.考点二判定三角形的形状[典例](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C ＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形[解析](1)法一：因为b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理知sin B cos C＋sin C cos B＝sin A sin A，得sin(B＋C)＝sin A sin A.又sin(B＋C)＝sin A，得sin A＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a ，即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形． [答案] (1)B (2)C[变透练清]1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．解析：根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角， 所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．解析：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B ·cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案：等腰或直角三角形3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos Acos B＝ba＝2”，那么△ABC的形状为________．解析：因为cos Acos B＝ba，由正弦定理得cos Acos B＝sin Bsin A，所以sin 2A＝sin 2B.由ba＝2，可知a≠b，所以A≠B.又因为A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋B＝π2，所以C＝π2，于是△ABC是直角三角形．答案：直角三角形[课时跟踪检测]A级1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin Aa＝cos Bb，则B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B由正弦定理知，sin Asin A＝cos Bsin B，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(优质试题·重庆六校联考)在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选A 因为cos B ＝a c ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 6解析：选D ∵b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，∴b ＝ 6.5．(优质试题·莆田调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A ∵a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，∴根据正弦定理可得sin A sinB cosC ＋sin C sin B cos A ＝12sin B ，即sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ．∵sin B ≠0，∴sin(A ＋C )＝12，即sin B ＝12.∵a >b ，∴A >B ，即B 为锐角，∴B ＝π6.6．(优质试题·山西大同联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．4解析：选B 由正弦定理可得2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝c sin C ， ∵2(sin B cos A ＋sin A cos B )＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，∴2sin C ＝c sin C ，∵sin C >0，∴c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3.7．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 解析：C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ， 即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 答案：28．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，∴c ＝4.答案：49．(优质试题·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.解析：由正弦定理asin A＝bsin B，得sin B＝ba·sin A＝27×32＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得7＝4＋c2－4c×cos 60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：217 310．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C 成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝32c，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－14.答案：－1 411．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.(1)求证：a＝2b cos B；(2)若b＝2，c＝4，求B的值．解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理asin A＝bsin B，得asin 2B＝bsin B，所以a＝2b cos B.(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cos A，因为b＝2，c＝4，A＝2B，。
常用正余弦值表
常用正余弦值表
正弦和余弦是三角函数中最常见的两个函数。
它们的值可以通过查表或使用计算器等工具进行计算。
下面是常用正余弦值表的一部分：
表格1：正弦值表
角度（度）正弦值
0°0
30°0.5
45°0.707
60°0.866
90°1
120°0.866
135°0.707
150°0.5
180°0
...
注意：上述角度是以度为单位的，正弦值是对应角度的正弦值。
对于其他角度，可以通过插值或使用三角函数公式进行计算。
表格2：余弦值表
角度（度）余弦值
0°1
30°0.866
45°0.707
60°0.5
90°0
120°-0.5
135°-0.707
150°-0.866
180°-1
...
同样，上述角度是以度为单位的，余弦值是对应角度的余弦值。
对于其他角度，可以使用类似的方法进行计算。
请注意，这只是常用正余弦值表的一部分，实际上正弦和余弦的值是连续变化的。
在实际使用中，可以使用计算器或计算机软件来获得更准确的正余弦值。
希望以上的回答对您有所帮助！如需更多信息，请随时提问。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
正弦公式和余弦公式
正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中的两个重要的公式，它们是用来研究正弦和余弦的函数关系的重要工具。
它们描述的正弦和余弦的函数关系可以用来解决许多不同种类的数学问题，也可以应用于物理学，化学，机械等许多科目。
正弦公式和余弦公式的概念源自三角学，是一种表达描述三角形内点和某直线之间关系的数学工具。
通常，正弦和余弦函数关系都是从平面坐标中，给定一个点(x,y)，根据这个点可以求出正弦和余弦函数之间的关系。
特别地，如果x=0，那么正弦公式的结果为y=0，而余弦公式的结果为y=1。
而正弦公式和余弦公式的定义则是以直线做为基础形成的，即通过从给定点推导出正弦和余弦函数之间的关系，来求解出给定点和直线之间的距离。
正弦公式和余弦公式都是以弧度为单位进行计算的，而在数学中，弧度是指一个圆心和一条弧之间需要经过的角度，而这个角度也可以用圆周长来表示，即一个圆的周长等于2π倍这个角度，其中π为圆周率，它的值大约为3.14159。
因此，通过求解弧度和弧长之间的关系，可以定义出正弦公式和余弦公式。
正弦公式的定义为：y=sin(x)，其中y代表的是弧上的某个点的纵坐标，而x代表的是这个点在弧上的角度，也就是说，正弦函数的值等于这个角度的正弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，正弦函数值等于这个角度的正弦值。
余弦公式定义为：y=cos(x)，其中y是某点在弧上的纵坐标，而x则是这个点在弧上的角度，而余弦函数的值等于这个角度的余弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，余弦函数值等于这个角度的余弦值。
正弦公式和余弦公式都有很多的应用，例如正弦公式可以被用来求解矩形三角形的外接圆的半径，也可以用来求解正弦函数在一段区间内的变化曲线；而余弦公式则可以用来计算直角三角形的内切圆的半径，以及求解余弦函数在一段区间内的变化曲线。
正弦公式和余弦公式在解决数学问题和实际应用中的作用非常重要，因为它们定义了正弦函数和余弦函数之间的关系，而正弦函数和余弦函数则是解决现实生活中许多问题所不可缺少的一种函数，因此研究这两个公式的基础原理和实际应用对于更好地理解以及解决问题都是非常重要的。
正弦定理和余弦定理
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[研一题] [例 2] B、b. π 在△ABC 中，c＝ 6，C＝3，a＝2，求 A、
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[自主解答] π 3 ∴A＝4或4π.
a c asin C 2 ∵sin A＝sin C，∴sin A＝ c ＝ 2 .
π 又∵c>a，∴C>A.∴A＝4. 5π 6· sin 1n C ＝ π ＝ 3＋1. sin 3
第四章
三角函数
四
正弦定理和余弦定理
• 1、正、余弦定理
定理 正弦定理
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C =2R
余弦定理 a2＝ a2＋c2－2accos B b2＝a2＋b2－2abcosC c2 ＝
b2＋c2－2bccos A
内
； ； .
容
定理
变 形 形 式
正弦定理 余弦定理 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ， c＝ 2Rsin C ； b2＋c2－a2 cosB= a b 2bc ②sin A＝2R，sin B＝2R， 2 a ＋c2－b2 c 2ac sin C＝2R； cos B＝ ； 2 2 2 a ＋ b － c (其中 R 是△ABC 外接圆半径) cos C＝ 2ab . ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A.
(2)由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c正确，即
(2)正确．
返回
2．在△ABC中，若A>B，是否有sin A>sin B？反之，是 否成立？
提示：∵A>B，∴a>b. a b 又∵sin A＝sin B，∴sin A>sin B. 反之，若 sin A>sin B， 则 a>b，即 A>B. 故 A>B⇔sin A>sin B.
正弦余弦值
1、sin0°=02、sin90°=13、sin180°=04、cos0°=15、cos90°=06、cos180°=-17、sin-30°=-1/28、sin-45°=-√2/29、sin-60°=-√3/210、sin-90°=-111、cos-30°=√3/2（1）特殊角三角函数值 sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071 二分之根号2 sin60=0.8660 二分之根号3 sin90=1 cos0=1 cos30=0.866025404 二分之根号3 cos45=0.707106781 二分之根号2 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=0.577350269 三分之根号3 tan45=1tan60=1.732050808 根号3 tan90=无 cot0=无 cot30=1.732050808 根号3 cot45=1cot60=0.577350269 三分之根号3 cot90=0附：三角函数值表sin0=0,sin15=（√6-√2)/4 ,sin30=1/2,sin45=√2/2,sin60=√3/2,sin75=(√6+√2)/2 ,sin90=1,sin105=√2/2*(√3/2+1/2)sin120=√3/2 sin135=√2/2sin150=1/2 sin165=（√6-√2)/4sin180=0sin270=-1sin360=0sin1=0.017452401.诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(2π-a)=cos(a)cos(2π-a)=sin(a)sin(2π+a)=cos(a)cos(2π+a)=-sin(a)sin(π-a)=sin(a)cos(π-a)=-cos(a)sin(π+a)=-sin(a)cos(π+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinAcosA2.两角和与差的三角函数sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)3.和差化积公式sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)sin(a)−sin(b)=2c os(a+b2)sin(a-b2)cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了)sin(a)sin(b)=-12⋅[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=12⋅[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=12⋅[sin(a+b)+sin(a-b)]5.二倍角公式sin(2a)=2sin(a)cos(a)cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式sin2(a2)=1-cos(a)2cos2(a2)=1+cos(a)2tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)7.万能公式sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)8.其它公式(推导出来的 )a⋅sin(a)+b⋅cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba a⋅sin(a)-b⋅cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab 1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))21-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2csc(a)=1sin(a)sec(a)=1cos(a)。
直角三角形的正弦与余弦关系
直角三角形的正弦与余弦关系直角三角形是三角学中最基本的三角形之一，它具有一个角度为90度的直角。
在直角三角形中，正弦与余弦是两个基本的三角函数，它们之间存在特殊的关系。
本文将探讨直角三角形的正弦与余弦的关系，并阐述它们的数学性质和几何意义。
一、正弦与余弦的定义与性质在直角三角形ABC中，假设角A为直角，边AB为直角边，边AC为斜边。
根据三角函数的定义，正弦和余弦可以表示为：正弦：sinA = AB / AC余弦：cosA = BC / AC其中，sinA表示角A的正弦值，cosA表示角A的余弦值，AB表示直角边的长度，BC表示另一条直角边的长度，AC表示斜边的长度。
正弦与余弦的定义很简单，但它们具有一些重要的性质：性质1：正弦和余弦的取值范围：由于直角三角形中直角边的长度不会超过斜边的长度，所以正弦和余弦的取值范围都在0到1之间。
性质2：正弦与余弦的关系：根据勾股定理，有AB² + BC² = AC²。
将此式代入正弦和余弦的定义中，可以得到以下关系：sinA = AB / AC = √(AB² / AC²) = √(1 - cos²A)这个关系称为正弦与余弦的三角恒等式。
二、正弦与余弦的几何意义正弦和余弦的定义具有明确的几何意义。
在直角三角形中，正弦和余弦可以表示为直角边与斜边之间的比值。
正弦的几何意义：正弦表示直角边与斜边之间的比值，可以理解为斜边在直角边方向上的投影长度与斜边长度之比。
余弦的几何意义：余弦表示直角边与斜边之间的比值，可以理解为斜边在直角边垂直方向上的投影长度与斜边长度之比。
通过正弦和余弦的几何意义，我们可以更好地理解它们在直角三角形中的应用。
例如，在测量实际问题中，可以通过已知一边的长度和对应角的正弦或余弦值，计算出其他未知边的长度。
三、实例分析：正弦与余弦的应用以直角三角形ABC为例，已知∠A = 30度，AB = 5cm，AC =10cm。
初数数学公式如何计算正弦值和余弦值
初数数学公式如何计算正弦值和余弦值在数学中，正弦和余弦是最基本的三角函数之一。
它们可以通过数学公式进行计算，这在初数数学中是非常重要的。
本文将介绍如何计算正弦值和余弦值的数学公式，并为您提供详细的计算步骤，帮助您理解和掌握这些基本概念。
一、正弦值的计算公式正弦是一个周期性函数，其取值范围在-1到1之间。
它的计算公式如下：sin(x) = (e^ix - e^(-ix)) / (2i)其中，x表示给定角的弧度值，e表示自然对数的底数（约等于2.71828），i表示虚数单位（i^2 = -1）。
sin(x)的计算步骤如下：1. 将x转换为弧度制：x（弧度）= x（角度）* π / 180。
2. 计算指数部分：e^ix = cos(x) + i * sin(x)。
3. 计算其共轭数：e^(-ix) = cos(x) - i * sin(x)。
4. 对指数部分和共轭数进行相减：e^ix - e^(-ix)。
5. 将相减的结果除以2i。
通过以上步骤，您可以计算出给定角度的正弦值。
二、余弦值的计算公式余弦也是一个周期性函数，其取值范围同样在-1到1之间。
它的计算公式如下：cos(x) = (e^ix + e^(-ix)) / 2余弦值的计算步骤如下：1. 将x转换为弧度制：x（弧度）= x（角度）* π / 180。
2. 计算指数部分：e^ix = cos(x) + i * sin(x)。
3. 计算其共轭数：e^(-ix) = cos(x) - i * sin(x)。
4. 将指数部分和共轭数进行相加：e^ix + e^(-ix)。
5. 将相加的结果除以2。
通过以上步骤，您可以计算出给定角度的余弦值。
三、示例计算为了更好地理解上述公式，我们来进行一些具体的计算示例。
示例1: 计算30度的正弦值和余弦值。
首先将30度转换为弧度：30° * π / 180 = π / 6 弧度。
计算正弦值：sin(π / 6) = (e^(i * π / 6) - e^(-i * π / 6)) / (2i)。
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
正弦函数和余弦函数的单调区间
正弦函数和余弦函数的单调区间正弦函数和余弦函数是一些常用的曲线函数，在数学、物理、工程和其他许多科学领域都有应用。
因为它们的曲线图形有各种不同的形状，它们有助于我们理解和解决复杂问题。
而要研究正弦函数和余弦函数的行为，例如在特定区间内单调递增或者递减，就需要研究它们的单调区间。
正弦函数是一个周期函数，它满足 $y = sin(x)$。
它的图形是一个具有振幅的正弦波，在每个周期内，它的值变化从最大值$1$到最小值$-1$，然后再回到最大值。
由此可以看出，在正弦函数$y = sin(x)$的任何定义域内，函数值都会在单调区间$(-1, 1)$内进行变化。
而余弦函数是另一个周期函数，它满足 $y = cos(x)$。
它的图形是一个具有振幅的余弦波，在每个周期内，它的值变化从最小值$-1$到最大值$1$，然后再回到最小值。
由此可以看出，在余弦函数$y = cos(x)$的任何定义域内，函数值都会在单调区间$(-1, 1)$内进行变化。
当正弦函数和余弦函数的定义域超出单调区间(-1,1)时，它们的变化就不再单调了，例如，当定义域在$(-frac{3pi}{2},frac{3pi}{2})$时，函数值会先增大到最大值1，然后变小到最小值-1，然后又增大回来。
因此，正弦函数和余弦函数的单调区间必须满足定义域落在 $(pi, pi)$内。
另外，正弦函数和余弦函数都有一些特殊性质，例如它们在每个周期内的最小值和最大值都是一样的，最大值为1，最小值为-1，而且在每个周期的开始和结束处，它们的函数值都是零。
因此，它们的单调区间也可以表示为：$(-pi + Delta t, pi - Delta t)$，其中$Delta t$是一个小的正值，表示每个周期的时间间隔。
正弦函数和余弦函数的单调区间的概念及其实际用途也有很多。
例如，它们可以帮助我们研究函数值的最小值和最大值，以及函数值在每个周期中的变化规律。
此外，它们还可以在应用中帮助我们解决有关正弦和余弦函数的数学问题，例如求解旋转对象的方位角等。
正弦定理余弦定理和复数的公式
正弦定理余弦定理和复数的公式正弦定理、余弦定理和复数的公式在数学中都是非常重要的概念，它们在几何和代数中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨这些公式的定义、推导和应用。
首先，让我们来看看正弦定理。
正弦定理是指在一个三角形ABC中，三条边a、b、c和它们对应的角A、B、C之间的关系。
具体来说，正弦定理可以表示为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
这个公式告诉我们，三角形中每条边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。
这个定理在解决三角形内角和边的关系问题时非常有用。
接下来，我们来看看余弦定理。
余弦定理是指在一个三角形ABC中，三条边a、b、c和它们对应的角A、B、C之间的关系。
具体来说，余弦定理可以表示为：$c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$。
这个公式告诉我们，三角形中的一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边的乘积与夹角的余弦值的两倍。
余弦定理在解决三角形内边和角的关系问题时非常有用。
最后，我们来看看复数的公式。
复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a和b分别是实部和虚部。
复数的运算有加减乘除和共轭等。
复数的模长和幅角分别由下式给出：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
$\arg(z) = \arctan(\frac{b}{a})$。
复数的公式在解决代数中的问题时非常有用，特别是在电路分析、信号处理和控制系统等领域有广泛的应用。
总之，正弦定理、余弦定理和复数的公式是数学中非常重要的概念，它们在几何和代数中都有着广泛的应用。
通过深入理解这些公式的定义、推导和应用，我们可以更好地解决各种数学问题，并且在实际生活和工作中发挥更大的作用。
0到360的正弦余弦值
0到360的正弦余弦值0到360度的正弦和余弦值是一个经典的三角函数问题。
我会从不同角度来回答这个问题。
从数学角度来看，正弦和余弦是三角函数中的两个基本函数。
它们描述了一个角的对应的直角三角形中的边长比例关系。
在0到360度的范围内，我们可以计算每个角度对应的正弦和余弦值。
在0度（或360度）时，正弦值为0，余弦值为1。
这是因为在这个角度下，对应的直角三角形的斜边与水平轴重合，而斜边的长度为1，所以余弦值为1，正弦值为0。
在90度时，正弦值为1，余弦值为0。
这是因为在这个角度下，对应的直角三角形的斜边与垂直轴重合，而斜边的长度为1，所以正弦值为1，余弦值为0。
在180度时，正弦值为0，余弦值为-1。
这是因为在这个角度下，对应的直角三角形的斜边与水平轴重合，但是斜边的长度为-1，所以余弦值为-1，正弦值为0。
在270度时，正弦值为-1，余弦值为0。
这是因为在这个角度下，对应的直角三角形的斜边与垂直轴重合，但是斜边的长度为-1，所以正弦值为-1，余弦值为0。
在其他角度下，我们可以使用三角函数的周期性来计算正弦和余弦值。
例如，在30度时，我们可以利用正弦和余弦的周期性，将其转化为60度的情况来计算。
在30度时，正弦值为0.5，余弦值为0.866。
在60度时，正弦值为0.866，余弦值为0.5。
这是因为在这个角度下，对应的直角三角形的斜边与水平轴和垂直轴的夹角都为60度，而斜边的长度为1，所以正弦值为0.866，余弦值为0.5。
类似地，我们可以计算其他角度下的正弦和余弦值。
通过利用三角函数的周期性和基本关系，我们可以得到0到360度范围内所有角度的正弦和余弦值。
总结起来，0到360度范围内的正弦和余弦值如下：0度，正弦值为0，余弦值为1。
90度，正弦值为1，余弦值为0。
180度，正弦值为0，余弦值为-1。
270度，正弦值为-1，余弦值为0。
其他角度可通过周期性和基本关系计算得到。
余弦正弦定理
余弦正弦定理在数学中，余弦正弦定理是三角形中常用的定理之一。
它可以用来计算三角形中的各个角度和边长。
余弦正弦定理的公式如下：余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cos C正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C其中，a、b、c 分别表示三角形的三条边，A、B、C 分别表示三角形的三个角度。
余弦定理可以用来计算三角形中的任意一个角度，只需要已知另外两个角度和两条边的长度即可。
例如，如果已知三角形的两条边分别为 3 和 4，夹角为 60 度，那么可以使用余弦定理来计算第三条边的长度：c² = a² + b² - 2ab cos Cc² = 3² + 4² - 2×3×4×cos 60°c² = 9 + 16 - 12c² = 13c = √13因此，第三条边的长度为√13。
正弦定理可以用来计算三角形中的任意一个角度或边长，只需要已知另外两个角度或边长即可。
例如，如果已知三角形的两条边分别为 3 和 4，夹角为 60 度，那么可以使用正弦定理来计算第三个角度的大小：a/sin A = b/sin B = c/sin C3/sin 60° = 4/sin B = c/sin Csin B = 4sin 60°/3sin B = √3/2B = 60°因此，第三个角度的大小为 60 度。
余弦正弦定理是解决三角形问题的重要工具，可以帮助我们计算三角形中的各个角度和边长。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用哪种定理来解决问题。
第一节 正弦定理和余弦定理(知识梳理)
第一节 正弦定理和余弦定理复习目标学法指导1.会证明正弦定理、余弦定理.2.理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用.3.能用正弦定理、余弦定理解斜三角形.4.会用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形.5.了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系.1.正弦定理和余弦定理是解三角形的基础,熟记定理内容及变形公式,在解决问题时注重数形结合.2.在给定方程的化简和变形上要注重“统一”“消元”思想的运用.统一:统一角度或边长.消元:多个角度利用A+B+C=π进行消元.一、正弦定理正弦定理内容:sin a A =sin b B =sin c C=2R(R 为△ABC 外接圆半径). 变形形式:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. ②sin A=2a R ,sin B=2b R ,sin C=2c R . ③a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C.④sin a A =sin sin a b A B ++=sin sin sin a b c A B C++++.1.概念理解(1)正弦定理主要解决两类三角形问题:①知两角和一边;②知两边和其中一边所对应的角.在第②类中要注意会出现两组解的特殊情况. (2)正弦定理中边角互化公式:a=2Rsin A 和sin A=2a R 是表达式变形中常用公式,在统一角度或统一长度上发挥作用. 2.与正弦定理有关的结论(1)三角形中:A+B+C=π,sin(A+B)=sin C, cos(A+B)=-cos C.(2)在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin Absin A<a<ba ≥ba>b解的个数 一解两解一解一解二、余弦定理余弦定理内容:a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A, b 2=a 2+c 2-2ac ·cos B, c 2=a 2+b 2-2ab ·cos C.变形形式:cos A=2222bc a bc+-,cos B=2222ac b ac+-,cos C=2222a b c ab+-.1.概念理解(1)余弦定理解决两类三角形问题:一是知两边及其夹角的三角形,二是知三边的三角形.(2)利用余弦定理来解决三角形问题时,要注意角的取值范围.通常求解三角形的内角度数时,不是解该角的正弦,而是解该角的余弦. 2.与余弦定理有关的结论 由cos A=2222b c a bc+-(设A 为最大内角)若b 2+c 2>a 2,则该三角形为锐角三角形. b 2+c 2=a 2,则该三角形为直角三角形. b 2+c 2<a 2,则该三角形为钝角三角形.1.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则∠B 等于( A ) (A)π6 (B)π3(C)2π3 (D)5π6 解析:由正弦定理得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B, 所以sin Bsin(A+C)=12sin B. 因为sin B ≠0, 所以sin(A+C)=12,即sin B=12,所以B=π6或5π6.又因为a>b, 所以A>B, 所以B=π6.故选A.2.在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C ) (A)有一解 (B)有两解 (C)无解(D)有解但解的个数不确定解析:由正弦定理得sin b B =sin cC,所以sin B=sin b Cc=40220>1.所以角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C. 3.在△ABC 中,A=60°则△ABC 的面积等于 .解析:=4sin B, 所以sin B=1, 所以B=90°, 所以AB=2,所以S △ABC =12×2×23=23.答案:234.(2019·临海高三检测)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= . 解析:由3sin A=5sin B,得3a=5b.又因为b+c=2a, 所以a=53b,c=73b,所以cos C=2222a b c ab +-=22257()()33523b b b b b +-⨯⨯=-12. 因为C ∈(0,π), 所以C=2π3. 答案:2π3考点一 利用正弦定理解三角形 [例1] (1)在△ABC 中32°,求角A,C 和边c;(2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边,若3求角A 的大小.解:(1)由正弦定理sin a A =sin bB , 得sin A=sin a B b3,所以A=60°或120°. ①当A=60°时,C=75°,由sin a A =sin c C ,得c=sin sin a C A⋅=2·sin 75°62+②当A=120°时,C=15°,c=2·sin 15°62-解:(2)由A+C=2B,A+C+B=180°得B=60°.所以由正弦定理得3=1sin A, 所以sin A=12.所以A=30°或150°. 又因为b>a, 所以B>A. 所以A=30°.利用正弦定理解三角形(1)注重条件和图形的结合;(2)知两边及一边对应的角时,要区分三角形解的情况,通常情况下先利用正弦定理求角,再利用“大边对大角”的条件排除; (3)正弦定理的变形公式.1.(2019·浙江卷)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= .解析:如图,易知sin C=45, cos C=35.在△BDC 中,由正弦定理可得sin BD C=sin BC BDC∠, 所以BD=sin sin BC C BDC⋅∠4352⨯122.由∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°,可得cos ∠ABD=cos(90°-∠CBD)=sin ∠CBD=sin[π-(∠C+∠BDC)] =sin(∠C+∠BDC)=sin C ·cos ∠BDC+cos C ·sin ∠BDC=45×2+35×2=72.答案122722.在△ABC 中,B=60°3则AB+2BC 的最大值为 .解析:在△ABC 中,由正弦定理得sin AB C =sin BCA 3所以AB+2BC=2sin C+4sin A =2sin(120°-A)+4sin A 7ϕ),其中,tan ϕ3,又因为A ∈(0°,120°), 所以最大值为7答案7考点二 利用余弦定理解三角形[例2] 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边a,b,c 满足(a+b)2-c 2=4,且C=60°,则ab 的值为( ) (A)433(C)1 (D)23解析:由已知得a 2+b 2-c 2+2ab=4, 由于C=60°,所以cos C=2222a b c ab+-=12, 即a 2+b 2-c 2=ab,因此ab+2ab=4,ab=43,故选A.利用余弦定理解三角形:一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次关系时,考虑使用余弦定理.△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A 等于( C )(A)3π4 (B)π3 (C)π4 (D)π6解析:在△ABC 中,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 因为b=c,所以a 2=2b 2(1-cos A), 又因为a 2=2b 2(1-sin A), 所以cos A=sin A,所以tan A=1, 因为A ∈(0,π),所以A=π4,故选C. 考点三 正、余弦定理的综合应用[例3] 设△ABC 的内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c, 已知()sin a bA B ++=sin sin a c AB --.(1)求角B; (2)若6,求△ABC 的面积.解:(1)因为()sin a bA B ++=sin sin a c AB --,所以a b c+=a ca b --, 所以a 2-b 2=ac-c 2, 所以cos B=2222a c b ac+-=2ac ac =12, 又因为0<B<π,所以B=π3.解:(2)由cos A=63可得sin A=33,由sin a A =sin b B可得a=2, 而sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =3326+,所以△ABC 的面积S=12absin C=3322+.(1)利用正、余弦定理解三角形的关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理.(2)对于面积公式S=12absin C=12acsin B=12bcsin A,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为23sin a A .(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1)由题设得12acsin B=23sin a A ,即12csin B=3sin aA . 由正弦定理得12sin Csin B=sin 3sin A A ,故sin Bsin C=23.解:(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=- 12.所以B+C=2π3,故A=π3.由题设得12bcsin A=23sinaA,即bc=8,由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故△ABC的周长为3+33.类型一利用正弦定理解三角形1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( A )(A)725 (B)-725(C)±725(D)2425解析:因为8b=5c,所以由正弦定理,得8sin B=5sin C.又因为C=2B,所以8sin B=5sin 2B,所以8sin B=10sin Bcos B.因为sin B≠0,所以cos B=45,所以cos C=cos 2B=2cos2B-1=725.故选A.2.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,向量p=(1,-∥q,且bcos C+ccos B=2asin A,则C等于( A )(A)30°(B)60°(C)120° (D)150°解析:因为p∥q,cos B=sin B,所以即得所以B=120°.又因为bcos C+ccos B=2asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin2A,即sin A=sin(B+C)=2sin2A,,又由sin A≠0,得sin A=12所以A=30°,C=180°-A-B=30°.故选A.类型二利用余弦定理解三角形3.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+ cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于( D )(A)10 (B)9 (C)8 (D)5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25cos2A=1,因为A为锐角,所以cos A=1.5b,又由a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+36-125整理得5b2-12b-65=0,解得b=-135(舍)或b=5.即b=5. 故选D.4.若锐角△ABC 的面积为,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .解析:设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由已知及12得因为A 为锐角,所以A=60°,cos A=12.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =64+25-2×40×12 =49,故a=7,即BC=7. 答案:7类型三 正弦定理和余弦定理的综合应用 5.在△ABC 中,∠B=120°∠BAC的平分线则AC 等于( D )(C)2解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得sin ∠ADB=sin AB BAD .由题意知0°<∠ADB<60°, 所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°, 所以∠BAC=2∠BAD=30°, 所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°, 所以于是由余弦定理,得AC=222cos120AB BC AB BC ︒+-⨯=()()221222222⎛⎫+-⨯⨯- ⎪⎝⎭=6.故选D.。
三角函数正弦余弦与正切函数
三角函数正弦余弦与正切函数三角函数是数学中非常重要的一部分，其中正弦、余弦和正切函数是三角函数中最常用的函数之一。
它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多数学相关领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讨论正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
正弦函数（sine function）是一个周期为2π的周期函数，常用符号为sin(x)。
在一个单位圆内，正弦函数的值等于对应角的弧度值的y坐标。
换句话说，对于一个角度x，正弦函数的值等于对应的弧度值sin(x)。
余弦函数（cosine function）也是一个周期为2π的周期函数，常用符号为cos(x)。
在一个单位圆内，余弦函数的值等于对应角的弧度值的x坐标。
换句话说，对于一个角度x，余弦函数的值等于对应的弧度值cos(x)。
正切函数（tangent function）是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为tan(x)。
正切函数的值等于正弦函数的值除以余弦函数的值，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
正弦、余弦和正切函数有许多重要的性质。
其中一个重要的性质是它们的周期性，即它们的值在每个周期内都是重复的。
正弦和余弦函数的最小正周期是2π，而正切函数的最小正周期是π。
另一个重要的性质是它们的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数则既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tan(x)。
正弦、余弦和正切函数还有许多其他的性质，例如它们的定义域、值域以及增减性等。
对于正弦和余弦函数来说，它们的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而对于正切函数来说，它的定义域是所有余弦函数不等于零的实数，值域是整个实数集。
在几何学中，正弦、余弦和正切函数常常用来计算三角形的边长和角度。
通过已知两个边长或两个角度，可以使用三角函数来求解未知的边长或角度，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。
正弦函数和余弦函数的性质
正弦函数和余弦函数的性质
1 正弦函数及其性质
正弦函数也称曲线函数，是坐标系中把角度和弧度的定义用一般的数学形式来表示的函数。
正弦函数的视觉影响可以归结为一条垂直于极轴的曲线。
正弦函数的特征有：
1. 正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π，也就是说，它在每个2π的区间里会重复出现相同的函数形式。
2. 正弦函数具有范围称属性，它的值始终在-1和1之间，也就是它以0为中心围绕-1和1旋转2π。
3. 正弦函数具有导数特性，它的导数与其幅值成反比关系，公式为(d/dx)*sin(x)=cos(x)。
2 余弦函数及其性质
余弦函数是正弦函数的镜面对称函数，它以直角坐标系中的水平轴（y轴）为镜面中心反射得到的。
正弦函数和余弦函数有以下相同的性质：
1. 都是周期函数，周期性问题都是2π，且在每个2π的区间里重复出现函数形式相同的函数形式。
2. 都具有范围称属性，它们的值始终在 -1 和 1 之间。
3. 具有导数特性，余弦函数的导数与它的幅值成反比关系，公式为（d/dx）*cos(x)=-sin(x)。
就正弦函数和余弦函数的性质而言，它们都有着类似的特征，这突出了它们是一种互补的函数关系。
正弦函数和余弦函数具有极大的应用性，广泛应用于力学，信号处理，通信等领域。
余弦定理与正弦定理
余弦定理与正弦定理余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。
它们在三角学中有着广泛的应用，能够帮助我们计算未知边长或角度。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的定义、公式以及应用，并探讨它们的区别和联系。
一、余弦定理的定义和公式余弦定理是在三角形中，通过已知边长和夹角计算其他边长的定理。
它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2abcosC其中，c为三角形对应于角C的边长，a和b为与角C相邻的两条边长，cosC为角C的余弦值。
二、正弦定理的定义和公式正弦定理是在三角形中，通过已知两个角度和一个边长计算其他边长的定理。
它的定义如下：在三角形ABC中，设三条边分别为a、b、c，对应的夹角分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
三、余弦定理和正弦定理的应用1. 通过余弦定理计算未知边长或角度：- 已知两边长和夹角：可以使用余弦定理计算第三条边长，或者计算其他两个角度。
- 已知三边长：可以使用余弦定理计算其中一个角度。
2. 通过正弦定理计算未知边长或角度：- 已知两角度和一个边长：可以使用正弦定理计算其他两条边长。
- 已知一个角度和两边长：可以使用正弦定理计算另外两个角度。
四、余弦定理与正弦定理的区别和联系余弦定理和正弦定理在解决三角形问题时具有不同的应用场景。
余弦定理适用于已知边长和夹角的情况，可以求解缺失的边长或角度。
而正弦定理适用于已知两个角度和一个边长的情况，同样可以求解其他边长或角度。
此外，两个定理之间也存在一定的联系。
通过余弦定理可以推导出正弦定理，而正弦定理也可以推导出余弦定理。
在解决问题时，可以根据具体情况选择使用其中一个定理进行计算。
总结：余弦定理和正弦定理是解决三角形中边长和角度之间关系的重要定理。
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正弦和余弦
正弦和余弦正弦和余弦教学建议
1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
2.重点、难点分析
(1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
(2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sina,cosa来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当确定时,包含的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似: ∽∽∽……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin 和cos这样的符号.
应当注重:单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如).真正理解并把握这些,才真正把握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会熟悉任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练把握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如, 如图所示,若,则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,abcd是梯形, ,作, 我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.非凡角的正弦、余弦值既轻易导出,也便于记忆,应当熟悉把握它们.
利用勾股定理,很轻易求出含有或角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
根据定义,有
另一方面,可以想像,当时,边与ac重合(即),所以
当时,边ab与cb重合(即ab=cb),ac的长缩小为0,于是,有
把以上结果可以集中列出下面的表:
1
1
6.教法建议:
(1)联系实际,提出问题
通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习爱好,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进。