第一章多项式

第一章 多项式

习题精解

1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：

1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f

2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=

x x r x x q 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q

2．q p m ,,适合什么条件时，有

1）q px x mx x ++-+3

2|1

2）q px x mx x ++++242|1

解 1)

由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p

所以当

⎩

⎨⎧=-=++0012m q m p 时有

q px x mx x ++-+32|1

2）类似可得

⎩

⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m 于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022

=--m p 时，代入（2）可得1=q 。 综上所诉，当 ⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩

⎨⎧=+=212m p q 时，皆有

q px x mx x ++++242|1

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式():r x

1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+

2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+

解

1）432()261339109

()327

q x x x x x r x =-+-+=-； 2）

2()2(52)

()98q x x ix i r x i =--+=-+ 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成

2010200()()...()...n n c c x x c x x c x x +-+-++-+

的形式：

1）50(),1f x x x ==

2）420()23,2f x x x x =-+=-

3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-

解 1）由综合除法，可得

2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+-

2）由综合除法，可得

42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++

3） 由综合除法，可得

4322(1)3(7)x ix i x x i +-+-++

234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++

5．求()f x 与()g x 的最大公因式：

1）43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--

2）4332

()41,()31f x x x g x x x =-+=-+

3）42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++

解 1）((),())1f x g x x =+

2）((),())1f x g x =

3

）2((),())1f x g x x =--

6．求(),()u x v x 使()()()()((),()).u x f x v x g x f x g x +=

1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---

2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+

3）4322

()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--

解

1）因为22((),())2()f x g x x r x =-= 再由11212

()()()()()()()()f x q x g x r x g x q x r x r x =+⎧⎨=+⎩， 解得22121212()()()()()()[()()()]

[()]()[1()()]()

r x g x q x r x g x q x f x q x g x q x f x q x q x g x =-=--=-++， 于是

212()()1

()1()()11(1)2u x q x x v x q x q x x x =-=--=+=++=+。 2）仿上面方法，可得

((),())1f x g x x =-

且

21122(),()13333

u x x v x x x =-+=-- 3）由((),())1f x g x =可得

32()1,()32u x x v x x x x =--=+--

７．设32()(1)22f x x t x x u =++++与32

()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值。

解 因为 32211212()()()()()(2)

()()()()f x q x g x r x x tx u x x u g x q x r x r x =+=+++++=+

2((2))(2)(24)(3)x t x x u u t x u t =+-++-+-+-

且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式2()r x 为0，即

(24)0(3)0u t u t -+-=⎧⎨-=⎩

从而可解得

1102u t =⎧⎨=⎩ 或 2223

u t =-⎧⎨=⎩

８．证明：如果()|(),()|()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式。

证 易见()d x 是()f x 与()g x 的公因式。另设()x ϕ是()f x 与()g x 的任一公因式，下证()|()x d x ϕ。

由于()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，这就是说存在多项式()s x 与()t x ，使 ()()()()()d x s x f x t x g x =+

从而由()|(),()|()x f x x g x ϕϕ可得()|()x d x ϕ，即证。

９．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x = (()h x 的首系数为１）。 证 因为存在多项式(),()u x v x 使

((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+

所以

((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+

上式说明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合。

另一方面，由((),())|()f x g x f x 知

((),())()|()()f x g x h x f x h x

同理可得

((),())()|()()f x g x h x g x h x