天一大联考“皖豫联盟体”2021届高三第一次考试 数学(文) Word版含答案

天一大联考

“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第一次考试

文科数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x|5x 2－4x －1>0}，B ＝{－

12，0，15，12

}，则A ∩B ＝ A.{－12} B.{12} C.{0，15，12} D.{－12，0} 2.若z ＝(2＋i 3)(4－i)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝

A.2

B.ln4

C.ln2

D.－ln2

4.已知A(1，2)，B(2，5)，BC ＝(－2，－4)，则cos ＝

A.－55

B.－55

C.55

D.55 5.已知函数f(x)＝sin(2x －4π)的图象向左平移4

π个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的一个对称中心为 A.(

8π，0) B.( 4

π，0) C.(38π，0) D.(58π，0) 6.函数f(x)＝||3sinx 2x ＋xcosx 在[－2π，2π]的图象大致为

7.5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝Wlog 2(1＋S N

)，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内所传信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中

S N 叫做信噪比。按照香农公式，在不改变W 的情况下，将信噪比S N

从1999提升至λ，使得C 大约增加了20%，则λ的值约为(参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120)

A.7596

B.9119

C.11584

D.14469

8.已知a ＝(sin3)3，b ＝4sin3，c ＝ln 4sin 3

，则a ，b ，c 的大小关系为 A.b

9.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线5x ＋2y ＝0上，则23cos(2)21cos παα

+

=+ A.－3320 B.－2033 C.2033 D.3320

10.已知向量m ，n 满足|m|＝4，|n|＝2，|m －4n|＝3

A.cos ＝5364

B.m ·n ＝538

C.(4m －21n)⊥n

D.|m ＋4n|13311.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4＋2－c ，tanA 7，cosC ＝34

，则△ABC 的面积为 7 7 14 D.

7 12.已知函数f(x)＝2x 2x x 0lnx x 0

⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，，，则函数g(x)＝2f(f(x)－1)－1的零点个数为

A.7

B.8

C.10

D.11

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x ，y 满足约束条件x

y 303x 2y 30x y 10+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩

，则z ＝x －3y 的最小值为 。

14.00

sin152sin 30cos15+= 。 15.函数f(x)＝(x ＋1)e x －32x 2－6x ＋21e

的极大值为 。 16.已知平面四边形ABCD 由△ACD 与等边△ABC 拼接而成，其中AD ＝2CD ＝2，则平面四边形ABCD 面积的最大值为 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1，a n ，S n 成等差数列，且a 4＝S 3＋2。

(I)求{a n }的通项公式；

(II)若b n ＝

221223

1log log n n a a ++⋅，{b n }的前n 项和为T n ，求使7T n <1成立的最大正整数n 的值。 18.(12分)

某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，如图所示。已知通过该隧道车辆的平均速度为64 km ·h －1。

(I)求a ，b 的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；

(II)为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如下表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关。

附：2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 。

19.(12分)

如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BC//AD ，∠ABD ＝90°，四边形ADMN 为矩形，点G ，H 分别是线段MN ，CD 的中点，点I 在线段AD 上。

(I)探究：是否存在点I ，使得平面CHI//平面ACN ？并证明。

(II)若DM ＝BC ＝12

AD ＝4，线段MN 在平面ABCD 内的投影与线段AD 重合，求多面体BC －ADMN 的体积。

20.(12分)

已知椭圆C ：22

143

x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点。 (I)点P 的坐标为(1，13

)，若MP PN =，求直线l 的方程； (II)若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23MA NB k k -(k MA ，k NB 分别为直线

MA ，NB 的斜率)的取值范围。

21.(12分)

已知函数f(x)＝mx 2－2lnx ＋2(1－m)x 。

(I)讨论函数f(x)的单调区间；

(II)当x ≠1时，求证：22

8x 6xlnx 3x 521x x ---<-。