高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用
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解析 设 n 小时后才可以驾车，由题意得 0.8(1－50%)n ＝2,0.5n＝14，即 n＝2，即至少经过 2 小时后才可以驾驶机动 车．
板块二 典例探究·考向突破
考向 利用函数图象刻画实际问题 例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化 规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下 面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月 份明显高于 12 月份，故 A 错；
4．[课本改编]某家具的标价为 132 元，若降价以九折 出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具 的进货价是( )
A．118 元 B．105 元 C．106 元 D．108 元 解析 设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a ＝10%·a，解得 a＝108.
【变式训练 1】 [2015·北京高考]汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确 的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因， 交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得 超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50% 的速度减少，则至少经过____2____小时他才可以驾驶机动 车．(精确到小时)
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( × ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( × ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中．( √ )
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的 变化规律．( √ )
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
பைடு நூலகம்
考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图 象与性质
[必会结论] “f(x)＝x＋ax(a＞0)”型函数模型 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模 型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在 [－ a，0]和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
解析 出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留， 距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排 除 B.
3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为 4 万平方米， 则其周长至少为( )
A．800 米 B．900 米 C．1000 米 D．1200 米
解析 设这个广场的长为 x 米，则宽为400x00米，所以 其周长为 l＝2x＋400x00≥800，当且仅当 x＝400x00，即 x ＝200 时取等号．
对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客 量逐年增加，故 B 正确；
对于选项 C，D，由图可知显然正确．故选 A.
触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、 最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增 加、减少的缓急等)相吻合即可．
(5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售， 后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获 利．( √ )
(6)当 x＞4 时，恒有 2x＞x2＞log2x.( √ )
2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶， 途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行 驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
考向 已知函数模型解决实际问题 例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间 y(单位：小 时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜 时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品 在 33 ℃的保鲜时间是( ) A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．28 小时
第2章 函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0)
板块二 典例探究·考向突破
考向 利用函数图象刻画实际问题 例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化 规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下 面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月 份明显高于 12 月份，故 A 错；
4．[课本改编]某家具的标价为 132 元，若降价以九折 出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具 的进货价是( )
A．118 元 B．105 元 C．106 元 D．108 元 解析 设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a ＝10%·a，解得 a＝108.
【变式训练 1】 [2015·北京高考]汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确 的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因， 交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得 超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50% 的速度减少，则至少经过____2____小时他才可以驾驶机动 车．(精确到小时)
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( × ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( × ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中．( √ )
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的 变化规律．( √ )
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
பைடு நூலகம்
考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图 象与性质
[必会结论] “f(x)＝x＋ax(a＞0)”型函数模型 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模 型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在 [－ a，0]和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
解析 出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留， 距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排 除 B.
3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为 4 万平方米， 则其周长至少为( )
A．800 米 B．900 米 C．1000 米 D．1200 米
解析 设这个广场的长为 x 米，则宽为400x00米，所以 其周长为 l＝2x＋400x00≥800，当且仅当 x＝400x00，即 x ＝200 时取等号．
对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客 量逐年增加，故 B 正确；
对于选项 C，D，由图可知显然正确．故选 A.
触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、 最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增 加、减少的缓急等)相吻合即可．
(5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售， 后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获 利．( √ )
(6)当 x＞4 时，恒有 2x＞x2＞log2x.( √ )
2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶， 途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行 驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
考向 已知函数模型解决实际问题 例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间 y(单位：小 时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜 时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品 在 33 ℃的保鲜时间是( ) A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．28 小时
第2章 函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0)