高中数学选修2-3 2.2.1条件概率

条件概率

一、知识概述

条件概率的定义：

一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．

注意：

（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．

（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)．

（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键．

注：概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：

联系：事件A，B都发生了．

区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W．

二、例题讲解：

例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出

的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．

①；②；③事件B与事件A1相互独立；

④是两两互斥的事件；

⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．

解：

答案：②④

例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．

解：

令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．

则所求概率为Ｐ（B|A）．

，．

．

即所求概率为．

例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？

（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？

（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？

解：

记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．

（1）．

（2）．

（3）．

∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为．

在甲地下雨时乙地也下雨的概率为．

甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．

例4、有外形相同的球分别装在三个盒子中，每个盒子中有10个球．其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有8个红球，2个白球．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在三号盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．

解：

设事件A＝｛从第一个盒子中取出字母为A的球｝，B＝｛从第一个盒子中取出字母为B的球｝，C＝｛第二次取球取出的是红球｝，D＝｛第二次取球取出的是白球｝，

则P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，P（C｜A）＝0.5，P（D｜A）＝0.5，P （C｜B）＝0.8，P（D｜B）＝0.2．

试验成功表示，∵AC与BC互斥，

∴试验成功的概率为0.59．

例5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．

(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．

解：

（1）．

（2）记事件A={乙箱中取出的一个产品是正品}，事件B1={甲箱中取出的2个产品均为正品}，B2={甲箱中取出的2个产品均为次品}，B3={甲箱中取出的2个产品一正品一次品}．

．

．

∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝

.

∴所求的概率为．