高中数学选修2-3 2.2.1条件概率
人教版-高中数学选修2-3 2.2.1 条件概率
为什么上述两例中P(B|A) ≠ P(B)？ 为什么上述两例中 ？
样本空间不一样
中若抽到扛水用 表示， 在引例1中若抽到扛水用“Y”表示，没有抽到扛水 引例 中若抽到扛水用“ 表示 表示， 用“ ”表示， Y
YY YY P(B)的样本空间是 = {YYY， Y， Y} 的样本空间是 YY P(B|A)以A发生为条件 样本空间缩小为 A = {YYY， Y} 发生为条件作业: 六.小结与作业 小结与作业 （1）条件概率的意义，概念 ）条件概率的意义， （2）条件概率的计算方法 ）
P(AB): AB发生的概率 样本空间是 发生的概率,样本空间是 发生的概率 P(B|A): A发生条件下 发生的概率 发生条件下,B发生的概率 发生条件下 发生的概率,样本空间是 下,AB发生的概率 样本空间是 发生的概率 样本空间是A 作业: 条件概率(一 作业 （1） 作业本 ,P29条件概率 一) ） 条件概率 问题： （2）探究问题：三张奖券中只有一张能中奖，现分别三名 ）探究问题 三张奖券中只有一张能中奖， 同学有放回地抽取， 同学有放回地抽取，已知第一名同学的抽奖结果会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率吗？ 后一名同学抽到中奖奖券的概率吗？ A发生条件 发生条件
在引例2中 引例 中 P(B)以试验为条件 样本空间是 ={正正 正反 反正 反反 以试验为条件,样本空间是 正正,正反 反正,反反 以试验为条件 正正 正反,反正 反反} P(B|A)以A发生为条件 样本空间缩小为 以 发生为条件 样本空间缩小为A= {正正 正反 发生为条件,样本空间缩小为 正正,正反 正正 正反}
送给同学们一段话： 送给同学们一段话：
在概率的世界里充满着和我们直觉截然 不同的事物。 不同的事物。面对表象同学们要坚持实 事求是的态度、锲而不舍的精神。 事求是的态度、锲而不舍的精神。尽管 我们的学习生活充满艰辛， 我们的学习生活充满艰辛，但我相信只 要同学们不断进取、挑战自我， 要同学们不断进取、挑战自我，我们一 定会达到成功的彼岸！ 定会达到成功的彼岸！
人教a版数学【选修2-3】2.2.1《条件概率》ppt课件
2 有 2 个红球，5 个蓝球，故第二次取到红球的概率为 P1＝7. (2)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有 3 红 4 蓝 7 个 3 小球，从中取出一球，取到红球的概率为7. (3)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有 3 红 4 蓝 7 个 4 小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为 P3＝7.
第二章
2.2
2.2.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
条件概率
思维导航
在 10 件产品中有 9 件产品的长度合格， 8 件产品的质量合 格，7件产品的长度、质量都合格． 令A＝{任取一件产品其长度合格 }，B＝{任取一件产品其 质量合格 } ， AB ＝ { 任取一件产品其长度、质量都合格 } ， C ＝
{任取一件产品，在其长度合格的条件下，其质量也合格}，试
讨论概率P(A)，P(B)，P(AB)，P(C)的值，你发现了什么？
第二章
2.2
2.2.1
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新知导学 1．条件概率
PAB PA 一般地， 设 A、 B 为两个事件， 且 P(A)>0， 称 P(B|A)＝_______
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通过实例，了解条件概率的概念，能利用条件概率的公式 解决简单的问题．
第二章
2.2
2.2.1
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重点：条件概率的定义及计算．
难点：条件概率定义的理解．
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3
高中数学选修2-3-条件概率
0.56 0.7
BA
P( A) P( A)
5
2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数
B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝
A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
若已知出现的点数不超发生，求事件 B 的概率
也就是求：Ｐ（B｜A）
A B 都发生，但样本空
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件 B发生的可能性大小不一定再是P(B).
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
引例:
掷红、蓝两颗骰子。
设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6” 事件B=“两颗骰子点数之和大于8” 求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发 生 的概率？
例 7一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 8 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中）， 设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上 面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B， 求 P(A|B)。
间缩小到只包含A的样本点 P(B | A) n( AB) 2 n( A) 3
B5
1 3
A
2
4,6
3. 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，
规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
解 设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.2.1 条件概率》8
条件概率教学设计课标分析《条件概率》是人教B 版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3 第二章随机变量及其分布中，二项分布及其应用的第一课时的内容，主要包括：（1）条件概率的概念；（2）条件概率的性质；（3）条件概率公式的简单应用。
《条件概率》的内容，利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过对有无“第一名同学没有中奖”条件，最后一名同学中奖的概率的比较，引出条件概率的概念，给出了条件概率的两个性质，并通过条件概率公式的简单应用加深对条件概率概念本质特征的理解掌握。
为相互独立事件和二项分布的内容教学，起“引流开山”之作用，即为定义相互独立事件和研究二项分布做好了知识铺垫。
正因本节是数学新概念引入建立，其教学便化身为本章的难点，对其进行合理的教学处理尤显重要。
本节教学重点和难点都是对条件概率的概念理解，应用公式对条件概率的计算是围绕这一中心的；在条件概率概念的引入中，应抓住“条件概率的本质是样本空间范围的缩小下的概率”这一转化关键。
教学关键是实际案例对比，甚者要辅以图示直观说明解释和反例验证等教学方式对条件概率的概念进行多角度分析研究，才能突破本节教学重点和教材分析《条件概率》第一课时是高中数学选修2－3第二章第二节的内容本节课是在必修三学习了概率的定义，概率的关系与运算，概率的基本性质，古典概型特点及其运算的基础上，学习如何计算已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率，它仍属于概率的范畴。
它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法，另一方面，为研究相互独立事件打下良好的基础教学重点、难点和关键：教学重点是条件概率的定义、计算公式的推导及条件概率的计算；难点是条件概率的判断与计算；教学关键是数学建模条件概率是比较难理解的概念。
教科书利用大家比较熟悉的抽奖为实例，以无放回抽取奖券的方式，通过比较抽奖前和在已知第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学中奖的概率从而引入条件概率的概念，给出条件概率的两种计算方法。
数学：2.2.1《条件概率》教案(新人教B版选修2-3)
2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n A B n A B P A B n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =.由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅. 并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω.(2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===.例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A = 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯.(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
数学新人教选修2-3：2.2.1 条件概率 课件
n() n( A)
P( AB) P( A)
（适用于一般的概率模型）
n()
1、定义：设 A 和 B 为两个事件， P在 P( A)
事件 A 已发生的条件下，事件 B 发生的条件概率. P(B | A) 读作 A 发生 的条件下 B 发生的概率.
等，若已知摸到的是一个木球，问它是白球的概率是多少？
4、对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品的合格率为 95% ，而 当机器发生某种故障时，其合格率为 55%，每天早上机器开动时，机器调整 良好的概率为 98%，试求：
③若他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率．
引申提高题： 1、甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，
甲为 20% ，乙为18% ，两市同时下雨的天数占12% . 求：
① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率.
2、一盒子装 5 只产品，其中 3 只一等品， 2 只二等品从中取产品两次， 每次取一只，作不放回抽样，设事件 A {第一次取到一等品}，事件 B {第二次取到一等品}，试求条件概率 P(B A) .
②可列可加性：如果是两个互斥事件,则
P(B UC | A) P(B | A) P(C | A) .
3、条件概率的计算方法：
公式法-P(B A) n( AB) n( A)
.
缩减样本空间法-P(AB) P(B | A) P(A)
布置作业，评价反馈： 1、在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有
个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过 3 的条件下再出现
点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你 会如何抉择？
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-2-1条件概率
1．某气象台统计，该地区下雨的概率为
4 15
，刮四级以
上风的概率为
2 15
，既刮四级以上的风又下雨的概率为
1 10
，
设A为下雨，B为刮四级以上的风，求P(B|A)，P(A|B)．
解析： 由题意知P(A)＝145，
P(B)＝125，P(AB)＝110，
1 故P(B|A)＝PPAAB＝140＝38.
知识重难点
1．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另 外，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定 是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
2 ． 在 条 件 概 率 的 定 义 中 ， 要 强 调 P(A) ＞ 0. 当 P(A) ＝ 0 时，不能用现在的方法定义事件A发生的条件下事件B发生的 条件概率．
C620
C620
11分
故所求的概率为1538.
12分
[规律方法] 1.利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可 使求有些条件概率较为简捷，但应注意这个性质是在“B与 C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱 用这个公式．
2．求复杂的概率，往往把它分解为若干个互不相容的 简单事件，然后利用条件概率和乘法公式．
[问题2] 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同 学无放回地抽取一张，奖品是“周杰伦武汉演唱会门票一 张”，那么问最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？
[提示] 设三张奖券为X1，X2，Y，其中Y表 示中奖奖券且Ω为所有结果组成的全体，“最后 一名同学中奖”为事件B，则所研究的样本空间Ω ＝{X1YX2，X2YX1，X1X2Y，X2X1Y，YX1X2，YX2X1}
3．P(B|A)＝
高中数学选修2-3-2.2.1条件概率
条件概率一、知识概述条件概率的定义：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．注意：（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)．（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键．注：概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系：联系：事件A，B都发生了．区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W．二、例题讲解：例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．①；②；③事件B与事件A1相互独立；④是两两互斥的事件；⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．解：答案：②④例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．解：令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．则所求概率为Ｐ（B|A）．，．．即所求概率为．例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？解：记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．（1）．（2）．（3）．∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为．在甲地下雨时乙地也下雨的概率为．甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．例4、有外形相同的球分别装在三个盒子中，每个盒子中有10个球．其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有8个红球，2个白球．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在三号盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．解：设事件A＝｛从第一个盒子中取出字母为A的球｝，B＝｛从第一个盒子中取出字母为B的球｝，C＝｛第二次取球取出的是红球｝，D＝｛第二次取球取出的是白球｝，则P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，P（C｜A）＝0.5，P（D｜A）＝0.5，P（C｜B）＝0.8，P（D｜B）＝0.2．试验成功表示，∵AC与BC互斥，∴试验成功的概率为0.59．例5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：（1）．（2）记事件A={乙箱中取出的一个产品是正品}，事件B1={甲箱中取出的2个产品均为正品}，B2={甲箱中取出的2个产品均为次品}，B3={甲箱中取出的2个产品一正品一次品}．．．∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝.∴所求的概率为．。
高二数学人教版选修2-3课件：2.2.1条件概率
（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理 科题的概率。
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为 事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB，
（3）由（1）（2）可得在第一次抽到理科题的条件下，
第二次抽到理科题的概率为
3
P(B
|
A)
P( AB) P( A)
n() A52 20
根据分步乘法计算原理，n( A) A31 A41 12
于是，P( A) n( A) 12 3 n() 20 5
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放回 地依次抽取2道。求
（1）第一次抽到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽到理科题的概率；
二、自我反馈
1.有一对夫妇生育了二个小孩。求： （1）二个小孩中有一个是男孩的概率； （2）二个小孩都是男孩的概率； （3）已有一个是男孩，另一个也是男孩的概率。
(1)P 3 4
(2)P 1 1 1 22 4
(3)P 1 2
三、形成能力
例题1：在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放 回地依次抽取2道。求
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为 事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB，
（2）因为，n( AB) A32 6所以
P(AB) n(AB) 6 3 n() 20 10
例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题。如果不放回 地依次抽取2道。求
（1）第一次抽到理科题的概率；
（２）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过２次就 按对的概率。
i 解：设第 次按对密码为事件 Ai (i 1, 2) ，
人教B版选修2-3高中数学2.2.1《条件概率》ppt课件2
1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的计算.
公式: P( A B) P( AB)
P(B)
乘法公式： P(AB)=P(B) P(A|B)
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有 P(B A) P( AB) . P( A)
0.4 0.8
BA
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4,
P( AB) P(B),
所以
P(B
A)
P( AB) P( A)
0.4 0.8
1 2
.
例:一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不 放回地每次任取１只，连取２次，求
2019/8/10
最新中小学教学课件
14
练习1.掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
2.考虑恰有两个小孩的家庭，已知这个家庭有 一个是男孩，问这时另一个小孩是女孩的概率 是多少？（假定生男生女为等可能）
例题.如图所示的正方形被平均分成9个部分,向 大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中) 设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投 中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区 域的事件记为B,则P(AB)=___,P(A|B)=_____
若P(B) ﹥0，则事件B已发生的条 件下事件A发生的概率是
P( A B) P( AB) P(B)
AB
A
B
例题.抛掷一颗质地均匀的骰子所得样本空间为 S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}， B={1，2，4，5，6}，则P(A|B)=_______, P(B|A)=______
【西城学探诊】人教B版高中数学选修2-3导学案：第二章 2.2.1条件概率
§2.2.1条件概率学习目标1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
2.把握一些简洁的条件概率的计算。
学习过程【任务一】问题分析问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设大事=A “蓝色骰子的点数为3或6”，大事=B “两颗骰子的点数之和大于8”，求： （1）大事A 发生的概率； （2）大事B 发生的概率；（3）已知大事A 发生的状况下，大事再B 发生的概率。
问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考：（1）三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？（2）若已知第一名同学没有中奖，那么其次名同学中奖的概率各是多少？（3）在（1）和（2）中其次名同学中奖的概率是否相等？为什么？【任务二】概念理解1.条件概率：对于任何两个大事A 和B ，在已知大事A 发生的条件下，大事B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。
2.由大事A 和B 所构成的大事D ，称为大事A 和B 的交（或积），记作3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数包含的基本事件数A B A =总数包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P【任务三】典型例题分析例1：抛掷一颗骰子,观看消灭的点数=A {消灭的点数是奇数}＝}531{，，，=B {消灭的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知消灭的点数不超过3，求消灭的点数是奇数的概率。
例2：在5道题中有3道理科题和2道文科题.假如不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【任务四】课后作业1.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取两次，每次抽一张，已知第一次抽到A ，求其次次也抽到A 的概率。
高中数学复习选修2-3 2.2.1 条件概率课件
计算事件AB发生的概率,即
n AB
P
B｜A
n AB nA
n nA
P AB PA .
n
【典例训练】 1.(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B｜A)=( )
A1 B 1 C 2 D 1
8
4
5
2
n AB nA
1 4
.
2.由题意可得： AB {x | 1＜x＜1}，
所以
P AB
又1 因 为1 2 4
1,
4
2
PA 1，
ห้องสมุดไป่ตู้
所以
14
2
P B｜A
答案：
P AB PA
1 2
.
1
2
3.设A表示取得合格品，B表示取得一等品，
(1)∵100 件产品中有70件一等品，∴
PB 70 0.7.
(2)方法一：∵95 件合格品中有70 件一等品，且B⊆A, 100
2.任意向(0，1)区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则
令事件A={x|0＜x＜ }，B1={x| ＜x＜1}，1则P(B|A)=_____. 3.设100 件产品中有70 件2一等品，25 件4二等品，规定一、
二等品为合格品．从中任取1件. (1)求取得一等品的概率； (2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
2.求解条件概率的两个注意事项 (1)在具体的题目中,必须弄清谁是事件A,谁是事件B,即在哪个事件发生的条件 下,求哪个事件的概率. (2)选择求解条件概率的计算法，以达到迅速计算的目的.
【典例训练】 1.一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
【高中同步测控 优化设计】高中数学选修2-3训练：2.2.1条件概率 Word版含答案[ 高考]
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2.2.1条件概率A组1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于()A. B. C. D.解析:由条件概率公式变形得到乘法公式P(AB)=P(B|A)·P(A)=.答案:C2.抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子,当红色骰子的点数为4或6时,两枚骰子的点数之积大于20的概率是()A. B. C. D.解析:抛掷红、黄两枚骰子共有6×6=36个基本事件,其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件,此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6,共4个基本事件.所求概率为.答案:B3.根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为,既吹东风又下雨的概率为,则在吹东风的条件下下雨的概率为()A. B. C. D.解析:设事件A表示“该地区四月份下雨”,B表示“四月份吹东风”,则P(A)=,P(B)=,P(AB)=,从而在吹东风的条件下下雨的概率为P(A|B)=.答案:D4.在某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是()A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6解析:A=“数学不及格”,B=“语文不及格”,P(B|A)==0.2.所以数学不及格时,该学生语文也不及格的概率为0.2.答案:A5.在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),不放回地依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率为()A. B. C. D.解析:不放回地依次摸出2个球,“第1次摸出红球”记为事件A,“第2次摸出红球”记为事件B,则n(A)=6×9=54,n(AB)=6×5=30,故P(B|A)=.答案:D6.从1~100这100个整数中,任取1个数,已知取出的1个数是不大于50的数,则它是2或3的倍数的概率为.解析:根据题意可知取出的1个数是不大于50的数,则这样的数共有50个,其中是2或3的倍数共有33个,故所求概率为.答案:7.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=.解析:P(A)=,P(A∩B)=.由条件概率计算公式,得P(B|A)=.答案:8.如图,一个正方形被平均分成9部分,向大正方形区域随机地投掷一点(每一次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,求P(A|B),P(AB).解:用μ(B)表示事件B所包含区域的面积,μ(Ω)表示大正方形区域的面积,由题意可知, P(AB)=,P(B)=,P(A|B)=.9.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一个球,问:(1)在从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少?(2)从2号箱取出红球的概率是多少?解:记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”;事件B为“从1号箱中取出的是红球”.P(B)=,P()=1-P(B)=.(1)P(A|B)=.(2)∵P(A|)=,∴P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.B组1.某班有6名班干部,其中4名男生,2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为()A. B. C. D.解析:记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B.P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=.答案:B2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是()A. B. C. D.解析:设“至少有一枚出现6点”为事件A,设“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,所以P(A|B)=.答案:A3.设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,现有一个20岁的这种动物,则它活到25岁的概率是.解析:“该动物由出生算起活到20岁”记为事件A,“活到25岁”记为事件B.P(A)=0.8,P(AB)=0.4,∴P(B|A)==0.5.答案:0.54.从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为.解析:记“选出4号球”为事件A,“选出球的最大号码为6”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.答案:5.任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点,问:(1)该点落在区间内的概率是多少?(2)在(1)的条件下,求该点落在内的概率.解:由题意可知,任意向(0,1)这一区间内投掷一个点,该点落在(0,1)内各个位置是等可能的, 令A=,由几何概型的概率计算公式可知(1)P(A)=.(2)令B=,则AB=,∴P(AB)=,故在A的条件下B发生的概率为P(B|A)=.6.在一次口试中,共有10道题可供考生选择,已知某考生会答其中的6道题,现随机从中抽5道题供考生回答,答对3道题及格,求该考生在第一道题不会答的情况下及格的概率.解:设事件A为“从10道题中依次抽5道题,第一道题不会答”;设事件B为“从10道题中依次抽5道题,第一道题不会答,其余4道题中有3道题或4道题会答”.n(A)=,n(B)=).则P=.所以该考生在第一道题不会答的情况下及格的概率为.7.一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球的概率为.(1)求白球的个数;(2)现从中不放回地取球,每次取1个球,取2次,已知第2次取得白球,求第1次取得黑球的概率.解:(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少有1个白球”为事件A,记袋中白球个数为x.则P(A)=1-,解得x=5,即白球的个数为5.(2)记“第2次取得白球”为事件B,“第1次取得黑球”为事件C,则P(BC)=,P(B)=.故P(C|B)=.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.2.1条件概率
)
栏 目 链 接
题型三
利用条件概率的性质求条件概率
例3 在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，
若考生至少能答对其中4道即可通过；若至少能答对其中 5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知 道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概 率． 解析：设事件A为“该考生6道题全答对”， 事件B为“该考生答对了其中5道题，另1道答错”，
题型二
利用条件概率公式求条件概率
例2
某个学习兴趣小组有学生10人，其中有3人
栏 目 链 接
是三好学生．现已把这10人分成两组进行竞赛辅导，第 一小组5人，其中三好学生2人． (1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组 长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？ (2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，问 这名同学在第一小组的概率是多少？
解析：设 A＝{在兴趣小组内任选一个学生，该学生在第 一小组}， B＝{在兴趣小组内任选一名学生，该学生是三好 学生}，而第二问中所求概率为 P(A|B)，于是 5 1 (1)P(A)＝ ＝ ， 10 2 2 PAB 10 2 (2)P(A|B)＝ ＝ ＝ . 3 3 PB 10 点评：(1)在原样本空间 O 中，先计算 P(AB)，P(A)，再 PAB 利用公式 P(B|A)＝ 计算求得 P(B|A)． PA
P(B|A)
栏 目 链 接
读作
计算 公式
____发生的条件下____发生的概率
nAB ①缩小样本空间法：P(B|A)＝________ nA PAB ②公式法：P(B|A)＝________ PA
A
B
基 础 梳 理 P(B|A)与P(AB)的区别：P(B|A)的值是AB发生相 对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是AB发生相对 于原来的总空间而言．
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：2.2.1条件概率
判一判
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．若事件 A 与 B 互斥，则 P(B|A)＝0.(√)
2．若事件 A 等于事件 B，则 P(B|A)＝1.(√)
3．P(B|A)与 P(A|B)相同．(×)
3
3
1
4．已知 P(AB)＝10，P(A)＝5，则 P(B|A)为2.(√) 5．由“0”“1”组成的三位数组中，若用事件 A 表示“第二位数字为 0”，用事件 B 表示
nAB 6 1
所以(1)P(B|A)＝ nA ＝12＝2. nAB 6 3
(2)P(A|B)＝ nB ＝10＝5.
知识点二
条件概率性质应用
3.在一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑
球，4 个白球，从中依次不放回地摸 2 个球，求在第一个球是红球的事件下，第二个球是黄
PAB
提示：(1)在原样本空间中，先计算 P(AB)，P(A)，再利用公式 P(B|A)＝ PA 计算求得 P(B|A)；
nAB
(2)若事件为古典概型，可利用公式 P(B|A)＝ nA ，即在缩小后的样本空间中计算事件 B 发生的概率．
3．一个盒子中有 6 只好晶体管，4 只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不 放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．
＝3，
PAB 2
∴P(B|A)＝ PA ＝5. 2
答案：5
4
1
4．某气象台统计，该地区下雨的概率为15，既刮四级以上的风又下雨的概率为10.设事 件 A 为该地区下雨，事件 B 为该地区刮四级以上的风，则 P(B|A)＝________.
1
4
1
10 PAB 4 3
选修2-3 2.2.1条件概率
B
A
基本概念
3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在基本事件集合 中, 计算 A与B 都发生的概率, 而 P( B A) 表示在其子集 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 含基本事件数 P( B A) , A 含基本事件数 AB 含基本事件数 P( AB) 含基本事件数 一般来说, P( B A) 比 P( AB) 大.
由于B A故A B B，
所求概率为
P( AB) P( B) P( B A) 0.8 P( A) P( A)
例 5一个箱子中装有2n 个白球和（2n-1）个黑球，
一次摸出个n球.
(1)求摸到的都是白球的概率；
(2)在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色 的概率。
例 6 如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大
P(B |A)相当于把Ａ看作新的 基本事件集合的条件下求Ａ∩Ｂ 发生的概率
B
A
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
n( AB) P( AB) 2.条件概率计算公式: P( B | A) n( A) P( A)
变式 ：抛掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，求至少
有一个是6点的概率？
1 3
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.（1）若已知某一家
有一个女孩，求这家另一个是男孩的概率；（2）若 已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于 第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）
人教A版高中数学选修2-3课件2.2.1条件概率
2.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的
概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率.
1． 根据以往的临床记录 ,某种诊断癌症的试
验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件"试验反应 为阳性" ,以 C 表示事件"被诊断者患有癌症",则 有 P( A C ) 0.95, P( A C ) 0.95.现在对自然人群
1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不 放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).
解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第 i 号、 第
j 号产品,则试验的样本空间为 {(1, 2), (1, 3), (1,4), (2,1),(2, 3),(2,4) , ,(4,1),(4, 2),(4, 3)},
10
（2）
P( AB)
P( A)P(B
A)
6 5 10 9
0.33
（3）
P( AB) P( A)P(B
A)
4 10
6 9
0.27
思考二.一批产品中有 4% 的次品，而合格品中 一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一 等品的概率．
解:设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出
A {(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2,1),(2, 3),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3, 4)},
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条件概率
一、知识概述
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．
注意：
（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．
（2）如果B和C是互斥事件，则P(B∪C|A)= P(B|A)＋P(C|A)．
（3）要注意P(B|A)与P(AB)的区别，这是分清条件概率与一般概率问题的关键．
注：概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：
联系：事件A，B都发生了．
区别：样本空间不同：在P(B|A)中，事件A成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为W．
二、例题讲解：
例1、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出
的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；②；③事件B与事件A1相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．
解：
答案：②④
例2、从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞．求2张都是假钞的概率．
解：
令A表示“2张中至少有1张假钞”，B表示“2张都是假钞”．．
则所求概率为Ｐ（B|A）．
，．
．
即所求概率为．
例3、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
（3）甲乙两市至少一市下雨的概率是多少？
解：
记A为“甲地为雨天”，B为“乙地为雨天”．
（1）．
（2）．
（3）．
∴在乙地下雨时甲地也下雨的概率为．
在甲地下雨时乙地也下雨的概率为．
甲、乙两地至少一地下雨的概率为26%．
例4、有外形相同的球分别装在三个盒子中，每个盒子中有10个球．其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有8个红球，2个白球．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在三号盒子中任取一个球，如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
解：
设事件A＝｛从第一个盒子中取出字母为A的球｝，B＝｛从第一个盒子中取出字母为B的球｝，C＝｛第二次取球取出的是红球｝，D＝｛第二次取球取出的是白球｝，
则P（A）＝0.7，P（B）＝0.3，P（C｜A）＝0.5，P（D｜A）＝0.5，P （C｜B）＝0.8，P（D｜B）＝0.2．
试验成功表示，∵AC与BC互斥，
∴试验成功的概率为0.59．
例5．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解：
（1）．
（2）记事件A={乙箱中取出的一个产品是正品}，事件B1={甲箱中取出的2个产品均为正品}，B2={甲箱中取出的2个产品均为次品}，B3={甲箱中取出的2个产品一正品一次品}．
．
．
∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝
.
∴所求的概率为．。