子图覆盖定理-福州第一中学

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福建省福州第一中学2022-2023学年九年级下学期期中数学试题

(1)请求出该校随机抽取了________名学生成绩进行统计；(2)表中=a________，b=________，并补全频数分布直方图；(3)若用扇形图统计图描述此成绩计分布是________；延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若DE ＝1，CD ＝3，求⊙O 的半径．24．（1）如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是AD 边上的一个动点，以CE 为边在CE 的右侧作正方形CEFG ，连接DG 、BE ，则DG 与BE 的数量关系是_____；（2）如图2，四边形ABCD 是矩形，6AB =，9BC =，点E 是AD 边上的一个动点，以CE 为边在CE 的右侧作矩形CEFG ，且:2:3CG CE =，连接DG 、BE ．判断线段DG 与BE 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG ，求32BG BE +的最小值．25．已知抛物线2y ax bx c =++（0a ¹）与x 轴只有一个公共点()2,0A 且经过点()3,1．(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线l ：y x m =-+与抛物线2y ax bx c =++相交于B 、C 两点（C 点在B 点的左侧），与对称轴相交于点P ，且B 、C 分布在对称轴的两侧．若B 点到抛物线对称轴的距离为n ，且·CP t BP =（23t ££）．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，∵点B的坐标为（2，1），∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键．8．C【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，又∵点E是AB中点，∴OE是△DAB的中位线，故答案是：12,0.2；（3）3600136.，°´=°故答案是：36°；（4）列表如下：【点睛】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定、尺规作图、勾股定理、正弦等知识点，综合应用相关知识成为解答本题的关键．23．（1）见解析；（2）⊙O 的半径是4.5【分析】（1）如图1，连接OC ，先根据四边形ABCD 内接于⊙O ，得CDE OBC ÐÐ＝，再根据等量代换和直角三角形的性质可得90OCE Ð°＝，由切线的判定可得结论；（2）如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE Ð°＝，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC 是矩形，设⊙O 的半径为x ，根据勾股定理列方程可得结论．【详解】（1）证明：如图1，连接OC ，∵OB OC ＝，∴OCB OBC ÐÐ＝，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴180CDA ABC Ð+Ð=°又180CDE CDA Ð+Ð=°∴CDE OBC ÐÐ＝，∵CE AD ^，∴90E CDE ECD ÐÐÐ°＝＋＝，∵ECD BCF ÐÐ＝，∴90OCB BCF ÐÐ°＋＝，∴90OCE Ð°＝，∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 为⊙O 的切线；（2）解：如图2，过点O 作OG AE ^于G ，连接OC ，OD ，则90OGE Ð°＝，∵90E OCE ÐÐ°＝＝，∴四边形OGEC 是矩形，∴OC EG OG EC ＝，＝，设⊙O 的半径为x ，Rt △CDE 中，31CD DE ＝，＝，【详解】（1）解：∵抛物线2y ax bx c =++（0a ¹）与x 轴只有一个公共点()2,0A ，∴点()2,0A 为抛物线的顶点，设()22y a x =-，∵抛物线过点()3,1，∴()2132a =-，∴1a =，∴()22y x =-；（2）解：①设直线y x m =-+，与x 轴交于点E ，与y 轴交于点D ，过点,B C 分别作y 轴，x 轴的垂线，两条垂线相交于点F ，设BF 与抛物线的对称轴AP 交于点G ，如图：则：()()0,,,0D m E m ，,PG CF BFx ∥∥轴，∴OD OE =，。

福建省福州第一中学2023届高三适应性考试(二)数学试题(含答案解析)

A．
π 3
B． π 2
C． 2π 3
D． π
二、多选题 9．甲箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球.
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件 A1, A2 和 A3 分别表示由甲箱取出的球是红球，
白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件 B 表示由乙箱取出的球是红球，则（）
于 2 小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表：单位：人
性别
运动时间运动达人
非运动达人
合计
男生 1100
300
1400
女生 400
200
600
合计 1500
500
2000
零假设为 H0 ：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得 2 31.746 ，根
据小概率值 0.001 的 2 独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001. (1)如果将表中所有数据都缩小为原来的 1 ，在相同的检验标准下，再用独立性检验推
(2)记 bn
Sn
an Sn1
，求数列bn的前 n 项和 Tn
.
试卷第 3页，共 5页
18．国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单随机抽样的方法从全校学生中抽取 2000 人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天
运动的时间范围是0,3 ，记平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人”，少
可得 OAn n,OAn 1 n 1,OAn 2 n 2 ，
则
S S S 12 OA An An1An2
OAn An1
OAn1 An2

福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段(期中)考试数学试题

福建省福州第一中学2023-2024学年高二上学期第一学段
（期中）考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．655．已知直线l ：cos x 直线l 有（）条
A ．4
6．某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，为45︒的位置有（A ．1个
7．若椭圆C ：22x a +点关于点D 的对称点仍在
二、多选题
A ．当E 点运动时，1
AC B ．当E 向1D 运动时，二面角C ．二面角E AB C --的最小值为D ．EF 在CB 方向上的投影向量为
三、填空题
(1)写出直线PQ 的方程（答案含t ）
；(2)在OPQ △内作内接正方形ABCD ，顶点,A B 当正方形ABCD 的面积最大时，求,a t 的值.
19．在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AA 90BCA ∠=︒．
(1)求点E 到平面1C BD 的距离；
(2)取11A B 靠近1B 的三等分点P ，问线段1CC 上是否存在点求出点Q 的位置，若没有，说明理由．
BE平面
(1)证明：直线//
(2)若平面PBD⊥平面22．已知在平面直角坐标系。

省级重点福建省福州第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷(无答案)

福州一中2024-2025学年度第一学期期中考试初三数学试卷（完卷120分钟，满分150分）一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上）1．若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（）A ．B ．C ．D ．2．把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（）A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的方程有一个根为，则a 的值为（）A ．6B ．C ．4D ．4．如图，将绕点A 顺时针旋转得到，若，，，则的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，C ，D 是上直径两侧的两点．设，则（）A ．B ．C ．D ．6．近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态，为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（）．A ．B ．C ．D ．7．如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程3:73:79:407:39:4922y x =22(1)y x =-22(1)y x =+221y x =-221y x =+250x x a ++=1-6-4-ABC △60︒AED △5AB =4AC =2BC =BE O e AB 25ABC ∠=︒BDC ∠=85︒75︒70︒65︒432(12)507x +=2432(12)507x +=2432(1)507x +=2432432(1)432(1)507x x ++++=2(0)y ax bx c a =++≠的一个近似解x 的范围是（）x…01…y…11…A ．B ．C ．D ．8．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A ．B ．C ．D ．9．把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B ．C ．D ．10．点，在抛物线上，且满足，，，则m 的取值范围是（）A ．B ．或C ．D ．或二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上）11．在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为____________．12．点A 坐标为，点A 与点B 关于原点中心对称，点B 坐标为____________．13．已知抛物线与x 轴只有一个交点，则____________．14．如图，在中，是的弦，的半径为，C 为上一点，，则20(0)ax bx c a ++=≠3-2-1-11-5-1-10x -<<01x <<23x <<34x <<5m 4m 26m 27m 28m 29m 1613151411(,)A x y 22(,)B x y 221y mx mx =--12x x >122x x m +=-12y y <302m <<32m >0m <01m <<1m >0m <(1,2)22y x x c =-+c =O e AB O e O e 3cm O e 60ACB ∠=︒AB的长为____________．15．当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为____________．16．中，，，D 在线段上运动，以为斜边作，使，点E 和点A 位于的两侧，连接，则的最小值为____________．三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上）17．（本题8分）解方程：（1）；（2）．18．（本题8分）如图，在中，，，于E ．求证：．19．（本题8分）如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有，、、均在小正方形的顶点上．（1）将绕点逆时针旋转得到，画出；（2）在（1）的旋转过程中，求点运动的路径的长度．cm x a =()x b a b =≠223x x --x a b =+223x x --ABC △90ACB ∠=︒AC BC ==AB CD Rt CDE △30DCE ∠=︒CD BE BE 2280x -=213502x x --=ABC △AB AC =BD CD =CE AB ⊥ABD CBE △∽△111A B C △1A 1B 1C 111A B C △1C 90︒221A B C △221A B C △1A20．（本题8分）如图，以线段为直径作，交射线于点C ，平分交于点D ，过点D 作直线于点E ，交的延长线于点F ．连接并延长交于点M ．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：．21．（本题8分）已知抛物线经过点，，且有最大值4．（1）求抛物线的表达式；（2）若，求函数值y 的取值范围．22．（本题10分）一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同．（1）若从袋中随机摸出一球，则该球是红球的概率为____________；（2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由．23．（本题10分）正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形．如图，圆O 的半径1，和是相互垂直的直径，直线l 是过点C 的圆的切线．（1）尺规作图：①作的中点E ，②以C 为圆心，的长为半径交切线于点F ，③以F 为圆心，的长半径交切线于点G ，且F 、G 在直线的两侧，连接、．（2）结合材料，在线段、、中，判断哪条线段的长度等于圆O 的内接正五边形的边长，并说明理由．24．（本题12分）根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃：素材1：有一堵长m 米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y ，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃．AB O e AC AD CAB ∠O e DE AC ⊥AB BD AC DE O e AB AM =(1,0)(3,0)13x -<<AC BD OC OE OF AC OF OG OF OG EF 020m <<60m素材2：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图1），求解决过程如下：设平行于墙面的篱笆长为n米，则垂直于墙面的篱笆长为依题意得：∵函数开口向下，对称轴为直线∴当时，y 随n 的增大而增大∴时，y 的最大值为素材3：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图2）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图3）设墙左端篱笆长为x 米，解决下列问题：任务1：当时，对于乙的方案，则可知____________（用含x 的代数式表示），花圃面积____________（用含x 的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务2：对于丙的方案，设所用墙的长度为a 米（），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务3：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由．25．（本题14分）如图是一张矩形纸片，点M 是对角线的中点，点E 在边上．（1）如图1，将沿直线折叠，使点C 落在对角线上的点F 处，连接，．①若，，求对角线的长；②若，求的度数及此时的值．（2）如图2，若，，连接、，将沿折叠，点C 的对应点为点G ，当线段与线段交于点H 且为直角三角形时，求此时的长．602n -2(60)130(020)22n n y n n n m -==-+<≤<30n =0n m <≤n m =21302m m-+AM 12m =BC AD ==y =MD a m <ABCD AC BC DCE △DE AC DF EF 30EDC ∠=︒1DE =AC MF CD =DAF ∠CD AC3CB =2CD =BM ME MEC △ME GE BM BHE △BE。

2024年福州第一中学拔尖创新计划小学组数学试卷(含答案详解)精选全文完整版

福州一中拔尖创新计划数学小学组考试1．()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．222222222222257940491212312341232024++++=++++++++++ ．2．@A B AB A B =++，则1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为．3．有5数：a 、2b 、23c 、234d 、2345e ，它们的平均数为9387，则d =．4．甲、乙、丙皆正方形，甲一个顶点在乙中心，乙一个顶点在丙中心，甲边长25cm ，丙面积264cm ，此3图形面积为2973cm ，则乙边长为cm．5．康正午看时钟，发现时针与分针重合，下次这样重合时刻是．6．检票口检票前有945人等待检票，每分钟有固定人数来检票，4口15分，8口7分，照此速，3分放完需口．7．45猴摘桃，孙不在，小1时11kg ，大1时15kg ；孙在，大小都多12kg ，一日，共摘8时，孙在2时，共摘5680kg ，共有小猴只．8．5对兄弟10人，分5组，一组2人，不和亲兄弟组，方式．9．0A B C ≠≠≠（自然数）11111611616A B C C-=+++，问：()B A C -⨯=．10．正方形ABCD ，12BE BC =，3CF DF =，AF 、DE 相交于点O ，O 为圆心，OD 、OA 为半径，大面积:小面积=．11．8箱8钥，1箱放1钥，破①②箱，取钥可开其箱，按此方打开8箱为“妙”法，“妙”法种．12．4人黄白花黑，4狗黄白花黑，1人养1狗，人都不养名字相同之狗，且①白不养花，②花不养花狗主人名相同之狗，③黄不养黑狗主人名相同之狗，④黑不养白狗主人名相同之狗．问：花养．13．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？，把这些数分为289组，每组7数，其中每组7 14．共2023个数：1,2,3,,2021,2022,2023数按从小到大排列，居中的数叫作“中位数”．问：289个中位数之和的最大值、最小值各为多少？1．83502023675【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，数字类的规律探索，对于第一空分别计算出每个括号内的结果，再计算乘法，最后计算减法即可；对于第二空先得到规律()()22221211236n n n n ++++++=，进而得到2222211161231n n n n +⎛⎫=- ⎪+++++⎝⎭，据此规律把所求式子裂项求解即可．【详解】解：()11193310.760.22 1.6610.220.7610.220.76502550⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113811193349334911115050502550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯++-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9966914950252550=⨯-⨯653444591250-=8350=；()()222212211256⨯+⨯⨯++==，()()222331*********⨯+⨯⨯+++==，()()22224412411234306⨯+⨯⨯++++==，……，以此类推可知，()()22221211236n n n n ++++++=，∴()222221611612311n n n n n n +⎛⎫==- ⎪++++++⎝⎭∴222222222222257940491212312341232024++++++++++++++ 1111116233420242025⎛⎫=-+-++- ⎪⎝⎭ 11622025⎛⎫=- ⎪⎝⎭2023675=．故答案为：8350；2023675．2．199【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，新定义，根据新定义计算出第三次的运算的结果可得规律21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，据此规律可得19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，据此可得答案．【详解】解：∵@A B AB A B =++，∴1@9191920119=⨯++=-=，∴1@9@91991992001199=⨯++=-=，∴1@9@9@919991999200011999=⨯++=-=，以此类推可知21011@9@9@9@9@9n n =⨯- 次运算，∴19919199921011211@9@9@9@9@091=⨯-+=⨯+ 次运算，∴1991@9@9@9@9@91+ 次运算结果中0的个数为199个，故答案为：199．3．4【分析】本题主要考查平均数，根据平均数乘以个数等于总数，结合个位数得和与总数相等逐位向前求解，直至求解到d 即可．【详解】解：根据题意得5个数的和为9387546935⨯=，则2345a ++++的和个位数为5，即1a =，且向十位数进1，2341b ++++的和个位数为3，即3b =，且向百位数进1，231c +++的和个位数为9，即3c =，且未向千位进数，2d +的和个位数为6，即4d =，故答案为：4．4．20【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，求出甲的面积为22525625cm ⨯=，再根据总面积为2973cm 建立方程求解即可．【详解】解：根据正方形的对称性可知，甲与乙重合的部分的面积为乙面积的四分之一，乙与丙重合部分的面积为丙面积的四分之一，∵甲边长25cm ，∴甲的面积为22525625cm ⨯=，∵此3图形面积为2973cm ，∴1197344S S S S S -++-=乙乙甲丙丙，∵丙面积264cm ，∴362564169734S ++-=乙，∴2400cm S =乙，∴乙边长为20cm ，故答案为：20．5．1时6011分钟【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，解题时经常用到分针每分钟转过的角度为6度，时针每分钟转过的角度为12度．首先我们可以推算出分针和时针下次相遇的时间为1点钟以后的时间，也就是说此时时针与分针的差距实际是360︒，那么可设经过x 分钟再次重合，根据速度、时间和路程的关系可得：162x -360x =，由此即可解决问题．【详解】解：设经过x 分钟再次重合，根据题干可得：163602x x -=，112360x =，72011x =．72011分1=时6011分钟；故答案为：1时6011分钟．6．18【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，根据4口15分，8口7分列出方程组求出x 、y 的值即可得到答案．【详解】解：设每个窗口，每分钟可以通行的旅客为x 人，每分钟固定来检票的人数为y 人，由题意得，41515945877945x y x y ⨯-=⎧⎨⨯-=⎩，解得189x y =⎧⎨=⎩，∴9453918183+⨯=⨯，∴3分放完需18口，故答案为：18．7．25【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，分别计算出小猴和大猴摘桃的数量，然后根据一共摘5680kg 列出方程求解即可．【详解】解：设小猴有x 只，则大猴有()45x -只，由题意得，()()()()()()82118215452111221512455680x x x x -⨯+-⨯-+⨯++⨯+-=，解得25x =，∴小猴有25只，故答案为：25．8．544【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分为五组，则有五组互相交换，四组互相交换，一组交换，三组互相交换，两组互相交换，共三种情况，分别讨论求出对应的结果数，然后求和即可得到答案．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，∵分为五组，∴有如下几种交换方式：1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，第一组和第二组换，第二组剩下的和第三组换，第三组剩下的和第四组换，第四则剩下的和第五组换，第五组剩下的和第一组剩下的换，此时一共有43212222384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（第一组确定，那么第二组有4种可能，第三组有3种可能，第二组有2种可能，第一组有1种可能，在每一组中又要从2个中选择1个进行交换）；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择四组互相交换，则剩下一组没有交换，不符合题意；1122334455a b a b a b a b a b ，，，，这五组中，选择三组互相交换，剩下两组互相交换，则此时有541221221602⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种（从五组里面选择两组互相交换，共有542⨯种，在选出的两组里面，一组选取1个，另一组有2种选择方式，剩下的三组中，确定一组中的一个，那么剩下的两组每一组中有2种选择，其中这两组的排列方式也有2种选择），综上所述，一共有384160544+=种不同的方式，故答案为：544．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．9．24【分析】本题主要考查了分数的四则运算，先把原式变形为1111981122A B C C+++=，再根据题意可得11C C +和111B C C++一定是一个真分数，根据13711191111A B C C++=++可得1A =，13711911B C C=++，同理求出B 、C 的值即可得到答案．【详解】解：∵11111611616A B C C-=+++，∴37111116116A B C C-=+++，∴6311617111A B C C-=+++，∴1112278131A B C C-=+++，∴1111981122A B C C+++=，∵0A B C ≠≠≠（自然数），∴1C 是一个真分数，∴11C C+一定是一个真分数，∴111B C C++一定是一个真分数，∵13711191111A B C C++=++，∴1A =，13711911B C C =++，∴11165137B C C=+++，∴165137B C C==+，，∴111166C C=++，∴6C =，∴()()51624B A C -⨯=-⨯=，故答案为：24．10．494【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，扇形面积，延长DE 、AB 交于M ，根据正方形的性质和12BE BC =，3CF DF =，可得18OD DF OM AM ==，最后根据22S OE S OD =大小求解即可．【详解】解：延长DE 、AB 交于M ，∵正方形ABCD ，∴AB BC CD ==，AB CD ∥，∴M MDC ∠=∠，MBE C ∠=∠，∴AOM DOF ∽，∴OD DFOM AM=，设4AB BC CD x ===，∵12BE BC =，3CF DF =，∴122BE EC BC x ===，DF x =，∴DEC MEB ≌，∴4BM CD x ==，EM DE =∴8AM AB BM x =+=，∴188OD DF x OM AM x ===，∴8OM OD =，∴()119222DE DM OD OM OD ==+=，∴72OE DE OD OD =-=，∵2360AOE OE S π∠⋅=︒大，2360DOF OD S π∠⋅=︒小，DOF AOE ∠=∠，∴222274924OD S OE S OD OD ⎛⎫ ⎪⎝⎭===大小，故答案为：494．11．1348688【分析】设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，k a 与k b 都不同组的组合数，分别求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值，根据题意可得这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，据此求解即可．【详解】解：设()f n 表示123n a a a a ，，，，与123n b b b b ，，，，，对于任意的()1k k n ≤≤，ka 与kb 都不同组的组合数，当1n =时，()10f =，当2n =时，1122a b a b ，这两组只能交换如下：1212a a b b ，和1212a b b a ，，则()22f =，当3n =时，112233a b a b a b ，，这三组中，只有三组循环交换时才能满足题意（两组互相交换，那么剩下一组没有交换），则此时有2228⨯⨯=种，∴()()()()()12333332312211218f f f C C C =⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-=种，当4n =时，只存在四组循环交换或者两两互相交换这两种情况（两两中有一半的情况与四组循环交换重复），则此时有43321222222602⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯÷=（种），∴()()()()()()()()123444444241231231221132160f f f f C C C C =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=种，……，以此类推可知，()()()()()12345555555975314321544f f f f f C C C C C =⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()12345666666661197531543216040f f f f f f C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，()()()()()()()1234567777777771311975316543217900f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=，∴()()()()()()()12345678888888815131197531765432f f f f f f f C C C C C C C =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-2027025632064169120304644200448561=-------1190672=，∵破①②箱，取钥可开其箱，∴编号为①②的箱子中不能同时拥有与其编号相同的钥匙，∴这8个箱子里面的钥匙编号与其箱子的编号都不同或者编号为③④⑤⑥⑦⑧的箱子中的钥匙的编号与箱子编号不相同，①和②号箱子中有1个箱子的编号与其内的钥匙编号相同，∴“妙”法共有()()82711906722790081348688f f +⨯=+⨯=种，故答案为；1348688．【点睛】本题主要考查了排列与组合问题，通过求出()()()()1234f f f f ，，，的值，进而得到规律求出()()()()5678f f f f ，，，的值是解题的关键．12．白【分析】本题主要考查了逻辑推理，根据题意可知白白养的狗只能叫黄黄或黑黑，分别假设花花养的狗叫黑黑和黄黄，则白白养的狗叫黄黄和黑黑，再假设出黄黄养的狗，得到黑黑养的狗，看推出的结果是否与题干矛盾即可得到答案．【详解】解：由题意得，白白养的狗不能叫白白，也不能叫花花，则白白养的狗只能叫黄黄或黑黑；花花养的狗不能叫花花，假设花花养的狗叫黑黑，则白白养的狗叫黄黄，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；假设花花养的狗叫黄黄，则白白养的狗叫黑黑，则黄黄和黑黑养的狗是花花，白白，假设黄黄养的狗叫白白，则黑黑养的狗叫花花，这与②矛盾，不符合题意；假设黄黄养的狗叫花花，则黑黑养的狗叫白白，这与③矛盾，不符合题意；∴可知花花养的狗只能是白白，故答案为：白．13．摩托车走完全程要216分钟．【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，则2V t V t S V t V t S +=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，据此可得2V V V =+乙甲丙，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们推出()13023V t V t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，可得90t =；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B 得到()()130262V t V t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，则2V V =甲乙，进而可得25V V V V =+=乙乙甲丙，270S V t V t V =+=乙乙甲，据此求出摩托车需要的时间即可．【详解】解：设A 、B 两地的距离为S ，按照原速同时出发时，t 分钟甲乙两人相遇，由题意得，2V t V t S V t V t S+=⎧⎨+=⎩甲乙乙丙，∴2V V V =+乙甲丙；∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A 路上碰到他们，∴()13023V t t S V t V t S ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩甲乙甲丙，∴()33302V t V t V t V t +-=+甲乙甲丙，∴()333022V t V t V t V t V t +-=++甲乙甲乙甲，∴90t =；∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B ，∴()()130262V t t S V t S ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩甲乙丙，∴()()()23026V t V t V V t ++=++甲乙乙甲，∴180********V V V V +=+乙乙甲甲，∴2V V =甲乙，∴25V V V V =+=乙乙甲丙，∴270S V t V t V =+=乙乙甲，∴270545S V V V ==乙乙丙，∴454216⨯=分钟答：摩托车走完全程要216分钟．14．289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．【分析】本题考查中位数的求法：给定n 个数据，按从小到大排序，如果n 为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．根据题意要求和的最大值，则按从大到小的顺序排列后，将2023，2022，2021，2020排在一起，2020作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可，根据题意要求和的最小值，则按从小到大的顺序排列后，将1，2，3，4排在一起，4作为中位数，依次得到其他的中位数，相加即可．【详解】解：根据题意得：满足和的最大值的中位数分别为：2020，2016，2012，2008，2004，2000，L ，876，872，868，所以这289个中位数的和的最大值是：289(2020868)2020201620128788728684173162⨯+++++++== ，满足和的最小值的中位数分别为：4，8，12，L ，1148，1152，1156，所以这289个中位数的和的最小值是：289(41156)48121148115211561676202⨯+++++++== ，289个中位数之和的最大值、最小值各为417316，167620．。

福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（）AB ．CD ．2．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )A ．90%B ．95%C ．97．5%D ．99．5%3．在四棱锥S ABCD -中，若SA xSB ySC zSD =++u u r u u r u u u r u u u r，则实数组(),,x y z 可能为（）A ．()1,1,1-B ．()1,0,1-C ．()1,1,0-D ．()1,1,1--4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A ．47CB ．48CC ．49C D ．49A7．已知函数()f x 在R 上可导，且()()f x f x '<，若()()1e 1af f a ->成立，则a 的取值范围是（） A ．(),1-∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()e,+∞8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，A 是C 的右顶点，点P 在过点F 且斜率为22π3OAP ∠=且线段OP 的垂直平分线经过点A ，则C 的离心率为（）AB 1C D二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（参考：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.5P X >>B ．( 1.9)0.2P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．已知抛物线22x py =（0p >）的焦点为F ，过点Fl 与该抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点（其中1>0x ），则下面说法正确的是（）A ．若2p =，则124x x =-B ．若121y y =，则2p =C ．若2p =，则OMN S =V D ．若2p =，则8MF =+11．设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．在二项式7x ⎛- ⎝的展开式中x 的系数为．13．已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线也是曲线()y g x =的切线．则a 的值是14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．若1ON DN ==，3MN =，4AB =，则 MA 的最小值为．四、解答题15．已知各项均为正数的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，248a a ⋅=，515S =； (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE ∥平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .17．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 均在x 轴上，离心率等于45，面积为15π.(1)求C 的标准方程；(2)若()0,1Q ，过点()0,5P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，求QAB V 面积的最大值.18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.其中()ln 2012i i t x =-，1110i i t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在 0,+∞ 上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。

福建省福州第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案解析)

福建省福州第一中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列运算中，正确的是（）A ．623x x x ÷=B ．()2236x x -=C ．3232x x x-=D ．327()x x x ⋅=3．已知点M 与点()1,3N 关于x 轴对称，那么点M 的坐标为（）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()1,3-D ．()1,3--4．若一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则该多边形的边数为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图所示，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ≌的是（）A ．BCA DCA ∠=∠B ．BAC DAC ∠=∠C ．CB CD=D ．90B D ∠=∠=︒6．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（）A ．()()243223a a a a a-+=+-+B ．()()225310a a a a +-=--C ．()228164x x x -+=-D ．()222x y x y -=-7．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（）A ．三条中线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点A．3B．2二、填空题14．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为三、计算题四、证明题18．如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AB CD =，EC FD =，ECA D ∠=∠．求证：AE BF =．五、计算题六、作图题20．如图，在平面直角坐标系中，有一个以格点为顶点的ABC ．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在y 轴上求作点P ，使AP BP +的值最小，并直接写出APB ∠的值．21．如图，在ABC 中，点P 为AB 边上一点．(1)尺规作图：请在AC 上求作一点D ，使得PD BC （保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，AB AC =，60A ∠=︒，求证：APD △是等边三角形．七、问答题22．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“完全平方公式”时，教材通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：()2222a b a ab b +=++（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图2可得等式：____________；由图3可得等式：____________；(2)利用图3得到的结论，若15a b c ++=，35ab bc ac ++=，求222a b c ++．23．已知：如图1，在四边形ABCD 中，BCD BAD ∠=∠，180ABC ADC ∠+∠=︒．(1)求BCD ∠的度数；(2)如图2，点G 在四边形ABCD 下方，AG 交BC 于点E ，DG 交AC BC 、于点H 、F ，G ACD ∠=∠，AG AC =，若:9:4GD DC =，12ADC S = ，求AGD S ．八、计算题24．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：例2：“三一分组”：ax ay bx by +++；2221xy x y +-+解：原式()()ax ay bx by =+++解：原式2221x xy y =++-()()a x y b x y =+++()21x y =+-()()a b x y =++．()()11x y x y =+++-．归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：(1)①填空：255x xy x y-+-解：原式()()255x xy x y =-+-()()______5______x =+＝____________②因式分解：2221x x y -+-；(2)已知()()222023a b c b a c +=+=，且a b ¹，求abc 的值．九、证明题25．如图，在平面直角坐标系中，()0,3A ，()3,0B ，连接AB ，设(),0P a ，且0a ≥，以AP 为腰作等腰三角形PAQ ，90PAQ ∠=︒．(1)①当0a =时，点Q 的坐标为______；②当0<<3a 时，求点Q 的坐标（用含a 的式子表示）；(2)当0a >且3a ≠时，过点Q 作QF AQ ⊥交y 轴于点F ，过P 作PD AP ⊥交AB 于点D ，连接DF ．则当点P 在运动过程中时，线段DF QF DP 、、会有怎样的数量关系？请说明理由．参考答案：1．D【分析】利用轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选D ．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．D【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方及合并同类项法则计算．【详解】A 、错误，应为x 6÷x 2=x 6-2=x 4；B 、错误，应为（-3x ）2=9x 2；C 、错误，3x 3与2x 2不是同类项，不能合并；D 、（x 3）2•x=x 6•x=x 7，正确．故选：D ．【点睛】此题考查同底数幂的乘法、除法，幂的乘方、积的乘方，解题关键在于掌握幂的运算的法则，把同底数幂的除法，指数相除．3．A【分析】运用关于x 轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解题即可.【详解】解：点M 与点()1,3N 关于x 轴对称，∴点M 的坐标为()1,3-，故选：A.【点睛】本题考查平面直角坐标系点的对称，掌握对称变换的特点是解题的关键.4．C【分析】根据多边形内外角和定理列式求解即可得到答案．【详解】解：设多边形是n 边，由题意可得，(2)180 1.5360n -︒=⨯︒，解得：5n =，故选：C ；【点睛】本题主要考查多边形的内外角和定理，解题的关键是熟练掌握n 边形的内角和是(2)180n -︒，外角和是360︒．5．A【分析】本题要判定ABC ADC ≌，已知AB AD AC =，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加90CB CD BAC DAC B D =∠=∠∠=∠=︒、、后可分别根据SSS SAS HL 、、能判定ABC ADC ≌，而添加BCA DCA ∠=∠后则不能．【详解】A 、添加BCA DCA ∠=∠时，不能判定ABC ADC ≌，故A 选项符合题意；B 、添加BAC DAC ∠=∠，根据SAS ，能判定ABC ADC ≌，故B 选项不符合题意；C 、添加CB CD =，根据SSS ，能判定ABC ADC ≌，故C 选项不符合题意；D 、添加90B D ∠=∠=︒，根据HL ，能判定ABC ADC ≌，故D 选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理．判定三角形全等的方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．6．C【分析】根据因式分解的定义及公式法分解因式逐一判断即可求解．【详解】解：A 、()()243223a a a a a -+=+-+不是因式分解，故不符合题意；B 、()()225310a a a a +-=--不是因式分解，故不符合题意；C 、()228164x x x -+=-是因式分解，故符合题意；D 、22()()x y x y x y -=+-，则因式分解错误，故不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义及公式法分解因式是解题的关键．7．B【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．【详解】解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，【点睛】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义，本题属于基础题型．12．20【分析】分4为腰与8为腰两种情况考虑，利用三角形三边关系即可求解．【详解】解：当4为腰长时，448+=，不符合构成三角形的条件，不合题意；当8为腰长时，884+>，满足构成三角形的条件，则其周长为：88420++=；故答案为：20．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意验证三边是否满足任两边的和大于第三边．13．10【分析】根据DE AB ⊥，D 是AB 的中点得到BE AE =，结合8BC =，BEC 的周长是18即可得到AC 的长度即可得到答案；【详解】解：∵DE AB ⊥，D 是AB 的中点，∴BE AE =，∵8BC =，BEC 的周长是18，∴18810BE CE AE CE AC +=+==-=，∵AB AC =，∴10AB =，故答案为：10；【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．14．120︒/120度【分析】根据等边三角形三线合一，结合等边三角形三个内角都是60︒得到两条中线与公共边组成角的角度，结合三角形内角和定理求解即可得到答案．【详解】解：由题意可得，如图所示，点(2,4)A 关于y 轴对称的点的坐标为：1(2,4)A -，同理可得：1(1,1)B -，1(3,2)C -，依次连接，如图所示，111A B C △即为所求：（2）连接1A B 交y 轴于p ，如图：y 轴是线段1AA 的垂直平分线，1A P AP \=，11AP BP A P BP A B ∴+=+=，则此时AP BP +有最小值，∴点P 即为所求，根据勾股定理得：22228AP =´=，22212BP =´=，2221310AB =+=，222AP BP AB ∴+=，APB ∴ 是直角三角形，90APB ∴∠=︒．【点睛】本题考查了作图——轴对称图形、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形的性质及垂直平分线的性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用利用同位角相等两条直线平行作APD ABC ∠=∠，则PD 即为所求；（2）利用等边对等角得到60A C ∠=∠=︒，利用平行线得到60ADP C ∠=∠=︒，再根据三角形的内角和得到60APD ∠=︒，即可得到结论．【详解】（1）)如图所示:利用同位角相等两条直线平行作,APD ABC ∠=∠则PD 即为所求.（2）,AB BC = 60A C ∴∠=∠=︒，∵,PD BC 60ADP C ∴∠=∠=︒，∴180180606060APD ADP A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，60A ADP APD ∴∠=∠=∠=︒，APD ∴ 为等边三角形.【点睛】本题考查平行线的作图，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．22．(1)232a ab b ++，222222a b c ab ac bc +++++；(2)155【分析】（1）根据面积公式求大矩形面积和各小图形面积列等式即可得到答案；（2）根据（1）的式子代入求解即可得到答案；,AM DG AN DC ⊥⊥ ，90AMG N ∴∠=∠=︒，AG AC = ，G ACD∠=∠()AAS AGM ACN ∴ ≌，AM AN ∴=，12ACD S CD AM =⋅ ，12ADG S DG = 142192ACD ADG CD AM S CD S DG DG AN ⋅∴===⋅ ，∵12ADC S = ，∴99122744ADG ACD S S ==⨯= ．解：①原式()()255x xy x y =-+-()()5x x y x y =-+-()(5)x y x =-+；②原式22(21)x x y =-+-22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+---；（2）解：∵()()222023a b c b a c +=+=，∴()()220a b c b a c +-+=，∴()()0a b ab bc ac -++=，∵a b ¹，∴0ab bc ac ++=，即：ab bc ac +=-，∴()23(202)b c b a ab bc ab c +==-=+，∴2023abc =-；【点睛】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组．25．(1)①()33-，②()33a --，(2)FQ PD DF =+，理由见解析【分析】（1）①根据390AQ AP QAP ==∠=︒，，点Q 在第二象限，写出点Q 的坐标；②过点Q 作QM OA ⊥于点A ，则有QMA AOP ≌，求出点Q 的坐标；（2）在FQ 上截取QE PD =，连接AE ，则有AQE APD ≌，即可得到AE AD =，QAE PAD ∠=∠，然后证明AFE AFD ≌，可以得到结论．【详解】（1）①当0a =时，点P 在原点O 处，如图，390AQ AP QAP ==∠=︒，，又∵点Q 在第二象限，∴点Q 的坐标为()33-，，故答案为：()33-，；②过点Q 作QM OA ⊥于点A ，∴90PAQ QMA AOP ∠=∠=∠=︒，∴90QAO OAP MQA QAO ∠+∠=∠+∠=︒，∴OAP MQA ∠=∠，又∵AQ AP =，∴QMA AOP ≌，∴3QM OA ==，AM OP a ==，∴3OM OA AM a =-=-，∴点Q 的坐标为()33a --，；（2）FQ PD DF =+，理由为：答案第15页，共15页在FQ 上截取QE PD =，连接AE ，∵QF AQ ⊥，PD AP ⊥，∴90AQF APD ∠=∠=︒，又∵AP AQ =，∴AQE APD ≌，∴AE AD =，QAE PAD ∠=∠，∵90DAE QAE PAE PAE PAD PAQ ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴45DAF EAF ∠=︒=∠，又∵AF AF =，∴AFE AFD ≌，∴FE FD =，∴FQ PD DF =+．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。

福建省福州市第一中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题(含答案解析)

福建省福州市第一中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A ．13x -<<B ．3x >C ．1x <-D ．3x >或1x <-6．如图，在ABC 中，65ABC ∠=︒，BC AC >，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，C 的对应点为E ．则下列结论一定正确的是（）A ．AB AD =B ．AC DE =C ．65CAE ∠=︒D ．ABC AED∠=∠7．抛物线y ＝ax 2﹣2ax+4(a ＞0)，下列判断正确的是()A ．当x ＞2时，y 随x 的增大而增大B ．当x ＜2时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大8．如图，ABC 中，50A ∠=︒，以BC 为直径作O ，分别交AB 、AC 于D 、E 两点，分别过D 、E 两点作O 的切线，两条切线交于P 点，则P ∠=（）A ．70︒B ．80︒C ．90︒D ．100︒9．某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x （单位：元）之间的函数关系式是（）A ．20010y x=-B ．()()200108060y x x =---C ．()()200108060y x x =+--D ．()()200108060y x x =--+10．已知抛物线223y x ax a -=-与x 轴有两个交点，其中一个交点的横坐标大于1，另二、填空题15．若m ，n 为一元二次方程16．如图，等边ABC 线段BM 点B 逆时针旋转的最小值是三、解答题17．解方程：23720x x -+=．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若0x =是方程的一个根，求方程的另一个根．19．受各方面因素的影响，最近两年来某地平均房价由10000元/平方米，下降到8100元/平方米，如果在这两年里，年平均下降率相同．（1）求年平均下降率；（2）按照这个年平均下降率，预计下一年房价每平方米多少元？四、证明题20．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且AC 平分BAD ∠．(1)求证：直线MN 是O 的切线；(2)若4=AD ，5AC =，求O 的半径．五、作图题21．如图，在88⨯的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）有一个ABC ，其顶点均在小正方形顶点上，请按要求画出图形．(1)将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDE （点A 、B 的对应点分别为D 、E ），画出CDE ；(2)在正方形网格的格点上找一点F ，连接BF FE BE 、、，使得FBE 的面积等于BCE 的面积．（画出一种情况即可）六、解答题22．某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB 为8米．AB 上的点E 到点A 的距离1AE =米，点E 到拱桥顶(1)求该抛物线所对应的函数表达式．(2)求拱桥顶面离水面AB 的最大高度．(1)判断ABC 的形状，并证明你的结论．(2)若57PB PC ==，，求PA 的长24．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理，如图，已知 AB ，作图过程．(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）①作线段AC 的垂直平分线DE ②以点D 为圆心，DA 长为半径作弧，交参考答案：()2y a x h k =-+中，对称轴为x h =，顶点坐标为(),h k ．4．D【分析】此题考查切线的性质，直角三角形30︒角的性质，解题中遇切线，有交点要连半径得垂直，无交点要作垂直证半径，直角三角形30︒所对的直角边等于斜边的一半，正确理解性质定理并应用是解题的关键．【详解】解：连接OC ，∵PC 是O 的切线，∴90OCP ∠=︒，∵OA OC =，∴30OAC OCA ∠=∠=︒，∴60COP OAC OCA ∠=∠+∠=︒，∴30P ∠=︒，∴210OP OC ==∴1055BP OP OB =-=-=，故选：D ．5．A【详解】由图象可以看出：二次函数与x 轴的两个交点()()1,0,3,0.-0y <时，图象在x 轴的下方,此时13x -<<.故选：A.6．A【分析】由旋转可知ABC ADE △≌△，由全等的性质可知AB AD =，故选项A 正确；由全等可知BC DE =，结合BC AC >，可得DE AC >，故选项B 不正确；根据等边对等角可知65ABC ADB ∠=∠=︒，所以18050BAD ABC ADB ∠=︒-∠-∠=︒，由全等可知BAC DAE ∠=∠，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小；故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．D【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和三角形的内角和定理以及四边形的内角为360︒，解题的关键是连接圆心和切点得到90︒的角和挖掘出隐藏条件圆的半径处处相等．连接OD，OE，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和三角形的内角和定理以∠的度数．及四边形的内角和即可求出P【详解】解：连接OD，OE，，PD是圆的切线，PE⊥，∴⊥，OE PEOD PD∠=∠=︒，PDO PEO90P∴∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠，360909051805，=OD OB∴∠=∠，12∠∠，同理：3=4∠=︒，A50∴∠+∠=︒-∠=︒，A24180130()∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠=︒，5180180[360224]80DOB EOC∴∠=︒-︒=︒．P18080100故选：D．9．DOA OC = ，OAC OCA ∴∠=∠，∵AC 平分BAD ∠，CAB DAC ∴∠=∠，DAC OCA ∴∠=∠，∥OC AD ∴，∵OCN ADC ∠∠=，(1)(2)【分析】本题考查了作图：旋转变换，三角形的面积问题．()1根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形；()2三角形面积相等时，本题要充分利用等底等高的三角形面积相等这一性质即可构造．【详解】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点D、E即可，如下图：（2）平移BE使它过点C，则可得到格点F，顺次连接B、E、F可得FBE．如下图：∴AMP ANB ∠=∠，∵APB APC PA PA ∠=∠=，，∴()AAS PAN PAM ≌，∴AM AN PN PM ==，，∵AB AC =，∴()Rt Rt HL ABN ACM ≌△△，∴CM BN =，∴5PM PB BN PB CM =+=+=∵7PM PC CM CM =-=-，。

福建省福州第一中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷

福建省福州第一中学2024-2025学年七年级上学期期中考试数学试卷一、单选题1．有理数2024的相反数是（）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024-2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（）A ．B ．C ．D ．3．“天问一号”在经历了7个月的“奔火”之旅和3个月的“环火”探测，完成了长达5亿千米的行程，登陆器“祝融”号火星车于2021年5月15日7时18分从火星发来“短信”，标志着我国首次火星登陆任务圆满成功，请将5亿这个数用科学记数法表示为（）A ．7510⨯B ．8510⨯C ．9510⨯D ．10510⨯4．下列单项式中，23a b 的同类项是（）A ．322a b B ．233a b -C ．23x y D ．3ab 5．代数式3(3)y -的正确含义是（）A ．3乘y 减3B ．y 的3倍减去3C ．y 与3的差的3倍D ．3与y 的积减去36．用四舍五入按要求对0.04018分别取近似数，其中正确的是()．A ．0.4（精确到0.1）B ．0.040（精确到百分位）C ．0.040（精确到0.001）D ．0.0402（精确千分位）7．下列说法正确的是（）A ．32a b 的次数是3B ．25ab -的系数是5-C ．21a b +-的各项分别为2a ，b ，1D ．多项式234x -是二次三项式8．下列说法：（1）立方等于本身的数是0和1及1-；（2）a -一定是负数；（3）一个有理数不是正数就是负数；（4）一个数的绝对值一定是非负数，其中正确的有（）A ．（1）（2）B ．（1）（2）（3）C ．（1）（4）D ．（2）（4）9．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A ．4a >-B ．0bd >C ．0b c +>D ．a b>10．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从1这点开始跳，则经过2024次跳跃后它所停在的点对应的数为（）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题11．比较大小：1-3-．12．三角形的面积为6，底边长为a ，底边上的高为h ，则用式子表示a 与h 之间的关系是．13．数轴上表示数a 和4a +的点到原点的距离相等，则a 为14．某地居民生活用水收费标准为：每月用水量不超过17立方米，每立方米a 元；超过部分每立方米()1.2a +元，该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为元．15．若1x =，5y =，327=-z ，且0yz >，则x y z -+=16．若关于x 的多项式4332531x ax x x bx x -+-+--不存在含x 的一次项和三次项，则a b +=17．历史上数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示，把x 等于某数a 时的多项式的值用()f a 来表示.例如，对于多项式()35f x mx nx =++，当2x =时，多项式的值为()2825f m n =++，若()26f =，则()2f -的值为.18．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献，在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的数是6728，“”表示的数是6708，若已知一个用这种方式表示的四位数中含有“|”、“”和两个空位，则这个四位数是．三、解答题19．计算：(1)71753434-++-(2)37116482⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭(3)()()1018245-+÷-+⨯-(4)22323223⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦20．计算：(1)22363421x x x x +++--(2)()()22521432a a a +--+21．先化简，再求值：()()222222263xy x y x y xy x y ---+，其中2x =，1y =-．22．画出数轴，在数轴上表示下列各数：()22-，12，21-，3--，并用“<”连接各数．23．已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 是绝对值最小的数，求433ma b bcd cd++-的值．24．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，其中c a b <<，化简：2a a b c a +---．25．已知：232125A a ab a =-+-，2257B a ab =-+-．(1)求()532A A B --的值；(2)若A B +的值与a 的取值无关，求b 的值．26．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，使得很多农产品也改变了原来的销售模式，实行网上销售．刚大学毕业正在创业的李勇把自家花椒也放到了网上销售，他原计划每天卖100斤的花椒，但由于受各种原因的影响，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）：星期一二三四五六日与计划量的差值+54-6-+159-22+7-(1)根据记录的数据可知前三天共卖出______斤；(2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤；(3)本周实际销售量达到了计划数量没有？(4)若按每斤25元出售．花椒的种植成本为每斤15元，销售时每斤花椒的运费平均4元，那么李勇本周一共盈利多少元？27．如图，在数轴上，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，点C 表示的数为17，且a ，b 满足()210110a b ++-=．动点P 从点A 出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q 从点C 出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t 秒．(1)a =______，b =______；(2)当t 为何值时，P 、Q 两点相遇？相遇点M 对应的数是多少？28．由两块a b ⨯的长方形和一块边长为c 的正方形拼成如下图案书加下图形（1）如图1，用含a 、b 、c 的式子表示出该图形的面积（直接写出结果）图1（2）已知1b =，3c =．①如图2，分别用两种不同的方式连接图形中的二个顶点，得到如图所示的两个阴影三角形，这两个阴影三角形的面积分别记作1S 和2S ，试通过计算比较1S 与2S 的大小关系；图2②如图3，Р是边长为c 的正方形四条边上的一个动点，M 、N 是图形上如图中所示的两个顶点，则三角形PMN 面积的最大值为____________；三角形PMN 面积的最小值为_________（用含a 的式子表示）图329．给定一个十进制下的自然数x ，对于x 每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x 的“模二数”，记为()2M x ．如()2735111M =，()2561101M =．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．1111011100+根据以上材料，解决下列问题：(1)()29653M 的值为______，()()22589653M M +的值为______；(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”，如()2124100M =，()2630010M =，因为()()22124630110M M +=，()2124630110M +=，所以()()()222124*********M M M +=+，即124与630满足“模二相加不变”，①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；②与23“模二相加不变”的两位数有______个．30．在同一直线上的三点A ，B ，C ，若满足点C 到另两个点A ，B 的距离之比是2，则称点C 是其余两点的亮点（或暗点）．具体地，当点C 在线段AB 上时，若CACB＝2，则称点C 是[A ，B ]的亮点；若CB CA ＝2，则称点C 是[B ，A ]的亮点；当C 在线段AB 的延长线上时，若CACB＝2，称点C 是[A ，B ]的暗点．例如，如图1，数轴上点A ，B ，C ，D 分别表示数﹣1，2，1，0．则点C 是[A ，B ]的亮点，又是[A ，D ]的暗点；点D 是[B ，A ]的亮点，又是[B ，C ]的暗点（1）如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为﹣2，点N 所表示的数为4．[M ，N ]的亮点表示的数是，[N ，M ]的亮点表示的数是；[M ，N ]的暗点表示的数是，[N ，M ]的暗点表示的数是；（2）如图3，数轴上点A 所表示的数为﹣20，点B 所表示的数为40．一只电子蚂蚁P 从B 出发以2个单位每秒的速度向左运动，设运动时间为t 秒．①求当t 为何值时，P 是[B ，A ]的暗点；②求当t 为何值时，P ，A 和B 三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．。

2024-2025学年福州市一中高一数学上学期10月考试卷及答案解析

2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=，则集合B =（）A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ，即可求出结果【详解】(0,4]A B = ，(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选：C2. 某城新冠疫情封城前，某商品的市场需求量y 1（万件），市场供应量y 2（万件）与市场价格x （百元/件）分别近似地满足下列关系：150y x =-+，2210y x =-，当12y y =时的需求量称为平衡需求量，解封后，政府为尽快恢复经济，刺激消费，若要使平衡需求量增加6万件，政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是（）A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量，可计算出解封后的需求量，利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=，平衡需求量为30，平衡价格为20，解封后若要使平衡需求量增加6万件，则11365014x x =-+⇒=，223621023x x =-⇒=，则补贴金额为23149-=.故选：C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（）A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析：[]x 表示不超过x 最大整数，表示向下取整，带特殊值逐一排除．详解：设 1.5x =，[]1x =， 1.5x =1.5=，10.5x -=，排除A 、B ，设 1.5x =-，[]2x =-， 1.5x -=，排除C ．故选D点睛：比较大小，采用特殊值法是常见方法之一．4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数(())y f f x =的零点所在区间为（）A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，根据()f x 为增函数，且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点，根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时，()430x f x =+>，()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解，此时，(())y f f x =无零点；当0x >时，293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数，且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==，得3()2log 93x f x x =+-=，即32log 120x x +-=，令3()2log 12x g x x =+-，则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点，因为()3332log 31230g =+-=-<，72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->，所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间，考查了根据的解析式判断函数的单调性，属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()1f 是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为（）A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >，求得()f x 的范围；再求得||()2x a f x -=的单调性，讨论1a <，1a …时函数()f x 在1x …的最小值，即可得到所求范围．【详解】解：函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若1x >，可得()12f x x =+>，由()1f 是()f x 的最小值，由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增，在x a <单调递减，若1a <，1x …，则()f x 在x a =处取得最小值，不符题意；若1a …，1x …，则()f x 在1x =处取得最小值，且122a -…，解得12a ……，综上可得a 的范围是[1，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．6. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=，()11f -=，则（）A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==，则得(0)2f =，再令0x =即可得到奇偶性，再令1y =-则得到其周期性，最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==，得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =，当 (0)0f = 时，令0y =得 ()0f x = 不合题意，故 (0)2f =，所以 A 错误；令 0x = 得 ()()f y f y =-，且()f x 的定义域为R ，故 ()f x 为偶函数，所以B 错误；令 1y =-，得 (1)(1)()f x f x f x -++=，所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+，所以 (2)(1)f x f x +=--，则(3)()f x f x +=-，则()(6)(3)f x f x f x +=-+=，所以 ()f x 的周期为 6 ，所以 D 错误；令 1x y ==，得 2(2)(0)(1)f f f +=，因为()()111f f -==所以 (2)1f =-，所以 ()(8)21f f ==-，故C 正确.故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=，，()g x 关于4x =对称，()48g =，则()1812m f m =∑的值为（）A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①， ()()88g x f x --=②，对于②式有：()()88g x f x +-=③，由①+③有：()()8412g x g x ++-=，即()()1212g x g x +-=④，又()g x 关于4x =对称，所以()()8g x g x =-⑤，由④⑤有：()()81212g x g x -+-=，即()()81212g x g x +++=，()()4812g x g x +++=，两式相减得：()()1240g x g x +-+=，即()()124g x g x +=+，即()()8g x g x +=，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()g x 的周期为8，又()48g =，所以()()()412208g g g ==== ，由④式()()1212g x g x +-=有：()66g =，.所以()()()614226g g g ==== ，由()48g =，()()1212g x g x +-=有：()84g =，所以()()()816244g g g ==== ，由⑤式()()8g x g x =-有：()()266g g ==，又()()8g x g x +=，所以()()1026g g ==，由②式()()88g x f x --=有：()()88f x g x =+-，所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-，故A ，B ，D 错误.故选：C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>，若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >，()20f x >，则a 的取值范围是（）A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>，得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知，满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数，即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示：由图象可知，由于()()()22422y a x a a x =-+-=--，该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点，则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩，即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩，解得2lg 3a ≤-，又0a >，所以，02lg 3a <≤-，因此，实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系，考查数形结合思想的应用，属于难题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9. 下列命题正确的是（）A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x '，则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件，由全称命题的否定是∀→∃，否定结论，即可知正确的选项.【详解】A 选项中，211a a >⇒>，但211a a >⇒>或1a <-，故A 正确；B 选项中，当0M N >>时有lgM lgN >，而lgM lgN >必有0M N >>，故B 正确；C 选项中，否定命题为“x R ∃∈，使得210x +≥”，故C 错误；D 选项中，0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值，而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=，故D 错误；故选：AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定，属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ，且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，(2)1f =-，则（）A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0，对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ，令2,0x y ==,可得(0)1f =；对于B ，令0,x y x ==，可得()()f x f x =-，即可判断；对于C ，令1x y ==得f (1)=0，再令1,x y x ==即可判断；对于D ，根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A ，令2,0x y ==，则()()()22220f f f =⋅，因为(2)1f =-，所以()220f -=-，则(0)1f =，故A 错误；对于B ，令0,x y x ==，则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==，则()()f x f x =-，故B 正确；对于C ，令1x y ==得，()()()220210f f f +==，所以f (1)=0，令1,x y x ==得，(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==，则()f x 的图象关于点(1)0，对称，故C 正确；对于D ，由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--，又()()f x f x =-，所以()()2f x f x -=--，则()()2f x f x =-+，()()24f x f x +=-+，所以()()4f x f x =+，则函数()f x 的周期为4，又f (1)=0，(2)1f =-，则()()()3310f f f =-==，()()401f f ==，则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑，故D 正确，故选：BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x R ∈，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-x f x ，给出下列结论，其中正确的是（）A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+，赋值2x =-，可得(4)()f x f x +=，故A 正确；进而可得(4,0)是对称中心，故B 正确；作出函数图象，可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.故选：AB【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数，由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.故答案为：-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-．故答案为：1-.14. 设m 为实数，若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭，，，则m 的取值范围是．【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题：本题共5小题，共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）求f （－2）与f （2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ．因为2＞0，所以f （2）＝ ② ．（2）因为x≤0时，有f(x)＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ ．又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且 ④ ，所以f(x)在（0，＋∞）上最大值为1．综上，f(x)的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①A ．（－2）＋3＝1 B ．2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2＋3＝5 B ．22220-+⨯=③A.3B.0④A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0的⑤ A.1 B.3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ．【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3．又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…，而且()11f =，所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1．综上，()f x 的最大值为3．16. 如图，某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为ABC V ，花园为矩形DEFG ．根据规划需要，花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上，边DG 在三角形的直角边AC 上，顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍．（1）设花园的面积为S （单位：2m ），AD 的长为x （单位：m ），写出S 关于x 的函数解析式；（2）当AD 的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）()()2303,010S x x x =-<<（2）当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .【解析】【分析】（1）根据矩形面积即可求解，（2）根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==，302303GD x x x =--=-，所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3303x x =-，即5x =时等号成立，故当AD 的长为5m 时，花园的面积最大，最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：0x ≥时，21()21x x f x -=+.（1）求()f x 的表达式；（2）若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）21()21x x f x -=+ （2）(]4,0-【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式，即可得到结果；（2）根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增，然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数，化简不等式，求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <，则0x ->，因为0x ≥时，21()21x x f x -=+，所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时，21()21x x f x -=+综上，()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由（1）可知，212()12121x x x f x -==-++，设在R 上任取两个自变量12,x x ，令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <，则12220x x -<，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--，由()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+，由函数()f x 在R 上单调递增，可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立，当0a =时，即40-<，满足；当0a ≠时，即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a -<<综上，a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥，且ab cd ≥．（1）请给出,,,a b c d 的一组值，使得2()a b c d ++≥成立；（2）证明不等式a b c d ++≥恒成立．【答案】（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一组符合条件的值即可；（2）由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:（1）2,1,1,1a b c d ====-（答案不唯一）（2）证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S ∈，或者x y S +∈，或者x y S -∈，则称S 为一个好集合．以下记S 为S 的元素个数．（1）给出所有的元素均小于3的好集合．（给出结论即可）（2）求出所有满足4S =的好集合．（同时说明理由）（3）若好集合S 满足2019S =，求证：S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【答案】（1）{0}，{0,1}，{0,2}，{0,1,2}．（2）{0,,,}b c b c +；证明见解析．（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据好集合的定义列举即可得到结果；（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，由0S ∈知0a =；由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=，分别讨论两种情况可的结果；（3）记1009n =，则21S n =+，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤，从而得到22n M x nm ==，从而得到S ，可知存在元素m 满足题意.【详解】（1）{}0，{}0,1，{}0,2，{}0,1,2．（2）设{},,,S a b c d =，其中a b c d <<<，则由题意：d d S +∉，故0S ∈，即0a =，考虑,c d ，可知：0d c S <-∈，d c c ∴-=或d c b -=，若d c c -=，则考虑,b c ，2c b c c d <+<= ，c b S ∴-∈，则c b b -=，{},,2,4S a b b b ∴=，但此时3b ，5b S ∉，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，{0,,,}S b c b c ∴=+，其中,b c 为相异正整数．（3）记1009n =，则21S n =+，首先，0S ∈，设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅，其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=，分别考虑M 和其他任一元素i x ，由题意可得：i M x -也在S 中，而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<，()21i n i M x x i n -∴-=≤≤，2n M x ∴=，对于1i j n ≤<≤，考虑2n i x -，2n j x -，其和大于M ，故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈，特别的，21x x S -∈，2122x x m ∴==，由31x x S -∈，且1313x x x x <-<，3213x x x m ∴=+=，以此类推：()1i x im i n =≤≤，22n M x nm ∴==，此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，故S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍．【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.。

福建省福州第一中学2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试卷及答案

福州一中2022—2023学年高一质量检测高一数学（必修第一册）模块试卷（考试时间：120分钟满分：150分）班级__________座号_________姓名___________一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{}21,S s s n n Z ==+∈，{}41,T t t n n Z ==+∈，则S T = （）A.SB.TC.RD.∅2.已知角θ的终边上经过点)P a ，若3πθ=-，则a 的值为（）A.B.C.D.3.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出：则满足()()1g f x =的x 值是（）A.4B.3C.2D.14.为了得到函数()2sin 3f x x =的图象，只要把函数()2sin 35g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移5π个单位长度B ．向右平移5π个单位长度C ．向左平移15π个单位长度D ．向右平移15π个单位长度5.已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,26ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin α的值为（）A.310-B.310+C.310-D.310+6.密位制是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写。

密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：478密位写成“478-”，x 1234()f x 2341x 1234()g x 21431周角等于6000密位，记作1周角6000=-.如果一个扇形的半径为2，面积为73π，则其圆心角可以用密位制表示为（）A.2500- B.3500- C.4200- D.7000-7.若函数()y f x =与()y f x =-在区间[],m n 上的单调性相同，则称区间[],m n 为()y f x =的“稳定区间”，若区间[]1,2023为函数()12xf x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的“稳定区间”，则实数a 的取值范围为（）A.[]2,1-- B.12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,28.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()22f x f x +=-，()23f x -为偶函数，若()00f =，()()()()()1231123f f f f n f n ++++-+=…，则n 的值为（）A.117B.118C.122D.123二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.对于给定的实数a ，不等式()2110ax a x +--<的解集可能是（）A.11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.{}1x x ≠- C.{}1x x <- D.R10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，ϕπ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B.()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 的图象关于直线23x π=轴对称D.直线1y =与()231212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭图象的所有交点的横坐标之和为83π11.已知,x y 是正数，且满足221x y +=，则下列叙述正确的是（）A.126x y+≥+ B.ln ln 4ln 2x y +≥- C.22x y ->D.221tan tan 26x y ⎛⎫≥-⎪⎝⎭12.已知函数()cos sin f x x x =-，则下列结论正确的有（）A.()f x 的一个周期是2πB.()f x 在37,24ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增C.f xD.方程10f x -=在2,2ππ-上有7个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.请写出一个定义域不是R ，但值域为R 的奇函数：()f x =_________.14.已知θ为第四象限角，cos sin θθ+=cos 2θ=.15.函数()22f x ax ax =-，若命题“[]0,1x ∃∈，()3f x a ≤-”是假命题，则实数a 的取值范围为.16.设a R ∈，函数()()()22tan 2,249,x a x a f x x a x a x aπ⎧-≤⎡⎤⎪⎣⎦=⎨-+++>⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知集合2611x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合(){}22210B x x a x a a =-+++<，定义集合{}A B x x A x B -=∈∉且.（1）若2a =，求A B -.（2）若A B A -=，求a 的取值范围.18.（12分）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，2πϕ<）的图象过点,03P π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象上与点P最近的一个最低点的坐标为7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；（2）将函数()f x 的图象向右平移()0m m >个单位长度得到的函数()y g x =是偶函数，求m 的最小值.19.（12分）已知函数()1lg1x f x x -=+（1）判断函数()y f x =的单调性并用定义法加以证明（2）求不等式()()()lg30f f x f +>的解集20.（12分）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上升，可以俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为110m ，最低点距离地面10m ，已知摩天轮共有40个座舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，转动一周的时间大约为20min .游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转完一周后下舱.（1）当游客距离地面高度不低于85m 时，可以看到游乐园全貌，问在游客乘坐摩天轮旋转一周的过程中，有多少分钟可以看到游乐园全貌？（2）当甲、乙两人先后坐上相邻的座舱，何时二人距离地面的的高度相等？21.（12分）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()42sin 133g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,且满足[]0,x π∀∈,()()0f x g x ⋅≤恒成立.（1）求解()g x 的零点以及()f x 的函数解析式.（2）求函数()f x 在区间,4t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上最大值与最小值之差的取值范围.22.（12分）设函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对01x D ∀∈，有且仅有n 个不同的实数1232,,,,n x x x x D ∈…，使()()0i g x f x =(其中1,2,3,,i n n N +=∈…,)，则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.（1）试判断()()2sin 2023g x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭是否为()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的“4重覆盖函数”?并说明理由.（2）已知函数()()22231,21log ,1ax a x x g x x x ⎧+-+-≤≤⎪=⎨>⎪⎩为()222log 21x x f x +=+的“2重覆盖函数”，求实数a 的取值范围福州一中2022—2023学年第一学期高一期末质量检测高一数学（必修第一册）模块试卷参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题

福建省福州第一中学2024-2025学年高三上学期开学质检考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足4z z +=，且2i z z -=，则z =（）AB C ．2D2．已知集合{|24}A x x =<<，{||4|1}B x x =->，则()R A B =I ð（） A ．()2,3 B ．()3,4C ．[)3,4D ．(,4)(5,)∞∞-⋃+3．已知向量a r ，b r ，满足2a b +=r r 2=ra ，b =r a r 与b r 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．已知函数21()2xax f x --=在 1,2 上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．(]0,2B ．(],2-∞C ．()2,4D ．[)4,+∞5．已知α，(0,π)β∈，且3cos 5α=，5sin()13αβ-=，则cos β=（） A ．5665B ．1665C ．3365D ．63656．设四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面积分别为1S ，2S ，侧面积为S ，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则（） A ．212S S S = B ．12S S S =+C ．S =D =7．如图，将绘有函数()πsin 3f x M x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0M >，0πϕ<<）部分图像的纸片沿x 轴折成钝二面角，夹角为2π3，此时A ，B ϕ=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．已知2()22cos x x f x x x -=+++，若3(4l n )a f =π，3(ln 4)b f =π，(4ln3)c f π=，则（） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b <<D ．b a c <<二、多选题9．已知数列{}n a 、{}n b ，下列说法正确的有（） A ．若(2)3n n a =--+，则{}n a 为递减数列B ．若数列{}n a 的前n 项和23n S n n =+，则{}n a 为等差数列C ．若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，则{}n n a b -为等差数列D ．若数列{}n a ，{}n b 都是等比数列，则{}n n a b -为等比数列10．抛物线2:2C x py =的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(,1)t 时，||2PF =，直线l 与抛物线相交于A B 、两点，下列结论正确的是（）A ．抛物线的方程为：28x y =B ．抛物线的准线方程为：1y =-C ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D ．4AF BF +≥11．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x 的导函数为()g x '，且()()5f x g x '+=，()()155f x g x -'--=，若()g x 为偶函数，则下列说法正确的是（） A ．()05f =B ．()2024110120n f n ==∑C ．若存在0x 使()f x 在()00,x 上单调递增，在()02x ,上单调递减，则()g x 的极小值点为()4Z k k ∈D ．若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，满足题意的()g x 不唯一三、填空题12．已知随机变量2~(,)X N μσ，~(6,)Y B p ，且1(4)2P X ≥=，()()E X E Y =，则p =． 13．已知椭圆方程为2222x y 1(a b 0)a b +=>>，双曲线方程为2222x y 1(m 0,n 0)m n-=>>，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)1f =，且对任意0x <，均有111f xf x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则10121112025k f f k k =⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑．四、解答题15．已知函数21()e xax f x -=．(1)若函数()f x 单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数()(()1)e x g x f x =+只有一个极值点，求实数a 的取值范围．16．已知ABC V 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos 2cos ab a C c A =+． (1)求a ；(2)若tan tan 2B C +=，求ABC V 面积的取值范围．17．如图，四棱锥M ABCD -的底面是边长为2的正方形，平面DMC ⊥平面ABCD ，DM MC ⊥．(1)求四棱锥M ABCD -体积的最大值；(2)若二面角--M BC D 为45︒，设平面MAD 与平面MBC 的交线为l ，N 为l上的点，且NB =2MN <，求MB 与平面NAB 所成角的正弦值．18．已知双曲线C ：22221x y a b-=的中心为OA 在x 轴上，6OA =，点P 是C 上一定点，P 到x 轴的距离为1，且OP PA =． (1)求双曲线C 的方程；(2)求C 上任一点和A 的距离的最小值；(3)若C 上的点M ，N 满足//MN PA ，求证：在C 上存在定点Q （异于P ）使得P ，M ，N ，Q 在同一个圆上．19．有2n 朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：2n =时，共有4朵花，以1、2、3、4表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有2种方式，如图1、2所示．(1)当3n =时，求满足要求的绑缎带方法总数；(2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如2n =时，出现图1和图2所示方法的概率均为12．记一次绑法中，共有Y 对相邻的两朵花绑在一起，（i ）当4n =时，求Y 的分布列和期望；（ii ）已知：对任意随机变量i X （1i =，2，…，m ，*N m ∈），有11()m mi i i i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记满足条件的绑缎带方法总数为2n a ，Y 的期望为2n E ．求242n E E E g g L g （用n 和2n a 表示）．。

精品解析：福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(原卷版)

福州一中2021-2022学年第二学期第三学段模块考试高一数学必修第二册模块试题（完卷120分钟满分160分）参考公式：球地表面积公式24S R π=（R 为球地半径）一，选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. 若复数21iz =+,则|1|z +=（）A. 2B.C. 4D. 52. 已知向量()1,1a m =- ,()2,4b =,若a b ∥,则实数m =（）．A. 1B. 1- C.32D. 32-3. 在ABC 中,角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,若a =,2224b c +=,则角A 地最大值为（）A.2πB.3πC.4πD.6π4. P 是ABC 所在平面内一点,若3CB PA PB =+,则:ABP ABC S S =△△（）A. 1:4B. 1:3C. 2:3D. 2:15. 已知向量a = ,b 是单位向量,若|2|a b -= 则a 与b地夹角为（）A.6π B.3πC.23π D.56π6. 已知正方体ABCD A B C D ''''-棱长为2,M ,N ,P 分别是棱AA '，AB ，BC 地中点,则平面MNP 截正方体所得地多边形地周长为（）A. +B.C.D. 7. 表面积为324π地球,其内接正四棱柱（底面是正方形地直棱柱）地高是14,则这个正四棱柱地表面积等于（）A. 567B. 576C. 240D. 49π8. ABC 中,已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-,设D 是BC 边地中点,且ABC 则()AB DA DB ⋅+等于( )A. 2B. 4C. -4D. -2二，选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求．全部选对地得5分,有选错地得0分,部分选对地得2分．9. m ,n 是空间中不同地直线,α,β,y 是不同地平面,则下面表达正确地是（）A. 若//l m ,m α⊂,l α⊄,则//l αB. 若l α⊂,m β⊂,//αβ,则//l m C. 若//αβ,//βγ,则//αγD. 若l ,m 是两款异面直线,且//l α,//m α,//l β,//m β,则//αβ10. 设1z ,2z ,3z 为复数,10z ≠．下面命题中正确地是（）A. 若12=z z ,则1323z z z z = B. 若1213z z z z =,则23z z =C. 若12z z =,则12z z = D. 若22120z z +>,则2212z z >-11. 如图所示,设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭角两款数轴,1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向地单位向量,则称平面坐标系xOy 为θ仿射坐标系,若12OM xe ye =+ ,则把有序数对(),x y 叫做向量OM地仿射坐标,记为(),OM x y = ．在23πθ=地仿射坐标系中,()1,2a =-r ,()2,1b = ．则下面结论中,正确地是（）A. ()1,3a b -=--B. a =rC. a b⊥ D. a 在b 上地投影向量为12b12. 在ABC 中,1AB =,AC =,AC AB ⊥,D 为ABC 所在平面内地一点,23ADC ∠=π,则AD AB ⋅地值可能为（）A. B. 12-C. 0三，填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 若平面向量a ，b满足2a = ,1b = ,则a b + 地取值范围是_________．的14. 在ABC 中,6A π=,4AB =,若此三角形恰有两解,则边BC 长度地取值范围为_________．15. 沙漏是古代一种计时装置,它由两个形状完全相同地容器和一个狭窄地连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,利用细沙全部流到下部容器所需要地时长进行计时.如图,某沙漏由上，下两个圆锥组成,这两个圆锥地底面直径和高分别相等,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度（h ）地23（细管长度忽略不计）.假设细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部地圆锥形沙堆.这个沙堆地高与圆锥地高h 地比值为______.16. 已知等边ABC ,D 是ABC 外地一点,且2AD =,1CD =,则平面四边形ABCD 地面积地最大值是_________．四，解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知复数i(,)z a b a b R =+∈,若存在实数t ,使62i3i (1i)z at t +=--成立．（1）求2a b +地值。

福建省福州第一中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)

福州一中2023-2024学年第二学期期中考试初一数学试卷（完卷120分钟满分150分）注意事项：1、答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．一、选择题（每小题3分，共30分。

请将正确的答案涂在答题卡上）1. 下列各数：，0，，（两个“3”之间依次多1个“0”），其中，无理数的个数为（）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．【详解】解：0，，是有理数；，，（两个“3”之间依次多1个“0”）是无理数．故选B ．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．2. 在平面直角坐标系中，点的位置在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据点的横纵坐标的符号，即可求解．熟练掌握各象限点的坐标符号是解题的关键．π20.232270.30300L 0.23 227π20.30300L 3π()1,2P -【详解】解：∵，∴点的位置在第二象限故选：B ．3. 下列式子正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据立方根，算术平方根的定义进行计算，即可解答．【详解】解：A，故A 不符合题意；B，故B 不符合题意；C，故C 不符合题意；D，故D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查求算术平方根，立方根．熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．4. 二元一次方程的解为二元一次方程的解x 为则方程组的解为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，根据二元一次方程组的定义解答即可．【详解】解：由题意可知，既是方程的解，10-<20>()1,2P -123==5=-2=-123=≠4=5=2=-111a x b y c +=222c a x b y +=111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩53x y =⎧⎨=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩31x y =-⎧⎨=-⎩24x y =-⎧⎨=⎩24x y =-⎧⎨=⎩111a x b y c +=又是方程的解，关于，的二元一次方程组的解是．故选：D ．5. 以下调查中，适宜全面调查的是（）A. 调查某批次汽车的抗撞击能力B. 调查全国快递包裹产生包装垃圾的数量C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 调查某班学生的身高情况【答案】D【解析】【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A ．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；B ．调查全国快递包裹产生包装垃圾的数量，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；C ．调查春节联欢晚会的收视率，适合使用抽样调查，故本选项不合题意；D ．调查某班学生的身高情况，适合使用全面调查，故本选项符合题意；故选：D ．6. 如图，在下列条件中，能判断的是（）A. ∠1＝∠4B. ∠BAD +∠ABC ＝180°C. ∠3＝∠2D. ∠BAD +∠ADC ＝180°【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可求解．【详解】解：A 、∠1＝∠4，可判断，不能判断，故此选项不符合题意；B 、∠BAD +∠ABC ＝180°，可判断，不能判断，故此选项不符合题意；C 、∠3＝∠2，可判断，不能判断，故此选项不符合题意；222a x b y c +=∴x y 111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩24x y =-⎧⎨=⎩AB CD ∥AD BC ∥AB CD ∥AD BC ∥AB CD ∥AD BC ∥AB CD ∥D 、∠BAD +∠ADC ＝180°，能判断，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．7. 点在第二象限，且到轴的距离为5，则的值为（）A. B. 3 C. 7 D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及解一元一次方程，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题关键．根据“第二象限内横坐标为负，纵坐标为正”，再结合点到轴的距离，可列关于的一元一次方程，求解即可获得答案．【详解】解：∵点在第二象限，且到轴的距离为5，∴，解得．故选：C ．8. 下列说法正确的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；④有公共顶点且相等的角是对项角；⑤有公共项点且互补的两个角是邻补角．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了对顶角，邻补角的定义，点到直线的距离，两直线的位置关系等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；③直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误；④有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角是对项角，原说法错误；⑤有公共项点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，原说法错误．故选：A ．AB CD ∥()2,21P a a --y a 3-2-()2,21P a a --y a ()2,21P a a --y 25a -=-7a =9. 关于x 的不等式组的解集为，那么m 的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组两个不等式得解集，再根据不等式组的解集为得到，解之即可得到答案．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵关于x 的不等式组的解集为，∴，∴，故选：D ．10. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，观察图形，判断出重叠部分重叠了层是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了层，然后根据平角的定义列式，进行计算即可得解．【详解】解：∵长方形的对边，∴，∴．()314121x x x m ⎧->-⎨<+⎩3x <1m £1m <1m >m 1≥3x <213m +≥()314121x x x m ⎧->-⎨<+⎩①②3x <21x m <+()314121x x x m ⎧->-⎨<+⎩3x <213m +≥m 1≥a 28DEF ∠=︒EF b BF c c CFE ∠124︒106︒102︒96︒3BFE DEF ∠=∠31803CFE BFE ∠=︒-∠AD BC ∥28BFE DEF ∠=∠=︒180318032896CFE BFE ∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒故选：D ．二、填空题（每小题4分，共24分．请将正确的答案写在答题卡上）11. 在直角坐标平面内，点向下平移3个单位，又向右平移1个单位得到点B ，那么点B 的坐标是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．【详解】解：∵点向下平移3个单位，又向右平移1个单位得到点B ，∴点B 坐标是，即，故答案为：．12. 将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式____________．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面，据此可得答案．【详解】解：将命题“对顶角相等”写成“如果，那么”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

福建省福州一中学2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】

福建省福州一中学2024-2025学年数学九上开学质量跟踪监视模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42、（4分）点P （x ，y ）在第一象限，且x +y ＝8，点A 的坐标为（6，0），设△OPA 的面积为S ．当S ＝12时，则点P 的坐标为（）A ．（6，2）B ．（4，4）C ．（2，6）D ．（12，﹣4）3、（4分）随机抽取10名八年级同学调查每天使用零花钱的情况，结果如表，则这10名同学每天使用零花钱的中位数是()每天使用零花钱情况单位（元)2345人数1522A ．2元B ．3元C ．4元D ．5元4、（4分）下列命题中，正确的是（）A ．矩形的邻边不能相等B ．菱形的对角线不能相等C ．矩形的对角线不能相互垂直D ．平行四边形的对角线可以互相垂直5、（4分）以下各点中，在一次函数-26y x =+的图像上的是（）A ．（2，4）B ．（-1，4）C ．（0，5）D ．（0，6）6、（4分）菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若AC=6，菱形的周长为20，则对角线BD 的长为（）A ．4B ．8C ．10D ．127、（4分）下列各图所示能表示是的函数是（）A ．B ．C ．D ．8、（4分）若关于x 的分式方程2m x 21x 3x +-=-无解，则m 的值为（）A ．一l.5B ．1C ．一l.5或2D ．一0.5或一l.5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）为了解宿迁市中小学生对春节联欢晚会语言类节目喜爱的程度，这项调查采用__________方式调查较好（填“普查”或“抽样调查”）.10、（4分）如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠BPN=_____度．11、（4分）如图，AO=OC ，BD=16cm ，则当OB=___cm 时，四边形ABCD 是平行四边形．12、（4分）关于x 的方程()23480a x x -+-=是一元二次方程，那么a 的取值范围是_______．13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣4x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ，点D 在双曲线y ＝上；将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度后，点C 恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a 的值是_____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）“十年树木,百年树人”,教师的素养关系到国家的未来.我市某区招聘音乐教师采用笔试、专业技能测试、说课三种形式进行选拔,这三项的成绩满分均为100分,并按2∶3∶5的比例纳入总分.最后,按照成绩的排序从高到低依次录取.该区要招聘2名音乐教师,通过笔试、专业技能测试筛选出前6名选手进入说课环节,这6名选手的各项成绩见下表:序号123456笔试成绩/分669086646584专业技能测试成绩/分959293808892说课成绩/分857886889485(1)写出说课成绩的中位数、众数;(2)已知序号为1,2,3,4号选手的成绩分别为84.2分,84.6分,88.1分,80.8分,请你判断这6名选手中序号是多少的选手将被录用?为什么?15、（8分）某网店销售单价分别为60元/筒、45元/筒的甲、乙两种羽毛球.根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200简.且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35.已知甲、乙两种羽毛球的进价分别为50元/筒、40元/筒。

福建省福州第一中学2025届高三上学期九月阶段性质量检测(1)数学试卷

福建省福州第一中学2025届高三上学期九月阶段性质量检测（1）数学试卷一、单选题1．已知全集为R ，集合{}01A x x =<<，{}2B x x =>，则（） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆ C ．A B ⋃=R D ．()R A B A =I ð2．“12a >”是“12a<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若函数()4ln f x x a x x=--单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．(],4-∞-C ．[]4,4-D ．(],4∞-4．已知不等式20mx n -+≥恒成立，则24m n +的最小值是（） A．2+B ．4C ．1D ．85．已知函数()21y f x =-的图象关于点 −1,1 对称，则下列函数是奇函数的是（） A ．()221y f x =-+ B ．()231y f x =-+ C ．()221y f x =--D ．()231y f x =--6．已知0.5log a a =，0.5log b a b =，0.5log c a c =则（） A ．b a c <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<7．根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，若用Q 表示产量，L 表示劳动投入，K 表示资本投入，A 表示技术水平，则它们的关系可以表示为11Q AK L βα=，其中0,0,0,1,1A K L αβ>>>>>．当A 不变，K 与L 均变为原来的2倍时，下列说法正确的是（）A ．存在2α>和2β>，使得Q 不变B ．存在12α<<和12β<<，使得Q 变为原来的2倍C ．若4αβ⋅=，则Q 最多可变为原来的2倍D ．若()22222αβαβ+=，则Q 最多可变为原来的2倍8．已知()f x 是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数,a b 满足()()()=+f ab af b bf a ，若()e e f =，则()11e f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭（）A ．1e B ．1e-C ．11e-D ．11e+二、多选题9．已知35log 15,log 15==a b ，则（） A ．4a b +> B ．4ab > C ．²²8a b +<D ．111a b+=10．已知函数()31f x x ax =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（）A ．a 的范围是0a ≥B ．21x x =-C ．()()121f x f x >>D ．函数()f x 至少有一个零点11．已知()()2ln 1,0,0x x x f x ax x x ⎧->=⎨--≤⎩的图象上能找到两个不同点A B ､关于原点对称，则称A B ､为函数()y f x =的一对“友好点”，则下列正确的有（）A ．若1ea <，则()y f x =有两对“友好点”B ．()y f x =不可能有三对“友好点”C ．若()y f x =仅有一对“友好点”，则0a ≤D ．当1ea =时，对任意的10x <，总是存在20x >，使得()()120f x f x +=三、填空题12．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝．13．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =14．已知函数()22f x x a x =++，当[]2,2x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a的最小值为.四、解答题15．如图1所示，现有一块边长为1.5m 的等边三角形铁板，如果从铁板的三个角各截去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器如图2.则容器的容积3m V 是容器底面边长m x 的函数.(1)写出函数的解析式并注明定义域； (2)求这个容器容积的最大值.16．已知直线y kx =与函数2()ln f x x x x x =-+的图象相切. (1)求k 的值；(2)求函数()f x 的极大值.17．已知函数()()()ln 1.f x ax x a =--∈R (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的值；(2)若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21e 1x x ->-，求a 的取值范围. 18．已知函数2()ln 1f x x ax x a =+-++． (1)证明曲线()y f x =在1x =处的切线过原点； (2)讨论()f x 的单调性；(3)若()e x f x ≤，求实数a 的取值范围．19．给定正整数3N ≥，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅满足如下三个性质：①{},1,2,,i i x y N ∈⋅⋅⋅，且()1,2,i i x y i m ≠=⋅⋅⋅；②()11,2,,1i i x y i m +==⋅⋅⋅-；③(),p q 与(),q p 不同时在数对序列A 中.(1)当3N =，3m =时，写出所有满足11x =的数对序列A ；(2)当6N =时，证明：13m ≤；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为()T N ，求()T N .。

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图论及其应用
范更华福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
现实世界中许多问题的数学抽象形式可以用图来描述。如互联网、交通网、通讯网、大规模集成电路、分子结构等都可以用图来描述。对图的研究形成了一个专门的数学分支：图论（Graph Theory)。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边相连当且仅当它们对应的信道有公共部分。波长问题等价于所构造图的点着色问题：
给图的每个点着色，有边相连的点须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
图的例子
交通网互联网计算机处理器连接方式集成电路板分子结构图分子间相互作用及信息传递
极值图论
Mantel定理的证明: 设G是不含三角形的n点图, 其最大点度数为t.不难证明G的边数至多是
f(t)=t(n-t). 该二次函数在t=n/2处取得极大值:
f(n/2)=n2/4. 当n为偶数时, n个点的平衡完全二部图不含三角形, 且边数恰为n2/4.因此, n2/4是具有该性质的最小数.
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式互联网：信息传输及控制管理大规模集成电路：布局、布线数据库技术：数据的存储、检索理论计算机科学：
子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题机器智能与模式识别：图的同构通讯网络：连通性，可靠性印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问若干指定城市, 最后返回公司,要求设计最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作为每条边的权。
旅行推销员问题
求解: 在图中求一个圈过每点恰好一次, 且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比较：最优欧拉回路问题—中国邮递员问题) 难度: NP--完全问题
情形I.|N|>2.若N中有两点相连，则这两点连同x构成一个三角形；若N中任意两点均不相连，则N含三个两两不连的点。情形II.|N|<2.那么|R|>2.若R中有两点不相连，则这两点连同x是三个两两不连的点；若 R中任意两点均相连，则R含一个三角形。
Ramsey数问题
一般化: 定义R(s,t)为最小整数使得任意 R(s,t)个人中, 要么有 s 个人两两认识, 要么有 t 个人两两不认识。
R(3,3)=6 R(4,4)=18 R(5,5)=?
Ramsey问题应用广、影响大。微软研究中
心的 Kim 因求解R(3, t)的工作而获1997年
Fulkerson 奖。
极值图论
一般叙述: 图的边数大于某个数时,该图具有某种性质,此数的最小值称为该性质的极值. Mantel 定理(1907年): n点图的边数大于n2/4时, 该图含三角形,且n2/4是具有该性质的最小数. 上述定理是Turan定理(1941年)的特殊情形.
子图覆盖
图论: 每个2-边连通图可被3个偶图覆盖。数论: 每个充分大的奇数是3个素数之和。
陈景润定理: 每个充分大的偶数是一个素数与不超过两个素数的乘积之和。
Seymour定理: 每个2-边连通图可被一个偶
图及不超过两个偶图的并所覆盖。
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无解, 由此开创了数学的一个新分支---图论.
应用: 投币电话、自动取钞机、机器人行走路线设计
Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相认识, 或三个互相不认识。
数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
证明：令G是6个点的图，x为G中一个点。与x 相邻的点集记为N,与x不相邻的点集记为R.
子图覆盖问题
定义：若一个图的某些子图共同包含了该图的所有边，则称该图被这些子图覆盖。
子图覆盖问题：用具有某种特性的子图来覆盖一个图。
子图覆盖
子图覆盖
四色问题的一个等价形式: 每个2-边连通平面图可被两个偶图覆盖（偶图：每个点与偶数条边: 每个大于2的偶数是两个素数之和。
欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题: 求图中一条迹(walk), 过每条边一次且仅一次. 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉迹也称为欧拉回路.
图论分支
图论
结
随
代
拓
构
机
数
扑
图
图
图
图
论
论
论
论
离散数学
图论是离散数学的一个主要分支广泛应用背景的基础研究与计算机科学密切相关
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了以微积分为基础的连续数学的发展。
以计算机的出现为标志的信息革命将促进离散数学的发展。
计算机光纤网波长分配问题
在一个计算机光纤网络中，给传输信道分配波长，两信道若有公共部分，必须得到不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
图的定义
图的直观定义：点与边图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen图
两个长度为5的圈通过5条边相连，也可如下构造：5个元素集合的所有2-子集作为点，两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交。
◆ 没有长度小于5的圈 ◆ 没有长度为10的圈(哈密顿圈) ◆ 边传递、点传递 ◆ 不是平面图
四色问题
当年,这位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
转化为图论问题: 点代表国家, 两点相连当且仅当对应的两个国家有共同边界。由此得到的图是平面图.
四色问题: 每个平面图可用4种颜色对其点着色,使得任何两个有边相连的点得到不同颜色.
1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了四色问题.未被数学界普遍接受.
四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国家着不同的颜色。
教授无语,该问题成为数学史上最著名问题之一,对它的研究推动了图论,拓扑,代数的发展. 历史上许多著名数学家研究过四色问题并给出错误证明.