8透镜的相位调制作用

于是， 于是，透镜的复振幅透过率为
x2 + y2 t ( x, y ) = P( x, y ) exp − jk 2f
透镜的相位变换因子
总 结
（1）透镜对光波只起相位变换作用，焦距 f 是透镜 ）透镜对光波只起相位变换作用， 本身的性质； 本身的性质； （2）入射光波的具体形式不会影响这种变换作用； ）入射光波的具体形式不会影响这种变换作用； （3）有一透明物体，如果其相位变化为 ）有一透明物体， 则该物体就相当于一个焦距为 f 的透镜。 的透镜。
3.物的后表面→透镜的前表面（菲涅耳衍射过程） 物的后表面→透镜的前表面（菲涅耳衍射过程） 物的后表面
( x′ − x0 )2 + ( y′ − y0 )2 ′ ′ ′ exp( jkd 0 ) dx0 dy0 U1 ( x , y ) = ∫∫ U 0 ( x0 , y0 ) ⋅ exp jk jλ d 0 2d 0
透镜的相位调制和傅立叶变换性质
透镜的相位调制作用
从几何光学的观点看， 从几何光学的观点看，透镜的作用 点物成点像（ 是：点物成点像（将发散球面波转 换成会聚球面波） 换成会聚球面波）
单色点光源S发出的发散球面波在 1 单色点光源 发出的发散球面波在P 发出的发散球面波在 平面上造成的光场分布为： 平面上造成的光场分布为：
( f − d0 ) x 2 + y2 f ( x0 x + y0 y ) ′ exp jk U ( x, y ) = c t ( x0 , y0 ) exp − jk dx0 dy0 2[q( f − d 0 ) + fd 0 ] ∫∫ q ( f − d 0 ) + fd 0
透镜的复振幅透过率： 透镜的复振幅透过率：
x2 + y2 A exp(− jkq )exp − jk ′ 2q U1 ( x, y ) t ( x, y) = = 2 2 U1 ( x, y ) x +y A exp( jkp )exp jk 2p x 2 + y 2 1 1 + = exp− jk 2 p q
(
)
FT { 0 ( x0 , y0 )} U
说明:除了相位因子外 的傅立叶变换。 说明 除了相位因子外,U(x,y)是U0(x0,y0)的傅立叶变换。 除了相位因子外 是 的傅立叶变换
(2)
d1 = d 2 = f
(x0 , y0 )
(x′, y′)
光瞳函数
透镜的相位变换因子
5.透镜的后表面→观察平面（菲涅耳衍射） 透镜的后表面→观察平面（菲涅耳衍射） 透镜的后表面
( x − x')2 + ( y − y')2 exp( jkq ) U ( x, y ) = U 1 ( x1 ' , y1 ') exp jk dx' dy' jλ q ∫∫ 2q
（三）物放在透镜后
傍轴条件下，光波从 → 的传播过程分下列几个阶段： 傍轴条件下，光波从S→S’ 的传播过程分下列几个阶段：
1.点光源 →透镜前表面（发散球面波） 点光源S 透镜前表面（发散球面波） 点光源 2.透镜前表面→透镜的后表面（透镜的相位变换作用和光瞳的限制） 透镜前表面→透镜的后表面（透镜的相位变换作用和光瞳的限制） 透镜前表面 3.透镜的后表面→物的前表面（菲涅耳衍射过程） 透镜的后表面→物的前表面（菲涅耳衍射过程） 透镜的后表面
特点：观察平面上的光场分布与衍射物的复 特点： 振幅透过率存在准确的傅立叶变换关系。 振幅透过率存在准确的傅立叶变换关系。
（2）物平面紧贴透镜 ）
(d 0 = 0)
S
S′
x2 + y2 U ( x , y ) = c′ exp jk 2q
( (
) t ( x , y )exp− jk f ( x x + y y ) dx dy ∫∫ q
′ U 1 ( x ' , y ')
U 1 ( x ' , y ')
2.物的前表面→物的后表面（通过透过率为t ( x 0 , y 0 ) 的物体） 物的前表面→物的后表面（ 的物体） 物的前表面
x 0 2 + y0 2 U 0 ( x0 , y0 ) = U 0 ( x0 , y0 ) ⋅ t ( x0 , y0 ) = At ( x0 , y0 )exp jk 2( p − d ) 0 ′ (
经过5个步骤，完成了光波由 到 的传播过程 的传播过程。 经过 个步骤，完成了光波由S到S’的传播过程。只要将上 个步骤 述的式子从上到下逐个代入，就可以得到最后结果！！ 述的式子从上到下逐个代入，就可以得到最后结果！！
最终结果：物平面位于透镜前， 最终结果：物平面位于透镜前，观察平面上的 光场分布为
x2 + y2 t ( x, y ) = exp− jk ， 2f
透镜的傅立叶变换性质
′ U 0 ( x0 , y0 )
U 0 ( x0 , y0 )
U ( x, y )
′ U 1 ( x ' , y ')
U 1 ( x ' , y ')
物放在透镜前 傍轴条件下，光波从 → 的传播过程分下列几个阶段： 傍轴条件下，光波从S→S’ 的传播过程分下列几个阶段：
1.点光源 →物的前表面（发散球面波） 点光源S 物的前表面（发散球面波） 点光源
x 0 2 + y0 2 U 0 ( x0 , y0 ) = A exp jk 2( p − d ) 0 ′(
′ U 0 (x0 , y 0 )
U 0 (x0 , y 0 )
U ( x, y )
x2 + y 2 U1 ( x, y ) = A exp( jkp ) exp jk 2p
（1）
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 a U ( x, y) = exp( jkz) exp jk z 2z
注：因为发散球面波在xy平面上产生的光场分布 因为发散球面波在 平面上产生的光场分布
0 0
x x2 + y2 y t ( x0 , y0 ) exp − j 2π = c′ exp jk + ∫∫ λq λq dx0 dy0 2q
)

0
0


0
0
ξ=
x λq
η=
y λq
特点：观察平面上的光场分布与衍射物的复振幅透过率不存在准 特点：观察平面上的光场分布与衍射物的复振幅透过率不存在准 不存在 确的傅立叶变换关系。 确的傅立叶变换关系。 应用：进行空间滤波时，可以通过改变 值来缩放频谱 值来缩放频谱！ 应用：进行空间滤波时，可以通过改变q值来缩放频谱！
(
)
′ U 0 (x0 , y 0 )
U 0 (x0 , y 0 )
U ( x, y )
′ U 1 ( x ' , y ')
U 1 ( x ' , y ')
注意：在图中， 所在的平面是点光源 的共轭面。 所在的平面是点光源S的共轭面 注意：在图中，S’所在的平面是点光源 的共轭面。 如果S位于无穷远 即平行光垂直入射， 位于无穷远， 点位于透镜的焦平面上。 如果 位于无穷远，即平行光垂直入射，则S’点位于透镜的焦平面上。 点位于透镜的焦平面上
其中
d 2 2 2 1 − x + y − 2(x0 x − y0 y ) dx0 dy0 f 1 1 1 ε= + − d1 d 2 f
(
)
讨论两种情况: 讨论两种情况
(1)
d2 = f
即观察面位于透镜的后焦面 (x0 , y0 )
(x′, y′)
(
)
总结：无论物与透镜的位置如何，照明光源的共轭面 总结：无论物与透镜的位置如何， 上的光场分布与衍射物的复振幅透过率存在 存在傅立叶变 上的光场分布与衍射物的复振幅透过率存在傅立叶变 换关系，从而也说明了透镜具有傅立叶变换功能 透镜具有傅立叶变换功能。 换关系，从而也说明了透镜具有傅立叶变换功能。
FT {} ⋅
（四）透镜的一般变换特性
这是一种任意的情况: 这是一种任意的情况 物面和观察平面的位置是任意的, 物面和观察平面的位置是任意的 如图示: 如图示 单色单位平面波垂直照明物平面
U 0 ( x0 , y0 )
(x0 , y0 )
(x′, y′)
(x, y )
U ( x, y )
d1
整个光波传播过程与前面所讲的类似,最后的结果是 整个光波传播过程与前面所讲的类似 最后的结果是: 最后的结果是
（二）讨论物平面在不同位置的情况 （1）物平面位于透镜前焦平面 ）
(d 0 = f )
S
S′
f
( x x + y0 y ) dx dy U ( x , y ) = c′ ∫∫ t ( x0 , y0 ) exp − jk 0 0 0 f x y x0 + y0 dx0 dy0 = c′ ∫∫ t ( x0 , y0 ) exp − j 2π λf λf = c′FT {t ( x0 , y0 )} x y ξ= η= λf λf
(x, y )
U ( x, y )
U 0 ( x0 , y0 )
d1
f
k exp[ jk (d 1 + f )] d1 2 2 1 − x + y × U ( x, y ) = exp j jλ f 2f f 2π ∫∫ U 0 ( x0 y0 )exp− j λf ( x0 x + y0 y ) dx0dy0