高中数学选修1-2知识点
高中数学选修1-11-2知识点归纳
高中数学选修1－1、1-2数学知识点一 简单的逻辑用语1.原命题：“若p ，则q ”；逆命题： “若q ，则p ”； 否命题：“若p ⌝，则q ⌝”；逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．集合间的包含关系：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；4. ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；二 复数1．概念： (1) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0；(2) z =a+b i 是纯虚数⇔a =0且b ≠0； (3) a +b i=c +di ⇔a =c 且c =d ；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di ，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ；(2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ；(3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i dc adbc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; 三 圆锥曲线及其几何性质1焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c离心率()22101c b e e a a==-<<2.双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c离心率 ()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a =±a y x b=± 标准方程 22y px = 22y px =-22x py =22x py =-图形焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤四 导数及其应用1.函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．2.常见函数的导数公式： ①'C0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥x x e e=')(； ⑦ax x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1)(ln '=3.导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦；()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．4.在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增；若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．5.求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．6.求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．五 统计案例1．线性回归方程 注意：线性回归直线经过定点 ),(y x 。
数学选修部分知识点总结
数学选修部分知识点总结1. 高级代数高级代数是数学选修课中的重要内容，包括多项式、不等式、函数、方程组等知识点。
其中，多项式是一个常见的数学对象，它是一种形式为f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anxn的函数，其中a0, a1, ..., an是常数，x是变量，n是一个非负整数。
多项式可以进行加法、减法和乘法运算，还可以进行整除运算，根据多项式的性质和运算规则可以求出多项式的零点、系数和导数等信息。
不等式是一个包含不等号的数学表达式，它可以表示变量之间的大小关系，比如x < y、x > y、x <= y、x >= y等。
解不等式时需要考虑不等式的性质和运算规则，通常可以通过变换形式、直接求解、图像法等方法来求解不等式的解集。
函数是一个常见的数学对象，它描述了一个自变量和一个因变量之间的关系。
函数可以用符号、公式、图像等形式来表示，包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等不同类型的函数。
在学习函数的过程中，需要掌握函数的性质、函数的图像、函数的运算、函数的变换等内容。
方程组是由若干个方程组成的数学对象，它描述了多个未知数之间的关系。
方程组可以分为线性方程组和非线性方程组，根据方程组的性质和数量可以采用不同的解法，比如代入法、相消法、换元法等。
2. 几何几何是数学选修课中的另一个重要内容，包括向量、平面几何和立体几何等知识点。
向量是一个常见的数学对象，它描述了空间中的方向和大小，可以进行加法、减法和数乘等运算，具有平移和方向性等特点。
平面几何是关于平面图形的性质和运算的数学分支，它包括直线、圆、多边形等内容。
在学习平面几何时，需要了解平面几何的基本概念、定理和方法，比如点、直线、线段、角、全等、相似、圆等内容。
立体几何是关于立体图形的性质和运算的数学分支，它包括球、柱、锥、台等内容。
在学习立体几何时，需要了解立体几何的基本概念、定理和方法，比如体积、表面积、平行截面剖面等内容。
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
2020届高中数学分册同步讲义(选修1-2) 第3章 章末复习
章末复习一、复数的有关概念例1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i ：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0上． 解 (1)由z ∈R ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1，且a ≠2.故a ＝0. (3)若z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >2，a <1或a >2，∴a <0或a >2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题得(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2.反思感悟 (1)复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、复数相等、共轭复数及复数的模等知识点，其中，复数的分类及复数的相等是热点，复数分类中“纯虚数”的条件是难点和易错点．(2)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(不等式)即可．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时：(1)z ∈R ；(2)z 为虚数． 解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0，解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．二、复数及复数加减法的几何意义例2 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∴x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．反思感悟 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )同复平面上的点Z (a ，b )是一一对应的，同向量OZ →是一一对应的．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2表示点Z (a ，b )到原点的距离，亦即向量OZ →的模|OZ →|.由此可知|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．(3)复数加减法的几何意义实质上是向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，由减法的几何意义可知|z 1－z 2|表示复平面上两点Z 1，Z 2之间的距离．跟踪训练2 已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解 (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ， 即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.∴sin B ＝7210.∵S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7. 三、复数的四则运算例3 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 018＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 009＋(4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i )11－7i ＝i ＋(－i)1 009＋0＝0. (2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i2＋i ＝1－i ，∵|1－i|＝2，∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.反思感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i 的周期性①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)； ②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练3 (1)已知z1＋i ＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 答案 B解析 ∵z1＋i＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.(2)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i 则z 2等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－2 D. 2 答案 A解析 ∵z i ＝1＋i ，∴z ＝1＋i i ＝(1＋i )i i 2＝i －1－1＝1－i ，∴z 2＝(1－i)2＝1－2i －1＝－2i.1．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由已知得x ＋x i ＝1＋y i ，根据两复数相等的条件可得x ＝y ＝1， 所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2.2．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C 解析4iz z －1＝4i12＋22－1＝i.3．复数z ＝2＋a i1＋i (a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i2在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫2＋a 2，a －22且在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2.4．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝________.答案 3＋4i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵|z |－z ＝101－2i ，∴|z |－z ＝2＋4i ，则a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，∴z ＝3＋4i.5．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z 对应的点位于第________象限．答案 四解析 由z ＝1－i 得，z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i ＝－2i ＋2(1＋i )2＝－2i ＋1＋i ＝1－i ，对应的点位于第四象限．。
高中数学选修1-2知识点、考点、附典型例题
选修1-2数学知识点第一部分 统计案例 知识点：1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定： ⑴总偏差平方和：∑=-ni iy y12)(⑵残差：∧∧-=i i i y y e ；⑶残差平方和：21)(∑=∧-ni yi yi ；⑷回归平方和：∑=-ni iy y12)(－21)(∑=∧-ni yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧---=ni i ini i iy yy y R 12122)()(1 。
注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
考点：无第二部分 推理与证明 知识点：一．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
人教版高中数学选修1-2课件：4.1 流程图(共44张PPT)
解:生产该产品的工序流程图如下:
考点类析
[小结] 对于工序流程图,应先理清工序大体分几个阶段,再对每一阶段细分. 应注意每一步的先后顺序.
考点类析
【拓展】在华罗庚先生的《统 筹方法平话》中,有一个“喝茶 问题”:假设洗水壶需要2 min,烧 开水需要15 min,洗茶壶、茶杯 需要3 min,取、放茶叶需要2 min,沏茶需要1 min.试给出“喝 茶问题”中最快能喝到茶的流 程图,并计算最快喝到茶的时间 是多少.
么两者可同时进行.拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设,
厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装,然后进行设备
测试,最后才能进行试生产.上述过程的工序流程图如图4-1-2
所示,则设备采购、厂房建设、土建设计、设备安装与图中
①②③④处正确的对应顺序应为 ( )
A.①②③④
B.①④②③
C.②③①④
D.①③②④
第四章
框图
4.1 流程图 4.2 结构图
本章总结提升
第四章
框图
4.1 流程图
三维目标
1．知识与技能 (1)通过具体实例，进一步认识程序框图；通过具体实例，了解工序流程图， 学会绘制解决数学问题的程序框图和解决实际问题的流程图，使学生了解 流程图的一般形式、特征和作用． (2)通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在 的大量的流程图，鼓励学生用数学的思维和观点进行归纳和抽象，培养学 生严谨的数学习惯和良好的思维习惯．
预习探究
[探究] 如何准确画出工序流程图?
解:做好调查研究是画工序流程图的基础,主要调查三件事:(1)列举出本工程 (任务)的所有工序;(2)工序与工序之间的衔接关系;(3)每个工序所需的时间. 可见处理工序流程图,首先要弄清整项工程应划分为多少道工序,其次要仔 细考虑各道工序的先后顺序及相互联系、制约的程度,最后要考虑哪些工序 可以平行进行,哪些工序可以交叉进行.依据这些去组织生产,指挥施工,能收 到统筹兼顾的功效.
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
![人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)](https://img.taocdn.com/s3/m/a7638f276bd97f192279e9a2.png)
人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
高中数学必考知识点归纳整理
高中数学必考知识点归纳整理高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。
人教课标版高中数学选修1-2：《复数代数形式的四则运算》教案-新版
3.2 复数代数形式的四则运算一、教学目标 1.核心素养通过学习复数代数形式的四则运算，初步形成基本的数学抽象和数学运算能力. 2.学习目标（1）掌握复数代数形式的加法、减法运算法则，能进行复数代数形式加法、减法运算，理解并掌握复数加法与减法的几何意义.（2）理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，熟练进行复数的乘法和除法的运算.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律；了解共轭复数的定义及性质.（3）培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法，提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 3.学习重点复数代数形式四则运算法则. 4.学习难点复数加减法运算的几何意义，对复数除法法则的运用. 二.教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材P 56---P 60,完成P 58和P 60相应练习题 任务2 掌握复数加、减、乘、除四则运算法则 任务3 利用复平面理解复数加减法的几何意义 2.预习自测1.设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋bi 为（ ） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 答案：D解析：∵z 1＋z 2＝(2＋bi )＋(a ＋i )＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0， ∴⎩⎨⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋bi ＝－2－i .2.已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C解析：z ＝z 2－z 1＝(1－2i )－(2＋i )＝－1－3i .故z 对应的点为(－1，－3)，在第三象限. 3.若复数z 满足z ＋(3－4i )＝1，则z 的虚部是（ ） A.－2 B.4 C.3 D.－4 答案：B解析：z ＝1－(3－4i )＝－2＋4i ，所以z 的虚部是4. （二）课堂设计 1.知识回顾1. 复数通常用小写字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a,b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2. 两个复数相等，即实部和虚部分别相等即a ＋b i ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )3. 复数z ＝a ＋bi (a,b ∈R )的模为22z a b =+2.问题探究问题探究一：复数的加减法●活动一 怎样计算复数的加法与减法?设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d R =+=+∈,是任意两个复数，那么（1）复数1z 与2z 的和的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++ （2）复数1z 与2z 的差的定义：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-. ●活动二 从复数的加法和减法法则我们可以得到一个怎样的结论？事实上，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）. ●活动三 复数的和与差还是一个复数吗？ 显然，复数的和与差仍然是一个唯一确定的复数.●活动四 我们以前学过的运算律还能在复数中使用吗？ 对任意123,,z z z C ∈.（1）交换律：1221z z z z +=+；（2）结合律：123123()()z z z z z z ++=++.●活动五 复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？（1）复平面内的点(,)Z a b OZ ←−−−→uu u r 一一对应平面向量（2）复数i z a b OZ =+←−−−→uu u r一一对应平面向量 （3）复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图，OZ uu u r 表示复数12z z +所对应的向量，12Z Z uuuu r 表示复数12z z -所对应的向量，即OZuu u r表示复数()()i a c b d +++所对应的向量，12Z Z uuuu r表示复数()()i a c b d -+-所对应的向量注： 两个复数的差12z z -表示与连接两个终点12,z z 且指向被减数的向量对应. 问题探究二：复数的乘除法●活动一 复数的乘法怎么算？复数的乘法是否有似曾相识的感觉？设1z =a ＋b i ，2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ）是任意两个复数，则1z ·2z =（a ＋b i ）（c ＋d i ）=_________________.从上面可以看出，两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. ●活动二 复数的乘法是否也满足运算律呢？ 对任意123,,z z z C ∈. （1）交换律：2121z z z z ⋅=⋅（2）结合律：123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ （3）分配律：1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅1z●活动三 复数的除法又该如何计算呢？设1z =a ＋b i , 2z =c ＋d i （a,b,c,d ∈R ，且c ＋d i≠0），122222i i(i 0)i z a b ac bd bc ad c d z c d c d c d+++==++≠+++ 几个运算性质：①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N ). ②(1±i)2＝±2i ，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+，1i i=-. ③设13i 22ω=-+，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.●活动四 什么叫做共轭复数？一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 通常记复数i(,)z a b a b R =+∈的共轭复数为i(,)z a b a b R =-∈.共轭复数有如下性质：①z R z z ∈⇔=；②22z z z z ⋅==；③2z z a +=，2i z z b -=；④1212z z z z +=+，1212z z z z -=-；⑤1212z z z z ⋅=⋅，1122z zz z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(z 2≠0).例 1 计算下列各题： (1)3(2-3i)(2i)12+-++； (2)i 1i 1()()i 2332----+；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i).(4)已知复数z 满足z ＋1＋2i ＝10－3i ，求z . 【知识点：复数的四则运算】详解：33=(22)(3)i 11i 22-+-++=-（1）原式 111111=()(1)i i 322366-++--+=+（2）原式.（3）原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i ＝－11i. （4）z ＋1＋2i ＝10－3i ，∴z ＝(10－3i)－(2i ＋1)＝9－5i.点拔：复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.例2 设及分别与复数z 1＝5＋3i 及复数z 2＝4＋i 对应，试计算z 1＋z 2，并在复平面内作出复数z 1＋z 2所对应的向量.【知识点：复数的四则运算，复数加减法的几何意义】 【思路探究】利用加法法则求z 1＋z 2详解：∵z 1＝5＋3i ，z 2＝4＋i ，∴z 1＋z 2＝(5＋3i)＋(4＋i)＝9＋4i ∵15,3OZ =uuu r （），24,1OZ =uuu r （），由复数的几何意义可知，12OZ OZ +uuu r uuu r 与复数z 1＋z 2对应， ∴12OZ OZ +uuu r uuu r ＝(5,3)＋(4,1)＝(9,4).作出向量12OZ OZ OZ +=uuu r uuu r uu u r如图所示.点拔：1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.变式：在题设不变的情况下，计算z 1－z 2，并在复平面内作出复数z 1－z 2所对应的向量. 解：z 1－z 2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i.复数z 1－z 2所对应的向量为21Z Z uuuu r.例3 （1）设z 1，z 2∈C ，已知|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，求|z 1－z 2|. （2）已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值.【知识点：复数的模，复数的模的几何意义，复数加减法的几何意义；数学思想：数形结合】（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ).由题意，知a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝2，∴2ac ＋2bd ＝0. ∴|z 1－z 2|2＝(a －c )2＋(b －d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2－2ac －2bd ＝2.∴|z1－z2|＝2.（2）【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.解法一：设w＝z－3＋4i，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i.又|z＋1－i|＝1，∴|w＋4－5i|＝1.可知w对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆.如图(1)所示，∴|w|max＝41＋1，|w|min＝41－1.(1)(2)解法二：由条件知复数z对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数z对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A，距离最小的点为B，如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝41＋1，|z－3＋4i|min＝41－1.点拔：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.例4 （1）计算61i23i 1i32i ++⎛⎫+⎪--⎝⎭.（2）计算：2013 23i21i123i⎛⎫-++ ⎪⎪-+⎝⎭；(3)若复数1i1iz+=-，求1＋z＋z2＋…＋z2 013的值.【知识点：复数的四则运算】（1）分析：先计算1i1i+-再乘方，且将23i32i+-的分母实数化后再合并.详解：626(1i)23i32i62i3i6 =i1i 255⎡⎤+++++-+=+=-+⎢⎥⎣⎦()()原式又解：626(1i)23i i23i i =i1i 232i i23i⎡⎤++++=+=-+⎢⎥-+⎣⎦()()原式().（2）【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现i n 的形式，然后再根据i n 的值的特点计算求解.详解：10062i(123i)22(2)=1i 1i 123i ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦原式 100622(1i)=i 2i 2+⎛⎫+⋅⎪-⎝⎭10062(1i)=i i 2++⋅222=i 22--+(3)201422013111z z z zz-++++=-L ， 而21i (1i)2i =i 1i (1i)(1i)2z ++===--+，所以201422201311i 11i 11iz z z zz --++++===+--L 点拔：1.要熟记i n 的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与i n 联系起来以便计算求值.2.如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解.例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若3i 13i z z z ⋅-⋅=+，求z .【知识点：复数的四则运算，共轭复数】详解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎨⎧ a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点拔：1.22z z z z ⋅==是共轭复数的常用性质.2.实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔ z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.3.若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数. 3.课堂总结 【知识梳理】1.两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i.2.复数加减法的几何意义3.复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.4.复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 【重难点突破】(1)复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，实质上是合并同类项，不必死记公式.(2)复数加法的几何意义：如果复数12z z ，分别对应于向量12OP OP uuu r uuu r、，那么，以12OP OP 、为两边作平行四边形，对角线OS 表示的向量OS uu r就是12z z +的和所对应的向量.复数减法的几何意义：两个复数的差12z z -与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. (3)复数的乘法，也可按照多项式的乘法法法则计算，实质上也是合并同类项，同样不必死记公式.(4)两个复数相除较简便的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简 .(5)复数除法的核心是分母实数化，类似分母有理化. 4.随堂检测 1.21i=+（ ） A.22 B.2 C.2 D.1 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】 原式211i==+ 2.复数i(2－i)等于（ ） A.1＋2i B.1－2i C.－1＋2i D.－1－2i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】 i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.3.已知(1－i)2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于（ ） A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i 答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】由(1－i)2z ＝1＋i ，知z ＝(1－i)21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.（三）课后作业 ★基础型 自主突破 1.()212i1i +-等于（ ）A.11i 2--B.11i 2-+C.11i 2+D.11i 2-答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】 原式12i i12i 2+==-+- 2. i 为虚数单位，i 607的共轭复数为（ ） A.i B.－i C.1 D.－1 答案：A解析：【知识点：共轭复数相关概念，i 的周期性】 方法一：i 607＝i 4×151＋3＝i 3＝－i ，其共轭复数为i.故选A.方法二：i607＝i 608i ＝i 4×152i ＝1i ＝－i ，其共轭复数为i.故选A.3.已知i 是虚数单位，则(2+i)(3+i)等于（ ） A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】4.复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】 5.复数z 满足(i)i 2i z -=+，则z =（ ） A.1i -- B.1i - C.13i -+ D.12i - 答案：B解析：【知识点：复数的四则运算】2iz i i+-=，∴1z i =- 6.复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（ ） A.2+i B.2－i C.－1+iC.－1－i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数的定义】(3)(2)15i i z i -++==-+，1z i =-- 7.若复数z 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）A.3+5iB.3－5iC.－3+5iD.－3－5i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算】117(117)(2)3525i i i z i i +++===+- 8. (1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案：1i -+解析：【知识点：复数的四则运算】 原式6(23i)(32i)5i i 11i 325++=+=-+=-++ ★★能力型 师生共研1.已知复数z 满足z (1＋i )＝1＋ai (其中i 是虚数单位，a ∈R )，则复数z 在复平面内对应的点不可能位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：【知识点：复数的四则运算】由条件可知：z ＝1＋a i 1＋i ＝(1＋a i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝a ＋12＋a －12i ；当a ＋12<0，且a －12>0时，a ∈∅，所以z 对应的点不可能在第二象限，故选B.2.若12+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2,3b c ==B.2,1b c ==-C.2,1b c =-=-D.2,3b c =-=答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，复数的相等】 把12i +代入方程20x bx c ++=，利用复数的相等即可3.设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i +为纯虚数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】4.设z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A.若2z ≥0，则z 是实数B.若2z <0,则z 是虚数C.若z 是虚数，则2z ≥0D.若z 是纯虚数，则2z <0答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】5.一个实数与一个虚数的差（ ）A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确定是实数还是虚数答案：C解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】6.设复数1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ，若12z z 的虚部是实部的2倍，则实数a 的值为______.答案：6解析：【知识点：复数的概念，复数的四则运算】∵a ∈R ，1z ＝1－i ，2z ＝a ＋2i ， ∴12z z ＝a ＋2i 1－i ＝(a ＋2i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i 2＝a －22＋a ＋22i ，依题意a ＋22＝2×a －22，解得a ＝6.7.若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案：5解析：【知识点：复数的模，复数的四则运算】∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎨⎧ a ＝1－b ，0＝1＋b.∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－1.∴|a ＋bi |＝|2－i |=222(1)+-＝ 5.8.计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i).答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算】解法一：原式=(1－2+3－4+…－2002+2003)+(－2+3－4+5+…+2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i ，(3－4i)+(－4+5i)=－1+i ，……(2001－2002i)+(－2002+2003)i=－1+i.相加得(共有1001个式子)：原式=1001(－1+i)+(2003－2004i)=(2003－1001)+(1001－2004)i=1002－1003i★★★探究型 多维突破A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】2.已知1122,,,x y x y R ∈，定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为________.答案：90o解析：【知识点：复数的四则运算】设 111a b i ω=+，222a b i ω=+ （12,0a a ≠）故得点),(111b a P ，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b . 从而有1212121OP OP b b k k a a ==-g g ，故21OP OP ⊥. 3.复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i (m ，λ，θ∈R )，且z 1＝z 2，则λ的取值范围是_____________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 解析：【知识点：复数的四则运算，三角函数的值域】由复数相等的充要条件可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916， 因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7. 4.已知复数z ＝x ＋yi ，且|z －2|＝3，则 y x 的最大值为________. 答案： 3解析：【知识点：复数的加减法的几何意义，复数的模，直线的斜率的应用】∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 5.已知复平面上正方形的三个顶点是A （1，2）、B （－2，1）、C （－1，－2），求它的第四个顶点D 对应的复数.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的加减法的几何意义】设D （x,y ),则OA OD AD -=对应的复数为(x +y i)－(1+2i)=(x －1)+(y －2)iOB OC BC -=对应的复数为：(－1－2i)－(－2+i)=1－3i∵BC AD = ∴(x －1)+(y －2)i=1－3i∴⎩⎨⎧-=-=-3211y x ,解得⎩⎨⎧-==12y x ∴D 点对应的复数为2－i.6.已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z ++的值.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模，复数的概念】设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i22(43i)43i z ++-++===+-+-.(四)自助餐1.若12,z z ∈C ，1212z z z z --+是（ ）A.纯虚数B.实数D.不能确定答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的概念】121212i,i(,,,),(i)(i)(i)(i)--=+=+∈+=+-+-+z a b z c d a b c d z z z z a b c d a b c d R 22ac bd =+∈R .2.为正实数，i 为虚数单位，i 2i a +=，则a =（ ） A.2 B.3 C.2D.1答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，复数的模】2i |1i |12,i +=-=+=a a aa >0,故3a =. 3.36(13i)2i (1i)12i -+-++++的值是（ ） A.0B.1C.iD .2i答案：D解析：【知识点：复数的四则运算】33336(13i)2i 13i (2i)(12i)-1+3i 15i ()()()+(1i)12i 2i 52i 5-+-+-+-+-+=+=++=i+i =2i .4 若复数z 满足3(1)i 1z z -+=,则2z z +的值等于（ ）A .1D .13i 22-+答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】13i133i 3i 10,i ,2213i z z z ω+---===-+=-221z z ωω+=+=-.5.已知33i (23i)z -=⋅-,那么复数z 在复平面内对应的点位于（） A .第一象限B .第二象限C.第三象限D .第四象限答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，复数的几何意义】33132223iz i i -==+-6.已知复数z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则z z －－z －1＝（ ）A.－2iB.－iC.iD.2i答案：B解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】解：B 依题意得z z －－z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.7.设456121z i i i i =++++L ，456121z i i i i =⋅⋅⋅L 则12,z z 的关系是（）A .12z z =B .12z z =-C .121z z =+D .无法确定答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，等比数列的前n 项和，等比数列的前n 项和】491(1)1111i i i z i i--===--，456127221z i i ++++===L 故选A. 8.已知2()i i (i 1,n n f n n -=-=-∈N )，集合{}()f n 的元素个数是（ ） A.2B.3C.4D.无数个答案：C解析：【知识点：复数的四则运算】00-12-23-31(0)i -i 0,(1)i-i =i-=2i,(2)i -i 0,(3)i -i =-2i.i f f f f ======9.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A ,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是（ ）A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i答案：C解析：【知识点：复数的加减法的几何意义】A 点坐标为(6,5),B 点坐标为(-2,3),则中点C 的坐标为(2,4),∴C 点对应的复数为2+4i.10.设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数.若z ＝1＋i ，则z i ＋i ·z 等于（ ）A.－2B.－2iC.2D.2i解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴ z i ＋i ·z ＝1－i ＋i (1－i )＝(1－i )(1＋i )＝2.故选C.11.若复数z 满足(3－4i )z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为（ ）A.－4B.－45C.4D.45答案：D解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|，所以⎩⎨⎧ 3b －4a ＝0，3a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 故选D12.若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i答案：A解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】∵z 1－i ＝i ，∴z ＝i (1－i )＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i .故选A.13.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）A.AB.BC.CD.D解析：【知识点：复数的概念，复平面，共轭复数】表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B.14.设z =（2-i ）2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 .答案：5解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数，复数的模】15. i 为虚数单位,设复数1z ,2z 在复平面内对应的点关于原点对称,若1z =2-3i,则2z = . 答案：2z = -2+3i解析：【知识点：复数的几何意义】由于z 1对应的点的坐标为(2,-3),所以z 2对应的点的坐标为(-2,3), 2z = -2+3i .16.（1） i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________.(2)已知复数z ＝(5＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________.答案：-2；21解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念】（1）(1－2i )(a ＋i )＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0,1－2a ≠0，∴a ＝－2（2）因为z ＝(5＋2i )2＝25＋20i ＋(2i )2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21. 17.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 016＝________. 答案：1解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 1 008＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i ＋i 21－2i ＋i 2 1 008＝1. 18.－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 016＝________. 答案：1i +解析：【知识点：复数的四则运算，共轭复数】原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 008＝i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 008＝i ＋i 1 008＝i ＋i 4×252＝1＋i . 19.已知f (x )＝⎩⎨⎧ 1＋x ，x ∈R ，(1＋i)x ，x ∉R ，则f [f (1－i )]＝________. 答案：3∵f (1－i )＝(1＋i )(1－i )＝2，∴f [f (1－i )]＝f (2)＝1＋2＝3.20.已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i )z 是纯虚数，求z .答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，复数的模】设z ＝x ＋y i （x, y ∈R ），∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数，∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i21.设1zz +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程.答案：见解析解析：【知识点：复数的四则运算，复数的概念，复数的相等，共轭复数，复数的模】 ∵1z z + 是纯虚数，∴011z z z z ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，即20(z 1)(z 1)zz z z ++=++, 设(x,y R)z x yi =+∈，则222()20x y x ++=∴ 2211(y 0)24x y ⎛⎫++=≠ ⎪⎝⎭.它为复数z 对应点的轨迹方程. 22.如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：①AO→、BC →所表示的复数； ②对角线CA →所表示的复数； ③B 点对应的复数. 答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】①AO→＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i . ∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i . ②CA→＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . ③OB→＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .点评：因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.23.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai )2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.答案：见解析解析：【知识点：复数的概念，复平面，复数的向量表示】设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i＝15(x －2i )(2＋i )＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i . ∵(z ＋ai )2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎨⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6， ∴实数a 的取值范围是(2,6).三、数学视野以复数作为自变量和因变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论产生于十八世纪.1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程.而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们.因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”.到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一. 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱.后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯了.二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献.复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的.比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的.比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献.复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论.它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响.。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）
![人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）](https://img.taocdn.com/s3/m/44cfeb771fd9ad51f01dc281e53a580217fc505b.png)
⼈教版⾼中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）⼈教版⾼中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习框图【学习⽬标】1．通过具体实例，进⼀步认识程序框图，了解⼯序的流程图。
2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作⽤。
3. 能画出简单问题的结构图，能解读结构图。
【要点梳理】要点⼀、框图的分类本节概念分类如右图：要点⼆、流程图的概念、分类及其关系1. 流程图：由⼀些图形符号和⽂字说明构成的图⽰称为流程图，它常⽤来表⽰⼀些动态过程，通常会有⼀个“起点”，⼀个或多个“终点”．2. 流程图的分类：流程图可分为程序框图与⼯序流程图．3. 程序框图：程序框图就是算法步骤的直观图⽰，算法的输⼈、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建⽴。
要点诠释：程序框图主要⽤于描述算法，⼀个程序的流程图要基于它的算法。
在设计流程图的时候要分步进⾏，把⼀个⼤的流程图分割成⼩的部分，按照三个基本结构，即顺序结构、选择结构、循环结构来局部安排，最后把流程图进⾏部分之间的组装，从⽽完成完整的程序流程图．4．⼯序流程图：流程图可⽤于描述⼯业⽣产的流程，这样的流程图称为⼯序流程图．要点诠释：⼯序流程图（统筹图）⽤于描述⼯业⽣产流程。
每⼀个矩形框代表⼀道⼯序，流程线则表⽰两相邻⼯序之间的关系，这是⼀个有向线，⽤于指⽰⼯序进展的⽅向，因此画图时要分清先后顺序，判断是⾮区别，分清流向．特别注意：在程序框图中可以有⾸尾相接的圈图或循环回路，⽽在⼯序流程图上，不允许出现⼏道⼯序⾸尾相接的圈图或循环回路．要点三、程序框图、⼯序流程图的画图与识图1.程序框图的画法：最基本的程序框有四种：起⽌框，输⼊输出框，处理框（执⾏框），判断框．画法要求：（1）使⽤标准的框图符号；（2）框图⼀般按照从上到下、从左到右的顺序画；（3）除判断框外，⼤多数程序框只有⼀个进⼊点和⼀个退出点，判断框是具有超过⼀个退出点的唯⼀符号；（4）⼀种判断框是“是”与“否”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果；另⼀种是多分⽀判断，有⼏种不同的结果；（5）在框图符号内描述的语⾔要⾮常简练、清楚．2.⼯序流程图的画法：将⼀个⼯作或⼯程从头⾄尾依先后顺序分为若⼲道⼯序（即⾃顶向下），每⼀道⼯序⽤矩形框表⽰，并在该矩形框内注明此⼯序的名称或代号．两相邻⼯序之间⽤流程线相连．有时为合理安排⼯程进度，还要在每道⼯序框上注明完成该⼯序所需的时间．开始时⼯序流程图可以画得粗疏，然后再对每⼀框逐步细化。
高中数学选修1-2知识点总结61389
知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
苏教版高中数学选修1-2 第3章 3.2 复数的四则运算 学案
3.2复数的四则运算第1课时复数的加法、减法、乘法运算学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减运算思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足．梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b ＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法运算思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数思考复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？答案这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．梳理(1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数记作z，即z＝a－b i.(3)当复数z＝a＋b i(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．(×)2．任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．(√)3．两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．(×)类型一复数的加减运算例1计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i ＝－11i. (2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 类型二 复数的乘法 例2 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.跟踪训练2 若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________. 答案 －1解析 ∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i 是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1. 类型三 共轭复数的概念例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.反思与感悟 (1)有关复数z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2.②z ∈R ⇔z ＝z .(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．跟踪训练3 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3， 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.1．已知复数z 1＝12－32i 和复数z 2＝cos 60°＋isin 60°，则z 1＋z 2＝________.答案 1解析 ∵z 2＝12＋32i ，∴z 1＋z 2＝1.2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案 －1＋3i解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i ＝________. 答案 －1解析 ∵z ＝－1＋2i －2＋3i ＝－3＋5i ， ∴z ＋2－5i ＝－3＋5i ＋2－5i ＝－1.4．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 答案 －1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等的定义，得x ＝2且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值分别为________． 答案 －3，－4解析 ∵z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i 为实数， ∴4＋b ＝0，即b ＝－4.又z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， ∴a ＋3＝0且4－b ≠0，∴a ＝－3.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则． 2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i ＝3. 3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数． 4．理解共轭复数的性质 (1)z ∈R ⇔z ＝z .(2)当a ，b ∈R 时，有a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.一、填空题1．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z ＝________. 答案 1＋i解析 ∵z －(1－i)＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝________. 答案 2解析 (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i ， 令2－b ＝0，且2b ＋1≠0， ∴b ＝2.3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 ∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.4．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 －1－i解析 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ， ∴z 的共轭复数是z ＝－1－i.5．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z 的实部是________． 答案 6解析 ∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. ∴z ·z ＋z 的实部是6. 6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a ＝________. 答案 12解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎫32－a i 2＝⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ， ∴⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ＝12－32i(a ∈R )，则⎩⎨⎧34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.7．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， (1＋2i)z ]＝(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i. 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则z 1·z 2＝________. 答案 －18－63i 解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝4 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.z 1·z 2＝(3＋3i)(－33＋3i)＝－18－63i.10．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 答案 5＋5i解析 ∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)， ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i.11．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 答案 2解析 由题意知x i －1＝－1＋2i ，又x ∈R ，由复数相等，得x ＝2. 二、解答题12．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以复数z ＝1＋2i.13．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数． 解 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.所以b ＋a i ＝4－3i ，则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i. 三、探究与拓展14．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i. 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.15．已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 解 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ，∴(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a ＋2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎨⎧ a ＝－22，b ＝4－32，或⎩⎨⎧a ＝22，b ＝4＋3 2.∴所求实数a ＝－22，b ＝4－32或a ＝22，b ＝4＋3 2.。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
课件制作-Q老师
勤学奋进，学有所成！
2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
12345
解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学新课标人教A版选修1-2课件
类比推理的结论不一定成立.
第二十五页，编辑于星期一：点 十三分。
.
.
第二十六页，编辑于星期一：点 十三分。
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直于 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
第一页，编辑于星期一：点 十三分。
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程就叫推理.
第二页，编辑于星期一：点 十三分。
第三页，编辑于星期一：点 十三分。
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
第三十五页，编辑于星期一：点 十三分。
再 见
第三十六页，编辑于星期一：点 十三分。
八面体
三棱柱
四棱锥
尖顶塔
第十页，编辑于星期一：点 十三分。
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
第十一页，编辑于星期一：点 十三分。
四棱柱
凸多面体
四棱柱 三棱锥 八面体 三棱柱 四棱锥 尖顶塔
面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
6
8
12
第十二页，编辑于星期一：点 十三分。
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
3
第三十三页，编辑于星期一：点 十三分。
高中数学选修1-2知识点总结
高中数学选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧〔最小二乘法〕其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数〔判定两个变量线性相关性〕：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P 〔AB 〕P 〔A 〕4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验〔分类变量关系〕：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验 根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕1．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．A ．63.6万元 C ．67.7万元解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^＝176解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)， 所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C.答案 C3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的选项是( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x －，y －)解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x －b ^＝0.01，a ^＝0.47，故回归直线方程为y ^x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案5．(2011·辽宁)调查了某地假设干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析 由题意知[0.254(xx ＋0.321)＝0.254. 答案6．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2.b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b x －＝3. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^＝6.5(x －2 006)＋3.2， 即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5××6＋260.2＝299.2(万吨)．7．(2010·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？ 说明理由． 附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)K 2＝500×(40×270－30×160)270×300×200×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此 在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两 层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．8．(2010·辽宁)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表(2)完成下面2×2列联表，并答复能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2总计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝总计n＝附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k)k从频率分布直方图中可以看出注射药物A 后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数． (2)表3：K 2＝200×(70×65－35×30)100×100×105×95≈24.56.由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．。
高中数学选修1-2知识点及典型题
选 修 1-2 知 识 点 总 结第一章：统计案例一．回归分析的基本思想及其初步应用1.正相关：如果点散布在从左下角到右上角的区域，则称这两个变量的关系为正相关。
2.负相关：如果点散布在从左上角到右下角的区域，则称这两个变量的关系为负相关。
3.回归直线方程的斜率和截距公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====xb y a xn x yx n yx x x y yx x b n i i ni ii n i i ini i1221121)()()(（此公式不要求记忆）。
4.最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。
e ：我们把线性回归模型e a bx y ++=，其中b a ,为模型的未知参数，e 称为随机误差。
随机误差a bx y e i i i --=eˆ：我们用回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的y ˆ估计a bx +，随机误差)(a bx y e +-=， 所以y y e ˆˆ-=是e 的估计量，故a x b y y y e ii i i i ˆˆˆˆ--=-=，e ˆ称为相应于点),(i i y x 的残差。
2R ：∑∑==---=ni ini iy yyy R 12122)()ˆ(1，2R 的表达式中21)(∑=-ni i y y 确定，（1）2R 越大,残差平方和21)ˆ(∑=-ni i yy 越小,即模型的拟合效果越好； （2）2R 越小,残差平方和21)ˆ(∑=-ni i yy 越大,即模型的拟合效果越差。
2R 越接近1,表示回归效果越好。
二．独立性检验的基本思想及其初步应用1.分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。
2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。
22⨯列联表：2K 的观测值：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=。
0k 表：如果0k k ≥，就推断“Y X ,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α； 否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“Y X ,有关系”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验 根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）1．(2011·山东)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( )．A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)． 答案 B2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝88＋12x D.y ^＝176解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 答案 C3．(2011·陕西)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )． A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x －，y －)解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的 绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A 、B 错误．C 中n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数可以不相同，所以C 错误．根据回 归直线方程一定经过样本中心点可知D 正确，所以选D. 答案 D4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________． 解析 小李这5天的平均投篮命中率 y －＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x －＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝ 0.47，故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的 投篮命中率约为0.53. 答案 0.5 0.535．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析 由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案 0.2546．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2.b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2(－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b x －＝3. 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 006)＋a ^＝6.5(x －2 006)＋3.2， 即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．7．(2010·新课标全国)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？ 说明理由． 附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)K 2＝500×(40×270－30×160)270×300×200×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此 在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两 层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．8．(2010·辽宁)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表频数1025203015(1)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 mm2总计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝总计n＝附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828从频率分布直方图中可以看出注射药物A 后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数． (2)表3：疱疹面积小于70 mm 2 疱疹面积不 小于70 mm 2 总计 注射药物A a ＝70 b ＝30 100 注射药物B c ＝35 d ＝65 100 总计10595n ＝200K 2＝200×(70×65－35×30)100×100×105×95≈24.56.由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．。